8.3: Secuencias y Convergencia

Secuencias

La noción de una secuencia en un espacio métrico es muy similar a una secuencia de números reales.

Una secuencia en un espacio métrico\((X,d)\) es una función\(x \colon {\mathbb{N}}\to X\). Como antes escribimos\(x_n\) para el elemento\(n\) th en la secuencia y usamos la notación\(\{ x_n \}\), o más precisamente\[\{ x_n \}_{n=1}^\infty .\]

Una secuencia\(\{ x_n \}\) está delimitada si existe un punto\(p \in X\) y\(B \in {\mathbb{R}}\) tal que\[d(p,x_n) \leq B \qquad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$.}\] En otras palabras, la secuencia\(\{x_n\}\) se limita siempre que el conjunto\(\{ x_n : n \in {\mathbb{N}}\}\) esté acotado.

Si\(\{ n_j \}_{j=1}^\infty\) es una secuencia de números naturales tal que\(n_{j+1} > n_j\) para todos\(j\) entonces\(\{ x_{n_j} \}_{j=1}^\infty\) se dice que la secuencia es una subsecuencia de\(\{x_n \}\).

De igual manera también definimos convergencia. Nuevamente, estaremos haciendo trampa un poco y usaremos el artículo definido frente a la palabra límite antes de demostrar que el límite es único.

\((X,d)\)Se dice que una secuencia\(\{ x_n \}\) en un espacio métrico converge a un punto\(p \in X\), si por cada\(\epsilon > 0\), existe\(M \in {\mathbb{N}}\) tal que\(d(x_n,p) < \epsilon\) para todos\(n \geq M\). Se dice que el punto\(p\) es el límite de\(\{ x_n \}\). Escribimos\[\lim_{n\to \infty} x_n := p .\]

Se dice que una secuencia que converge es convergente. De lo contrario, se dice que la secuencia es divergente.

Demostremos que el límite es único. Obsérvese que la prueba es casi idéntica a la prueba del mismo hecho para secuencias de números reales. De hecho, muchos resultados que conocemos para secuencias de números reales se pueden probar en los ajustes más generales de los espacios métricos. Debemos sustituir\(\left\lvert {x-y} \right\rvert\) con\(d(x,y)\) en las pruebas y aplicar correctamente la desigualdad triangular.

[prop:mslimisunique] Una secuencia convergente en un espacio métrico tiene un límite único.

Supongamos que la secuencia\(\{ x_n \}\) tiene el límite\(x\) y el límite\(y\). Toma una arbitraria\(\epsilon > 0\). De la definición encontramos un\(M_1\) tal que para todos\(n \geq M_1\),\(d(x_n,x) < \nicefrac{\epsilon}{2}\). De igual manera encontramos un\(M_2\) tal que por todo\(n \geq M_2\) lo que tenemos\(d(x_n,y) < \nicefrac{\epsilon}{2}\). Ahora toma un\(n\) tal que\(n \geq M_1\) y también\(n \geq M_2\)\[\begin{split} d(y,x) & \leq d(y,x_n) + d(x_n,x) \\ & < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon . \end{split}\] En\(d(y,x) < \epsilon\) cuanto a todos\(\epsilon > 0\), entonces\(d(x,y) = 0\) y\(y=x\). De ahí que el límite (si existe) sea único.

Las pruebas de las siguientes proposiciones se dejan como ejercicios.

[prop:msconvbound] Una secuencia convergente en un espacio métrico está delimitada.

[prop:msconvifa] Una secuencia\(\{ x_n \}\) en un espacio métrico\((X,d)\) converge a\(p \in X\) si y solo si existe una secuencia\(\{ a_n \}\) de números reales tal que\[d(x_n,p) \leq a_n \quad \text{for all $n \in {\mathbb{N}}$},\] y\[\lim_{n\to\infty} a_n = 0.\]

Convergencia en el espacio euclidiano

Es útil señalar qué significa convergencia en el espacio euclidiano\({\mathbb{R}}^n\).

[prop:msconveuc] Dejar\(\{ x^j \}_{j=1}^\infty\) ser una secuencia en\({\mathbb{R}}^n\), donde escribimos\(x^j = \bigl(x_1^j,x_2^j,\ldots,x_n^j\bigr) \in {\mathbb{R}}^n\). Entonces\(\{ x^j \}_{j=1}^\infty\) converge si y solo si\(\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty\) converge para cada\(k\), en cuyo caso\[\lim_{j\to\infty} x^j = \Bigl( \lim_{j\to\infty} x_1^j, \lim_{j\to\infty} x_2^j, \ldots, \lim_{j\to\infty} x_n^j \Bigr) .\]

Para\({\mathbb{R}}= {\mathbb{R}}^1\) el resultado es inmediato. Así que vamos\(n > 1\).

Dejar\(\{ x^j \}_{j=1}^\infty\) ser una secuencia convergente en\({\mathbb{R}}^n\), donde escribimos\(x^j = \bigl(x_1^j,x_2^j,\ldots,x_n^j\bigr) \in {\mathbb{R}}^n\). Que\(x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in {\mathbb{R}}^n\) sea el límite. Dado\(\epsilon > 0\), existe\(M\) tal que por todos\(j \geq M\) tenemos\[d(x,x^j) < \epsilon.\] Fijar algunos\(k=1,2,\ldots,n\). Porque\(j \geq M\) tenemos\[\bigl\lvert x_k - x_k^j \bigr\rvert = \sqrt{{\bigl(x_k - x_k^j\bigr)}^2} \leq \sqrt{\sum_{\ell=1}^n {\bigl(x_\ell-x_\ell^j\bigr)}^2} = d(x,x^j) < \epsilon .\] De ahí que la secuencia\(\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty\) converja a\(x_k\).

Para la otra dirección supongamos que\(\{ x_k^j \}_{j=1}^\infty\) converge a\(x_k\) para cada uno\(k=1,2,\ldots,n\). De ahí que\(\epsilon > 0\), dado, escoja una\(M\), tal que si\(j \geq M\) entonces\(\bigl\lvert x_k-x_k^j \bigr\rvert < \nicefrac{\epsilon}{\sqrt{n}}\) para todos\(k=1,2,\ldots,n\). Entonces\[d(x,x^j) = \sqrt{\sum_{k=1}^n {\bigl(x_k-x_k^j\bigr)}^2} < \sqrt{\sum_{k=1}^n {\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right)}^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n \frac

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{n}} = \epsilon .\] La secuencia\(\{ x^j \}\) converge a\(x \in {\mathbb{R}}^n\) y estamos hechos.

Convergencia y topología

La topología, es decir, el conjunto de conjuntos abiertos de un espacio codifica qué secuencias convergen.

[prop:msconvtopo] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(\{x_n\}\) una secuencia en\(X\). Entonces\(\{ x_n \}\) converge a\(x \in X\) si y sólo si por cada barrio abierto\(U\) de\(x\), existe\(M \in {\mathbb{N}}\) tal que por todo\(n \geq M\) lo que tenemos\(x_n \in U\).

Primero supongamos que eso\(\{ x_n \}\) converge. Que\(U\) sea un barrio abierto de\(x\), entonces existe\(\epsilon > 0\) tal que\(B(x,\epsilon) \subset U\). A medida que la secuencia converge, encontramos un\(M \in {\mathbb{N}}\) tal que por todo\(n \geq M\) lo que tenemos\(d(x,x_n) < \epsilon\) o en otras palabras\(x_n \in B(x,\epsilon) \subset U\).

Demostremos la otra dirección. Dado\(\epsilon > 0\) que\(U := B(x,\epsilon)\) sea el barrio de\(x\). Entonces hay\(M \in {\mathbb{N}}\) tal que para\(n \geq M\) nosotros tenemos\(x_n \in U = B(x,\epsilon)\) o en otras palabras,\(d(x,x_n) < \epsilon\).

Un conjunto se cierra cuando contiene los límites de sus secuencias convergentes.

[prop:msclosedlim] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico,\(E \subset X\) un conjunto cerrado y\(\{ x_n \}\) una secuencia en\(E\) que converge a algunos\(x \in X\). Entonces\(x \in E\).

Demostremos lo contrapositivo. Supongamos que\(\{ x_n \}\) es una secuencia en la\(X\) que converge a\(x \in E^c\). Como\(E^c\) está abierto, dice que hay\(M\) tal que para todos\(n \geq M\),\(x_n \in E^c\). Entonces no\(\{ x_n \}\) es una secuencia en\(E\).

Cuando tomamos un cierre de un set\(A\), realmente arrojamos precisamente esos puntos que son límites de secuencias en\(A\).

[prop:msclosureapprseq] Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y\(A \subset X\). Si\(x \in \overline{A}\), entonces existe una secuencia\(\{ x_n \}\) de elementos en\(A\) tal que\(\lim\, x_n = x\).

Vamos\(x \in \overline{A}\). Sabemos por eso dado\(\nicefrac{1}{n}\), existe un punto\(x_n \in B(x,\nicefrac{1}{n}) \cap A\). Como\(d(x,x_n) < \nicefrac{1}{n}\), tenemos eso\(\lim\, x_n = x\).

Ejercicios

Dejar\((X,d)\) ser un espacio métrico y dejar\(A \subset X\). \(E\)Sea el conjunto de todos\(x \in X\) tales que exista una secuencia\(\{ x_n \}\) en la\(A\) que converja a\(x\). \(E = \overline{A}\)Demuéstralo.

a) Mostrar que\(d(x,y) := \min \{ 1, \left\lvert {x-y} \right\rvert \}\) define una métrica on\({\mathbb{R}}\). b) Mostrar que una secuencia converge en\(({\mathbb{R}},d)\) si y sólo si converge en la métrica estándar. c) Encuentra una secuencia acotada en\(({\mathbb{R}},d)\) que no contenga subsecuencia convergente.

Demostrar

Demostrar

Supongamos que\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\) converge a\(x\). Supongamos que\(f \colon {\mathbb{N}} \to {\mathbb{N}}\) es una función uno a uno y onto. Espectáculo que\(\{ x_{f(n)} \}_{n=1}^\infty\) converge a\(x\).

Si\((X,d)\) es un espacio métrico donde\(d\) está la métrica discreta. Supongamos que\(\{ x_n \}\) es una secuencia convergente en\(X\). Demostrar que existe\(K \in {\mathbb{N}}\) tal que por todo\(n \geq K\) lo que tenemos\(x_n = x_K\).

Se dice que un conjunto\(S \subset X\) es denso en\(X\) si por cada\(x \in X\), existe una secuencia\(\{ x_n \}\) en la\(S\) que converge a\(x\). Demostrar que\({\mathbb{R}}^n\) contiene un subconjunto denso contable.

Supongamos\(\{ U_n \}_{n=1}^\infty\) ser una secuencia decreciente (\(U_{n+1} \subset U_n\)para todos\(n\)) de conjuntos abiertos en un espacio métrico\((X,d)\) tal que\(\bigcap_{n=1}^\infty U_n = \{ p \}\) para algunos\(p \in X\). Supongamos que\(\{ x_n \}\) es una secuencia de puntos en\(X\) tal que\(x_n \in U_n\). ¿Converge\(\{ x_n \}\) necesariamente a\(p\)? Demostrar o construir un contraejemplo.

Dejar\(E \subset X\) ser cerrado y dejar\(\{ x_n \}\) ser una secuencia en\(X\) converger a\(p \in X\). Supongamos\(x_n \in E\) para infinitamente muchos\(n \in {\mathbb{N}}\). Espectáculo\(p \in E\).

\({\mathbb{R}}^* = \{ -\infty \} \cup {\mathbb{R}}\cup \{ \infty \}\)Tomen ser los reales extendidos. Definir\(d(x,y) := \frac{\left\lvert {x-y} \right\rvert}{1+\left\lvert {x-y} \right\rvert}\) si\(x, y \in {\mathbb{R}}\), definir\(d(\infty,x) := d(-\infty,x) = 1\) para todos\(x \in {\mathbb{R}}\), y dejar\(d(\infty,-\infty) := 2\). a) Mostrar que\(({\mathbb{R}}^*,d)\) es un espacio métrico. b) Supongamos que\(\{ x_n \}\) es una secuencia de números reales tal que\(x_n \geq n\) para todos\(n\). \(\lim x_n = \infty\)Demuéstralo en\(({\mathbb{R}}^*,d)\).

Supongamos que\(\{ V_n \}_{n=1}^\infty\) es una colección de sets abiertos en\((X,d)\) tal que\(V_{n+1} \supset V_n\). Que\(\{ x_n \}\) sea una secuencia tal que\(x_n \in V_{n+1} \setminus V_n\) y supongamos que\(\{ x_n \}\) converja a\(p \in X\). Demuestre que\(p \in \partial V\) dónde\(V = \bigcup_{n=1}^\infty V_n\).

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