6.2: Potencial complejo- Ejemplos básicos
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Ejemplos básicos
Flujo uniforme
El complejo potencial
\ (\ begin {eqnarray}\ label {uniforme}
F (z) =UE^ {-i\ alpha} z
\ end {eqnarray}\)
corresponde a un flujo uniforme a velocidad\(U\) en una dirección que hace un ángulo con el\(x\) eje.
Aquí estamos interesados en encontrar el campo de velocidad
\(\mathbf V = \left(u(x,y), v(x,y)\right).\)
Pero primero necesitamos obtener la funcion stream\(ψ\), que es el componente imaginario de (1).
Reescritura (1) obtenemos
\ (\ begin {eqnarray*}
F (z) &=& Ue^ {-i\ alpha} z\\
&=& U\ left (\ cos\ alpha - i\ sin\ alpha\ right)\ left (x+iy\ right)\\
&=& U\ left (x\ cos\ alpha + y\ sin\ alpha\ right) + i U\ left (\ y cos\ alpha - x\ sin\ alfa\ derecha ).
\ end {eqnarray*}\)
Así
\ (\ begin {eqnarray*}
\ psi = U\ left (y\ cos\ alpha - x\ sin\ alpha\ right).
\ end {eqnarray*}\)
Por último, desde\(u=\frac{\partial \psi}{\partial y}\) y\(v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}\), tenemos que
\ (\ begin {eqnarray*}
u=U\ cos\ alfa,\ quad v=U\ sin\ alfa.
\ end {eqnarray*}\)
El applet a continuación muestra una simulación del flujo uniforme. Arrastre los controles deslizantes para cambiar los parámetros. Haga clic en el botón Rastrear para mostrar las líneas de transmisión. Haga clic en el botón Campo para mostrar el campo vectorial.
Flujo de punto de estancamiento
El complejo potencial
\ (\ begin {eqnarray*}
F (z) =\ frac {k z^2} {2}
\ end {eqnarray*}\)
corresponde al flujo del punto de estancamiento con fuerza\(k≥0\).
Fuente y fregadero
Una fuente de fuerza\(Q>0\) en el origen está representada por el complejo potencial
\ (\ begin {eqnarray}\ label {fuente-sumidero}
F (z) =\ frac {Q} {2\ pi}\ log z.
\ end {eqnarray}\)
Tenga en cuenta que esta es una función multivalorada, con un punto de ramificación en el origen. Si\(Q<0\), entonces el complejo potencial corresponde a un sumidero.
Es fácil generalizar (2) para un punto arbitrario\((a,b)\) en el plano complejo. El potencial complejo requerido es
\ (\ begin {eqnarray*}
F (z) =\ frac {Q} {2\ pi}\ log (z-c).
\ end {eqnarray*}
\)
donde\(c=a+ib\).
Vortex
Un vórtice de fuerza\(C\) en el origen está representado por el complejo potencial
\ (\ begin {eqnarray*}
F (z) =\ frac {-iC} {2\ pi}\ log z.
\ end {eqnarray*}\)
Esta es nuevamente una función multivalorada. Para\(C>0\), la rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj, y para la\(C<0\) rotación es en
Un vórtice en un punto arbitrario\(c\in \mathbb C\) está representado por el complejo potencial
\ (\ begin {eqnarray*}
F (z) =\ frac {-iC} {2\ pi}\ log (z-c).
\ end {eqnarray*}\)
donde\(c=a+ib\).
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Encuentra los campos de velocidad de los flujos Punto de estancamiento, Source & Sink y Vortex.
Combinando potenciales complejos
Los flujos básicos presentados anteriormente se pueden combinar simplemente superponiendo los potenciales complejos correspondientes.
Por ejemplo, considere un flujo uniforme\(Uz\), con velocidad\(U≥0\), y una fuente\(\frac{Q}{2\pi}\log z\), con\(Q≥0\). Así podemos producir el complejo potencial
\ (\ begin {eqnarray}\ label {comb}
F (z) =Uz+\ frac {Q} {2\ pi}\ log z.
\ end {eqnarray}\)
El siguiente applet muestra el flujo producido por (3). Arrastre los controles deslizantes para cambiar los parámetros.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Encuentre el campo de velocidad del flujo producido por una fuente de fuerza\(Q\) en un flujo uniforme a velocidad\(U\) en la\(x\) dirección -dirección.