3.6: Límite Superior y Límite Inferior de Funciones
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Dejar\(f: E \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Recordemos que
\[B_{0}(\bar{x} ; \delta)=B_{-}(\bar{x} ; \delta) \cup B_{+}(\bar{x} ; \delta)=(\bar{x}-\delta, \bar{x}) \cup(\bar{x}, \bar{x}+\delta) .\]
El límite superior de la función\(f\) at\(\bar{x}\) es definido por
\[\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\inf _{\delta>0} \sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) .\]
Del mismo modo, el límite inferior de la función\(f\) at\(\bar{x}\) es definido por
\[\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\sup _{\delta>0} \inf _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) .\]
Considere la función extendida de valor real\(g:(0, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty]\) definida por
\[g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\vec{x} ; \delta) \cap D} f(x)\]
Está claro que\(g\) va en aumento y
\[\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\inf _{\delta>0} g(\delta) .\]
Decimos que la función\(f\) está delimitada localmente arriba alrededor\(\bar{x}\) si existe\(\delta > 0\) y\(M > 0\) tal que
\[f(x) \leq M \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D .\]
Claramente, si\(f\) está delimitado localmente por encima alrededor\(\bar{x}\), entonces\(\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) es un número real, mientras que\(\limsup _{x \rightarrow z} f(x)=\infty\) en el otro caso. Discusión similar aplica para el límite inferior.
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces\(\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) si y solo si se mantienen las siguientes dos condiciones:
- Por cada\(\varepsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que
\[f(x)<\ell+\varepsilon \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D ;\]
- Para todos\(\varepsilon > 0\) y para todos\(\delta > 0\), existe\(x_{\delta} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D\) tal que
\[\ell-\varepsilon<f\left(x_{\delta}\right)\]
- Prueba
-
Supongamos\(\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\). Entonces
\[\ell=\inf _{\delta>0} g(\delta) ,\]
donde\(g\) se define en (3.10). Para cualquiera\(\varepsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que
\[\ell \leq g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x)<\ell+\varepsilon .\]
Por lo tanto,
\[f(x)<\ell+\varepsilon \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D ,\]
lo que prueba condiciones (1). Siguiente nota que para cualquier\(\varepsilon > 0\) y\(\delta > 0\), tenemos
\[\ell-\varepsilon<\ell \leq g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) .\]
Así, existe\(x_{\delta} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D\) con
\[\ell-\varepsilon<f\left(x_{\delta}\right) .\]
Esto prueba (2).
Ahora probemos lo contrario. Supongamos que (1) y (2) están satisfechos. Fijar cualquiera\(\varepsilon > 0\) y dejar\(\delta > 0\) satisfacer (1). Entonces
\[g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) \leq \ell+\varepsilon .\]
Esto implica
\[\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\inf _{\delta>0} g(\delta) \leq \ell+\varepsilon .\]
Dado que\(\varepsilon\) es arbitrario, obtenemos
\[\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \leq \ell .\]
Nuevamente, vamos\(\varepsilon > 0\). Dado\(\delta > 0\),\(x_{\delta}\) seamos como en (2). Por lo tanto,
\[\ell-\varepsilon<f\left(x_{\delta}\right) \leq \sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x)=g(\delta) .\]
Esto implica
\[\ell-\varepsilon \leq \inf _{\delta>0} g(\delta)=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) .\]
De ello se deduce que\(\ell \leq \limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\). Por lo tanto,\(\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\). \(\square\)
Supongamos\(\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\). Entonces existe una secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(D\) tal que\(\left\{x_{k}\right\}\) converge a\(\bar{x}\),\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), y
\[\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\ell .\]
Además, si\(\left\{y_{k}\right\}\) es una secuencia en la\(D\) que converge a\(\bar{x}\),\(y_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), y\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{k}\right)=\ell^{\prime}\), entonces\(\ell^{\prime} \leq \ell\).
- Prueba
-
Vamos\(\delta_{k}^{\prime}=\min \left\{\delta_{k}, \frac{1}{k}\right\}\). Entonces\(\delta_{k}^{\prime} \leq \delta_{k}\) y\(\lim _{k \rightarrow \infty} \delta_{k}^{\prime}=0\). Del (2) del Teorema 3.6.1, existe\(x_{k} \in B_{0}\left(\bar{x} ; \delta_{k}^{\prime}\right) \cap D\) tal que
\[\ell-\varepsilon_{k}<f\left(x_{k}\right) .\]
Además,\(f\left(x_{k}\right)<\ell+\varepsilon_{k}\) por (3.11). Por lo tanto,\(\left\{x_{k}\right\}\) es una secuencia que satisface la conclusión del corolario.
Ahora dejemos\(\left\{y_{k}\right\}\) ser una secuencia en la\(D\) que converja a\(\bar{x}\),\(y_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), y\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{k}\right)=\ell^{\prime}\). Para cualquiera\(\varepsilon > 0\), déjese\(\delta > 0\) ser como en (1) del Teorema 3.6.1. Desde\(y_{k} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D\) cuando\(k\) es suficientemente grande, tenemos
\[f\left(y_{k}\right)<\ell+\varepsilon\]
para tal\(k\). Esto implica\(\ell^{\prime} \leq \ell+\varepsilon\). De ello se deduce que\(\ell^{\prime} \leq \ell\). \(\square\)
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Supongamos que\(\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) es un número real. Definir
\[A=\left\{\ell \in \mathbb{R}: \exists\left\{x_{k}\right\} \subset D, x_{k} \neq \bar{x} \text { for every } k, x_{k} \rightarrow \bar{x}, f\left(x_{k}\right) \rightarrow \ell\right\} .\]
Entonces el corolario anterior demuestra que\(A \neq \emptyset\) y\(\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\max A\).
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces
\[\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty\]
si y sólo si existe una secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(D\) tal que\(\left\{x_{k}\right\}\) converja a\(\bar{x}\),\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), y\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty\).
- Prueba
-
Supongamos\(\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty\). Entonces
\[\inf _{\delta>0} g(\delta)=\infty ,\]
wehre\(g\) es la función extendida de valor real definida en (3.10). Así,\(g(\boldsymbol{\delta})=\infty\) para cada\(\delta > 0\). Dado\(k \in \mathbb{N}\), para\(\delta_{k}=\frac{1}{k}\), desde
\[g\left(\delta_{k}\right)=\sup _{x \in B_{0}\left(\bar{x} ; \delta_{k}\right) \cap D} f(x)=\infty ,\]
existe\(x_{k} \in B_{0}\left(\bar{x} ; \delta_{k}\right) \cap D\) tal que\(f\left(x_{k}\right)>k\). Por lo tanto,\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty\).
Demostremos lo contrario. Ya que\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty\), para cada\(M \in \mathbb{R}\), existe\(K \in \mathbb{N}\) tal que
\[f\left(x_{k}\right) \geq M \text { for every } k \geq K .\]
Para cualquier\(\delta > 0\), tenemos
\[x_{k} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .\]
Esto implica\(g(\delta)=\infty\), y por lo tanto\(\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty\). \(\square\)
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces
\[\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty\]
si y sólo si por alguna secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(D\) tal que\(\left\{x_{k}\right\}\) converja a\(\bar{x}\),\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), de ello se deduce\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=-\infty\). Este último equivale a\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty\).
Siguiendo los mismos argumentos, podemos probar resultados similares para límites inferiores de funciones.
- Prueba
-
Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces\(\ell=\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) si y solo si se mantienen las siguientes dos condiciones:
- Por cada\(\varepsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que
\[\ell-\varepsilon<f(x) \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D ;\]
- Para todos\(\varepsilon > 0\) y para todos\(\delta > 0\), existe\(x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D\) tal que
\[f(x)<\ell+\varepsilon .\]
- Prueba
-
Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará
Supongamos\(\ell=\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\). Entonces existe una secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(D\) tal que\(x_{k}\) converge a\(\bar{x}\),\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), y
\[\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\ell .\]
Además, si\(\left\{y_{k}\right\}\) es una secuencia en la\(D\) que converge a\(\bar{x}\),\(y_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), y\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{k}\right)=\ell^{\prime}\), entonces\(\ell^{\prime} \geq \ell\).
- Prueba
-
Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Supongamos que\(\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) es un número real. Definir
\[B=\left\{\ell \in \mathbb{R}: \exists\left\{x_{k}\right\} \subset D, x_{k} \neq \bar{x} \text { for every } \mathrm{k}, x_{k} \rightarrow \bar{x}, f\left(x_{k}\right) \rightarrow \ell\right\} .\]
Entonces\(B \neq \emptyset\) y\(\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\min B\).
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces
\[\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty\]
si y sólo si existe una secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(D\) tal que\(\left\{x_{k}\right\}\) converja a\(\bar{x}\),\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), y\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=-\infty\).
- Prueba
-
Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces
\[\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty\]
si y sólo si existe una secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(D\) tal que\(\left\{x_{k}\right\}\) converja a\(\bar{x}\),\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\), se sigue\(\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty\). Este último equivale a\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty\).
- Prueba
-
Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará
Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces
\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell .\]
si y solo si
\[\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell .\]
- Prueba
-
Supongamos
\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell .\]
Entonces para cada\(\varepsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que
\[\ell-\varepsilon<f(x)<\ell+\varepsilon \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .\]
Dado que esto también es válido para cada\(0<\delta^{\prime}<\delta\), obtenemos
\[\ell-\varepsilon<g\left(\delta^{\prime}\right) \leq \ell+\varepsilon .\]
De ello se deduce que
\[\ell-\varepsilon \leq \inf _{\delta^{\prime}>0} g\left(\delta^{\prime}\right) \leq \ell+\varepsilon .\]
Por lo tanto,\(\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell\) ya que\(\varepsilon\) es arbitrario. La prueba para el límite inferior es similar. Lo contrario sigue directamente de (1) del Teorema 3.6.1 y del Teorema 3.6.6. \(\square\)
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Dejar\(D \subset \mathbb{R}\),\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\), y\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). \(\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \leq \limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\)Demuéstralo.
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Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Encuentra cada uno de los siguientes límites:
- \(\limsup _{x \rightarrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right)\).
- \(\liminf _{x \rightarrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right)\).
- \(\limsup _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{x}\).
- \(\liminf _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{x}\).
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