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El concepto de semicontinuidad es conveniente para el estudio de máximos y mínimos de algunas funciones discontinuas.

## Definición$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x} \in D$$. Decimos que$$f$$ es menor semicontinuo (l.s.c.) en$$\bar{x}$$ si por cada$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que

$f(\bar{x})-\varepsilon<f(x) \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D .$

Del mismo modo, decimos que$$f$$ es semicontinuo superior (e.s.c.) en$$\bar{x}$$ si por cada$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que

$f(x)<f(\bar{x})+\varepsilon \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D .$

Está claro que$$f$$ es continuo en$$\bar{x}$$ si y sólo si$$f$$ es semicontinuo inferior y semicontinuo superior en este punto.

Figura$$3.6$$: Semicontinuidad inferior.

Figura$$3.7$$: Semicontinuidad superior.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x} \in D$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces$$f$$ es menor semicontinuo en$$\bar{x}$$ si y solo si

$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \geq f(\bar{x}) .$

Del mismo modo,$$f$$ es semicontinuo superior en$$\bar{x}$$ si y solo si

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \leq f(\bar{x}) .$

Prueba

Supongamos que$$f$$ es menor semiconítono en$$\bar{x}$$. Vamos$$\varepsilon > 0$$. Entonces existe$$\delta_{0}>0$$ tal que

$f(\bar{x})-\varepsilon<f(x) \text { for all } x \in B\left(\bar{x} ; \delta_{0}\right) \cap D .$

Esto implica

$f(\bar{x})-\varepsilon \leq h\left(\delta_{0}\right),$

donde

$h(\delta)=\inf _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) .$

Por lo tanto,

$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\sup _{\delta>0} h(\delta) \geq h\left(\delta_{0}\right) \geq f(\bar{x})-\varepsilon .$

Ya que$$\varepsilon$$ es arbitrario, obtenemos$$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \geq f(\bar{x})$$.

Ahora demostramos lo contrario. Supongamos

$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\sup _{\delta>0} h(\delta) \geq f(\bar{x})$

y vamos$$\varepsilon > 0$$. Desde

$\sup _{\delta>0} h(\delta)>f(\bar{x})-\varepsilon ,$

existe$$\delta > 0$$ tal que$$h(\delta)>f(\bar{x})-\varepsilon$$. Esto implica

$f(x)>f(\bar{x})-\varepsilon \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .$

Dado que esto también es cierto para$$x = \bar{x}$$, la función$$f$$ es menor semicontinua en$$\bar{x}$$.

La prueba para la caja semicontinua superior es similar. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x} \in D$$. Entonces$$f$$ es l.s.c. en$$\bar{x}$$ si y sólo si por cada secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ que converge a$$\bar{x}$$,

$\liminf _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right) \geq f(\bar{x}) .$

Del mismo modo,$$f$$ es u.s.c. en$$\bar{x}$$ si y solo si por cada secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ que converge a$$\bar{x}$$,

$\limsup _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right) \leq f(\bar{x}) .$

Prueba

Supongamos que$$f$$ es l.s.c. en$$\bar{x}$$. Entonces para cualquiera$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que (3.12) sostiene. Ya que$$\left\{x_{k}\right\}$$ converge a$$\bar{x}$$, tenemos$$x_{k} \in B(\bar{x} ; \delta)$$ cuando$$k$$ es suficientemente grande. Por lo tanto,

$f(\bar{x})-\varepsilon<f\left(x_{k}\right)$

para tal$$k$$. De ello se deduce que$$f(\bar{x})-\varepsilon \leq \liminf _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)$$. Ya que$$\varepsilon$$ es arbitrario, de ello se deduce que$$f(\bar{x}) \leq \liminf _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)$$.

Ahora demostramos lo contrario. Supongamos$$\liminf _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right) \geq f(\bar{x})$$ y asumamos, a modo de contradicción, que no$$f$$ es l.s.c. at$$\bar{x}$$. Entonces existe$$\bar{\varepsilon}>0$$ tal que para cada$$\delta > 0$$, existe$$x_{\delta} \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D$$ con

$f(\bar{x})-\bar{\varepsilon} \geq f\left(x_{\delta}\right) .$

Aplicando esto para$$\delta_{k}=\frac{1}{k}$$, obtenemos una secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en la$$D$$ que converge a$$\bar{x}$$ con

$f(\bar{x})-\bar{\varepsilon} \geq f\left(x_{k}\right) \text { for every } \mathrm{k} .$

Esto implica

$f(\bar{x})-\bar{\varepsilon} \geq \liminf _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right) .$

Esto es una contradicción. $$\square$$

## Definición$$\PageIndex{2}$$

Vamos$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$. Decimos que$$f$$ es menor semicontinuo en$$D$$ (o menor semicontinuo si no se produce confusión) si es menor semicontinuo en cada punto de$$D$$.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Supongamos que$$D$$ es un conjunto compacto de$$\mathbb{R}$$ y$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ es semicontinuo inferior. Entonces$$f$$ tiene un mínimo absoluto encendido$$D$$. Eso significa que existe$$\bar{x} \in D$$ tal que

$f(x) \geq f(\bar{x}) \text { for all } x \in D .$

Prueba

Primero probamos que$$f$$ está acotado a continuación. Supongamos por contradicción que para cada$$k \in \mathbb{N}$$, existe$$x_{k} \in D$$ tal que

$f\left(x_{k}\right)<-k .$

Dado que$$D$$ es compacto, existe una subsecuencia$$\left\{x_{k_{\ell}}\right\}$$ de la$$\left\{x_{k}\right\}$$ que converge a$$x_{0} \in D$$. Dado que$$f$$ es l.s.c., por Teorema 3.7.2

$\liminf _{\ell \rightarrow \infty} f\left(x_{k_{\ell}}\right) \geq f\left(x_{0}\right) .$

Esto es una contracción porque$$\liminf _{\ell \rightarrow \infty} f\left(x_{k_{\ell}}\right)=-\infty$$. Estos espectáculos$$f$$ se acotan a continuación. Definir

$\gamma=\inf \{f(x): x \in D\} .$

Dado que el conjunto no$$\{f(x): x \in D\}$$ está vacío y delimitado por debajo,$$\gamma \in \mathbb{R}$$.

Que$$\left\{u_{k}\right\}$$ sea una secuencia en$$D$$ tal que$$\left\{f\left(u_{k}\right)\right\}$$ converja a$$\gamma$$. Por la compacidad de$$D$$, la secuencia$$\left\{u_{k}\right\}$$ tiene una subsecuencia convergente$$\left\{u_{k_{\ell}}\right\}$$ que converge a algunos$$\bar{x} \in D$$. Entonces

$\gamma=\lim _{\ell \rightarrow \infty} f\left(u_{k_{\ell}}\right)=\liminf _{\ell \rightarrow \infty} f\left(u_{k_{\ell}}\right) \geq f(\bar{x}) \geq \gamma .$

Esto implica$$\gamma=f(\bar{x})$$ y, por lo tanto,

$f(x) \geq f(\bar{x}) \text { for all } x \in D .$

La prueba ya está completa. $$\square$$

El siguiente teorema se demuestra de manera similar.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Supongamos que$$D$$ es un subconjunto compacto de$$\mathbb{R}$$ y$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ es semicontinuo superior. Entonces$$f$$ tiene un máximo absoluto encendido$$D$$. Es decir, existe$$\bar{x} \in D$$ tal que

$f(x) \leq f(\bar{x}) \text { for all } x \in D .$

Para cada$$a \in \mathbb{R}$$, defina

$\mathscr{L}_{a}(f)=\{x \in D: f(x) \leq a\}$

y

$\mathscr{L}_{a}(f)=\{x \in D: f(x) \leq a\} .$

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

Vamos$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$. Entonces$$f$$ es menor semicontinuo si y solo si$$\mathscr{L}_{a}(f)$$ se cierra en$$D$$ para cada$$a \in \mathbb{R}$$. Del mismo modo,$$f$$ es semicontinuo superior si y solo si$$\mathscr{U}_{a}(f)$$ está cerrado en$$D$$ para cada$$a \in \mathbb{R}$$.

Prueba

Supongamos que$$f$$ es menor semicontinuo. Usando Corolario 2.6.10, vamos a demostrar que por cada secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$\mathscr{L}_{a}(f)$$ que converja a un punto$$\bar{x} \in D$$, obtenemos$$\bar{x} \in \mathscr{L}_{a}(f)$$. Por cada$$k$$, ya que$$x_{k} \in \mathscr{L}_{a}(f)$$,$$f\left(x_{k}\right) \leq a$$.

Dado que$$f$$ es menor semicontinuo en$$\bar{x}$$,

$f(\bar{x}) \leq \liminf _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right) \leq a .$

Así,$$\bar{x} \in \mathscr{L}_{a}(f)$$. De ello se deduce que$$\mathscr{L}_{a}(f)$$ está cerrado.

Ahora demostramos lo contrario. Arreglar cualquier$$\bar{x} \in D$$ y$$\varepsilon > 0$$. Luego el conjunto

$G=\{x \in D: f(x)>f(\bar{x})-\varepsilon\}=D \backslash \mathscr{L}_{f(x)-\varepsilon(f)}$

está abierto en$$D$$ y$$\bar{x} \in G$$. Así, existe$$\delta > 0$$ tal que

$B(\bar{x} ; \delta) \cap D \subset G .$

De ello se deduce que

$f(\bar{x})-\varepsilon<f(x) \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D .$

Por lo tanto,$$f$$ es menor semicontinua. La prueba para la caja semicontinua superior es similar. $$\square$$

Para cada$$a \in \mathbb{R}$$, también definimos

$L_{a}(f)=\{x \in D: f(x)<a\}$

y

$U_{a}(f)=\{x \in D: f(x)>a\} .$

## Corolario$$\PageIndex{6}$$

Vamos$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$. Entonces$$f$$ es menor semicontinuo si y sólo si$$U_{a}(f)$$ está abierto en$$D$$ para cada$$a \in \mathbb{R}$$. Del mismo modo,$$f$$ es semicontinuo superior si y solo si$$L_{a}(f)$$ está abierto en$$D$$ para cada$$a \in \mathbb{R}$$.

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

## Teorema$$\PageIndex{7}$$

Vamos$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$. Entonces$$f$$ es continuo si y solo si para cada uno$$a,b \in \mathbb{R}$$ con$$a < b$$. el conjunto

$O_{a, b}=\{x \in D: a<f(x)<b\}=f^{-1}((a, b))$

es una entrada abierta$$D$$.

Prueba

Supongamos que$$f$$ es continuo. Luego$$f$$ es semicontinuo inferior y semicontinuo superior. Arreglar$$a,b \in \mathbb{R}$$ con$$a < b$$. Entonces

$O_{a, b}=L_{b} \cap U_{a} .$

Por Teorema 3.7.6, el conjunto$$O_{a, b}$$ está abierto ya que es la intersección de dos conjuntos abiertos$$L_{a}$$ y$$U_{b}$$.

Demostremos lo contrario. Solo mostraremos que$$f$$ es semicontinua inferior ya que la prueba de semicontinuidad superior es simiilar. Para cada$$a \in \mathbb{R}$$, tenemos

$U_{a}(f)=\{x \in D: f(x)>a\}=\cup_{n \in \mathbb{N}} f^{-1}((a, a+n))$

Así,$$U_{a}(f)$$ está abierto en$$D$$ ya que es una unión de conjuntos abiertos en$$D$$. Por lo tanto,$$f$$ es menor semicontinuo por Corolario 3.7.6. $$\square$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$f$$ ser la función dada por

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x^ {2}, &\ text {if} x\ neq 0\ text {;}\\
-1, &\ text {if} x=0\ text {.}
\ end {array}\ derecho.\]

Demostrar que$$f$$ es menor semicontinuo.

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Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$f$$ ser la función dada por

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x^ {2}, &\ text {if} x\ neq 0\ text {;}\\
1, &\ text {if} x=0\ text {.}
\ end {array}\ derecho.\]

Demostrar que$$f$$ es semicontinuo superior.

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Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$f, g: D \rightarrow \mathbb{R}$$ ser funciones semicontinuas inferiores y dejar que$$k > 0$$ sea una constante. Demostrar que$$f + g$$ y$$kf$$ son funciones semicontinuas inferiores en$$D$$.

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Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ ser una función semicontinua inferior tal que

$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\infty .$

Demostrar que$$f$$ tiene un mínimo absoluto en algunos$$x_{0} \in \mathbb{R}$$.

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This page titled 3.7: Semicontinuidad Inferior y Semicontinuidad Superior is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Lafferriere, Lafferriere, and Nguyen (PDXOpen: Open Educational Resources) .