3.3: Paisajes analíticos

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Una breve historia

Un concepto tradicional para visualizar funciones complejas es el llamado paisaje analítico. Probablemente introducido por Edmond Maillet en 1903, representa la gráfica del valor absoluto de una función.

En la primera mitad del siglo anterior los paisajes analíticos se hicieron bastante populares. La Figura 1 reproduce una ilustración histórica del libro Funktionentafeln mit Formeln und Kurven de Jahnke y Emde de 1909. Muestra el paisaje analítico de la compleja función Gamma y alcanzó un estatus casi icónico. ¡Hoy es difícil creer que esta imagen detallada dibujada a mano pueda crearse sin la ayuda de computadoras!

En la era de las ilustraciones en blanco y negro esta deficiencia a menudo se compensaba dotando al paisaje analítico de líneas de argumento constante como en la figura anterior, donde el argumento se indica explícitamente por su valor numérico. La tecnología informática moderna nos permite lograr el mismo efecto mucho mejor usando colores, lo que produce el paisaje analítico coloreado que se muestra en la Figura 2.

GRAFO INTERACTIVO

Figura 2: Paisaje analítico coloreado de\(\Gamma (z)\).

Exploración dinámica

Las funciones complejas f:\mathbb {C}\ fila derecha\ mathbb {C} se pueden visualizar trazando la función g:\mathbb {R}\ fila derecha\ mathbb {R} con

\(g\left ( x,y \right )=\left | f(x+iy) \right |\).

El color de cada punto\((x,y,g(x,y))\) indica la fase (o argumento) del número complejo\(f(x+iy)\).

En el applet de abajo puedes explorar paisajes analíticos coloreados. Usa el deslizador azul del lado derecho para alejar/acercar el zoom. El deslizador negro define un escalar real\(a\in \left [ -0.14,1.14 \right ]\).

GRAFO INTERACTIVO

En la práctica, a menudo es difícil generar paisajes analíticos que nos permitan leer las propiedades de la función compleja de manera fácil y precisa. Un enfoque alternativo no solo es más simple sino aún más general: en lugar de dibujar una gráfica\(\mathbb{R}^{3}\), podemos representar una función directamente en su dominio codificando por color sus valores por completo. Este método se llama coloración de dominio.

Nota: El último applet fue escrito por Aaron Montag usando CindyJS. El código fuente se puede encontrar en GitHub.