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LibreTexts Español

1.5: Raíces de números complejos

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    114163
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    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Recordemos que si\(z=x+iy\) es un número complejo distinto de cero, entonces se puede escribir en forma polar como

    \(z=r(cosθ+isinθ)\)

    donde\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) y\(\theta \) es el ángulo, en radianes, desde el eje x positivo hasta el rayo que conecta el origen con el punto\(z\).

    Ahora bien, la fórmula de de Moivre establece que si\(z=r(cosθ+isinθ)\) y\(n\) es un entero positivo, entonces

    \(z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )\)

    Dejar\(w\) ser un número complejo. Usar la fórmula de Moivre nos ayudará a resolver la ecuación

    \(z^{n}=w\)

    para\(z\) cuando\(w\) se da.

    Supongamos que\(w=r(cosθ+isinθ)\) y\(z=\rho(cos\psi +isin\psi )\) Entonces la fórmula de Moivre da

    \(z^{n}=\rho ^{n}(cosn\psi +isinn\psi )\)

    De ello se deduce que

    \(\rho ^{n}=r=\left | w \right |\)

    por la singularidad de la representación polar y

    \(n\Psi =\theta +k(2\pi )\),

    donde\(k\) es algún número entero. Así

    \(z=\sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})+isin(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})]\).

    Cada valor de\(k=0,1,2,…,n−1\) da un valor diferente de\(z\). Cualquier otro valor de\(k\) simplemente repite uno de los valores de\(z\) correspondiente a\(k=0,1,2,…,n−1\). Por lo tanto, hay\(n\) exactamente las raíces de un número complejo distinto de cero.

    Usando la fórmula de Euler:

    \(e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta \),

    el número complejo también se\(z=r(cos\theta +isin\theta) \\) puede escribir en forma exponencial como

    \(z=re^{i\theta }\)

    Por lo tanto, las raíces\(n\) th de un número complejo distinto de cero también se\(z≠0\) pueden expresar como

    \ (\ begin {eqnarray}\ label {expform}
    z=\ sqrt [n] {r}\;\ mbox {exp}\ izquierda [i\ left (\ frac {\ theta} {n} +\ frac {2k\ pi} {n}\ derecha)\ derecha]
    \ end {eqnarray}\)

    donde\(k=0,1,2,...,n-1\).

    El applet a continuación muestra una representación geométrica de las raíces\(n\) th de un número complejo, hasta\(n=10\). Arrastre el punto rojo alrededor para cambiar el valor de\(z\) o arrastre los controles deslizantes.

    Código

    Ingresa el siguiente script en GeoGebra para explorarlo tú mismo y hacer tu propia versión. El símbolo # indica comentarios.

    #Complex number
        
    Z = 1 + ί
    
    #Modulus of Z
    
    r = abs(Z)
    
    #Angle of Z
    
    theta = atan2(y(Z), x(Z))
    
    #Number of roots
    
    n = Slider(2, 10, 1, 1, 150, false, true, false, false)
    
    #Plot n-roots
    
    nRoots = Sequence(r^(1 / n) * exp(  ί * ( theta / n + 2 * pi * k / n ) ), k, 0, n-1)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    A partir de la forma exponencial (1) de las raíces, muestran que todas las raíces\(n\) th se encuentran en el círculo\(\left | z \right |=\sqrt[n]{r}\) alrededor del origen y están igualmente espaciadas cada\(\frac{2\pi }{n}\) radianes, comenzando por el argumento\(\frac{\theta }{n}\).


    This page titled 1.5: Raíces de números complejos is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Juan Carlos Ponce Campuzano.