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8.3: Secuencias y Convergencia

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Secuencias

La noción de una secuencia en un espacio métrico es muy similar a una secuencia de números reales.

Una secuencia en un espacio métrico(X,d) es una funciónx:NX. Como antes escribimosxn para el elementon th en la secuencia y usamos la notación{xn}, o más precisamente{xn}n=1.

Una secuencia{xn} está delimitada si existe un puntopX yBR tal qued(p,xn)Bfor all nN. En otras palabras, la secuencia{xn} se limita siempre que el conjunto{xn:nN} esté acotado.

Si{nj}j=1 es una secuencia de números naturales tal quenj+1>nj para todosj entonces{xnj}j=1 se dice que la secuencia es una subsecuencia de{xn}.

De igual manera también definimos convergencia. Nuevamente, estaremos haciendo trampa un poco y usaremos el artículo definido frente a la palabra límite antes de demostrar que el límite es único.

(X,d)Se dice que una secuencia{xn} en un espacio métrico converge a un puntopX, si por cadaϵ>0, existeMN tal qued(xn,p)<ϵ para todosnM. Se dice que el puntop es el límite de{xn}. Escribimoslimnxn:=p.

Se dice que una secuencia que converge es convergente. De lo contrario, se dice que la secuencia es divergente.

Demostremos que el límite es único. Obsérvese que la prueba es casi idéntica a la prueba del mismo hecho para secuencias de números reales. De hecho, muchos resultados que conocemos para secuencias de números reales se pueden probar en los ajustes más generales de los espacios métricos. Debemos sustituir|xy| cond(x,y) en las pruebas y aplicar correctamente la desigualdad triangular.

[prop:mslimisunique] Una secuencia convergente en un espacio métrico tiene un límite único.

Supongamos que la secuencia{xn} tiene el límitex y el límitey. Toma una arbitrariaϵ>0. De la definición encontramos unM1 tal que para todosnM1,d(xn,x)<\nicefracϵ2. De igual manera encontramos unM2 tal que por todonM2 lo que tenemosd(xn,y)<\nicefracϵ2. Ahora toma unn tal quenM1 y tambiénnM2d(y,x)d(y,xn)+d(xn,x)<ϵ2+ϵ2=ϵ. End(y,x)<ϵ cuanto a todosϵ>0, entoncesd(x,y)=0 yy=x. De ahí que el límite (si existe) sea único.

Las pruebas de las siguientes proposiciones se dejan como ejercicios.

[prop:msconvbound] Una secuencia convergente en un espacio métrico está delimitada.

[prop:msconvifa] Una secuencia{xn} en un espacio métrico(X,d) converge apX si y solo si existe una secuencia{an} de números reales tal qued(xn,p)anfor all nN, ylimnan=0.

Convergencia en el espacio euclidiano

Es útil señalar qué significa convergencia en el espacio euclidianoRn.

[prop:msconveuc] Dejar{xj}j=1 ser una secuencia enRn, donde escribimosxj=(xj1,xj2,,xjn)Rn. Entonces{xj}j=1 converge si y solo si{xjk}j=1 converge para cadak, en cuyo casolimjxj=(limjxj1,limjxj2,,limjxjn).

ParaR=R1 el resultado es inmediato. Así que vamosn>1.

Dejar{xj}j=1 ser una secuencia convergente enRn, donde escribimosxj=(xj1,xj2,,xjn)Rn. Quex=(x1,x2,,xn)Rn sea el límite. Dadoϵ>0, existeM tal que por todosjM tenemosd(x,xj)<ϵ. Fijar algunosk=1,2,,n. PorquejM tenemos|xkxjk|=(xkxjk)2n=1(xxj)2=d(x,xj)<ϵ. De ahí que la secuencia{xjk}j=1 converja axk.

Para la otra dirección supongamos que{xjk}j=1 converge axk para cada unok=1,2,,n. De ahí queϵ>0, dado, escoja unaM, tal que sijM entonces|xkxjk|<\nicefracϵn para todosk=1,2,,n. Entonces\[d(x,x^j) = \sqrt{\sum_{k=1}^n {\bigl(x_k-x_k^j\bigr)}^2} < \sqrt{\sum_{k=1}^n {\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right)}^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n \frac

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{n}} = \epsilon .\] La secuencia{xj} converge axRn y estamos hechos.

Convergencia y topología

La topología, es decir, el conjunto de conjuntos abiertos de un espacio codifica qué secuencias convergen.

[prop:msconvtopo] Dejar(X,d) ser un espacio métrico y{xn} una secuencia enX. Entonces{xn} converge axX si y sólo si por cada barrio abiertoU dex, existeMN tal que por todonM lo que tenemosxnU.

Primero supongamos que eso{xn} converge. QueU sea un barrio abierto dex, entonces existeϵ>0 tal queB(x,ϵ)U. A medida que la secuencia converge, encontramos unMN tal que por todonM lo que tenemosd(x,xn)<ϵ o en otras palabrasxnB(x,ϵ)U.

Demostremos la otra dirección. Dadoϵ>0 queU:=B(x,ϵ) sea el barrio dex. Entonces hayMN tal que paranM nosotros tenemosxnU=B(x,ϵ) o en otras palabras,d(x,xn)<ϵ.

Un conjunto se cierra cuando contiene los límites de sus secuencias convergentes.

[prop:msclosedlim] Dejar(X,d) ser un espacio métrico,EX un conjunto cerrado y{xn} una secuencia enE que converge a algunosxX. EntoncesxE.

Demostremos lo contrapositivo. Supongamos que{xn} es una secuencia en laX que converge axEc. ComoEc está abierto, dice que hayM tal que para todosnM,xnEc. Entonces no{xn} es una secuencia enE.

Cuando tomamos un cierre de un setA, realmente arrojamos precisamente esos puntos que son límites de secuencias enA.

[prop:msclosureapprseq] Dejar(X,d) ser un espacio métrico yAX. Six¯A, entonces existe una secuencia{xn} de elementos enA tal quelimxn=x.

Vamosx¯A. Sabemos por eso dado\nicefrac1n, existe un puntoxnB(x,\nicefrac1n)A. Comod(x,xn)<\nicefrac1n, tenemos esolimxn=x.

Ejercicios

Dejar(X,d) ser un espacio métrico y dejarAX. ESea el conjunto de todosxX tales que exista una secuencia{xn} en laA que converja ax. E=¯ADemuéstralo.

a) Mostrar qued(x,y):=min{1,|xy|} define una métrica onR. b) Mostrar que una secuencia converge en(R,d) si y sólo si converge en la métrica estándar. c) Encuentra una secuencia acotada en(R,d) que no contenga subsecuencia convergente.

Demostrar

Demostrar

Supongamos que{xn}n=1 converge ax. Supongamos quef:NN es una función uno a uno y onto. Espectáculo que{xf(n)}n=1 converge ax.

Si(X,d) es un espacio métrico donded está la métrica discreta. Supongamos que{xn} es una secuencia convergente enX. Demostrar que existeKN tal que por todonK lo que tenemosxn=xK.

Se dice que un conjuntoSX es denso enX si por cadaxX, existe una secuencia{xn} en laS que converge ax. Demostrar queRn contiene un subconjunto denso contable.

Supongamos{Un}n=1 ser una secuencia decreciente (Un+1Unpara todosn) de conjuntos abiertos en un espacio métrico(X,d) tal quen=1Un={p} para algunospX. Supongamos que{xn} es una secuencia de puntos enX tal quexnUn. ¿Converge{xn} necesariamente ap? Demostrar o construir un contraejemplo.

DejarEX ser cerrado y dejar{xn} ser una secuencia enX converger apX. SupongamosxnE para infinitamente muchosnN. EspectáculopE.

R={}R{}Tomen ser los reales extendidos. Definird(x,y):=|xy|1+|xy| six,yR, definird(,x):=d(,x)=1 para todosxR, y dejard(,):=2. a) Mostrar que(R,d) es un espacio métrico. b) Supongamos que{xn} es una secuencia de números reales tal quexnn para todosn. limxn=Demuéstralo en(R,d).

Supongamos que{Vn}n=1 es una colección de sets abiertos en(X,d) tal queVn+1Vn. Que{xn} sea una secuencia tal quexnVn+1Vn y supongamos que{xn} converja apX. Demuestre quepV dóndeV=n=1Vn.

Colaboradores y Atribuciones


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