10.1: Sobre la naturaleza de los números
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- Sobre la naturaleza de los números: un diálogo (con disculpas a Galileo)
Interlocutores: Salviati, Sagredo y Simplicio; tres amigos de Galileo Galilei
Marco: Tres amigos se reúnen en un jardín para almorzar en Renassaince Italia. Previo a su comida discuten el libro How We Got From There to Here: A Story of Real Analysis. No está claro cómo obtuvieron una copia.
Salviati: Mis buenos señores. He leído este volumen muy extraño como espero que lo hayan hecho?
Sagredo: Yo tengo y también me pareció muy extraño.
Simplicio: Muy extraño en verdad; a la vez tonto y desconcertante.
Salviati: ¿Tonto? ¿Cómo es así?
Simplicio: Estos autores comienzan su tomo con la pregunta: “¿Qué es un número? ” Esta es una pregunta inusualmente tonta, ¿no crees? Los números son números. Todos saben lo que son.
Sagredo: Yo también lo pensé hasta llegar al último capítulo. Pero ahora no estoy tan segura. ¿Qué pasa con esta cantidad\(\aleph _0\)? Si esto cuenta los enteros positivos, ¿no es un número? Si no, entonces ¿cómo puede contar algo? Si es así, ¿qué número es entonces? Estas preguntas me atormentan hasta que apenas creo que ya sé algo.
Simplicio: ¡Claro\(\aleph _0\) que no es un número! Es simplemente un nuevo nombre para el infinito, y el infinito no es un número.
Sagredo: Pero ¿no es\(\aleph _0\) la cardinalidad del conjunto de números naturales\(\mathbb{N}\),, de la misma manera que lo\(S = \{Salviati,Sagredo,Simplicio\}\) es la cardinalidad del conjunto\(3\)? Si\(3\) es un número, entonces ¿por qué no lo es\(\aleph _0\)?
Simplicio: Ah, amigo mío, como nuestros autores simplemente estás jugando con las palabras. Cuenta los elementos en el conjunto\(S = \{Salviati,Sagredo,Simplicio\}\); ve claramente que es el número de elementos que contiene\(3\) y luego cambia su idioma. Más que decir que el número de elementos en\(S\) es\(3\) dices que la cardinalidad es\(3\). Pero claramente “cardinalidad” y “número de elementos” significan lo mismo.
Del mismo modo se utiliza el símbolo\(\mathbb{N}\) para denotar el conjunto de enteros positivos. Con tu nueva palabra y símbolo haces la declaración “la cardinalidad (número de elementos) de\(\mathbb{N}\) es\(\aleph _0\). ” Esta afirmación tiene la misma forma gramatical que la afirmación “el número de elementos (cardinalidad) de\(S\) es tres. ” Ya que tres es un número concluyes que también\(\aleph _0\) es un número.
Pero esto es simplemente una tontería vestida para sonar sensata. Si desenrollamos nuestra notación y lenguaje, su declaración es simplemente, “El número de enteros positivos es infinito. ” Esto es obviamente una tontería porque el infinito no es un número.
Incluso si tomamos el infinito como término indefinido y tratamos de definirlo por tu afirmación esto sigue siendo una tontería ya que estás usando la palabra “número” para definir un nuevo “número” llamado infinito. Esta definición es circular. Por lo tanto, no es definición en absoluto. Es una tontería.
Salviati: Tu razonamiento sobre esto ciertamente parece sólido.
Simplicio: Gracias.
Salviati: Sin embargo, hay un par de pequeños puntos que me gustaría examinar más de cerca si me van a consentir?
Simplicio: Claro. ¿Qué te disgusta?
Salviati: Usted ha dicho que no podemos usar la palabra “número” para definir números porque esto sería un razonamiento circular. Estoy totalmente de acuerdo, pero no estoy seguro de que esto es lo que están haciendo nuestros autores.
Considera el conjunto\(\{1,2,3\}\). ¿Está de acuerdo en que contiene tres elementos?
Simplicio: Obviamente.
Sagredo: ¡Ah! ¡Veo tu punto! Que haya tres elementos no depende de cuáles sean esos elementos. Cualquier conjunto con tres elementos tiene tres elementos independientemente de la naturaleza de los elementos. Así decir que el conjunto\(\{1,2,3\}\) contiene tres elementos no define la palabra “número” de manera circular porque es irrelevante que el número\(3\) sea uno de los elementos del conjunto. Así decir que tres es la cardinalidad del conjunto\(\{1,2,3\}\) tiene el mismo significado que decir que hay tres elementos en el conjunto\(\{Salviati,Sagredo,Simplicio\}\).
En ambos casos el número “\(3\)” es el nombre que le damos a la totalidad de los elementos de cada conjunto.
Salviati: Precisamente. Exactamente de la misma manera\(\aleph _0\) está el símbolo que usamos para denotar la totalidad del conjunto de enteros positivos.
Así\(\aleph _0\) es un número en el mismo sentido que\(3\) '' es un número, ¿no?
Simplicio: Veo que podemos decir de manera significativa que tres es la cardinalidad de cualquier conjunto con.. bueno,.. con tres elementos (se hace muy difícil hablar de estas cosas) pero esto es simplemente una tautología! Es una manera de decir que un conjunto que tiene tres elementos tiene tres elementos!
Esto significa sólo que los hemos contado y tuvimos que detenernos a las tres. Para ello debemos tener números primero. Lo cual, por supuesto, lo hacemos. Como dije, todo el mundo sabe qué son los números.
Sagredo: Debo confesar, amigo mío, que me confundo más a medida que hablamos. Ya no estoy seguro de que realmente sé lo que es un número. Ya que parece haber conservado su certeza ¿me puede aclarar esto? ¿Me puede decir qué es un número?
Simplicio: Ciertamente. Un número es lo que acabamos de discutir. Es lo que tienes cuando dejas de contar. Por ejemplo, tres es la totalidad (para usar tu frase) de los elementos de los conjuntos\(\{Salviati,Sagredo,Simplicio\}\) o\(\{1,2,3\}\) porque cuando cuento los elementos en cualquiera de los conjuntos tengo que parar a las tres. Nada menos, nada más. Así tres es un número.
Salviati: ¡Pero esta definición sólo me confunde! Seguramente va a permitir que las fracciones sean números? ¿Qué se cuenta cuando terminamos con, digamos\(4/5\) o\(1/5\)?
Simplicio: Esto es la simplicidad misma. \(4/5\)es el número que obtenemos cuando hemos dividido algo en pedazos\(5\) iguales y hemos contado cuatro de estas quintas partes. Esto es cuatro quintos. ¿Ves? Incluso el lenguaje que usamos naturalmente se dobla a nuestro propósito.
Salviati: Pero, ¿qué pasa con una quinta parte? Para contar una quinta parte debemos primero dividir algo en quintas. Para ello hay que saber qué es una quinta parte, ¿no es así? Parece que estamos usando la palabra “número” para definirse de nuevo. ¿No hemos cerrado el círculo y no hemos llegado a ninguna parte?
Simplicio: Confieso que esto no se me había ocurrido antes. Pero su objeción es fácilmente respondida. Para contar una quinta parte simplemente dividimos nuestro “algo” en décimas. Entonces contamos dos de ellos. Dado que dos décimas es lo mismo que una quinta parte se resuelve el problema. ¿Ves?
Sagredo: ¡Veo tu punto pero no bastará para nada! Simplemente reemplaza la pregunta: “¿Qué es una quinta parte? ” con, “¿Qué es una décima parte? ” Tampoco va a hacer decir que una décima es meramente dos-veintésimas. Esto simplemente hace retroceder la pregunta a otro nivel.
Arquímedes dijo: “Dame un lugar para pararme y una palanca lo suficientemente larga y voy a mover la tierra. ” Pero claro que nunca movió la tierra porque no tenía dónde pararse. Parece que nos encontramos en la situación de Arquímedes: No tenemos donde pararnos.
Simplicio: Confieso que no veo la manera de responder a esto en estos momentos. Sin embargo estoy seguro que se puede encontrar una respuesta si sólo pensamos lo suficiente. Mientras tanto no puedo aceptar que\(\aleph _0\) sea un número. Es, como dije antes, ¡el infinito y el infinito no es un número! También podemos creer en las hadas y los duendes si llamamos al infinito un número.
Sagredo: Pero de nuevo hemos cerrado el círculo. No podemos decir definitivamente que\(\aleph _n\) es o no es un número hasta que podamos afirmar con confianza qué es un número. Y aunque pudiéramos encontrar un terreno sólido sobre el que resolver el problema de las fracciones, ¿qué pasa\(\sqrt{2}\)? \(π\)¿O? Ciertamente estos son números pero no veo manera de contar para ninguno de ellos.
Simplicio: ¡Ay! ¡Estoy acosado por demonios! ¡Estoy hechizado! ¡Ya no creo que lo que sé sea verdad!
Salviati: Quizás las cosas no son tan malas como eso. Consideremos más a fondo. Usted dijo antes que todos sabemos qué son los números, y estoy de acuerdo. Pero tal vez su declaración tenga que formularse con mayor precisión. Supongamos que decimos en cambio que todos sabemos qué números tienen que ser? ¿O que sabemos lo que queremos que sean los números? Aunque no podamos decir con certeza qué números son seguramente podemos decir lo que queremos y necesitamos que sean. ¿Estás de acuerdo?
Sagredo: Yo sí.
Simplicio: Y yo también.
Salviati: Entonces inventemos de nuevo los números, como si nunca los hubiéramos visto antes, siempre teniendo en cuenta esas propiedades que necesitamos para que los números tengan. Si tomamos esto como punto de partida entonces la pregunta que necesitamos abordar es: “¿Qué necesitamos números para ser? ”
Sagredo: ¡Esto es obvio! Necesitamos poder sumarlos y necesitamos poder multiplicarlos juntos, y el resultado también debe ser un número.
Simplicio: Y restar y dividir también, claro.
Sagredo: No estoy tan seguro de que realmente necesitamos estos. ¿No podríamos definir “restar dos de tres” como “sumar dos a tres negativos” y así prescindir de la resta y la división?
Simplicio: Supongo que podemos pero no veo ninguna ventaja en hacerlo. ¿Por qué no simplemente tener resta y división como siempre las hemos conocido?
Sagredo: La ventaja es la parsimonia. Dos operaciones aritméticas son más fáciles de realizar un seguimiento de cuatro. Sugiero que sigamos adelante con solo suma y multiplicación por ahora. Si encontramos que necesitamos resta o división podemos considerarlos más adelante.
Simplicio: Acordado. Y ahora veo otra ventaja. Obviamente, la suma y la multiplicación no deben depender del orden. Es decir, si\(x\) y\(y\) son números entonces\(x+y\) deben ser iguales\(y + x\) y\(xy\) deben ser iguales a\(yx\). Esto no es cierto para la resta, porque\(3 - 2\) no es igual\(2 - 3\). Pero si definimos la resta como sugiere entonces se conserva esta simetría:
\[x + (-y) = (-y) + x\]
Sagredo: Excelente! Otra propiedad que vamos a requerir de números se me ocurre ahora. Al sumar o multiplicar más de dos números no debería importar por dónde comencemos. Es decir, si\(x\),\(y\) y\(z\) son números debería ser cierto que
\[(x + y) + z = x + (y + z)\]
y
\[(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\]
Simplicio: ¡Sí! ¡Lo tenemos! Cualquier objeto que se combine de estas formas precisas se puede llamar números.
Salviati: Ciertamente estas propiedades son necesarias, pero no creo que todavía sean suficientes para nuestro propósito. Por ejemplo, el número\(1\) es único ya que es el único número que, al multiplicar otro número lo deja sin cambios. Por ejemplo:\(1 \cdot 3 = 3\). O, en general, si\(x\) es un número entonces\(1 \cdot x = x\).
Sagredo: Sí. Efectivamente. Se me ocurre que el número cero juega un papel similar para la suma:\(0 + x = x\).
Salviati: No me parece esa suma y multiplicación, como las hemos definido, fuercen\(1\) o\(0\) entren en existencia así que creo que tendremos que postular su existencia de manera independiente.
Sagredo: ¿Esto es todo entonces? ¿Esto es todo lo que requerimos de números?
Simplicio: No creo que hayamos terminado todavía del todo. ¿Cómo conseguiremos la división?
Sagredo: De la misma manera que definimos la resta como la suma de un número negativo, ¿no podemos definir división para ser multiplicación por un recíproco? Por ejemplo,\(3\) dividido por se\(2\) puede considerar\(3\) multiplicado por\(1/2\), ¿no es así?
Salviati: Creo que puede. Pero observe que cada número necesitará tener un negativo correspondiente para que podamos restar cualquier cantidad. Y nuevamente nada de lo que hayamos discutido hasta ahora obliga a que estos números negativos existan por lo que tendremos que postular su existencia por separado.
Simplicio: Y de la misma manera cada número necesitará un recíproco para que podamos dividir por cualquier cantidad.
Sagredo: Cada número que es, excepto cero.
Simplicio: Sí, esto es cierto. Extraño no es así, que de todos ellos solo este número no necesita recíproco? ¿También postularemos que el cero no tiene recíproco?
Salviati: No veo por qué deberíamos. Posiblemente\(\aleph _0\) es el recíproco de cero. O posiblemente no. Pero no veo necesidad de preocuparnos por cosas que no necesitamos.
Simplicio: ¿Esto es todo entonces? ¿Hemos descubierto todo lo que necesitamos para que los números sean?
Salviati: Creo que solo falta una propiedad. Hemos postulado la suma y hemos postulado la multiplicación y hemos descrito los números cero y uno que desempeñan papeles similares para la suma y la multiplicación respectivamente. Pero no hemos descrito cómo la suma y la multiplicación funcionan juntas. Es decir, necesitamos una regla de distribución: Si\(x\),\(y\) y\(z\) son todos los números entonces\(x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z\). Con esto en su lugar creo que tenemos todo lo que necesitamos.
Simplicio: Efectivamente. También podemos ver de esto que\(\aleph _0\) no puede ser un número ya que, en primer lugar, no se puede sumar a otro número y en el segundo, aunque pudiera sumarse a un número el resultado seguramente no es también un número.
Salviati: Mi querido Simplicio, ¡me temo que te has perdido el punto por completo! Nuestros axiomas no declaran lo que es un número, sólo cómo se comporta con respecto a la suma y multiplicación con otros números. Por lo tanto, es un error suponer que los “números” son sólo aquellos objetos que siempre hemos creído que son. De hecho, ahora se me ocurre que la “suma” y la “multiplicación” tampoco necesitan ser vistas como las operaciones que siempre hemos creído que son.
Por ejemplo supongamos que tenemos tres objetos,\(\{a,b,c\}\) y supongamos que definimos “suma” y “multiplicación” por las siguientes tablas:
\[\begin{array}{c|c c c} + & a & b & c \\ \hline a&a&b&c\\ b&b&c&a\\ c&c&a&b\\ \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{c|c c c} \cdot & a & b & c \\ \hline a&a&a&a\\ b&a&b&c\\ c&a&c&b\\ \end{array}\]
Yo afirmo que nuestro conjunto junto con estas definiciones satisfacen todos nuestros axiomas y por lo tanto\(a\),\(b\) y\(c\) califican para ser llamados “números”.
Simplicio: ¡Esto no puede ser! ¡No hay cero, nadie!
Sagredo: Pero la hay. ¿No ves que a juega el papel de cero? Si lo agregas a cualquier número obtienes ese número de vuelta. De igual manera b juega el papel de uno.
¡Esto es asombroso! Si\(a\),\(b\) y\(c\) pueden ser números entonces estoy menos seguro que nunca de que sé lo que son los números! ¡Por qué, si reemplazamos\(a\),\(b\) y\(c\) con Simplicio, Sagredo y Salviati, entonces nosotros mismos nos convertimos en números!
Salviati: Quizás tendremos que contentarnos con saber cómo se comportan los números en lugar de saber cuáles son.
Sin embargo confieso que tengo cierto cariño por los números con los que crecí. Llamemos a esos los números “reales”. Cualquier otro conjunto de números, como nuestro\(\{a,b,c\}\) anterior llamaremos a un campo de números, ya que parecen proporcionarnos un nuevo terreno para explorar. ¿O tal vez solo un campo numérico?
Como hemos estado discutiendo esto he estado anotando nuestros axiomas. A continuación se indican.
AXIOMAS DE NUMER
Los números son cualquier objeto que satisfaga todas las siguientes propiedades:
Definición de Operaciones: Se pueden combinar mediante dos operaciones, denotadas “\(+\)” y “\ cdot\)”.
Cierre: Si\(x\),\(y\) y\(z\) son números entonces también\(x + y\) es un número. \(x\cdot y\)también es un número.
Conmutatividad:\(x + y = y + x\)
\(x \cdot y = y \cdot x \)
Asociatividad:\((x + y) + z = x + (y + z)\)
\((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\)
Identidad Aditiva: Hay un número, denotado\(0\), tal que para cualquier número,\(x\),\(x + 0 = x\).
Identidad Multiplicativa: Hay un número, denotado\(1\), tal que para cualquier número,\(x\),\(1 \cdot x = x\).
Aditivo Inverso: Dado cualquier número\(x\),, hay un número, denotado\(-x\), con la propiedad que\(x + (-x) = 0\).
Inverso Multiplicativo: Dado cualquier número\(x \neq 0\),, hay un número, denotado\(x^{-1}\), con la propiedad que\(x \cdot x^{-1} = 1\).
La Propiedad Distributiva: Si\(x\),\(y\) y\(z\) son números entonces\(x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z\).
Sagredo: ¡Amigo mío, esto es cosa de superar a la belleza! Todo me parece claro ahora. Los números son cualquier grupo de objetos que satisfagan nuestros axiomas. Es decir, un número es cualquier cosa que actúe como un número.
Salviati: Sí, esto parece ser cierto.
Simplicio: ¡Pero espera! No hemos resuelto la pregunta: ¿Es\(\aleph _0\) un número o no?
Salviati: Si todo lo que acabamos de hacer es válido entonces\(\aleph _0\) podría ser un número. Y así podría\(\aleph _1, \aleph _2, \cdots\) si podemos encontrar la manera de definir la suma y la multiplicación en el set\(\{\aleph _0, \aleph _1, \aleph _2, \cdots \}\) de una manera que concuerde con nuestros axiomas.
Sagredo: ¡Una aritmética de infinidades! Esta es una idea muy extraña. ¿Se puede hacer algo así sensato?
Simplicio: No, creo, antes del almuerzo. ¿Nos retiramos a nuestra comida?
\(0 \neq 1\)Demuéstralo.
- Pista
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Demuéstralo si\(x \neq 0\), entonces\(0 \cdot x \neq x\).
Considere el conjunto de pares ordenados de enteros:\(\{(x,y)|s,y ∈Z\}\), y defina la suma y la multiplicación de la siguiente manera:
Adición:\((a,b) + (c,d) = (ad + bc,bd)\)
Multiplicación:\((a,b) \cdot (c,d) = (ac,bd)\).
- Si agregamos la convención que\[(ab,ad) = (b,d)\] muestran que este conjunto con estas operaciones forma un campo numérico.
- ¿Qué campo de número es este?
Considere el conjunto de pares ordenados de números reales\(\{(x,y)|x,y ∈R\}\), y defina la suma y la multiplicación de la siguiente manera:
Adición:\((a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)\)
Multiplicación:\((a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad + bc)\)
- Mostrar que este conjunto con estas operaciones forma un campo numérico.
- ¿Qué campo de número es este?