10.2: Construyendo los números reales

Objetivos de aprendizaje

• S cómo es lógicamente necesario construir números reales

Contrario al título de esta sección no estaremos construyendo rigurosamente los números reales aquí. En cambio, nuestro objetivo es mostrar por qué tal construcción es lógicamente necesaria, y dar una idea de algunas de las formas en que esto se ha logrado en el pasado. Esto puede parecer extraño dado nuestro énfasis uniforme en el rigor matemático, especialmente en la tercera parte del texto, pero hay muy buenas razones para ello.

Una es la practicidad simple. El caso es que construir rigurosamente los números reales y luego demostrar que tienen las propiedades requeridas es un trabajo extraordinariamente detallado, incluso para las matemáticas. Si queremos mantener este texto a un tamaño manejable (lo hacemos), simplemente no tenemos la habitación.

La segunda razón es que hay, hasta donde sabemos, muy poco para que ganes con ello. Cuando terminemos tendremos los números reales. Los mismos números reales que has estado usando toda tu vida. Tienen las mismas propiedades, y peculiaridades, que siempre han tenido. Sin duda, no habrán perdido nada de su encanto; Serán la misma deliciosa mezcla de lo mundano y lo extraño, y todavía vale la pena explorarlos y conocerlos mejor. Pero nada de lo que hagamos en el transcurso de construirlos lógicamente a partir de ideas más simples ayudará con esa exploración.

Una pregunta razonable entonces, es: “¿Por qué molestarse? ” Si el proceso es abrumadoramente, tediosamente detallado (lo es) y no nos da nada nuevo para nuestros esfuerzos, ¿por qué hacerlo en absoluto?

Hacer matemáticas se ha comparado ¹ con entrar en un cuarto oscuro. Al principio estás perdido. Se desconoce el diseño de la habitación y los muebles por lo que buscas a tientas un poco y poco a poco te das una idea de tus alrededores inmediatos, tal vez una vaga noción de la organización de la habitación en su conjunto. Eventualmente, después de mucha, a menudo tediosa exploración, te vuelves bastante cómodo en tu habitación. Pero siempre habrá rincones oscuros; áreas ocultas que aún no has explorado. Tal área oscura puede ocultar cualquier cosa; los pestillos a puertas sin abrir que no sabías que estaban ahí; una abrazadera cuya presencia explica por qué no pudiste mover ese pequeño escritorio en la esquina; incluso el interruptor de luz que te permitiría iluminar un área con más claridad de lo que hubieras imaginado posible.

Pero, y este es el punto, no hay manera de saber qué encontrarás ahí hasta que entres en ese rincón oscuro y comiences a explorar. Quizás nada. Pero tal vez algo maravilloso.

Esto es lo que sucedió a finales del siglo XIX. Los números reales se habían utilizado desde que los pitagóricos se enteraron de que\(\sqrt{2}\) era irracional. Pero realmente, la mayoría de los cálculos se hicieron (y siguen siendo) con solo los números racionales. Además, dado que\(\mathbb{Q}\) forma un “conjunto de medida cero”, es evidente que la mayoría de los números reales habían quedado completamente sin usar. El conjunto de números reales fue así uno de esos “rincones oscuros” de las matemáticas. Tenía que ser explorado.

“Pero aunque eso sea cierto”, podría preguntarse, “no me interesan los fundamentos lógicos de los números reales, sobre todo si ese conocimiento no me va a decir nada que no sepa ya. ¿Por qué necesito conocer todos los detalles de la construcción\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{Q}\)?”

La respuesta a esto es muy simple: Tú no.

Esa es la otra razón por la que no estamos cubriendo todos los detalles de este material. Vamos a explicar lo suficiente como para iluminar, tenuemente quizás, este pequeño rincón de las matemáticas. Más tarde, si necesitas (o quieres) volver a esto y explorar más a fondo, tendrás una base para empezar. Nada más.

Hasta el siglo XIX la geometría de Euclides, como se da en su libro Los Elementos, era universalmente considerada como la piedra de toque de la perfección matemática. Esta creencia estaba tan profundamente arraigada en la cultura occidental que tan recientemente como 1923, Edna St. Vincent Millay abrió uno de los poemas de su libro El tejedor de arpa y otros poemas con la línea “Euclides solo ha mirado la belleza desnuda. ”

Euclides inicia su libro declarando axiomas\(5\) simples y procede, paso a paso lógico, a construir su geometría. Aunque lejos de la perfección real, sus métodos son limpios, precisos y eficientes —llega al Teorema de Pitágoras en solo\(47\) pasos (teoremas )— e incluso hoy en día los Elementos de Euclides todavía establecen un estándar muy alto de exposición matemática y parsimonia.

El objetivo de comenzar con lo claro y sencillo y proceder de manera lógica, rigurosa, a lo complejo sigue siendo un principio rector de todas las matemáticas por diversas razones. A finales del siglo XIX, este principio se puso en práctica sobre los números reales. Es decir, algunas propiedades de los números reales que al principio parecen simples e intuitivamente claras resultan en un examen más detenido, como hemos visto, ser bastante contra-intuitivas. Esto por sí solo no es realmente un problema. Podemos tener propiedades contra-intuitivas en nuestras matemáticas —de hecho, esto es una gran parte de lo que hace que las matemáticas sean interesantes— siempre y cuando lleguemos a ellas lógicamente, partiendo de suposiciones simples de la misma manera que Euclides lo hizo.

Habiendo llegado a una visión de los números reales que es comparable a la de nuestros colegas del siglo XIX, ahora debería quedar claro que los números reales y sus propiedades deben construirse a partir de conceptos más simples como lo sugirieron nuestros amigos italianos en la sección anterior.

Además de esas propiedades que hemos descubierto hasta el momento, ambas\(\mathbb{Q}\) y\(\mathbb{R}\) comparten otra propiedad la cual será útil. Lo hemos utilizado a lo largo de este texto pero hasta ahora no lo hemos hecho explícito. Ambos están ordenados linealmente. Ahora haremos explícita esta propiedad.

Definición\(\PageIndex{1}\)

Se dice que un campo numérico está ordenado linealmente si existe una relación, denotada “\(<\),” en los elementos del campo que satisfaga todos los siguientes para todos\(x\)\(y\), y\(z\) en el campo.

1. Para todos los números\(x\) y\(y\) en el campo, se mantiene exactamente uno de los siguientes:
   1. \(x < y\)
   2. \(x = y\)
   3. \(y < x\)
2. Si\(x < y\), entonces\(x + z < y + z\) para todos\(z\) en el campo.
3. Si\(x < y\), y\(0 < z\), entonces\(x \cdot z < y \cdot z\).
4. Si\(x < y\) y\(y < z\) entonces\(x < z\).

Cualquier campo numérico con tal relación se denomina campo numérico linealmente ordenado y como muestra el siguiente problema, no todos los campos numéricos están ordenados linealmente.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

1. Demostrar que lo siguiente debe contener en cualquier campo numérico linealmente ordenado.
   1. \(0 < x\)si y sólo si\(-x < 0\).
   2. Si\(x < y\) y\(z < 0\) entonces\(y \cdot z < x \cdot z\).
   3. Para todos\(x \neq 0\),\(0 < x^2\).
   4. \(0 < 1\).
2. Mostrar que el conjunto de números complejos (\(\mathbb{C}\)) no es un campo linealmente ordenado.

En una presentación minuciosa y rigurosa asumiríamos ahora la existencia de los números naturales (\(\mathbb{N}\)), y sus propiedades y utilizaríamos estos para definir los enteros, (\(\mathbb{Z}\)). Entonces usaríamos los enteros para definir los números racionales, (\(\mathbb{Q}\)). Entonces podríamos demostrar que los racionales satisfacen los axiomas de campo elaborados en la sección anterior, y que están ordenados linealmente.

Entonces —por fin— usaríamos\(\mathbb{Q}\) para definir los números reales (\(\mathbb{R}\)), mostrar que estos también satisfacen los axiomas de campo y también tienen las otras propiedades que esperamos: Continuidad, la Propiedad de Intervalo Anidado, la Propiedad de Límite Mínimo Superior, el Teorema de Bolzano-Weierstrass, la convergencia de todos los Cauchy secuencias y ordenamiento lineal.

Comenzaríamos con los números naturales porque parecen ser lo suficientemente simples como para simplemente asumir sus propiedades. Como decía Leopold Kronecker (1823-1891): “Dios hizo los números naturales, todo lo demás es obra del hombre. ”

Desafortunadamente esto es bastante para encajar en este epílogo así que tendremos que abreviar el proceso con bastante severidad.

Asumiremos la existencia y las propiedades de los números racionales. Construir\(\mathbb{Q}\) a partir de los enteros no es especialmente difícil y es fácil demostrar que satisfacen los axiomas elaborados por Salviati, Sagredo y Simplicio en la sección anterior. Pero el nivel de detalle requerido para el rigor rápidamente se vuelve oneroso.

Incluso a partir de esta posición bastante avanzada en la cadena de lógica, todavía se necesita un nivel considerable de detalle para completar el proceso. Por lo tanto nuestra exposición será necesariamente incompleta.

En lugar de mostrar, con pleno rigor, cómo se pueden construir los números reales a partir de los racionales mostraremos, en términos bastante amplios, tres formas en que esto se ha hecho en el pasado. Te daremos referencias más adelante en caso de que quieras hacer un seguimiento y conocer más.

La expansión decimal

Este es, con mucho, el método más sencillo que examinaremos. Desde que empezamos\(\mathbb{Q}\), ya tenemos algunos números cuya expansión decimal es infinita. Por ejemplo, también\(\frac{1}{3} = 0.333....\) sabemos que si\(x ∈ \mathbb{Q}\) entonces expresando\(x\) como decimal da ya sea un decimal finito o un infinito repetido.

Más simplemente, podemos decir que\(\mathbb{Q}\) consiste en el conjunto de todas las expresiones decimales que eventualmente se repiten. (Si finalmente repite ceros entonces es lo que hemos llamado un decimal finito.)

Luego definimos los números reales para que sean el conjunto de todos los decimales infinitos, repitiéndose o no.

Puede parecer como si todo lo que tenemos que hacer es definir la suma y la multiplicación de la manera obvia y estamos acabados. Este conjunto con estas definiciones obviamente satisface todos los axiomas de campo elaborados por nuestros amigos italianos en la sección anterior. Además, parece claro que todos nuestros axiomas equivalentes de integridad están satisfechos.

No obstante, las cosas no son tan claras como parecen.

La principal dificultad en este enfoque es que la representación decimal de los números reales es tan familiar que todo lo que necesitamos mostrar parece obvio. Pero detente y piensa por un momento. ¿Es realmente obvio cómo definir la suma y multiplicación de decimales infinitos? Consideremos el algoritmo de adición que todos nos enseñaron en la escuela primaria. Ese algoritmo requiere que alineemos dos números en sus puntos decimales:

\[d_1d_2 \cdot d_3d_4 \\ + \delta _1 \delta _2 \cdot \delta _3 \delta _4\]

Después comenzamos a sumar en la columna más a la derecha y procedemos a la izquierda. Pero si nuestros decimales son infinitos no podemos empezar porque ¡no hay una columna más a la derecha!

Un problema similar ocurre con la multiplicación.

Entonces nuestro primer problema es definir la suma y la multiplicación de una\(\mathbb{R}\) manera que vuelva a capturar la suma y la multiplicación en\(\mathbb{Q}\).

Esta no es una tarea trivial.

Una forma de proceder es reconocer que la notación decimal que hemos usado toda nuestra vida es realmente una taquigrafía para la suma de una serie infinita. Es decir, si\(x = 0 \cdot d_1d_2d_3 ...\) donde\(0 ≤ d_i ≤ 9\) para todos\(i ∈ N\) entonces

\[x = \sum_{i=1}^{\infty } \frac{d_i}{10^i}\]

Ahora la adición es aparentemente fácil de definir: Si\(x = \sum_{i=1}^{\infty } \frac{d_i}{10^i}\) y\(y = \sum_{i=1}^{\infty } \frac{\delta _i}{10^i}\) entonces

\[x + y = \sum_{i=1}^{\infty } \frac{e_i}{10^i} \text{ where } e_i = d_i + \delta _i\]

Pero hay un problema. Supongamos que para algunos\(j ∈ \mathbb{N}\),\(e_j = d_i + δ_i > 10\). En ese caso nuestra suma no satisface la condición\(0 ≤ e_i ≤ 9\) por lo que ni siquiera está claro que la expresión\(\sum_{i=1}^{\infty } \frac{e_i}{10^i}\) represente un número real. Es decir, es posible que no tengamos la propiedad de cierre de un campo numérico. Tendremos que definir algún tipo de operación de “transporte” para manejar esto.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Definir suma en decimales infinitos de una manera que esté cerrada.

Pista

Encuentre una operación de “acarreo” apropiada para nuestra definición.

Una dificultad similar surge cuando tratamos de definir la multiplicación. Una vez que tengamos la noción de llevar en su lugar, podríamos definir la multiplicación como solo la multiplicación de series. En concreto, podríamos definir

\[\begin{align*} (0\cdot a_1a_2a_3\cdots )\cdot (0\cdot b_1b_2b_3\cdots ) &= \left ( \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{10^2} + \cdots \right )\cdot \left ( \frac{b_1}{10} + \frac{b_2}{10^2} + \cdots \right )\\ &= \frac{a_1b_1}{10^2} + \frac{a_1b_2 + a_2b_1}{10^3} + \frac{a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1}{10^4} + \cdots \end{align*}\]

Entonces podríamos convertir esto a un decimal “apropiado” usando nuestra operación de transporte.

Nuevamente el diablo está en los detalles para demostrar que tales operaciones algebraicas satisfacen todo lo que queremos que hagan. Incluso entonces, tenemos que preocuparnos por ordenar linealmente estos números y nuestro axioma de integridad.

Otra forma de ver esto es pensar en una representación decimal infinita como una secuencia (Cauchy) de aproximaciones decimales finitas. Como sabemos sumar y multiplicar representaciones decimales finitas, podemos simplemente sumar y multiplicar los términos individuales en las secuencias. Por supuesto, no hay razón para restringirnos solo a estos tipos específicos de secuencias Cauchy, como vemos en nuestro siguiente enfoque.

Secuencias de Cauchy

Como hemos visto, Georg Cantor comenzó su carrera estudiando series de Fourier y rápidamente pasó a asuntos más fundamentales en la teoría de los conjuntos infinitos.

Pero no perdió su fascinación por el análisis real cuando siguió adelante. Como muchos matemáticos de su tiempo, se dio cuenta de la necesidad de construir a\(\mathbb{R}\) partir de\(\mathbb{Q}\). Él y su amigo y mentor Richard Dedekind (cuyo enfoque veremos en la siguiente sección) ambos encontraron diferentes formas de construir a\(\mathbb{R}\) partir de\(\mathbb{Q}\).

Cantor comenzó con secuencias de Cauchy en\(\mathbb{Q}\).

Es decir, consideramos el conjunto de todas las secuencias Cauchy de números racionales. Nos gustaría definir cada secuencia de este tipo para que sea un número real. El objetivo debe ser claro. Si\(\left ( s_n \right )_{n=1}^{\infty }\) es una secuencia en la\(\mathbb{Q}\) que converge para\(\sqrt{2}\) entonces llamaremos (\(s_n\)) al número real\(\sqrt{2}\).

Esto probablemente parece un poco sorprendente al principio. Hay muchos números en (\(s_n\)) (contablemente infinitamente muchos, para ser precisos) y estamos proponiendo ponerlos todos en una bolsa grande, atarla en una cinta, y llamar a todo\(\sqrt{2}\). Parece algo muy extraño de proponer, pero recordemos de la discusión en el apartado anterior que dejamos indefinido el concepto de “número”. Así, si podemos tomar cualquier conjunto de objetos y definir suma y multiplicación de tal manera que se satisfagan los axiomas de campo, entonces esos objetos son legítimamente números. Para demostrar que son, de hecho, los números reales también necesitaremos la propiedad de integridad.

Una bolsa llena de números racionales funciona tan bien como cualquier cosa si podemos definir la suma y la multiplicación apropiadamente.

Sin embargo, nuestro problema inmediato no es la suma o la multiplicación, sino la singularidad. Si tomamos una secuencia (\(s_n\)) que converge\(\sqrt{2}\) y la definimos para que sea\(\sqrt{2}\), ¿qué haremos con todas las demás secuencias a las que convergen\(\sqrt{2}\)?

Además, hay que tener cuidado de no referirnos a ningún número real, como la raíz cuadrada de dos por ejemplo, ya que definimos los números reales. Esta sería una definición circular —y por lo tanto inútil—. Obviamente, sin embargo, podemos referirnos a los números racionales, ya que estas son las herramientas que vamos a utilizar.

La solución es clara. Tomamos todas las secuencias de números racionales a las que convergen\(\sqrt{2}\), las tiramos a nuestra bolsa y llamamos a eso\(\sqrt{2}\). Nuestra bolsa se está llenando bastante ahora.

Pero tenemos que hacer esto sin usar\(\sqrt{2}\) porque es un número real. Las siguientes dos definiciones satisfacen todas nuestras necesidades.

Definición\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(x = \left ( s_n \right )_{k=1}^{\infty }\) y\(y = \left (\sigma _n \right )_{k=1}^{\infty }\) ser secuencias de Cauchy en\(\mathbb{Q}\). \(x\)y\(y\) se dice que son equivalentes si satisfacen los siguientes bienes: Por cada\(ε > 0\),\(ε ∈ \mathbb{Q}\), hay un número racional\(\mathbb{N}\) tal que para todos\(n > N\),\(n ∈ \mathbb{N}\),

\[|s_n - σ_n| < ε\]

Denotaremos equivalencia por escrito,\(x ≡ y\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que:

1. \(x ≡ x\)
2. \(x ≡ y ⇒ y ≡ x\)
3. \(x ≡ y\)y\(y ≡ z ⇒ x ≡ z\)

Definición\(\PageIndex{3}\)

Cada conjunto de todas las secuencias equivalentes de Cauchy define un número real.

Una característica muy agradable del método de Cantor es que está muy claro cómo se debe definir la suma y la multiplicación.

Definición\(\PageIndex{4}\)

Si

\[x = \left \{ \left ( s_n \right )_{k=1}^{\infty } \mid \left ( s_n \right )_{k=1}^{\infty } \text { is Cauchy in } \mathbb{Q} \right \}\]

y

\[y = \left \{ \left ( \sigma _n \right )_{k=1}^{\infty } \mid \left ( \sigma _n \right )_{k=1}^{\infty } \text { is Cauchy in } \mathbb{Q} \right \}\]

luego definimos lo siguiente:

Adición:

\[x + y = \left \{ \left ( t_n \right )_{k=1}^{\infty } \mid t_k = s_k + \sigma _k, \forall (s_n)\epsilon \; x, \text{ and } (\sigma _n)\epsilon \; y \right \}\]

Multiplicación:

\[x \cdot y = \left \{ \left ( t_n \right )_{k=1}^{\infty } \mid t_k = s_k \sigma _k, \forall (s_n)\epsilon \; x, \text{ and } (\sigma _n)\epsilon \; y \right \}\]

La notación utilizada en Definición\(\PageIndex{3}\) puede ser difícil de leer al principio, pero básicamente dice que la suma y la multiplicación se hacen por componentes. Sin embargo, ya que\(x\) y\(y\) consisten en todas las secuencias equivalentes tenemos que tomar todas las opciones posibles de\((s_n) ∈ x\) y\((σ_n) ∈ y\), formar el\(\text {sum (product)} \left (s_n + \sigma _n \right )_{n=1}^{\infty } (\left (s_n \sigma _n \right )_{n=1}^{\infty })\) y luego mostrar que todos esos\ text {sumas (productos)}\) son equivalentes. De lo contrario\ text {suma (multiplicación)}\) no está bien definido: Dependería de qué secuencia elegimos representar\(x\) y\(y\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(x\) y\(y\) ser números reales en\(\mathbb{Q}\) (es decir, que sean conjuntos de secuencias equivalentes de Cauchy). Si (\(s_n\)) y (\(t_n\)) están en\(x\) y (\(σ_n\)) y (\(τ_n\)) están en\(y\) entonces

\[\left (s_n + t_n \right )_{n=1}^{\infty } \equiv \left (\sigma _n + \tau _n\right )_{n=1}^{\infty }\]

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejado\(0∗\) ser el conjunto de secuencias de Cauchy en las\(\mathbb{Q}\) que todas son equivalentes a la secuencia\((0, 0, 0, ...)\). Entonces

\[0∗ + x = x\]

Prueba

De Problema\(\PageIndex{4}\) es claro que en la formación\(0∗ +x\) podemos elegir cualquier secuencia en\(0∗\) representar\(0∗\) y cualquier secuencia en\(x\) representar\(x\). (Esto se debe a que cualquier otra elección dará lugar a una secuencia equivalente a\(0∗ + x\).)

Así elegimos\((0,0,0,...)\) representar\(0∗\) y cualquier elemento de\(x\), digamos\((x_1,x_2,...)\), representar\(x\). Entonces

\[\begin{align*} (0,0,0,...) + (x_1,x_2,x_3,...) &= (x_1,x_2,x_3,...)\\ &= x \end{align*}\]

Como cualquier otra secuencia tomada de\(0∗\) y\(x\) respectivamente, producirá una suma equivalente a\(x\) (ver Problema\(\PageIndex{3}\)) concluimos que

\[0∗ + x = x\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Identificar el conjunto de secuencias equivalentes de Cauchy,\(1∗\), tal que\(1∗ \cdot x = x\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Let\(x\)\(y\),, y\(z\) ser números reales (conjuntos equivalentes de secuencias de Cauchy). Demostrar que con suma y multiplicación definidas como arriba tenemos:

1. \(x + y = y + x\)
2. \((x + y) + z = x + (y + z)\)
3. \(x \cdot y = y \cdot x\)
4. \((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\)
5. \(x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z\)

Una vez establecida la existencia de inversas aditivas y multiplicativas ² la colección de todos los conjuntos de secuencias equivalentes de Cauchy, con adición y mulitiplicación definidas como arriba satisfacen todos los axiomas de campo. Es claro que forman un campo numérico y por lo tanto merecen ser llamados números.

Sin embargo esto no necesariamente demuestra que se forman\(\mathbb{R}\). También necesitamos demostrar que están completos en el sentido del Capítulo 7. Quizás no sea demasiado sorprendente que cuando construimos los números reales usando secuencias equivalentes de Cauchy, la propiedad de integridad más natural que podemos mostrar es que si una secuencia de números reales es Cauchy entonces converge.

Sin embargo, no estamos en condiciones de demostrar que las secuencias de Cauchy\(\mathbb{R}\) convergen. Para ello primero necesitaríamos demostrar que estos conjuntos de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy (números reales) están ordenados linealmente.

Desafortunadamente mostrar el orden lineal, aunque no especialmente difícil, consume mucho tiempo. Por lo que volveremos a invocar las prerrogativas del maestro y dejaremos a un lado todas las dificultades con la afirmación de que es sencillo demostrar que los números reales tal como los hemos construido en esta sección están ordenados linealmente y están completos. Si deseas ver esta construcción en pleno rigor te recomendamos el libro, El sistema numérico de H. A. Thurston [16]. ³

Cortes Dedekind

Una ventaja de construir los reales a través de secuencias de Cauchy en la sección anterior es que una vez que hemos identificado secuencias equivalentes con números reales queda muy claro cómo se debe definir la suma y la multiplicación.

Por otro lado, antes incluso de que podamos comenzar a entender esa construcción, necesitamos un sentido bastante fuerte de lo que significa para que una secuencia converja y experiencia suficiente con secuencias para estar cómodos con la noción de una secuencia de Cauchy. Por lo tanto, se debe dominar una buena cantidad de matemáticas de alto nivel antes de que podamos comenzar.

El método de “cortes Dedekind” desarrollado por primera vez por Richard Dedekind (aunque los acaba de llamar “cortes”) en su libro de 1872, Continuidad y los números irracionales comparte la ventaja del método de secuencia de Cauchy en que, una vez identificados los candidatos a los números reales, es muy claro ⁴ cómo se debe definir la suma y la multiplicación. También es sencillo demostrar que la mayoría de los axiomas de campo están satisfechos.

Además, el método de Dedekind también tiene la ventaja de que se requiere muy poco conocimiento matemático para comenzar. Esto es intencional. En el prefacio de la primera edición de su libro, Dedekind afirma:

Esta memoria puede ser entendida por cualquiera que posea lo que generalmente se llama sentido común; ningún conocimiento técnico filosófico, o matemático, es en el menor grado requerido. (citado en [5])

Si bien pudo haber exagerado un poco su caso, es claro que su intención era argumentar desde principios muy simples tal como lo hizo Euclides.

Su punto de partida fue la observación que hicimos en el Capítulo 1: La recta numérica racional está llena de agujeros. Más precisamente podemos “cortar” la línea racional de dos maneras distintas:

1. Podemos escoger un número racional,\(r\). Esta elección divide todos los demás números racionales en dos clases: Los mayores que\(r\) y los menores que\(r\).
2. Podemos escoger uno de los agujeros en la recta numérica racional. En este caso todos los racionales caen en dos clases: Los mayores que el agujero y los menos.

Pero hablar de números racionales como menores o mayores que algo que no está ahí es una tontería absoluta. Necesitaremos una mejor definición (es decir, una rigurosa) definición.

Como antes desarrollaremos un sentido general de esta construcción en lugar de una presentación completamente detallada, ya que esta última sería demasiado larga para incluirla.

Nuestra presentación seguirá de cerca la de Edmund Landau en su clásico texto de 1951 Fundamentos del Análisis [7]. Hacemos esto para que si eliges perseguir esta construcción con más detalle puedas seguir la presentación de Landau más fácilmente.

Definición\(\PageIndex{5}\): Dedekind Cut

Un conjunto de ⁵ números racionales positivos se llama corte si

Propiedad: Contiene un número racional positivo pero no contiene todos los números racionales positivos.

Propiedad II: Cada número racional positivo en el conjunto es menor que cada número racional positivo que no esté en el conjunto.

Propiedad III: No hay ningún elemento del conjunto que sea mayor que cualquier otro elemento del conjunto.

Dadas sus audiencias previstas, Dedekind y Landau rehuyeron usar demasiada notación. Sin embargo, incluiremos lo siguiente para aquellos que se sientan más cómodos con el simbolismo ya que puede ayudar a proporcionar más perspectiva. Específicamente las propiedades que definen un corte Dedekind se\(α\) pueden escribir de la siguiente manera.

Propiedad I:\(α \neq ∅\) y\(\mathbb{Q}^+ - α \neq ∅\).

Propiedad II: Si\(x ∈ α\) y\(y ∈ \mathbb{Q}^+ - α\), entonces\(x < y\). (Alternativamente, si\(x ∈ α\) y\(y < x\), entonces\(y ∈ α\).)

Propiedad III: Si\(x ∈ α\), entonces\(∃ z ∈ α\) tal que\(x < z\).

Propiedades I-III realmente dicen que los cortes Dedekind están delimitados intervalos abiertos de números racionales a partir de\(0\). Por ejemplo,\((0,3) ∩ \mathbb{Q}^+\) es un corte de Dedekind (que eventualmente será el número real\(3\)). De igual manera,\(\{x|x^2 < 2\} ∩ \mathbb{Q}^+\) es un corte de Dedekind (que eventualmente será el número real\(\sqrt{2}\)). Observe que se debe tener cuidado de no referirse realmente a números irracionales en las propiedades ya que el propósito es construirlos a partir de números racionales, pero podría ayudar a cimentar a usted para anticipar lo que sucederá.

Tomar particular nota de los siguientes tres hechos:

1. Se requieren muy pocos conocimientos matemáticos para entender esta definición. Necesitamos saber qué es un conjunto, necesitamos saber qué es un número racional, y necesitamos saber que dados dos números racionales positivos o son iguales o uno es mayor.
2. El lenguaje que usa Landau es muy preciso. Esto es necesario para evitar tonterías como tratar de comparar algo con nada como hicimos un par de párrafos arriba.
3. Solo estamos usando los números racionales positivos para nuestra construcción. El motivo de esto quedará claro en breve. Como cuestión práctica por ahora, esto significa que los recortes que acabamos de definir corresponderán (eventualmente) a los números reales positivos.

Definición\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(α\) y\(β\) ser cortes. Entonces decimos que\(α\) es menor que\(β\), y escribimos\[α < β\] si hay un número racional en el\(β\) que no está en\(α\).

Obsérvese que, a la luz de lo que dijimos antes de la Definición\(\PageIndex{1}\) (que se toma directamente de Landau), observamos lo siguiente.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(α\) y\(β\) ser cortes. Entonces\(α < β\) si y sólo si\(α ⊂ β\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar teorema\(\PageIndex{2}\) y usar esto para concluir que si\(α\) y\(β\) son cortes entonces exactamente uno de los siguientes es cierto:

1. \(α = β\)
2. \(α < β\)
3. \(β < α\)

Primero tendremos que definir la suma y la multiplicación para nuestros cortes y eventualmente estos deberán extenderse de\(\mathbb{R}\) (una vez que también se hayan construido los reales no positivos). Será necesario demostrar que las definiciones extendidas satisfacen los axiomas de campo. Como pueden ver hay mucho por hacer.

Como hicimos con las secuencias de Cauchy y con decimales infinitos, nos detendremos bien antes de la construcción completa. Si estás interesado en explorar los detalles de la construcción de Dedekind, el libro de Landau [7] es muy minucioso y fue escrito con la intención explícita de que sería accesible para los estudiantes. En su “Prefacio para el Maestro” dice

Espero haber escrito este libro, después de una preparación que se extiende a lo largo de décadas, de tal manera que un estudiante normal pueda leerlo en dos días.

Esto puede ser estirar las cosas. Date al menos una semana y asegúrate de que no tienes nada más que hacer esa semana.

La suma y la multiplicación se definen de la manera obvia.

Definición\(\PageIndex{7}\): Addition on cuts

Dejar\(α\) y\(β\) ser cortes. Vamos a denotar el conjunto\(\{x + y|x ∈ α,y ∈ β\}\) por\(α + β\).

Definición\(\PageIndex{8}\): Multiplication on cuts

Dejar\(α\) y\(β\) ser cortes. Denotaremos el conjunto\(\{xy|x ∈ α,y ∈ β\}\) por\(αβ\) o\(α \cdot β\).

Si vamos a tener la esperanza de que estos objetos sirvan como nuestros números reales debemos tener cierre con respecto a la suma y la multiplicación. Mostraremos cierre con respecto a la adición.

Teorema\(\PageIndex{3}\): Closure with Respect to Addition

Si\(α\) y\(β\) son cortes entonces\(α + β\) es un corte.

Prueba

Necesitamos demostrar que el conjunto\(α + β\) satisface las tres propiedades de un corte.

Comprobante de propiedad I

Dejar\(x\) ser cualquier número racional en\(α\) y dejar\(x_1\) ser un número racional no en\(α\). Después por Propiedad II\(x < x_1\).

Dejar\(y\) ser cualquier número racional en\(β\) y dejar\(y_1\) ser un número racional no en\(β\). Después por Propiedad II\(y < y_1\).

Así ya que\(x + y\) representa un elemento genérico de\(α + β\) y\(x + y < x_1 + y_1\), de ello se deduce que\(x_1 + y_1 \not{∈} α + β\).

Comprobante de Bienes II

Demostraremos que lo contrapositivo de la Propiedad II es cierto: Si\(x ∈ α + β\) y\(y < x\) entonces\(y ∈ α + β\).

Primero, vamos\(x ∈ α + β\). Entonces hay\(x_α ∈ α\) y\(x_β ∈ β\) tal que\(y < x = x_α + x_β\). Por lo tanto\(\frac{y}{x_\alpha + x_\beta } < 1\), para que

\[x_\alpha \left (\frac{y}{x_\alpha + x_\beta } \right ) < x_\alpha\]

y

\[x_\beta \left (\frac{y}{x_\alpha + x_\beta } \right ) < x_\beta\]

Por lo tanto\(x_\alpha \left (\frac{y}{x_\alpha + x_\beta } \right ) \epsilon \; \alpha\) y\(x_\beta \left (\frac{y}{x_\alpha + x_\beta } \right ) \epsilon \; \beta\).

Por lo tanto

\[y = x_\alpha \left (\frac{y}{x_\alpha + x_\beta } \right ) + x_\beta \left (\frac{y}{x_\alpha + x_\beta } \right ) \epsilon \; \alpha +\beta\]

Comprobante de Bienes III

Vamos\(z ∈ α + β\). Tenemos que encontrar\(w > z\),\(w ∈ α + β\). Observe que para algunos\(x ∈ α\) y\(y ∈ β\)

\[z = x + y\]

Ya que\(α\) es un corte, hay un número racional\(x_1 ∈ α\) tal que\(x_1 > x\). Tomar\(w = x_1 + y ∈ α + β\). Entonces

\[w = x1 + y > x + y = z\]

Esto completa la prueba de este teorema.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que si\(α\) y\(β\) son cortes entonces también\(α \cdot β\) es un corte.

En este punto hemos construido nuestros cortes y hemos definido suma y multiplicación para cortes. No obstante, como se observó anteriormente los recortes que tenemos corresponderán (muy pronto) sólo a los números reales positivos. Esto puede parecer un problema pero realmente no es porque los números reales no positivos se puedan definir en términos de los positivos, es decir, en términos de nuestros recortes. Cotizamos de Landau [7]:

Estos recortes se llamarán en adelante los “números positivos”;.

Creamos un nuevo número\(0\) (para ser leído “cero”), distinto de los números positivos.

También creamos números que son distintos de los números positivos así como distintos de cero, y que llamaremos números negativos, de tal manera que a cada uno\(ξ\) (es decir, a cada número positivo) asignamos un número negativo denotado por\(-ξ\) (− para ser leído “menos”). En este,\(-ξ\) y se\(-ν\) considerará como el mismo número (como igual) si y sólo si\(ξ\) y\(ν\) son el mismo número.

La totalidad que consiste en todos los números positivos, de\(0\), y de todos los números negativos, se llamará los números reales.

Por supuesto que no es suficiente simplemente postular la existencia de los números reales no negativos. Todo lo que tenemos hasta ahora es un conjunto de objetos que estamos llamando los números reales.

Para algunos de ellos (los reales positivos ⁶) hemos definido suma y multiplicación. Estas definiciones eventualmente resultarán corresponder a la suma y multiplicación con la que estamos familiarizados.

Sin embargo, no tenemos ninguna operación para todo nuestro conjunto de números reales propuestos. Antes de hacer esto necesitamos primero definir el valor absoluto de un número real. Este es un concepto con el que estás muy familiarizado y probablemente hayas visto la siguiente definición: Vamos\(α ∈ \mathbb{R}\). Entonces

\[\left | \alpha \right | = \begin{cases} \alpha & \text{ if } \alpha \geq 0\\ -\alpha & \text{ if } \alpha < 0 \end{cases}\]

Desafortunadamente no podemos usar esta definición porque aún no tenemos un orden lineal encendido\(\mathbb{R}\) por lo que la declaración\(α ≥ 0\) carece de sentido. En efecto, será nuestra definición de valor absoluto la que ordene los números reales. Debemos tener cuidado.

Observe que por definición se denota un número real negativo con el guión ('-') al frente. Eso\(χ\) es positivo mientras que\(-χ\) es negativo. Por lo tanto, si\(A\) hay algún número real entonces uno de los siguientes es verdadero:

1. \(A = χ\)para algunos\(χ ∈ \mathbb{R}\) (\(A\)es positivo)
2. \(A = -χ\)para algunos\(χ ∈ \mathbb{R}\) (\(A\)es negativo)
3. \(A = 0\)

Definimos el valor absoluto de la siguiente manera:

Definición\(\PageIndex{9}\)

Dejemos\(A ∈ \mathbb{R}\) como arriba. Entonces

\[\left | A \right | = \begin{cases} \chi & \text{ if } A = \chi \\ 0 & \text{ if } A = 0\\ \chi & \text{ if } A = -\chi \end{cases}\]

Con esta definición en su lugar es posible mostrar que\(mathbb{R}\) está ordenado linealmente. No vamos a hacer esto explícitamente. En cambio simplemente asumiremos que los símbolos “\(<\)” “\(>\),” y “\(=\)” han sido definidos y tienen todas las propiedades que hemos aprendido a esperar de ellos.

Ahora extendemos nuestras definiciones de suma y multiplicación desde los números reales positivos (cortes) a todos ellos. Curiosamente, la multiplicación es la más simple de las dos.

Definición\(\PageIndex{10}\): Multiplication

Vamos\(α\),\(β ∈ \mathbb{R}\). Entonces

\[\alpha \cdot \beta = \begin{cases} -\left | \alpha \right | \left | \beta \right | & \text{ if } \alpha > 0, \beta < 0 \text{ or } \alpha < 0, \beta > 0 \\ \left | \alpha \right | \left | \beta \right | & \text{ if } \alpha < 0, \beta > 0\\ 0 & \text{ if } \alpha = 0 \text{ or } \beta = 0 \end{cases}\]

Observe que el caso donde\(α\) y\(β\) son ambos positivos ya fue manejado por Definición\(\PageIndex{8}\) porque en ese caso ambos son cortes.

A continuación definimos suma.

Definición\(\PageIndex{11}\): Addition

Vamos\(α\),\(β ∈ \mathbb{R}\). Entonces

\[\alpha + \beta = \begin{cases} -(\left | \alpha \right | + \left | \beta \right |) & \text{ if } \alpha < 0, \beta < 0 \\ \left | \alpha \right | - \left | \beta \right | & \text{ if } \alpha > 0, \beta < 0, \left | \alpha \right | > \left | \beta \right |\\ 0 & \text{ if } \alpha > 0, \beta < 0, \left | \alpha \right | = \left | \beta \right |\\ -(\left | \alpha \right | - \left | \beta \right |) & \text{ if } \alpha > 0, \beta < 0,\left | \alpha \right | < \left | \beta \right | \\ \beta +\alpha & \text{ if } \alpha < 0, \beta > 0 \\ \beta & \text{ if } \alpha = 0 \\ \alpha & \text{ if } \beta = 0 \end{cases}\]

¡Pero espera! En el segundo y cuarto casos de nuestra definición hemos definido realmente la suma en términos de resta. ⁷ ¡Pero aún no hemos definido la resta! ¡Uy!

Esto se maneja con la siguiente definición, pero ilumina muy claramente el cuidado que se debe tener en estas construcciones. Los números reales nos son tan familiares que es extraordinariamente fácil hacer suposiciones injustificadas.

Dado que las restaciones en el segundo y cuarto casos anteriores se hacen con números positivos solo necesitamos darle sentido a la resta de cortes.

Definición\(\PageIndex{12}\)

Si\(α\),\(β\) y\(δ\) son cortes entonces la expresión

\[α−β = δ\]

se define como media

\[α = δ + β\]

Por supuesto, está el detalle de mostrar que existe tal corte\(δ\). (Te advertimos de lo tedioso de todo esto.) Landau repasa los detalles de demostrar que tal corte existe. Presentaremos una alternativa definiendo el corte\(α - β\) directamente (asumiendo\(β < α\)). Para motivar esta definición, considera algo con lo que estamos familiarizados:\(3 - 2 = 1\). En cuanto a cortes, queremos decir que el intervalo abierto de\(0\) a\(3\) “menos” el intervalo abierto de\(0\) a\(2\) debería darnos el intervalo abierto de\(0\) a\(1\). Tomar elementos\((0,3)\) y restar elementos de\((0,2)\) no lo hará ya que tendríamos diferencias como\(2.9 - 0.9 = 2\) que no está en el corte\((0,1)\). Un momento de pensamiento nos dice que lo que tenemos que hacer es tomar todos los elementos\((0,3)\) y restar todos los elementos\((2,∞)\), limitándonos sólo a aquellos que son números racionales positivos. Esto solicita la siguiente definición.

Definición\(\PageIndex{13}\)

Dejar\(α\) y\(β\) ser cortes con\(β < α\). Defina de\(α - β\) la siguiente manera:

\[α - β = \{x - y|x ∈ α \text{ and } y \not{∈} β\} ∩ Q^+\]

Para demostrar que, de hecho\(β + (α - β) = α\),, será útil el siguiente lema técnico.

Lema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(β\) ser un corte,\(y\) y\(z\) ser números racionales positivos no en\(β\) con\(y < z\), y dejar que\(ε > 0\) sea cualquier número racional. Entonces existen números racionales positivos\(r\) y\(s\) con\(r ∈ β\), y\(s \not{∈} β\), tal que\(s < z\), y\(s - r < ε\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar Lema\(\PageIndex{1}\).

Pista

Ya que\(β\) es un corte existe\(r_1 ∈ β\). Vamos\(s_1 = y \not{∈} β\). Eso lo sabemos\(r_1 < s_1 < z\). Considera el punto medio\(\frac{s_1+r_1}{2}\). Si esto está en\(β\) entonces relámbalo como\(r_2\) y relabel\(s_1\) como\(s_2\). Si no está en\(β\) entonces relámbalo como\(s_2\) y relabel\(r_1\) como\(r_2\), etc.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dejar\(α\) y\(β\) ser cortes con\(β < α\). \(β + (α - β) = α\)Demuéstralo.

Pista

Es bastante sencillo demostrarlo\(β + (α - β) ⊆ α\). Para\(α ⊆ β + (α - β)\) demostrarlo, dejamos\(x ∈ α\). Ya que\(β < α\), tenemos\(y ∈ α\) con\(y \not{∈} β\). Podemos asumir sin pérdida de generalidad eso\(x < y\). (¿Por qué?) Elige\(z ∈ α\) con\(y < z\). Por el Lema\(\PageIndex{1}\), existen números racionales positivos\(r\) y\(s\) con\(r ∈ β\),\(s ∈ β\),\(s < z\), y\(s - r < z - x\). \(x < r + (z - s)\)Demuéstralo.

Terminaremos diciendo que no importa cómo construyas el sistema de números reales, en realidad solo hay uno. Más precisamente tenemos el siguiente teorema que declaramos sin pruebas. ⁸

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Cualquier campo completo, linealmente ordenado es isomórfico de ⁹ a\(\mathbb{R}\).

Recuerda que te advertimos que estas construcciones estaban plagadas de detalles técnicos que no necesariamente son iluminadores. Sin embargo, en este punto, tiene todo lo que necesita para demostrar que el conjunto de todos los números reales como se definió anteriormente está ordenado linealmente y satisface la propiedad de Límite Mínimo Superior.

Pero nos detendremos aquí para, parafraseando a Descartes, para dejarle la alegría de un mayor descubrimiento.

Referencias

¹ Por Andrew Wiles, el hombre que probó el último teorema de Fermat.

² No abordaremos este tema aquí, pero deberías pensar en cómo se podría lograr esto.

³ Thurston construye primero R como hemos indicado en esta sección. Entonces como comentario final muestra que los números reales deben ser exactamente los decimales infinitos que vimos en la sección anterior.

⁴ “Claro” no significa “fácil de hacer” como veremos.

⁵ Tenga especial en cuenta que no estamos usando los números racionales negativos o cero para construir nuestros recortes. El motivo de esto quedará claro en breve.

⁶ Es decir, los cortes.

⁷ Obsérvese también que el quinto caso se refiere a la adición tal como se define en el segundo caso.

⁸ De hecho, no probar este resultado parece ser estándar en referencias de análisis reales. La mayoría de las veces simplemente se afirma como lo hemos hecho aquí. Sin embargo, se puede encontrar una prueba en http://math.ucr.edu/ res/math205A/uniqreals.pdf.

⁹ Se dice que dos campos numéricos ordenados linealmente son isomórficos si hay uno a uno, al mapear entre ellos (tal mapeo se llama biyección) que preserva la suma, la multiplicación y el orden. Más precisamente, si\(\mathcal{F}_1\) y\(\mathcal{F}_2\) son ambos campos ordenados linealmente,\(x\),\(y ∈ \mathcal{F}_1\) y\(\varphi : \mathcal{F}_1 \rightarrow \mathcal{F}_2\) es el mapeo entonces

1. \(φ(x + y) = φ(x) + φ(y)\)
2. \(φ(x \cdot y) = φ(x) \cdot φ(y)\)
3. \(x < y ⇒ φ(x) < φ(y)\)