Saltar al contenido principal

3.6: Límite Superior y Límite Inferior de Funciones

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Nos extendemos a funciones y conceptos de límite superior y límite inferior.

Definición$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$f: E \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Recordemos que

$B_{0}(\bar{x} ; \delta)=B_{-}(\bar{x} ; \delta) \cup B_{+}(\bar{x} ; \delta)=(\bar{x}-\delta, \bar{x}) \cup(\bar{x}, \bar{x}+\delta) .$

El límite superior de la función$$f$$ at$$\bar{x}$$ es definido por

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\inf _{\delta>0} \sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) .$

Del mismo modo, el límite inferior de la función$$f$$ at$$\bar{x}$$ es definido por

$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\sup _{\delta>0} \inf _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) .$

Considere la función extendida de valor real$$g:(0, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty]$$ definida por

$g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\vec{x} ; \delta) \cap D} f(x)$

Está claro que$$g$$ va en aumento y

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\inf _{\delta>0} g(\delta) .$

Decimos que la función$$f$$ está delimitada localmente arriba alrededor$$\bar{x}$$ si existe$$\delta > 0$$ y$$M > 0$$ tal que

$f(x) \leq M \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D .$

Claramente, si$$f$$ está delimitado localmente por encima alrededor$$\bar{x}$$, entonces$$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ es un número real, mientras que$$\limsup _{x \rightarrow z} f(x)=\infty$$ en el otro caso. Discusión similar aplica para el límite inferior.

Teorema$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces$$\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ si y solo si se mantienen las siguientes dos condiciones:

1. Por cada$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que

$f(x)<\ell+\varepsilon \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D ;$

1. Para todos$$\varepsilon > 0$$ y para todos$$\delta > 0$$, existe$$x_{\delta} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D$$ tal que

$\ell-\varepsilon<f\left(x_{\delta}\right)$

Prueba

Supongamos$$\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$. Entonces

$\ell=\inf _{\delta>0} g(\delta) ,$

donde$$g$$ se define en (3.10). Para cualquiera$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que

$\ell \leq g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x)<\ell+\varepsilon .$

Por lo tanto,

$f(x)<\ell+\varepsilon \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D ,$

lo que prueba condiciones (1). Siguiente nota que para cualquier$$\varepsilon > 0$$ y$$\delta > 0$$, tenemos

$\ell-\varepsilon<\ell \leq g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) .$

Así, existe$$x_{\delta} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D$$ con

$\ell-\varepsilon<f\left(x_{\delta}\right) .$

Esto prueba (2).

Ahora probemos lo contrario. Supongamos que (1) y (2) están satisfechos. Fijar cualquiera$$\varepsilon > 0$$ y dejar$$\delta > 0$$ satisfacer (1). Entonces

$g(\delta)=\sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x) \leq \ell+\varepsilon .$

Esto implica

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\inf _{\delta>0} g(\delta) \leq \ell+\varepsilon .$

Dado que$$\varepsilon$$ es arbitrario, obtenemos

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \leq \ell .$

Nuevamente, vamos$$\varepsilon > 0$$. Dado$$\delta > 0$$,$$x_{\delta}$$ seamos como en (2). Por lo tanto,

$\ell-\varepsilon<f\left(x_{\delta}\right) \leq \sup _{x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D} f(x)=g(\delta) .$

Esto implica

$\ell-\varepsilon \leq \inf _{\delta>0} g(\delta)=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) .$

De ello se deduce que$$\ell \leq \limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$. Por lo tanto,$$\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$. $$\square$$

Corolario$$\PageIndex{2}$$

Supongamos$$\ell=\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$. Entonces existe una secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$\left\{x_{k}\right\}$$ converge a$$\bar{x}$$,$$x_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, y

$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\ell .$

Además, si$$\left\{y_{k}\right\}$$ es una secuencia en la$$D$$ que converge a$$\bar{x}$$,$$y_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, y$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{k}\right)=\ell^{\prime}$$, entonces$$\ell^{\prime} \leq \ell$$.

Prueba

Vamos$$\delta_{k}^{\prime}=\min \left\{\delta_{k}, \frac{1}{k}\right\}$$. Entonces$$\delta_{k}^{\prime} \leq \delta_{k}$$ y$$\lim _{k \rightarrow \infty} \delta_{k}^{\prime}=0$$. Del (2) del Teorema 3.6.1, existe$$x_{k} \in B_{0}\left(\bar{x} ; \delta_{k}^{\prime}\right) \cap D$$ tal que

$\ell-\varepsilon_{k}<f\left(x_{k}\right) .$

Además,$$f\left(x_{k}\right)<\ell+\varepsilon_{k}$$ por (3.11). Por lo tanto,$$\left\{x_{k}\right\}$$ es una secuencia que satisface la conclusión del corolario.

Ahora dejemos$$\left\{y_{k}\right\}$$ ser una secuencia en la$$D$$ que converja a$$\bar{x}$$,$$y_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, y$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{k}\right)=\ell^{\prime}$$. Para cualquiera$$\varepsilon > 0$$, déjese$$\delta > 0$$ ser como en (1) del Teorema 3.6.1. Desde$$y_{k} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D$$ cuando$$k$$ es suficientemente grande, tenemos

$f\left(y_{k}\right)<\ell+\varepsilon$

para tal$$k$$. Esto implica$$\ell^{\prime} \leq \ell+\varepsilon$$. De ello se deduce que$$\ell^{\prime} \leq \ell$$. $$\square$$

observación 3.6.3

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Supongamos que$$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ es un número real. Definir

$A=\left\{\ell \in \mathbb{R}: \exists\left\{x_{k}\right\} \subset D, x_{k} \neq \bar{x} \text { for every } k, x_{k} \rightarrow \bar{x}, f\left(x_{k}\right) \rightarrow \ell\right\} .$

Entonces el corolario anterior demuestra que$$A \neq \emptyset$$ y$$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\max A$$.

Teorema$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty$

si y sólo si existe una secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$\left\{x_{k}\right\}$$ converja a$$\bar{x}$$,$$x_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, y$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty$$.

Prueba

Supongamos$$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty$$. Entonces

$\inf _{\delta>0} g(\delta)=\infty ,$

wehre$$g$$ es la función extendida de valor real definida en (3.10). Así,$$g(\boldsymbol{\delta})=\infty$$ para cada$$\delta > 0$$. Dado$$k \in \mathbb{N}$$, para$$\delta_{k}=\frac{1}{k}$$, desde

$g\left(\delta_{k}\right)=\sup _{x \in B_{0}\left(\bar{x} ; \delta_{k}\right) \cap D} f(x)=\infty ,$

existe$$x_{k} \in B_{0}\left(\bar{x} ; \delta_{k}\right) \cap D$$ tal que$$f\left(x_{k}\right)>k$$. Por lo tanto,$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty$$.

Demostremos lo contrario. Ya que$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty$$, para cada$$M \in \mathbb{R}$$, existe$$K \in \mathbb{N}$$ tal que

$f\left(x_{k}\right) \geq M \text { for every } k \geq K .$

Para cualquier$$\delta > 0$$, tenemos

$x_{k} \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .$

Esto implica$$g(\delta)=\infty$$, y por lo tanto$$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty$$. $$\square$$

Teorema$$\PageIndex{5}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty$

si y sólo si por alguna secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$\left\{x_{k}\right\}$$ converja a$$\bar{x}$$,$$x_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, de ello se deduce$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=-\infty$$. Este último equivale a$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty$$.

Siguiendo los mismos argumentos, podemos probar resultados similares para límites inferiores de funciones.

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

Teorema$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces$$\ell=\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ si y solo si se mantienen las siguientes dos condiciones:

1. Por cada$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que

$\ell-\varepsilon<f(x) \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D ;$

1. Para todos$$\varepsilon > 0$$ y para todos$$\delta > 0$$, existe$$x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D$$ tal que

$f(x)<\ell+\varepsilon .$

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

Teorema$$\PageIndex{7}$$

Supongamos$$\ell=\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$. Entonces existe una secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$x_{k}$$ converge a$$\bar{x}$$,$$x_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, y

$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\ell .$

Además, si$$\left\{y_{k}\right\}$$ es una secuencia en la$$D$$ que converge a$$\bar{x}$$,$$y_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, y$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_{k}\right)=\ell^{\prime}$$, entonces$$\ell^{\prime} \geq \ell$$.

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

OBSERVACIÓN$$\PageIndex{8}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Supongamos que$$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ es un número real. Definir

$B=\left\{\ell \in \mathbb{R}: \exists\left\{x_{k}\right\} \subset D, x_{k} \neq \bar{x} \text { for every } \mathrm{k}, x_{k} \rightarrow \bar{x}, f\left(x_{k}\right) \rightarrow \ell\right\} .$

Entonces$$B \neq \emptyset$$ y$$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\min B$$.

Teorema$$\PageIndex{9}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces

$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty$

si y sólo si existe una secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$\left\{x_{k}\right\}$$ converja a$$\bar{x}$$,$$x_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, y$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=-\infty$$.

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

Teorema$$\PageIndex{10}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces

$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty$

si y sólo si existe una secuencia$$\left\{x_{k}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$\left\{x_{k}\right\}$$ converja a$$\bar{x}$$,$$x_{k} \neq \bar{x}$$ para cada$$k$$, se sigue$$\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty$$. Este último equivale a$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty$$.

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

Teorema$$\PageIndex{11}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell .$

si y solo si

$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell .$

Prueba

Supongamos

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell .$

Entonces para cada$$\varepsilon > 0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que

$\ell-\varepsilon<f(x)<\ell+\varepsilon \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .$

Dado que esto también es válido para cada$$0<\delta^{\prime}<\delta$$, obtenemos

$\ell-\varepsilon<g\left(\delta^{\prime}\right) \leq \ell+\varepsilon .$

De ello se deduce que

$\ell-\varepsilon \leq \inf _{\delta^{\prime}>0} g\left(\delta^{\prime}\right) \leq \ell+\varepsilon .$

Por lo tanto,$$\limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell$$ ya que$$\varepsilon$$ es arbitrario. La prueba para el límite inferior es similar. Lo contrario sigue directamente de (1) del Teorema 3.6.1 y del Teorema 3.6.6. $$\square$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$D \subset \mathbb{R}$$,$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$, y$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. $$\liminf _{x \rightarrow \bar{x}} f(x) \leq \limsup _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$Demuéstralo.

Contestar

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encuentra cada uno de los siguientes límites:

1. $$\limsup _{x \rightarrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right)$$.
2. $$\liminf _{x \rightarrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right)$$.
3. $$\limsup _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{x}$$.
4. $$\liminf _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{x}$$.
Contestar

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

This page titled 3.6: Límite Superior y Límite Inferior de Funciones is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Lafferriere, Lafferriere, and Nguyen (PDXOpen: Open Educational Resources) .