8.3: Secuencias y Convergencia
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Secuencias
La noción de una secuencia en un espacio métrico es muy similar a una secuencia de números reales.
Una secuencia en un espacio métrico(X,d) es una funciónx:N→X. Como antes escribimosxn para el elementon th en la secuencia y usamos la notación{xn}, o más precisamente{xn}∞n=1.
Una secuencia{xn} está delimitada si existe un puntop∈X yB∈R tal qued(p,xn)≤Bfor all n∈N. En otras palabras, la secuencia{xn} se limita siempre que el conjunto{xn:n∈N} esté acotado.
Si{nj}∞j=1 es una secuencia de números naturales tal quenj+1>nj para todosj entonces{xnj}∞j=1 se dice que la secuencia es una subsecuencia de{xn}.
De igual manera también definimos convergencia. Nuevamente, estaremos haciendo trampa un poco y usaremos el artículo definido frente a la palabra límite antes de demostrar que el límite es único.
(X,d)Se dice que una secuencia{xn} en un espacio métrico converge a un puntop∈X, si por cadaϵ>0, existeM∈N tal qued(xn,p)<ϵ para todosn≥M. Se dice que el puntop es el límite de{xn}. Escribimoslimn→∞xn:=p.
Se dice que una secuencia que converge es convergente. De lo contrario, se dice que la secuencia es divergente.
Demostremos que el límite es único. Obsérvese que la prueba es casi idéntica a la prueba del mismo hecho para secuencias de números reales. De hecho, muchos resultados que conocemos para secuencias de números reales se pueden probar en los ajustes más generales de los espacios métricos. Debemos sustituir|x−y| cond(x,y) en las pruebas y aplicar correctamente la desigualdad triangular.
[prop:mslimisunique] Una secuencia convergente en un espacio métrico tiene un límite único.
Supongamos que la secuencia{xn} tiene el límitex y el límitey. Toma una arbitrariaϵ>0. De la definición encontramos unM1 tal que para todosn≥M1,d(xn,x)<\nicefracϵ2. De igual manera encontramos unM2 tal que por todon≥M2 lo que tenemosd(xn,y)<\nicefracϵ2. Ahora toma unn tal quen≥M1 y tambiénn≥M2d(y,x)≤d(y,xn)+d(xn,x)<ϵ2+ϵ2=ϵ. End(y,x)<ϵ cuanto a todosϵ>0, entoncesd(x,y)=0 yy=x. De ahí que el límite (si existe) sea único.
Las pruebas de las siguientes proposiciones se dejan como ejercicios.
[prop:msconvbound] Una secuencia convergente en un espacio métrico está delimitada.
[prop:msconvifa] Una secuencia{xn} en un espacio métrico(X,d) converge ap∈X si y solo si existe una secuencia{an} de números reales tal qued(xn,p)≤anfor all n∈N, ylimn→∞an=0.
Convergencia en el espacio euclidiano
Es útil señalar qué significa convergencia en el espacio euclidianoRn.
[prop:msconveuc] Dejar{xj}∞j=1 ser una secuencia enRn, donde escribimosxj=(xj1,xj2,…,xjn)∈Rn. Entonces{xj}∞j=1 converge si y solo si{xjk}∞j=1 converge para cadak, en cuyo casolimj→∞xj=(limj→∞xj1,limj→∞xj2,…,limj→∞xjn).
ParaR=R1 el resultado es inmediato. Así que vamosn>1.
Dejar{xj}∞j=1 ser una secuencia convergente enRn, donde escribimosxj=(xj1,xj2,…,xjn)∈Rn. Quex=(x1,x2,…,xn)∈Rn sea el límite. Dadoϵ>0, existeM tal que por todosj≥M tenemosd(x,xj)<ϵ. Fijar algunosk=1,2,…,n. Porquej≥M tenemos|xk−xjk|=√(xk−xjk)2≤√n∑ℓ=1(xℓ−xjℓ)2=d(x,xj)<ϵ. De ahí que la secuencia{xjk}∞j=1 converja axk.
Para la otra dirección supongamos que{xjk}∞j=1 converge axk para cada unok=1,2,…,n. De ahí queϵ>0, dado, escoja unaM, tal que sij≥M entonces|xk−xjk|<\nicefracϵ√n para todosk=1,2,…,n. Entonces\[d(x,x^j) = \sqrt{\sum_{k=1}^n {\bigl(x_k-x_k^j\bigr)}^2} < \sqrt{\sum_{k=1}^n {\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right)}^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n \frac
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Convergencia y topología
La topología, es decir, el conjunto de conjuntos abiertos de un espacio codifica qué secuencias convergen.
[prop:msconvtopo] Dejar(X,d) ser un espacio métrico y{xn} una secuencia enX. Entonces{xn} converge ax∈X si y sólo si por cada barrio abiertoU dex, existeM∈N tal que por todon≥M lo que tenemosxn∈U.
Primero supongamos que eso{xn} converge. QueU sea un barrio abierto dex, entonces existeϵ>0 tal queB(x,ϵ)⊂U. A medida que la secuencia converge, encontramos unM∈N tal que por todon≥M lo que tenemosd(x,xn)<ϵ o en otras palabrasxn∈B(x,ϵ)⊂U.
Demostremos la otra dirección. Dadoϵ>0 queU:=B(x,ϵ) sea el barrio dex. Entonces hayM∈N tal que paran≥M nosotros tenemosxn∈U=B(x,ϵ) o en otras palabras,d(x,xn)<ϵ.
Un conjunto se cierra cuando contiene los límites de sus secuencias convergentes.
[prop:msclosedlim] Dejar(X,d) ser un espacio métrico,E⊂X un conjunto cerrado y{xn} una secuencia enE que converge a algunosx∈X. Entoncesx∈E.
Demostremos lo contrapositivo. Supongamos que{xn} es una secuencia en laX que converge ax∈Ec. ComoEc está abierto, dice que hayM tal que para todosn≥M,xn∈Ec. Entonces no{xn} es una secuencia enE.
Cuando tomamos un cierre de un setA, realmente arrojamos precisamente esos puntos que son límites de secuencias enA.
[prop:msclosureapprseq] Dejar(X,d) ser un espacio métrico yA⊂X. Six∈¯A, entonces existe una secuencia{xn} de elementos enA tal quelimxn=x.
Vamosx∈¯A. Sabemos por eso dado\nicefrac1n, existe un puntoxn∈B(x,\nicefrac1n)∩A. Comod(x,xn)<\nicefrac1n, tenemos esolimxn=x.
Ejercicios
Dejar(X,d) ser un espacio métrico y dejarA⊂X. ESea el conjunto de todosx∈X tales que exista una secuencia{xn} en laA que converja ax. E=¯ADemuéstralo.
a) Mostrar qued(x,y):=min{1,|x−y|} define una métrica onR. b) Mostrar que una secuencia converge en(R,d) si y sólo si converge en la métrica estándar. c) Encuentra una secuencia acotada en(R,d) que no contenga subsecuencia convergente.
Demostrar
Demostrar
Supongamos que{xn}∞n=1 converge ax. Supongamos quef:N→N es una función uno a uno y onto. Espectáculo que{xf(n)}∞n=1 converge ax.
Si(X,d) es un espacio métrico donded está la métrica discreta. Supongamos que{xn} es una secuencia convergente enX. Demostrar que existeK∈N tal que por todon≥K lo que tenemosxn=xK.
Se dice que un conjuntoS⊂X es denso enX si por cadax∈X, existe una secuencia{xn} en laS que converge ax. Demostrar queRn contiene un subconjunto denso contable.
Supongamos{Un}∞n=1 ser una secuencia decreciente (Un+1⊂Unpara todosn) de conjuntos abiertos en un espacio métrico(X,d) tal que⋂∞n=1Un={p} para algunosp∈X. Supongamos que{xn} es una secuencia de puntos enX tal quexn∈Un. ¿Converge{xn} necesariamente ap? Demostrar o construir un contraejemplo.
DejarE⊂X ser cerrado y dejar{xn} ser una secuencia enX converger ap∈X. Supongamosxn∈E para infinitamente muchosn∈N. Espectáculop∈E.
R∗={−∞}∪R∪{∞}Tomen ser los reales extendidos. Definird(x,y):=|x−y|1+|x−y| six,y∈R, definird(∞,x):=d(−∞,x)=1 para todosx∈R, y dejard(∞,−∞):=2. a) Mostrar que(R∗,d) es un espacio métrico. b) Supongamos que{xn} es una secuencia de números reales tal quexn≥n para todosn. limxn=∞Demuéstralo en(R∗,d).
Supongamos que{Vn}∞n=1 es una colección de sets abiertos en(X,d) tal queVn+1⊃Vn. Que{xn} sea una secuencia tal quexn∈Vn+1∖Vn y supongamos que{xn} converja ap∈X. Demuestre quep∈∂V dóndeV=⋃∞n=1Vn.