4.3: Integrales de Funciones con Cortes de Rama
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Cuando consideramos funciones de múltiples valores, la ruta en una integral de contorno puede contener un punto en un corte de rama del integrando involucrado. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.
Ejemplo 1
Dejar\(C\) ser el camino semicircular de\(z_{0}=3\) a\(z_{1}=-3\). Es decir\(z\left ( \theta \right )=3e^{i\theta }\), con\(0\leq \theta \leq \pi \). Aquí nos gustaría evaluar la integral
\ (\ begin {eqnarray}\ label {ex-01}
I =\ int_c z^ {1/2} dz.
\ end {eqnarray}\)
Para ello, tenemos que elegir una rama particular de la función de múltiples valores\(z^{1/2}\). Por ejemplo, usaremos la rama principal
\ (\ begin {eqnarray}
|z|> 0,\; -\ pi\ lt\ textbf {Arg}\, (z)\ lt\ pi.
\ end {eqnarray}\)
En este caso, observe que aunque la rama principal de no\(z^{1/2}=exp\left ( \frac{1}{2} Log\,z\right )\) está definida en el punto final\(z_{1}=-3\) del contorno\(C\), la integral existe\(I\) sin embargo.
Utilice el siguiente applet para explorar el valor de\(I\) para el contorno dado\(C\). Simplemente arrastre los puntos\(z_{0}\) y\(z_{1}\) a los valores correspondientes. También puedes seleccionar otros contornos y explorar qué sucede cuando cruzan el corte de rama\(\left \{ z:x=0\,and\,y\leq 0 \right \}\).
GRAFO INTERACTIVO
Como ya lo has descubierto, la integral (1) existe porque el integrando es continuo por tramos\(C\). Para confirmar esto, observe que cuando\(z\left ( \theta \right )=3e^{i\theta }\), entonces
\(f\left ( z\left ( \theta \right ) \right )=exp\left ( \frac{1}{2}ln3+i\theta \right )=\sqrt{3}e^{i\theta /2}\).
Los límites de la izquierda de los componentes reales e imaginarios de la función
\ (\ begin {eqnarray*}
f\ izquierda (z (\ theta)\ derecha) z' (\ theta) &=&\ sqrt {3} e^ {i\ theta/2}\ cdot 3ie^ {i\ theta}\\
&=& 3\ sqrt {3} i\, e^ {i3\ theta/2}\\
&=& -3\ sqrt {3}\ sin\ frac {3\ theta} {2} + i\, 3\ sqrt {3}\ cos\ frac {3 \ theta} {2}\ quad (0\ leq\ theta\ lt
\ pi)\\
\ final {eqnarray*}\)
en\(\theta =\pi \) existir. Eso es
\ (\ begin {eqnarray*}
\ lim_ {\ theta\ fila derecha\ pi+} -3\ sqrt {3}\ sin\ frac {3\ theta} {2} = 3\ sqrt {3}
\ quad\ texto {y}\ quad\ lim_ {\ theta\ fila derecha\ pi+} 3\ sqrt {3}\ cos\ frac {3\ theta} {2} = 0. \\
\ fin {eqnarray*}\)
Esto significa que\(f(z(θ))z′(θ)\) es continuo en el intervalo cerrado\(0 \leq \theta \leq \pi\) cuando su valor at\(\theta = \pi\) se define como\(3\sqrt{3}\). Por lo tanto
\ (\ begin {eqnarray*}
yo &=&\ int_c f\ izquierda (z (\ theta)\ derecha) z' (\ theta)\, d\ theta= 3\ sqrt {3} i\ int_0^ {\ pi} e^ {i\ theta /2} d\ theta
= 3\ sqrt {3} i\ Bigg [\ bigg. \ frac {2} {3i} e^ {i3\ theta /2}\ big|_ {0} ^ {\ pi}\ Bigg]\\
&=& 3\ sqrt {3} i\ Bigg [-\ frac {2} {3i}\ izquierda (1+i\ derecha)\ Bigg] = -2\ sqrt {3} (1+i).
\ end {eqnarray*}\)
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Ejercicio 1: Evaluar\(\int_C z^{1/2}\, dz\) para el contorno\(C: z(\theta)= e^{i\theta}\), con\(-\pi\leq \theta \leq \pi\). Puedes usar el applet para confirmar tus resultados.
Comentario 1: No se puede evaluar la integral para el contorno\(C: z(t)= e^{it}\), con\(0 \leq t \leq 2\pi\). ¿Por qué?
OBSERVACIÓN 2: Observe que\(\int_C z^{1/2}\, dz=0\) para cualquier círculo que no interseca la rama corta\(\{z\,:\, x =0 \text{ and } y \leq 0\}\). ¿Por qué?
Ejemplo 2
Considerar la rama principal
\ (\ begin {eqnarray}\ label {br}
f (z) =z^ {i} =\ exp\ left [i\,\ text {Log} z\ derecha]\;\ text {con}\; |z|>0,\, -\ pi\ lt\ text {Arg} z\ lt\ pi
\ end {eqnarray}\)
y\(C\) el semicírculo superior de\(z=−1\) a\(z=1\); es decir,\(z(t)=-e^{-i \pi t}\) con\(0≤t≤1\).
No es difícil verificar que
\ (\ begin {eqnarray}\ label {ex-02}
I=\ int_c z^ {i}\, dz &=&\ frac {1+e^ {-\ pi}} {2}\, (1-i).
\ end {eqnarray}\)
Utilice el siguiente applet para confirmar esto. También puedes analizar\(\int_C z^idz\) para otros contornos.
GRAFO INTERACTIVO
OBSERVACIÓN 3: Observe que\(\int_C z^{i}\, dz=0\) para cualquier círculo que no interseca la rama corta\(\{z\,:\, x =0, y \leq 0\}\). ¿Por qué?
En general, podemos calcular\(\int\) para cualquier contorno\(C\) desde\(z=−1\) hasta\(z=1\) situarse por encima del eje real. Solo necesitamos encontrar un antiderivado de\(z^{i}\). Desafortunadamente, no podemos usar la rama principal, definida en (3), ya que esta rama ni siquiera se define en\(z=−1\). Pero el integrando puede ser reemplazado por la rama
\(z^{i} = \exp \left[ i \,\text{log } z \right]\; \text{ with }\; |z|>0,\, -\frac{\pi}{2}\lt \text{arg } z \lt \frac{3\pi}{2}.\)
ya que concuerda con el integrand a lo largo\(C\).
Utilizando un antiderivado de esta nueva rama, obtenemos
\ (\ begin {eqnarray}\ label {valor}
\ int_ {-1} ^ {1} z^i dz&=&\ Bigg. \ frac {z^ {i+1}} {i+1}\ Bigg|_ {-1} ^ {1} =\ frac {1+e^ {-\ pi}} {2}\, (1-i),
\ end {eqnarray}\)
que es el mismo valor que (4).
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
\(\bigg.\frac{z^{i+1}}{i+1}\bigg|_{-1}^{1}\)Evaluar para confirmar el valor de (5).