2.3: Diferenciación compleja

La noción de la derivada compleja es la base de la teoría de funciones complejas. La definición de derivado complejo es similar a la derivada de una función real. Sin embargo, a pesar de una similitud superficial, la diferenciación compleja es una teoría profundamente diferente.

Una función compleja\(f(z)\) es diferenciable en un punto\(z_{0}\in \mathbb{C}\) si y solo si existe el siguiente cociente de diferencia límite

\ (\ begin {eqnarray}\ label {diff01}
f' (z_0) =\ lim_ {z\ rightarrow z_0}\ frac {f (z) -f (z_0)} {z-z_0}.
\ end {eqnarray}\)

Alternativamente, dejando\(\Delta z= z-z_{0}\), podemos escribir

\ (\ begin {eqnarray}\ label {diff02}
f' (z_0) =\ lim_ {\ Delta z\ rightarrow 0}\ frac {f (z_0+\ Delta z) -f (z_0)} {\ Delta z}.
\ end {eqnarray}\)

A menudo soltamos el subíndice\(z_{0}\) e introducimos el número

\(\Delta w=f\left ( z+\Delta z \right )-f\left ( z \right )\).

que denota el cambio en el valor\(w=f(z)\) correspondiendo a un cambio\(Δz\) en el punto en el que\(f\) se evalúa. Entonces podemos escribir la ecuación (2) como

\(\frac{dw}{dz}=\lim_{Δz\rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}\).

A pesar de que la fórmula (1) para una derivada es idéntica en forma a la de la derivada de una función de valor real, un punto significativo a tener en cuenta es el que se\({f}'\left ( z_{0} \right )\) desprende de un límite bidimensional. Así,\({f}'\left ( z_{0} \right )\) para que exista, el límite relevante debe existir independientemente de la dirección desde la que se\(z\) aproxime al punto límite\(z_{0}\). Para una función de una variable real solo tenemos dos direcciones, es decir,\(x<x_{0}\) y\(x>x_{0}\).

 

Figura 1: Hay una infinita variedad de direcciones para acercarse\(z_{0}\).

Una característica notable de la diferenciación compleja es que la existencia de un derivado complejo implica automáticamente la existencia de infinitamente muchos! Esto contrasta con el caso de la función de variable real\(g(x)\), en la que\(g′(x)\) puede existir sin la existencia de\(g″(x)\).

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Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Ahora veamos una notable consecuencia de la definición (1). Primero veremos qué sucede cuando nos acercamos por\(z_{0}\) las dos direcciones más simples: horizontal y vertical. Si establecemos

\(z=z_{0}+h=\left ( x_{0} +h\right )+iy_{0}\),\(h\in \mathbb{R}\),

luego\(z\rightarrow z_{0}\) a lo largo de una línea horizontal como\(h→0\). Si escribimos ff en términos de sus componentes reales e imaginarios, es decir

\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\),

entonces

\({f}'\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+h \right )-f\left ( z_{0} \right )}{h}\)

entonces

\({f}'\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+h \right )-f\left ( z_{0} \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+h+iy_{0} \right )-f\left ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{h}\\=\lim_{h\rightarrow 0}\left [ \frac{u\left ( x_{0}+h,y_{0} \right )-u\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h} \right ]+i\lim_{h\rightarrow 0}\left [ \frac{v\left ( x_{0}+h,y_{0} \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h}\right ]\\=u_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )+iv_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\)

donde\(u_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) y\(v_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) denotan las derivadas parciales de primer orden con respecto a\(x\) la función\(u\) y\(v\), respectivamente, at\(\left ( x_{0},y_{0} \right )\). Si ahora establecemos

\(z=z_{0}+ik=x_{0}+i\left ( y_{0} +k\right )\),\(k\in \mathbb{R}\),

luego\(z→0\) a lo largo de una línea vertical como\(k→0\). Por lo tanto, también tenemos

\({f}'\left ( z_{0} \right )=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+ik \right )-f\left ( z_{0} \right )}{ik}=\lim_{k\rightarrow 0}\left [  -i\frac{f\left ( x_{0}+i\left ( y_{0} +k\right )\right )-f\left ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{k}\right ]\\=\lim_{k\rightarrow 0}\left [ \frac{v\left ( x_{0},y_{0}+k \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{k} -i\frac{u\left ( x_{0},y_{0}+k \right )-u\left (x_{0},y_{0}  \right )}{k}\right ]\\=v_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )-iu_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\)

donde las derivadas parciales de\(u\) y\(v\) son, esta vez, con respecto a\(y\). Al igualar las partes real e imaginaria de estas dos fórmulas para la derivada compleja\({f}'\left ( z_{0}\), notamos que los componentes real e imaginario de\(f(z)\) deben satisfacer un sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales parciales:

\(u_{x}=v_{y}\),\(u_{y}=-v_{x}\).

Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann que llevan el nombre de los famosos matemáticos del siglo XIX Augustin-Louis Cauchy y Bernhard Riemann, dos de los fundadores del análisis complejo moderno.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Una función compleja\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) tiene una derivada compleja\(f′(z)\) si y solo si su parte real e imaginaria son continuamente diferenciables y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

\(u_{x}=v_{y}\),\(u_{y}=-v_{x}\)

En este caso, la derivada compleja de\(f(z)\) es igual a cualquiera de las siguientes expresiones:

\({f}'\left ( z \right )=u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considere la función\(f\left ( z \right )=z^{2}\), que puede escribirse como

\(z^{2}=\left ( x^{2}-y^{2} \right )+i\left ( 2xy \right )\).

Su parte real\(u^{2}=x^{2}-y^{2}\) y su parte imaginaria\(v=2xy\) satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ya que

\(u_{x}=2x=v_{y}\),\(u_{y}=-2y=-v_{x}\).

El teorema 1 implica que\(f\left ( z \right )=z^{2}\) es diferenciable. Su derivado resulta ser

\({f}'\left ( z \right )=u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}=2x+i2y=2\left ( x+iy \right )=2z\).

Afortunadamente, la derivada compleja tiene todas las reglas habituales que hemos aprendido en el cálculo de variables reales. Por ejemplo,

\(\frac{d}{dz}z^{n}=nz^{n-1}\),\(\frac{d}{dz}e^{cz}=ce^{cz}\),\(\frac{d}{dz}log\,z=\frac{1}{z}\)

y así sucesivamente. En este caso, el poder\(n\) puede ser un número real (o incluso complejo en vista de la identidad\(z^{n}=e^{n}log\,z\)), mientras que\(c\) es cualquier constante compleja. Las fórmulas exponenciales para las funciones trigonométricas e hiperboicas complejas implican que también satisfacen las reglas estándar

\(\frac{d}{dz}sin\,z=cos\,z\),\(\frac{d}{dz}cos\,z=-sin\,z\)

\(\frac{d}{dz}sinh\,z=cosh\,z\),\(\frac{d}{dz}cosh\,z=sinh\,z\)

Las fórmulas para diferenciar sumas, productos, ratios, inversos y composiciones de funciones complejas son todas idénticas a sus contrapartes reales, con pruebas similares. ¡Esto significa que no necesitas aprender nuevas reglas para realizar una diferenciación compleja!

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Funciones analíticas

Vamos\(f:A\rightarrow \mathbb{C}\) donde\(A\subset \mathbb{C}\) es un conjunto abierto. Se dice que la función es analítica sobre\(A\) si\(f\) es diferenciable en cada uno\(z_{0}\in A\). La palabra “holomórfico”, que a veces se emplea, es sinónimo de la palabra “analítico”. La frase “analítico en\(z_{0}\) ” significa\(f\) es analítica en un vecindario de\(z_{0}\)