1.4: El argumento principal

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El Argumento

En este texto\(arg(z)\) se utiliza la notación para designar un argumento arbitrario de\(z\), lo que significa que\(arg(z)\) es un conjunto más que un número. En particular, la relación

\(arg(z_{1})=arg(z_{2})\)

no es una ecuación, sino que expresa la igualdad de dos conjuntos.

Como consecuencia, dos números complejos distintos de cero\(r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})\) y\(r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})\) son iguales si y solo si

\(r_{1}=r_{2}\), y\(\varphi _{1}=\varphi _{2}+2k\pi \),

donde\(k\in \mathbb{Z}\).

Para hacer el argumento de\(z\) un número bien definido, a veces se restringe al intervalo\((-\pi ,\pi ]\). Esta elección especial se llama el valor principal o la rama principal del argumento y se escribe como\(Arg(z)\).

Obsérvese que no existe una convención general sobre la definición del valor principal, a veces se supone que sus valores están en el intervalo\([0 ,2\pi )\). Esta ambigüedad es fuente perpetua de malentendidos y errores.

El argumento principal

El valor principal\(Arg(z)\) de un número complejo\(z=x+iy\) normalmente viene dado por

\(\Theta =arctan(\frac{y}{x})\),

donde\(y/x\) está la pendiente, y arctan convierte la pendiente en ángulo. Pero esto es correcto sólo cuando\(x>0\), así se define el cociente y el ángulo se encuentra entre\(-\pi/2\) y\(\pi/2\). Necesitamos extender esta definición a los casos en los que no\(x\) sea positivo, considerando el valor principal del argumento por separado en los cuatro cuadrantes.

La función\(Arg(z):\mathbb{C}\setminus \left \{ 0 \right \}\rightarrow (-\pi ,\pi ]\) se define de la siguiente manera:

\ (Arg (z) =\ izquierda\ {\ comenzar {matriz}
arctan\ frac {y} {x} & si x> 0, y\ in\ mathbb {R}\\
arctan\ frac {y} {x} +\ pi &ifx< 0, y\ geq 0\\
arctan\ frac {y} {x} -\ pi & ifx< 0, y< 0\\
\ frac {\ pi} {2} & ifx=0, y>0\\
-\ frac {\ pi} {2} & ifx= 0, y< 0\\
indefinido& ifx=0, y= 0
\ end {matriz}\ derecha.\)

Así, si\(z=r(cos\Theta +isin\Theta )\), con\(r>0\) y\(-\pi <\Theta <\pi \), entonces

\(arg(z)=Arg(z)+2n\pi\),\(n\in \mathbb{Z}\).

Podemos visualizar la naturaleza de múltiples valores\(\) mediante el uso de superficies Riemann. El siguiente interactivo muestra algunos de los valores infinitos de\(\). Cada rama se identifica con un color diferente.