5.1: Serie

 

 

Serie

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Convergencia de Secuencias

Una secuencia infinita\(\left\{z_1,z_2,z_3 \ldots\right\}\) de números complejos tiene un límite\(z\) si, para cada número positivo\(ε\), existe un entero positivo\(n_0\) tal que

\ (\ begin {eqnarray}\ label {seq}
\ izquierda|z_n-z\ derecha|<\ varepsilon\ quad\ text {whenever}\ quad n > n_0.
\ end {eqnarray}\)

Geométricamente, esto significa que para valores suficientemente grandes de\(n\), los puntos se\(z_n\) encuentran en cualquier\(ε\) vecindario dado de\(z\) (Figura 1). Dado que podemos elegir\(ε\) lo pequeño que queramos, se deduce que los puntos\(z_n\) se acercan arbitrariamente a\(z\) medida que aumentan sus subíndices. Tenga en cuenta que el valor de\(n_0\) que se necesite dependerá, en general, del valor de\(ε\).

Figura 1: Interpretación geométrica.

La secuencia\(\left\{z_n\right\}_{n=1}^{\infty}\) puede tener como máximo un límite. Es decir, un límite\(z\) es único si existe. Cuando ese límite existe, se dice que la secuencia converge a\(z\); y escribimos

\ (\ begin {eqnarray*}
\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} z_n=z
\ end {eqnarray*}\)

Si la secuencia no tiene límite, diverge.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(z_n=x_n+iy_n\left ( n=1,2,3,\ldots ​\right )\) y\(z=x+iy\). Entonces

\ (\ begin {eqnarray}\ label {teoseq01}
\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} z_n=z
\ end {eqnarray}\)

si y solo si

\ (\ begin {eqnarray}\ label {teoseq02}
\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} x_n=x\ quad\ text {y}\ quad\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} y_n=y.
\ end {eqnarray}\)

Prueba

Para probar este teorema, primero asumimos que las condiciones (3) se mantienen. Es decir, existen, para cada uno\(ε>0\), enteros positivos\(n_1\) y\(n_2\) tales que

\(|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \text{whenever} \quad n>n_1\)

y

\(|y_n-y|<\frac{\varepsilon}{2}\quad \text{whenever} \quad n>n_2.\)

De ahí\(n_0\) que si es el mayor de los dos enteros\(n_1\) y\(n_2\),

\ (|x_n-x|<\ frac {\ varepsilon} {2}\ quad\ texto {y}\ quad |y_n-y|<\ frac {\ varepsilon} {2}\ quad
\ texto {siempre}\ quad n > n_0.\)

Desde

\(|(x_n+iy_n)-(x+iy)|=|(x_n-x)+(y_n-y)|\leq |x_n-x|+|y_n-y|,\)

entonces

\(|z_n-z|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \quad \text{whenever} \quad n > n_0.\)

Por lo tanto la condición (2) se mantiene.

Por el contrario, si empezamos con la condición (2), sabemos que para cada número positivo\(\varepsilon\), existe un entero positivo\(n_0\) tal que

\(|(x_n+iy_n)-(x+iy)|<\varepsilon \quad \text{whenever} \quad n>n_0.\)

Sin embargo

\(|x_n-x|\leq |(x_n-x)+(y_n-y)|=|(x_n+iy_n)-(x+iy)|\)

y

\(|y_n-y|\leq |(x_n-x)+(y_n-y)|=|(x_n+iy_n)-(x+iy)|.\)

Consecuentemente

\ (|x_n-x|<\ varepsilon\ quad\ text {y}\ quad |y_n-y|<\ varepsilon\ quad\ texto {siempre}\ quad n
> n_0.\)

Por lo tanto, se cumplen las condiciones (3). ■

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Convergencia de Serie

Una serie infinita

\ (\ begin {eqnarray}\ label {series01}
\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} z_n=z_1+z_2+z_3+\ cdots
\ end {eqnarray}\)

de números complejos converge a la suma\(S\) si la secuencia

\ (\ begin {eqnarray}\ label {suma parcial}
\ suma_ {n=1} ^ {N} z_n=z_1+z_2+z_3+\ cdots +z_n\ quad (N=1,2,3,\ ldots)
\ end {eqnarray}\)

de sumas parciales converge a\(S\); luego escribimos

\(\sum_{n=1}^{\infty}z_n=S.\)

Tenga en cuenta que como una secuencia puede tener como máximo un límite, una serie puede tener como máximo una suma. Cuando una serie no converge, decimos que diverge.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(z_n=x_n+iy_n\left ( n=1,2,3,\ldots ​\right )\) y\(S=X+iY\). Entonces

\ (\ begin {eqnarray}\ label {teo01}
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} z_n=s
\ end {eqnarray}\)

si y solo si

\ (\ begin {eqnarray}\ label {teo02}
\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} x_n=x\ quad\ texto {y}\ quad\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} Y_n=y.
\ end {eqnarray}\)

Prueba

Para probar este teorema, primero escribimos las sumas parciales (5) como

\ (\ begin {eqnarray}\ label {teo03}
S_N = x_n+iy_n,
\ end {eqnarray}\)

donde

\(X_N = \sum_{n=1}^{N}x_n \quad \text{and}\quad Y_N = \sum_{n=1}^{N}y_n.\)

Ahora la declaración (6) es verdadera si y solo si

\ (\ begin {eqnarray}\ label {teo04}
\ lim_ {N\ rightarrow\ infty} S_N = S;
\ end {eqnarray}\)

y, en vista de la relación (8) y el teorema 1 sobre las secuencias, limit (9) se mantiene si y solo si

\ (\ begin {eqnarray}\ label {teo05}
\ lim_ {N\ rightarrow\ infty} X_N=X\ quad\ text {y}\ quad\ lim_ {N\ rightarrow\ infty} Y_N=Y.
\ end {eqnarray}\)

Límites (10) por lo tanto implican declaración (6), y a la inversa. Dado que\(X_N=X\) y\(Y_N=Y\) son sumas parciales de la serie (7), se prueba el teorema. ■

Este teorema puede ser útil para demostrar que una serie de propiedades familiares de las series en el cálculo se trasladan a series cuyos términos son números complejos.

Propiedad 1: Si converge una serie de números complejos, el\(n\) -ésimo término converge a cero como\(n\) tiende al infinito.

De la Propiedad 1 se deduce que los términos de las series convergentes están acotados. Es decir, cuando la serie (4) converge, existe una constante positiva\(M\) tal que

\(|z_n| \leq M \; \text{ for each positive integer } n.\)

Otra propiedad importante de series de números complejos que se desprende de una propiedad correspondiente en cálculo es la siguiente.

Propiedad 2: La convergencia absoluta de una serie de números complejos implica la convergencia de esa serie.

Recordemos que la serie (4) se dice que es absolutamente convergente si la serie

\ (\ begin {eqnarray*}\ label {series02}
\ suma_ {n=1} ^ {\ infty} |z_n|=\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ sqrt {x^2_n+y^2_n}\ quad\ quad (z_n=x_n+iy_n)
\ end {eqnarray*}\)

de números reales\(\sqrt{x^2_n+y^2_n}\) converge.

Para establecer el hecho de que la suma de una serie es un número dado\(S\), a menudo es conveniente definir el resto\(ρN\) después de\(N\) términos, utilizando las sumas parciales:

\ (\ begin {eqnarray*}\ label {series03}
\ rho_n=s-s_n
\ end {eqnarray*}\)

Por lo tanto\(S=S_N+\rho_N\). Ahora\(|S_N-S|=|\rho_N-0|\), desde entonces una serie converge a un número\(S\) si y sólo si la secuencia de restos tiende a cero.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Con la ayuda de restos, es fácil verificar que

\ (\ begin {eqnarray*}
\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} z^n=\ frac {1} {1-z}\ quad\ text {siempre}\ quad |z|< 1
\ end {eqnarray*}\)

Solo necesitamos recordar la identidad

\(1+z+z^2+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\)

escribir las sumas parciales

\ (\ begin {eqnarray}
S_N (z) =\ suma_ {n=0} ^ {\ infty} z^n=1+z+z^2+\ cdots+z^ {N-1}\ quad\ quad (z\ neq 1)
\ end {eqnarray}\)

como

\(S_N(z)=\frac{1-z^N}{1-z}.\)

Si

\(S(z)=\frac{1}{1-z}\)

entonces

\(\rho_N(z)=S(z)-S_N(z)=\frac{z^N}{1-z}\quad\quad(z\neq 1).\)

Por lo tanto

\(\left|\rho_N\right|=\frac{|z|^N}{|1-z|}\rightarrow 0\quad\text{only when}\quad |z|<1.\)

En este caso, es claro que los restos\(\rho_N\) tienden a cero cuando\(|z|<1\) pero no cuando\(|z|\geq 1\)

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Exploración de series geométricas

La serie introducida en el ejemplo anterior

\ (\ begin {eqnarray*}
\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} z^n=\ frac {1} {1-z}\ quad\ text {siempre}\ quad |z|< 1
\ end {eqnarray*}\)

se conoce como la serie geométrica.

Utilice el siguiente applet para explorar esta serie. Arrastre el punto\(z\) alrededor. Observe lo que sucede cuando está dentro, afuera o en el borde del círculo unitario. Arrastre el control deslizante para mostrar la suma parcial.

Código

Ingresa el siguiente script en GeoGebra para explorarlo tú mismo y hacer tu propia versión. El símbolo # indica comentarios.

#Complex number
        
Z = 0.72 + ί * 0.61

#Circle of radius 1

c = Circle((0,0), 1)

#Number of terms of the partial series

n = Slider(0, 250, 1, 1, 150, false, true, false, false)

SetValue(n, 250)

#Define the sequence z^n

S = Join({0 + ί * 0, 1 + ί * 0}, Sequence(Z^j, j, 1, n))

#Define partial sum

SP = Sequence(Sum(S, j), j, 1, n + 2)

#Finally join the points of the partial sum

L = Sequence(Segment(Element(SP, j), Element(SP, j + 1)), j, 1, n + 1)