7.E: Ejercicios
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Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz invertible, compare los valores propios de\(A\) y\(A^{−1}\). De manera más general, para\(m\) un entero arbitrario, compare los valores propios de\(A\) y\(A^m\).
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\(A^mX = λ^mX\)para cualquier entero. En el caso de\(−1,\: A^{−1}λX = AA^{−1}X = X\) que así sea\(A^{−1}X = λ^{−1}X\). Así los valores propios de\(A^{−1}\) son justo\(λ^{-1}\) donde\(λ\) está un valor propio de\(A\).
Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz y\(c\) es una constante distinta de cero, compare los valores propios de\(A\) y\(cA\).
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Diga\(AX = λX\). Entonces\(cAX = cλX\) y así los valores propios de\(cA\) son justo\(cλ\) donde\(λ\) está un valor propio de\(A\).
\(A,\: B\)Dejen ser\(n\times n\) matrices invertibles que conmutan. Es decir,\(AB = BA\). Supongamos que\(X\) es un vector propio de\(B\). Demostrar que entonces también\(AX\) debe ser un vector propio para\(B\).
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\(BAX = ABX = AλX = λAX\). Aquí se supone que\(BX = λX\).
Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz y satisface\(A^m = A\) para algunos\(m\) un entero positivo mayor que\(1\). Mostrar que si\(λ\) es un valor propio de\(A\) entonces\(|λ|\) es igual a cualquiera\(0\) o\(1\).
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Dejado\(X\) ser el autovector. Entonces\(A^mX = λ^mX,\: A^mX = AX = λX\) y así\[\lambda^m=\lambda\nonumber\] De ahí si\(\lambda\neq 0\), entonces\[\lambda^{m-1}=1\nonumber\] y así\(|\lambda|=1\).
Demostrar que si\(AX = λX\) y\(AY = λY\), entonces cuando\(k,\: p\) sean escalares,\[A(kX+pY)=\lambda (kX+pY)\nonumber\] ¿implica esto que\(kX+pY\) es un vector propio? Explique.
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La fórmula se deriva de las propiedades de las multiplicaciones matriciales. Sin embargo, este vector podría no ser un vector propio porque podría ser igual\(0\) y los vectores propios no pueden igualar\(0\).
Supongamos que\(A\) es una\(3\times 3\) matriz y la siguiente información está disponible. \[\begin{aligned}A\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right]&=0\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]&=-2\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{r}-2\\-3\\-2\end{array}\right]&=-2\left[\begin{array}{r}-2\\-3\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\]Encuentra\(A\left[\begin{array}{r}1\\-4\\3\end{array}\right]\).
Supongamos que\(A\) es una\(3\times 3\) matriz y la siguiente información está disponible. \[\begin{aligned}A\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\-2\end{array}\right]&=1\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\-2\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]&=0\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\-3\end{array}\right]&=2\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\-3\end{array}\right]\end{aligned}\]Encuentra\(A\left[\begin{array}{r}3\\-4\\3\end{array}\right]\).
Supongamos que\(A\) es una\(3\times 3\) matriz y la siguiente información está disponible. \[\begin{aligned}A\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right]&=2\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]&=1\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{r}-3\\-5\\-4\end{array}\right]&=-3\left[\begin{array}{r}-3\\-5\\-4\end{array}\right]\end{aligned}\]Encuentra\(A\left[\begin{array}{r}2\\-3\\3\end{array}\right]\).
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}-6&-92&12 \\ 0&0&0\\-2&-31&4\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(-2\).
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}-2&-17&-6 \\ 0&0&0\\1&9&3\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(1\).
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}9&2&8 \\ 2&-6&-2 \\ -8&2&-5\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(-3\).
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}6&76&16 \\ -2&-21&-4 \\ 2&64&17\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(-2\).
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}3&5&2 \\ -8&-11&-4 \\ 10&11&3\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(-3\).
¿Es posible que una matriz distinta de cero tenga solo\(0\) como valor propio?
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Sí. \(\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right]\)obras.
Si\(A\) es la matriz de una transformación lineal que gira todos los vectores hacia adentro\(\mathbb{R}^2\)\(60^{\circ}\), explique por qué\(A\) no puede tener ningún valor propio real. ¿Hay un ángulo tal que la rotación a través de este ángulo tendría un valor propio real? ¿Qué valores propios serían obtenibles de esta manera?
Dejar\(A\) ser la\(2\times 2\) matriz de la transformación lineal que gira todos los vectores\(\mathbb{R}^2\) en un ángulo de\(θ\). \(θ\)¿Para qué valores de\(A\) tiene un valor propio real?
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Cuando piensas en esto geométricamente, es claro que los dos únicos valores de\(θ\) son\(0\) y\(π\) o estos agregados a múltiplos enteros de\(2π\).
Dejado\(T\) ser la transformación lineal que refleja vectores alrededor del\(x\) eje. Encuentra una matriz para\(T\) y luego encuentra sus valores propios y vectores propios.
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La matriz de\(T\) es\(\left[\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\right]\). Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}↔ -1,\:\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}↔1\nonumber\]
Dejar\(T\) ser la transformación lineal que gira todos los vectores en\(\mathbb{R}^2\) sentido antihorario a través de un ángulo de\(π/2\). Encuentra una matriz de\(T\) y luego encuentra valores propios y vectores propios.
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La matriz de\(T\) es\(\left[\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right]\). Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-i\\1\end{array}\right]\right\}↔ -i,\:\left\{\left[\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right]\right\}↔i\nonumber\]
Dejado\(T\) ser la transformación lineal que refleja todos los vectores en\(\mathbb{R}^3\) a través del\(xy\) plano. Encontrar una matriz para\(T\) y luego obtener sus valores propios y vectores propios.
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La matriz de\(T\) es\(\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]\). Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\right\}↔-1,\:\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]\right\}↔1\nonumber\]
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}5&-18&-32\\0&5&4\\2&-5&-11\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(1\). Diagonalizar si es posible.
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Los valores propios son\(−1,−1, 1\). Los vectores propios correspondientes a los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{r}10&-2&3\end{array}\right]\right\}↔-1,\:\left\{\left[\begin{array}{r}7\\-2\\2\end{array}\right]\right\}↔1\nonumber\] Por lo tanto, esta matriz no es diagonalizable.
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}-12&-28&28\\4&9&-8\\-4&-8&9\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(3\). Diagonalizar si es posible.
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]\right\}↔1,\:\left\{\left[\begin{array}{r}-2\\1\\0\end{array}\right]\right\}↔1,\:\left\{\left[\begin{array}{r}7\\-2\\2\end{array}\right]\right\}↔3\nonumber\] La matriz\(P\) necesaria para diagonalizar la matriz anterior es\[\left[\begin{array}{rrr}2&-2&7\\0&1&-2\\1&0&2\end{array}\right]\nonumber\] y la matriz diagonal\(D\) es\[\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}89&38&268\\14&2&40\\-30&-12&-90\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(-3\). Diagonalizar si es posible.
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-6\\-1\\-2\end{array}\right]\right\}↔6,\:\left\{\left[\begin{array}{r}-5\\-2\\2\end{array}\right]\right\}↔-3,\:\left\{\left[\begin{array}{r}-8\\-2\\3\end{array}\right]\right\}↔2\nonumber\] La matriz\(P\) necesaria para diagonalizar la matriz anterior es\[\left[\begin{array}{rrr}-6&-5&-8\\-1&-2&-2\\2&2&3\end{array}\right]\nonumber\] y la matriz diagonal\(D\) es\[\left[\begin{array}{rrr}6&0&0\\0&-3&0\\0&0&-2\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}1&90&0\\0&-2&0\\3&89&-2\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(1\). Diagonalizar si es posible.
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}11&45&30\\10&26&20\\-20&-60&-44\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(1\). Diagonalizar si es posible.
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}95&25&24\\-196&-53&-48\\-164&-42&-43\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(5\). Diagonalizar si es posible.
Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz y deja\(V\) ser un eigenvector tal que\(AV = λV\). También supongamos que el polinomio característico de\(A\) es\[\det (xI-A)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\nonumber\] Explicar por qué\[(A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_1A+a_0I)V=0\nonumber\] Si\(A\) es diagonalizable, dar una prueba del teorema de Cayley Hamilton basado en esto. Este teorema dice\(A\) satisface su ecuación característica\[A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_1A+a_0I=0\nonumber\]
Supongamos que el polinomio característico de una\(n\times n\) matriz\(A\) es\(1−X^n\). Encuentra\(A^{mn}\) dónde\(m\) es un número entero.
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Los valores propios son distintos porque son las raíces\(n\) th de\(1\). De ahí si\(X\) es un vector dado con\[X=\sum\limits_{j=1}^na_jV_j\nonumber\] entonces\[A^{nm}X=A^{nm}\sum\limits_{j=1}^na_jV_j=\sum\limits_{j=1}^na_jA^{nm}V_j=\sum\limits_{j=1}^na_jV_j=X\nonumber\] así\(A^{nm}=I\).
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}15&-24&7\\-6&5&-1\\-58&76&-20\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(−2\). Diagonalizar si es posible. Pista: Este tiene algunos valores propios complejos.
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}15&-25&6\\-13&23&-4\\-91&155&-30\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(2\). Diagonalizar si es posible. Pista: Este tiene algunos valores propios complejos.
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}-11&-12&4\\8&17&-4\\-4&28&-3\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(1\). Diagonalizar si es posible. Pista: Este tiene algunos valores propios complejos.
Encuentra los valores propios y los vectores propios de la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}14&-12&5\\-6&2&-1\\-69&51&-21\end{array}\right]\nonumber\] Un valor propio es\(−3\). Diagonalizar si es posible. Pista: Este tiene algunos valores propios complejos.
Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz que consiste enteramente en entradas reales pero\(a + ib\) es un valor propio complejo que tiene el vector propio,\(X +iY\) Aquí\(X\) y\(Y\) son vectores reales. Demostrar que entonces también\(a−ib\) es un valor propio con el vector propio,\(X − iY\). Pista: Debe recordar que el conjugado de un producto de números complejos es igual al producto de los conjugados. Aquí\(a+ib\) hay un número complejo cuyo conjugado es igual\(a−ib\).
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\(AX = (a+ib)X\). Ahora toma conjugados de ambos lados. Dado que\(A\) es real,\[A\overline{X}=(a-ib)\overline{X}\nonumber\]
Vamos\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right]\). Diagonalizar\(A\) para encontrar\(A^{10}\).
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Primero escribimos\(A=PDP^{-1}\). \[\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-1&0\\0&3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber\]Por lo tanto\(A^{10}=PD^{10}P^{-1}\). \[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right]^{10}&=\left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-1&0\\0&3\end{array}\right]^{10}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}(-1)^{10}&0\\0&3^{10}\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{rr}29525&29524 \\ 29524&29525\end{array}\right]\end{aligned}\]
Vamos\(A=\left[\begin{array}{ccc}1&4&1\\0&2&5\\0&0&5\end{array}\right]\). Diagonalizar\(A\) para encontrar\(A^{50}\).
Vamos\(A=\left[\begin{array}{rrr}1&-2&-1\\2&-1&1\\-2&3&1\end{array}\right]\). Diagonalizar\(A\) para encontrar\(A^{100}\).
La siguiente es una matriz de Markov (migración) para tres ubicaciones\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{7}{10}&\frac{1}{9}&\frac{1}{5} \\ \frac{1}{10}&\frac{7}{9}&\frac{2}{5} \\ \frac{1}{5}&\frac{1}{9}&\frac{2}{5}\end{array}\right]\nonumber\]
- Inicialmente, hay\(90\) personas en ubicación\(1,\: 81\) en ubicación\(2\), y\(85\) en ubicación\(3\). ¿Cuántos hay en cada ubicación después de un periodo de tiempo?
- El número total de individuos en el proceso migratorio es\(256\). Después de mucho tiempo, ¿cuántos hay en cada ubicación?
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- Multiplique la matriz dada por el vector de estado inicial dado por\(\left[\begin{array}{c}90\\81\\85\end{array}\right]\). Después de un período de tiempo hay\(89\) personas en la ubicación\(1\),\(106\) en la ubicación\(2\) y\(61\) en la ubicación\(3\).
- Resolver el sistema dado por\((I − A)X_s = 0\) donde\(A\) está la matriz de migración y\(X_s=\left[\begin{array}{c}x_{1s} \\ x_{2s} \\ x_{3s}\end{array}\right]\) es el vector de estado estacionario. La solución a este sistema viene dada por\[\begin{aligned}x_{1s}&=\frac{8}{5}x_{3s} \\ x_{2s}&=\frac{63}{25}x_{3s}\end{aligned}\] Dejar\(x_{3s} = t\) y utilizando el hecho de que hay un total de\(256\) individuos, debemos resolver\[\frac{8}{5}t+\frac{63}{25}t+t=256\nonumber\] Nos encontramos con eso\(t = 50\). Por lo tanto, después de mucho tiempo, hay\(80\) personas en ubicación\(1,\: 126\) en ubicación\(2\), y\(50\) en ubicación\(3\).
La siguiente es una matriz de Markov (migración) para tres ubicaciones\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{2}{5} \\ \frac{2}{5}&\frac{2}{5}&\frac{1}{5} \\ \frac{2}{5}&\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]\nonumber\]
- Inicialmente, hay\(130\) individuos en ubicación\(1,\: 300\) en ubicación\(2\), y\(70\) en ubicación\(3\). ¿Cuántos hay en cada ubicación después de dos periodos de tiempo?
- El número total de individuos en el proceso migratorio es\(500\). Después de mucho tiempo, ¿cuántos hay en cada ubicación?
A continuación se presenta una matriz de Markov (migración) para tres localidades\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{10}&\frac{3}{8}&\frac{1}{3} \\ \frac{1}{10}&\frac{3}{8}&\frac{1}{3} \\ \frac{3}{5}&\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\end{array}\right]\nonumber\] El número total de individuos en el proceso migratorio es\(480\). Después de mucho tiempo, ¿cuántos hay en cada ubicación?
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Resolvemos\((I −A)X_s = 0\) encontrar el vector de estado estacionario\(X_s=\left[\begin{array}{c}x_{1s} \\ x_{2s} \\ x_{3s}\end{array}\right]\). La solución al sistema viene dada por\[\begin{aligned}x_{1s}&=\frac{5}{6}x_{3s} \\ x_{2s}&=\frac{2}{3}x_{3s}\end{aligned}\] Dejar\(x_{3s} = t\) y utilizando el hecho de que hay un total de\(480\) individuos, debemos resolver\[\frac{5}{6}t+\frac{2}{3}t+t=480\nonumber\] Nos encontramos con eso\(t = 192\). Por lo tanto, después de mucho tiempo, hay\(160\) personas en ubicación\(1,\: 128\) en ubicación\(2\), y\(192\) en ubicación\(3\).
A continuación se presenta una matriz de Markov (migración) para tres localidades\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{10}&\frac{1}{3}&\frac{1}{5} \\ \frac{3}{10}&\frac{1}{3}&\frac{7}{10} \\ \frac{2}{5}&\frac{1}{3}&\frac{1}{10}\end{array}\right]\nonumber\] El número total de individuos en el proceso migratorio es\(1155\). Después de mucho tiempo, ¿cuántos hay en cada ubicación?
A continuación se presenta una matriz de Markov (migración) para tres localidades\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}&\frac{1}{8} \\ \frac{3}{10}&\frac{2}{5}&\frac{5}{8} \\ \frac{3}{10}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{array}\right]\nonumber\] El número total de individuos en el proceso migratorio es\(704\). Después de mucho tiempo, ¿cuántos hay en cada ubicación?
Una persona se pone en marcha en una caminata aleatoria con tres posibles ubicaciones. La matriz de probabilidades de Markov\(A = [a_{ij}]\) viene dada por\[\left[\begin{array}{ccc}0.1&0.3&0.7 \\ 0.1&0.3&0.2\\0.8&0.4&0.1\end{array}\right]\nonumber\] Si el andador comienza en ubicación\(2\), ¿cuál es la probabilidad de terminar de nuevo en ubicación en\(2\) el momento\(n = 3\)?
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\[X_3=\left[\begin{array}{c}0.38\\0.18\\0.44\end{array}\right]\nonumber\]Por lo tanto la probabilidad de terminar de nuevo en la ubicación\(2\) es\(0.18\).
Una persona se pone en marcha en una caminata aleatoria con tres posibles ubicaciones. La matriz de probabilidades\(A = [a_{ij}]\) de Markov viene dada por\[\left[\begin{array}{ccc}0.5&0.1&0.6\\0.2&0.9&0.2\\0.3&0&0.2\end{array}\right]\nonumber\] Se desconoce dónde comienza el andador, pero la probabilidad de comenzar en cada ubicación viene dada por\[X_0=\left[\begin{array}{r}0.2\\0.25\\0.55\end{array}\right]\nonumber\] ¿Cuál es la probabilidad de que el andador esté en ubicación en el\(1\) momento\(n = 2\)?
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\[X_2=\left[\begin{array}{r}0.367\\0.4625\\0.1705\end{array}\right]\nonumber\]Por lo tanto la probabilidad de terminar en ubicación\(1\) es\(0.367\).
Tienes una compañía de alquiler de remolques en una gran ciudad y tienes cuatro ubicaciones, una en el sureste, una en el noreste, una en el noroeste y otra en el suroeste. Denote estas ubicaciones por SE, NE, NW y SW respectivamente. Supongamos que se observa la siguiente tabla para tener lugar.
| SE | NE | NW | SW | |
|---|---|---|---|---|
| SE | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| NE | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{7}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{10}\) |
| NW | \(\frac{2}{9}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| SW | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{2}\) |
En esta tabla, la probabilidad de que un tráiler que comience en NE termine en NW es\(1/10\), the probability that a trailer starting at SW ends in NW is \(1/5\), and so forth. Approximately how many will you have in each location after a long time if the total number of trailers is \(413\)?
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La matriz de migración es\[A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{3}&\frac{1}{10}&\frac{1}{10}&\frac{1}{5} \\ \frac{1}{3}&\frac{7}{10}&\frac{1}{5}&\frac{1}{10} \\ \frac{2}{9}&\frac{1}{10}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5} \\ \frac{1}{9}&\frac{1}{10}&\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber\] Para encontrar el número de tráileres en cada ubicación después de mucho tiempo resolvemos sistema\((I − A)X_s = 0\) para el vector de estado estacionario\(X_s=\left[\begin{array}{c}x_{1s} \\ x_{2s} \\ x_{3s} \\ x_{4s}\end{array}\right]\). La solución al sistema es\[\begin{aligned} x_{1s}&=\frac{9}{10}x_{4s} \\ x_{2s}&=\frac{12}{5}x_{4s} \\ x_{3s}&=\frac{8}{5}x_{4s}\end{aligned}\] Dejar\(x_{4s} = t\) y usar el hecho de que hay un total de\(413\) tráileres debemos resolver\[\frac{9}{10}t+\frac{12}{5}t+\frac{8}{5}t+t=413\nonumber\] Nos encontramos con eso\(t = 70\). Por lo tanto después de mucho tiempo, hay\(63\) tráileres en el SE,\(168\) en el NE,\(112\) en el NW y\(70\) en el SW.
Tienes una compañía de alquiler de remolques en una gran ciudad y tienes cuatro ubicaciones, una en el sureste, una en el noreste, una en el noroeste y otra en el suroeste. Denote estas ubicaciones por SE, NE, NW y SW respectivamente. Supongamos que se observa la siguiente tabla para tener lugar.
| SE | NE | NW | SW | |
|---|---|---|---|---|
| SE | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| NE | \(\frac{2}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{10}\) |
| NW | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| SW | \(\frac{3}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{2}\) |
En esta tabla, la probabilidad de que un tráiler que comience en NE termine en NW es 1/10, la probabilidad de que un tráiler que comience en SW termine en NW es 1/ 5, y así sucesivamente. Aproximadamente cuántos tendrás en cada ubicación después de mucho tiempo si el número total de remolques es de 1 4 6 9.
En la siguiente tabla se describen las probabilidades de transición entre los estados lluvioso, parcialmente nublado y soleado. El símbolo p.c. indica parcialmente nublado. Así, si empieza p.c. termina soleado al día siguiente con probabilidad\(\frac{1}{5}\). Si empieza soleado, termina soleado al día siguiente con probabilidad\(\frac{2}{5}\) y así sucesivamente.
| lluvias | soleado | p.c. | |
|---|---|---|---|
| lluvias | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| soleado | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| p.c. | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
Ante esta información, ¿cuáles son las probabilidades de que un día determinado sea lluvioso, soleado o parcialmente nublado?
En la siguiente tabla se describen las probabilidades de transición entre los estados lluvioso, parcialmente nublado y soleado. El símbolo p.c. indica parcialmente nublado. Así, si empieza p.c. termina soleado al día siguiente con probabilidad\(\frac{1}{10}\). Si empieza soleado, termina soleado al día siguiente con probabilidad\(\frac{2}{5}\) y así sucesivamente.
| lluvias | soleado | p.c. | |
|---|---|---|---|
| lluvias | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| soleado | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{4}{9}\) |
| p.c. | \(\frac{7}{10}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{2}{9}\) |
Ante esta información, ¿cuáles son las probabilidades de que un día determinado sea lluvioso, soleado o parcialmente nublado?
Tienes una compañía de alquiler de remolques en una gran ciudad y tienes cuatro ubicaciones, una en el sureste, una en el noreste, una en el noroeste y otra en el suroeste. Denote estas ubicaciones por SE, NE, NW y SW respectivamente. Supongamos que se observa la siguiente tabla para tener lugar.
| SE | NE | NW | SW | |
|---|---|---|---|---|
| SE | \(\frac{5}{11}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| NE | \(\frac{1}{11}\) | \(\frac{7}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{10}\) |
| NW | \(\frac{2}{11}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| SW | \(\frac{3}{11}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{2}\) |
En esta tabla, la probabilidad de que un tráiler que comience en NE termine en NW es 1/10, la probabilidad de que un tráiler que comience en SW termine en NW es 1/5, y así sucesivamente. Aproximadamente ¿cuántos tendrás en cada ubicación después de mucho tiempo si el número total de tráileres es 407?
La Universidad de Poohbah ofrece tres programas de grado, educación de exploración (SE), apreciación de la danza (DA) e ingeniería (E). Se ha determinado que las probabilidades de transferir de un programa a otro son como en la siguiente tabla.
| SE | DA | E | |
|---|---|---|---|
| SE | \(.8\) | \(.1\) | \(.3\) |
| DA | \(.1\) | \(.7\) | \(.5\) |
| E | \(.1\) | \(.2\) | \(.2\) |
donde el número indica la probabilidad de transferir del programa superior al programa de la izquierda. Así es la probabilidad de pasar de DA a E\(.2\). Encuentra la probabilidad de que un estudiante esté inscrito en los distintos programas.
En la ciudad de Nabal, hay tres persuasiones políticas, republicanos (R), demócratas (D), y ninguno (N). En la siguiente tabla se muestran las probabilidades de transición entre los partidos políticos, siendo la fila superior el partido político inicial y la fila lateral la afiliación política al año siguiente.
| R | D | N | |
|---|---|---|---|
| R | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{2}{7}\) |
| D | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{4}{7}\) |
| N | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{7}\) |
Encontrar las probabilidades de que una persona sea identificada con las diversas persuasiones políticas. ¿Qué partido va a terminar siendo el más importante?
En la siguiente tabla se describen las probabilidades de transición entre los estados lluvioso, parcialmente nublado y soleado. El símbolo p.c. indica parcialmente nublado. Así, si empieza p.c. termina soleado al día siguiente con probabilidad\(\frac{1}{5}\). Si empieza soleado, termina soleado al día siguiente con probabilidad\(\frac{2}{7}\) y así sucesivamente.
| lluvias | soleado | p.c. | |
|---|---|---|---|
| lluvias | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{7}\) | \(\frac{5}{9}\) |
| soleado | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{7}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| p.c. | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{3}{7}\) | \(\frac{1}{9}\) |
Ante esta información, ¿cuáles son las probabilidades de que un día determinado sea lluvioso, soleado o parcialmente nublado?
Encuentra la solución al problema de valor inicial\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]'&=\left[\begin{array}{rr}0&-1\\6&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x(0) \\ y(0)\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right]\end{aligned}\] Pista: formar la matriz exponencial\(e^{At}\) y luego la solución es\(e^{At}C\) donde\(C\) está el vector inicial,
- Contestar
-
La solución es\[e^{At}C=\left[\begin{array}{c}8e^{2t}-6e^{3t} \\ 18e^{3t}-16e^{2t}\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra la solución al problema de valor inicial\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]'&=\left[\begin{array}{rr}-4&-3\\6&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x(0) \\ y(0)\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right]\end{aligned}\] Pista: formar la matriz exponencial\(e^{At}\) y luego la solución es\(e^{At}C\) donde\(C\) está el vector inicial.
Encuentra la solución al problema de valor inicial\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]'&=\left[\begin{array}{rr}-1&2\\-4&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x(0) \\ y(0)\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right]\end{aligned}\] Pista: formar la matriz exponencial\(e^{At}\) y luego la solución es\(e^{At}C\) donde\(C\) está el vector inicial.
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}11&-1&-4 \\ -1&11&-4\\-4&-4&14\end{array}\right]\nonumber\]Pista: Dos valores propios son\(12\) y\(18\).
- Contestar
-
Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6,\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}-1\\1\\0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 12,\left\{\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\2\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 18\nonumber\]
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}4&1&-2\\1&4&-2\\-2&-2&7\end{array}\right]\nonumber\]Pista: Un valor propio es\(3\).
- Contestar
-
Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}-1\\1\\0\end{array}\right],\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 3,\left\{\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\2\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 9\nonumber\]
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right]\nonumber\]Pista: Un valor propio es\(-2\).
- Contestar
-
Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -2\nonumber\]\[\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}/3&-\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&0&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right]\nonumber\]\[\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}/3&-\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&0&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\]\[=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{array}\right]\nonumber\]
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}17&-7&-4 \\ -7&17&-4 \\ -4&-4&14\end{array}\right]\nonumber\]Pista: Dos valores propios son\(18\) y\(24\).
- Contestar
-
Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 18,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 24\nonumber\] La matriz los\(U\) tiene como columnas.
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}13&1&4\\1&13&4\\4&4&10\end{array}\right]\nonumber\]Pista: Dos valores propios son\(12\) y\(18\).
- Contestar
-
Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 12, \left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 18.\nonumber\] La matriz los\(U\) tiene como columnas.
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{5}{3}&\frac{1}{15}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{8}{15}\sqrt{5} \\ \frac{1}{15}\sqrt{6}\sqrt{5}&-\frac{14}{5}&-\frac{1}{15}\sqrt{6} \\ \frac{8}{15}\sqrt{5}&-\frac{1}{15}\sqrt{6}&\frac{7}{15} \end{array}\right]\nonumber\]Pista: Los valores propios son\(-3,-2,1\).
- Contestar
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0\\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}\end{array}\right]\right\} -2,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -3\nonumber\] Estos vectores son las columnas de\(U\).
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}3&0&0 \\ 0&\frac{3}{2}&\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{array}\right]\nonumber\]
- Contestar
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}0\\-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2,\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 3.\nonumber\] Estos vectores son las columnas de la matriz\(U\).
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&5&1\\0&1&5\end{array}\right]\nonumber\]
- Contestar
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2,\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 4, \left\{\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6.\nonumber\] Estos vectores son las columnas de\(U\).
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{1}{3}\sqrt{2} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\sqrt{2}&1&-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&\frac{5}{3}\end{array}\right]\nonumber\]Pista: Los valores propios son\(0,2,2\) donde\(2\) se enumera dos veces porque es una raíz de multiplicidad\(2\).
- Contestar
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{5}\sqrt{2}\sqrt{5} \\ \frac{1}{5}\sqrt{3}\sqrt{5} \\ \frac{1}{5}\sqrt{5}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 0,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ 0\\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{1}{5}\sqrt{2}\sqrt{5} \\ \frac{1}{5}\sqrt{3}\sqrt{5} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{5}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\] Las columnas son estos vectores.
Encontrar los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para\(A\). Diagonalizar\(A\) encontrando una matriz ortogonal\(U\) y una matriz diagonal\(D\) tal que\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{6}&\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber\]Pista: Los valores propios son\(2,1,0\).
- Contestar
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ 0\\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 0,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\] Las columnas son estos vectores.
Encuentra los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&-\frac{7}{18}\sqrt{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{3}{2}&-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6} \\ -\frac{7}{18}\sqrt{3}\sqrt{6}&-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6}&-\frac{5}{6}\end{array}\right]\nonumber\] Pista: Los valores propios son\(1,2,-2\).
- Contestar
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1, \left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ 0\\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -2, \left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\] Entonces las columnas de\(U\) son estos vectores.
Encuentra los valores propios y una base ortonormal de vectores propios para la matriz\[A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{1}{10}\sqrt{5} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6} \\ \frac{1}{10}&\sqrt{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}&-\frac{9}{10}\end{array}\right]\nonumber\] Pista: Los valores propios son\(-1,2,-1\) donde\(-1\) se enumera dos veces porque tiene multiplicidad\(2\) como cero de la ecuación característica.
- Contestar
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Los vectores propios y los valores propios son:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0 \\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -1,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\] Las columnas de\(U\) son estos vectores. \[\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{1}{5}\sqrt{5}&-\frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6} &\frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}&\frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{1}{10}\sqrt{5} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6} \\ \frac{1}{10}\sqrt{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}&-\frac{9}{10}\end{array}\right].\nonumber\]\[\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{1}{5}\sqrt{5}&-\frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6}&\frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}&\frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{array}\right]\nonumber\]
Explicar por qué una matriz\(A\) es simétrica si y sólo si existe una matriz ortogonal\(U\) tal que\(A = U^TDU\) para\(D\) una matriz diagonal.
- Contestar
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Si\(A\) viene dado por la fórmula, entonces\[A^T=U^TD^TU=U^TDU=A\nonumber\] Siguiente supongamos\(A = A^T\). Entonces por los teoremas sobre matrices simétricas, existe una matriz ortogonal\(U\) tal que\[UAU^T=D\nonumber\] para\(D\) diagonal. De ahí\[A=U^TDU\nonumber\]
Mostrar que si\(A\) es una matriz simétrica real\(λ\) y y\(µ\) son dos valores propios diferentes, entonces si\(X\) es un vector propio para\(λ\) y\(Y\) es un vector propio para\(µ\), entonces\(X •Y = 0\). También todos los valores propios son reales. Motivos de suministro para cada paso en el siguiente argumento. Primero\[\lambda X^T\overline{X}=(AX)^T\overline{X}=X^TA\overline{X}=X^T\overline{AX}=X^T\overline{\lambda X}=\overline{\lambda}X^T\overline{X}\nonumber\] y así\(\lambda=\overline{\lambda}\). Esto demuestra que todos los valores propios son reales. De ello se deduce que todos los vectores propios son reales. ¿Por qué? Ahora dejemos\(X,\: Y,\:µ\) y\(λ\) se den como arriba. \[\lambda (X\bullet Y)=\lambda X\bullet Y=AX\bullet Y=X\bullet AY=X\bullet\mu Y=\mu (X\bullet Y)=\mu (X\bullet Y)\nonumber\]y entonces\[(\lambda -\mu )X\bullet Y=0\nonumber\] ¿Por qué sigue eso\(X\bullet Y=0\)?
- Contestar
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Ya que\(\lambda\neq\mu\), se sigue\(X\bullet Y=0\).
Encuentra la factorización Cholesky para la matriz\[\left[\begin{array}{ccc}1&2&0 \\ 2&6&4\\0&4&10\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra la factorización Cholesky para la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}4&8&0\\8&17&2\\0&2&13\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra la factorización Cholesky para la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}4&8&0\\8&20&8\\0&8&20\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra la factorización Cholesky para la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&8&10\\1&10&18\end{array}\right]\nonumber\]
Encuentra la factorización Cholesky para la matriz\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&8&10\\1&10&26\end{array}\right]\nonumber\]
Supongamos que tiene una matriz triangular inferior\(L\) y es invertible. \(LL^T\)Demostrar que debe ser positivo definitivo.
Utilizando el proceso de Gram Schmidt o la\(QR\) factorización, encuentra una base ortonormal para el siguiente lapso:\[span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
- Contestar
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Usando la\(QR\) factorización, tenemos:\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&-1&0\\1&3&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{3}{10}\sqrt{2}&\frac{7}{15}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6}&-\frac{2}{5}\sqrt{2}&-\frac{1}{15}\sqrt{3} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\sqrt{6}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{5}{2}\sqrt{2}&\frac{3}{10}\sqrt{2} \\ 0&0&\frac{7}{15}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\] Una solución es entonces\[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{3}{10}\sqrt{2} \\ -\frac{2}{5}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{7}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\]
Utilizando el proceso de Gram Schmidt o la\(QR\) factorización, encuentra una base ortonormal para el siguiente lapso:\[span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\\1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
- Contestar
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\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&-1&0\\1&3&0\\0&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{5}{111}\sqrt{3}\sqrt{37}&\frac{7}{111}\sqrt{111} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6}&-\frac{2}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{1}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}&-\frac{2}{111}\sqrt{111} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3}&-\frac{17}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}&-\frac{1}{37}\sqrt{111} \\ 0&\frac{1}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{22}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}&-\frac{7}{111}\sqrt{111}\end{array}\right]\nonumber\]\[\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\sqrt{6}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ 0&0&\frac{1}{9}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ 0&0&0\end{array}\right]\nonumber\]Entonces una solución es\[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{2}{9}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{5}{111}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{1}{333}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ -\frac{17}{333}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{22}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}\end{array}\right]\nonumber\]
- \(\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&3&4\\0&0&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{cc}2&1\\2&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\-1&2\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{cc}1&1\\2&3\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rrr}\sqrt{11}&1&3\sqrt{6} \\ \sqrt{11}&7&-\sqrt{6} \\ 2\sqrt{11}&-4&-\sqrt{6}\end{array}\right]\)Pista: Observe que las columnas son ortogonales.
Usando un sistema de álgebra computacional, encuentre una factorización QR para las siguientes matrices.
- \(\left[\begin{array}{rrr}1&1&2\\3&-2&3\\2&1&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rrrr}1&2&1&3\\4&5&-4&3\\2&1&2&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\3&2\\1&-4\end{array}\right]\)Encuentra la factorización QR delgada de ésta.
Una forma cuadrática en tres variables es una expresión de la forma\(a_1x^2 + a_2y^2 + a_3z^2 + a_4xy+a_5xz+a_6yz\). Mostrar que cada una de esas formas cuadráticas puede escribirse como\[\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber\] donde\(A\) hay una matriz simétrica.
- Contestar
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\[\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a_1&a_4/2&a_5/2 \\ a_4/2&a_2&a_6/2 \\ a_5/2&a_6/2&a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber\]
Dada una forma cuadrática en tres variables,\(x, y,\) y\(z\), muestran que existe una matriz ortogonal\(U\) y variables\(x′ , y ′ ,z ′\) tales que\[\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=U\left[\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right]\nonumber\] con la propiedad de que en términos de las nuevas varaibles, la forma cuadrática es\[\lambda_1(x')^2+\lambda_2(y')^2+\lambda_3(z')^2\nonumber\] donde los números,\(\lambda_1\),\(\lambda_2\), y \(\lambda_3\)son los valores propios de la matriz\(A\) en Ejercicio\(\PageIndex{78}\).
- Contestar
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La forma cuadrática puede escribirse como\[\vec{x}^TA\vec{x}\nonumber\] dónde\(A = A^T\). Por el teorema sobre la diagonalización de una matriz simétrica, existe una matriz ortogonal\(U\) tal que\[U^TAU=D,\:A=UDU^T\nonumber\] Entonces la forma cuadrática es\[\vec{x}^TUDU^T\vec{x}=(U^T\vec{x})^TD(U^T\vec{x})\nonumber\] donde\(D\) está una matriz diagonal que tiene los valores propios reales de\(A\) abajo de la diagonal principal. Ahora simplemente deja\[\vec{x}'=U^T\vec{x}\nonumber\]
Considerar la forma cuadrática\(q\) dada por\(q = 3x_1^2 −12x_1x_2 −2x_2^2\).
- Escribir\(q\) en el formulario\(\vec{x}^TA\vec{x}\) para una matriz simétrica apropiada\(A\).
- Usa un cambio de variables para reescribir\(q\) para eliminar el\(x_1x_2\) término.
Considerar la forma cuadrática\(q\) dada por\(q = −2x_1^2 +2x_1x_2 −2x_2^2\).
- Escribir\(q\) en el formulario\(\vec{x}^TA\vec{x}\) para una matriz simétrica apropiada\(A\).
- Usa un cambio de variables para reescribir\(q\) para eliminar el\(x_1x_2\) término.
Considerar la forma cuadrática\(q\) dada por\(q = 7x_1^2 +6x_1x_2 −x_2^2\).
- Escribir\(q\) en el formulario\(\vec{x}^TA\vec{x}\) para una matriz simétrica apropiada\(A\).
- Usa un cambio de variables para reescribir\(q\) para eliminar el\(x_1x_2\) término.