1.3: Interpretación geométrica de las operaciones aritméticas

Suma y resta

Geométricamente, suma de dos números complejos\(Z1\) y se\(Z2\) puede visualizar como adición de los vectores mediante el uso de la ley del paralelogramo. La suma vectorial\(Z1+Z2\) está representada por la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores originales.

La forma más fácil de representar la diferencia\(Z1−Z2\) es pensar en términos de agregar un vector negativo\(Z1+(−Z2)\). El vector negativo es el mismo vector que su contraparte positiva, solo apuntando en la dirección opuesta.

Utilice el siguiente applet para explorar esta interpretación geométrica. Activa las casillas de abajo para mostrar la suma o sustracción. También puedes arrastrar los puntos\(Z1\) y\(Z2\) alrededor.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Se puede pensar en una interpretación geométrica de la adición de tres números complejos? En general, ¿cuál sería una interpretación geométrica de la adición de números\(n\) complejos?

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Multiplicación

En la sección anterior definimos la multiplicación de dos números complejos\(Z_{1}\) y\(Z_{2}\) como

\(Z_{1}Z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\).

En este caso, para apreciar lo que sucede geométricamente necesitamos considerar la forma polar de\(\) y\(\). Eso es

\(Z_{1}=r_{1}(cos\phi _{1}+isin\phi _{1})\)

\(Z_{2}=r_{2}(cos\phi _{2}+isin\phi _{2})\)

Entonces el producto se puede escribir en el formulario

\(Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[(cos\phi _{1}cos\phi _{2}-sin\phi _{1}sin\phi _{2})+i(sin\phi _{1}cos\phi _{2}+cos\phi _{1}sin\phi _{2})]\)

Ahora por medio de los teoremas de adición del seno y coseno esta expresión puede simplificarse a

\(Z_{1}Z_{2}=r_{1}r_{2}[cos(\phi _{1}+\phi _{2})+isin(\phi _{1}+\phi _{2})]\).

Así el producto\(Z_{1}Z_{2}\) tiene el módulo\(r_{1}r_{2}\) y el argumento\(\phi _{1}+\phi _{2}\).

En el siguiente applet, se puede apreciar lo que sucede con el argumento del producto. Arrastre los puntos\(Z_{1}\) y\(Z_{2}\) alrededor y observe el comportamiento de los ángulos. A continuación, arrastre el control deslizante de abajo.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Considerar ahora

\(Z_{1}=r_{1}(cos\phi _{1}+isin\phi _{1})\)

\(Z_{2}=r_{2}(cos\phi _{2}+isin\phi _{2})\)

tal que\(Z_{2}\neq 0\). Encuentra la representación polar de\(\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\). ¿Cuál es la interpretación geométrica de esta expresión?

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Multiplicación de números complejos como estiramiento (compresión) y rotación

En el applet de abajo se definen aleatoriamente un conjunto de puntos en el plano complejo. Entonces cada punto se multiplica por un número complejo dado\(z\). En la pantalla derecha, arrastre alrededor del punto\(z\) y analice el comportamiento de los puntos (⭕) multiplicados por\(z\) e intente responder las siguientes preguntas:

• ¿Qué sucede cuando\(z\) está dentro o fuera del círculo unitario?
• ¿Qué sucede si\(z\) se mueve solo alrededor del círculo unitario?

Nota: También se puede estudiar el comportamiento de los puntos (⚫) multiplicados\(\frac{1}{z}\) por activar la casilla Multiplicar por 1/z.

Como ya has notado la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos es estirar (o apretar) y rotación de vectores en el plano.

En el applet anterior, con la opción Multiplicar por z, establece n = 1 arrastrando el deslizador hacia el lado izquierdo. En este caso, el applet muestra los tres números complejos

\(z_{0},z\)y\(z_{1}=z_{0}\cdot z\),

representados como vectores. Cuando\(z_{0}\) y no\(z\) son cero, entonces

• el módulo de\(z_{1}\) es igual a\(\left | z_{0}\cdot z \right |\), y
• el argumento de\(z_{1}\) es igual a\(Arg(z_{0}+z)\).

Si\(\left | z \right |> 1\), nos ocupamos del estiramiento. Si\(\left | z \right |< 1\), es un caso de apretar.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usa el mismo applet, con la opción Multiplicar por 1/z, para investigar qué sucede cuando multiplicamos por\(\frac{1}{z}\). Establezca n = 1 arrastrando el control deslizante hacia el lado izquierdo para mostrar los tres números complejos

\(z_{0},z\)y\(z_{2}=z_{0}\cdot \frac{1}{z}\).

¿Qué pasa con el módulo y argumento de\(z_{2}\)?