7.1: Definición y Existencia de la Integral Múltiple

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Ahora consideramos la integral de Riemann de una función de valor real$f$ definida en un subconjunto de$\R^n$, donde$n\ge2$. Gran parte de este desarrollo será análogo al desarrollo en Secciones~3.1—3 para$n=1$, pero hay una diferencia importante: pues$n=1$, consideramos integrales solo a intervalos cerrados, pero para$n>1$ debemos considerar regiones de integración más complicadas. Para diferir las complicaciones debidas a la geometría, primero consideramos integrales sobre rectángulos en$\R^n$, que ahora definimos.

-.4em El\ [ S_1\ veces S_2\ veces\ cdots\ veces s_n \] de los subconjuntos$S_1$$S_2$,,,$S_n$ de$\R$ es el conjunto de puntos$(x_1,x_2, \dots,x_n)$ en$\R^n$ tal que$x_1\in S_1, x_2\in S_2, \dots,x_n\in S_n$. Por ejemplo, el producto cartesiano de los dos intervalos cerrados

\ [ [a_1, b_1]\ times [a_2, b_2] =\ set {(x, y)} {a_1\ le x\ le b_1,\ a_2\ le y\ le b_2} \] es un rectángulo en$\R^2$ con lados paralelos a los$y$ ejes$x$ - y -( Figura~).

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El producto cartesiano de tres intervalos cerrados\ [[a_1, b_1]\ times [a_2, b_2]\ times [a_3, b_3] =\ set {(x, y, z)} {a_1\ le x\ le b_1,\ a_2\ le y\ le b_2,\ a_3\ le z\ le b_3} \] es un paralelepípedo rectangular in$\R^3$ con caras paralelas a los ejes de coordenadas (Figura~).

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Si$n=1$$2$, o$3$, entonces$V(R)$ es, respectivamente, la longitud de un intervalo, el área de un rectángulo, o el volumen de un paralelepípedo rectangular. De ahora en adelante, rectángulo” o cubo” siempre significará rectángulo de coordenadas” o cubo de coordenadas” a menos que se indique lo contrario.

Si\ [ R= [a_1, b_1]\ times [a_2, b_2]\ times\ cdots\ times [a_n, b_n] \] y\ [ p_r\ colon\, a_r=a_ {r0} <a_ {r1} <\ cdots<a_ {rm_r} =b_r\ quad \] es una partición de$[a_r,b_r]$$1\le r\le n$, entonces el conjunto de todos los rectángulos en$\R^n$ que se pueden escribir como\ [ [a_ {1, j_1-1}, a_ {1j_1}]\ veces [a_ {2, j_2-1 }, a_ {2j_2}]\ times\ cdots\ times [a_ {n, j_n-1}, a_ {nj_n}],\ quad\ 1\ le j_r\ le m_r,\ quad 1\ le r\ le n, \] es un {} de$R$. Denotamos esta partición por\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.1} {\ bf P} =P_1\ veces P_2\ veces\ cdots\ veces P_n \ end {ecuación}\] y definimos su {} para que sea el máximo de las normas de$P_1$,$P_2$,,$P_n$, como se define en la Sección~3.1; así, \ [\ | {\ bf P}\ |=\ max\ {\ |P_1\ |,\,\ |P_2\ |,\ puntos,\ |P_n\ |\}. \] Dicho de otra manera,$\|{\bf P}\|$ es la mayor de las longitudes de borde de todos los subrectángulos en~${\bf P}$.

Geométricamente, un rectángulo adentro$\R^2$ se divide dibujando líneas horizontales y verticales a través de él (Figura~); en$\R^3$, dibujando planos a través de él paralelos a los ejes de coordenadas. El particionamiento divide un rectángulo$R$ en finitamente muchos subrectángulos que podemos numerar en orden arbitrario como$R_1$,$R_2$,,$R_k$. A veces es conveniente escribir\ [ {\ bf P} =\ {R_1, R_2,\ dots, R_k\} \] en lugar de.

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Si${\bf P}=P_1\times P_2\times\cdots\times P_n$ y${\bf P}'=P'_1 \times P'_2\times\cdots\times P'_n$ son particiones del mismo rectángulo, entonces${\bf P}'$ es un {} de${\bf P}$ if$P'_i$ es un refinamiento de$P_i$,$1\le i\le n$, como se define en la Sección~3.1.

Supongamos que$f$ es una función de valor real definida en un rectángulo$R$ en$\R^n$,${\bf P}=\{R_1,R_2, \dots,R_k\}$ es una partición de$R$, y$\mathbf{X}_j$ es un punto arbitrario en$R_j$,$1\le j\le k$. Entonces\ [ \ sigma=\ suma_ {j=1} ^k f (\ mathbf {X} _j) V (R_j) \] es un {}. Dado que se$\mathbf{X}_j$ puede elegir arbitrariamente en$R_j$, hay infinitamente muchas sumas de Riemann para una función dada$f$ sobre cualquier partición${\bf P}$ de$R$.

La siguiente definición es similar a Definition~.

Si$R$ es degenerado, entonces Definition~ implica eso$\int_R f(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}=0$ para cualquier función$f$ definida en$R$ (Ejercicio~). Por lo tanto, debe entenderse en adelante que cada vez que hablamos de un rectángulo en$\R^n$ nos referimos a un rectángulo no degenerado, a menos que se indique lo contrario.

La integral también$\int_R\, f(\mathbf{X})d\mathbf{X}$ se escribe como\ [ \ int_r f (x, y)\, d (x, y)\ quad (n=2),\ quad \ int_r f (x, y, z)\, d (x, y, z)\ quad (n=3), \] o\ [ \ int_r f (x_1, x_2,\ puntos, x_n)\, d (_1, x_2,\ dots, x_n)\ mbox {\ quad ($n$ arbitrario)}. \]

Aquí$d\mathbf{X}$ no representa el diferencial de$\mathbf{X}$, como se define en la Sección~6.2. Simplemente identifica$x_1$,,$x_2$,$x_n$, los componentes de$\mathbf{X}$, como las variables de integración. Para evitar esta menor inconsistencia, algunos autores escriben simplemente$\int_R f$ en lugar de$\int_R f(\mathbf{X})\, d\mathbf{X}$.

Como en el caso donde$n=1$, diremos simplemente integrable” o integral''cuando nos referimos a Riemann integrable” o Riemann integral”. Si$n\ge2$, llamamos a la integral de Definición~ a {}; para$n=2$ y$n=3$ también las llamamos {} y {}, respectivamente. Cuando deseamos distinguir entre integrales múltiples y la integral que estudiamos en Chapter~$(n=1)$, llamaremos a esta última una {} integral.

Dejar$P_1$ y$P_2$ ser particiones de$[a,b]$ y$[c,d]$; así,\ [ P_1: a=x_0<x_1<\ cdots<x_r=b \ mbox {\ quad y\ quad} P_2: c=y_0<y_1<\ cdots<y_s=d. \] Una suma típica de Riemann de$f$ over${\bf P}=P_1\times P_2$ viene dada por\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.2} \ sigma=\ suma_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s (\ xi_ {ij} +\ eta_ {ij}) (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1}), \ end {ecuación}\] donde\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.3} x_ {i-1}\ le\ xi_ {ij}\ le x_i\ mbox {\ quad y\ quad} y_ {j-1}\ le\ eta_ {ij} \ le y_j. \ end {ecuación}\] Los puntos medios de$[x_{i-1}, x_i]$ y$[y_{j-1}, y_j]$ son\ [\ begin { ecuación}\ label {eq:7.1.4} \ overline {x} _i=\ frac {x_i+x_ {i-1}} {2}\ mbox {\ quad y\ quad} \ overline {y} _j=\ frac {y_j+y_ {j-1}} {2}, \ end {ecuación}\] e implica que\ [\ begin {eqnarray} |\ xi_ {ij} -\ overline {x} _i|\ ar\ le\ frac {x_i-x_ {i-1}} {2}\ le \ frac {\ |P_1\ |} { 2}\ le\ frac {\ | {\ bf P}\ |} {2}\ label {eq:7.1.5 }\\ \ arraytext {y}\ nonumber\\ |\ eta_ {ij} -\ overline {y} _j|\ ar\ le\ frac {y_j-y_ {j-1}} {2}\ le \ frac {\ |P_2\ |} {2} \ le\ frac {\ | {\ bf P}\ |} {2}. \ label {eq:7.1.6} \ end {eqnarray}\]

Ahora reescribimos como\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.7} \ begin {array} {rcl} \ sigma\ ar=\ dst {\ sum_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s (\ overline {x} _i+ \ overline {y} _j) (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1}})}\\ [2\ jot] \ ar {} +\ dst {\ suma_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s\ izquierda [(\ xi_ {ij} -\ overline {x} _i) + (\ eta_ {ij} -\ overline {y} _j)\ derecha] (x_i-x_ {i -1}) (y_j-y_ {j-1})}. \ end {array} \ end {ecuación}\] Para encontrar$\int_R f(x,y) \,d(x,y)$ desde, recordamos que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.8} \ sum_ {i=1} ^r (x_i-x_ {i-1}) =b-a,\ quad\ suma_ {j=1} ^s (y_j-y_ {j-1}) =d-c \ end {ecuación}\] (Ejemplo~), y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.9} \ suma_ {i=1} ^r (x^2_i-x^2_ {i-1}) =b^2-a^2,\ quad\ suma_ {j= 1} ^s (y_j^2- y_ {j-1} ^2) =d^2-c^2 \ end {ecuación}\] (Ejemplo~).

Debido a y el valor absoluto de la segunda suma en no excede\ [\ begin {eqnarray*} \ | {\ bf P}\ |\ sum_ {j=1} ^r\ sum_ {j=1} ^s (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1})\ ar= \ | {\ bf P}\ | \ left [\ sum_ {i=1} ^r (x_i-x_ {i-1})\ derecha]\ izquierda [\ suma_ {j=1} ^s (y_j-y_ {j-1}) \ derecha]\ \ ar=\ | {\ bf P}\ | (b-a) (d-c) \ end { eqnarray*}\] (ver), así implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.10} \ izquierda|\ sigma-\ suma_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s (\ overline {x} _i+ \ overline {y} _j) (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j_ -1})\ derecha|\ le\ | {\ bf P}\ | (b-a) (d-c). \ end {ecuación}\] Ahora se deduce que \ [\ begin {array} {rcl} \ dst {\ sum_ {i=1} ^r}\ dst {\ sum_ {j=1} ^s}\,\ overline {x} _i (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1}) \ ar=\ dst {\ left [\ sum_ {i=1} ^r\ overline {x} _i (x_i-x_ {i-1})\ derecha]} \ dst {\ izquierda [\ sum_ {j=1} ^s (y_j-y_ {j-1})\ derecha]}\ \ ar =( d-c)\ dst {\ sum_ {i=1} ^r}\ overline {x} _ i (x_i-x_ {i-1})\ mbox {\ quad (de \ eqref {eq:7.1.8})}\\\ ar= \ dst\ frac {d-c} {2}\ sum_ {i=1} ^r (x^2_i-x^2_ {i-1})\ hspace* {2.1em}\ mbox {(de \ eqref {eqref {eqref {q:7.1.4})} \\\ ar=\ dst\ frac {d-c} {2} (b^2-a^2)\ hspace* {4.6em}\ mbox {(de \ eqref {eq:7.1.9})}. \ end {array} \] Del mismo modo, \ [\ suma_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s\ overline {y} _j (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1}) = \ frac {b-a} {2} (d^2-c^2). \]

Por lo tanto, se puede escribir como \ [\ izquierda|\ sigma-\ frac {d-c} {2} (b^2-a^2) -\ frac {b-a} {2} (d^2-c^2)\ derecha|\ le \ | {\ bf P}\ | (b-a) (d-c). \] Ya que el lado derecho se puede hacer tan pequeño como queramos eligiendo$\|{\bf P}\|$ suficientemente pequeño,\ [ \ int_r (x+y)\, d (x, y) =\ frac {1} {2}\ left [(d-c) (b^2-a^2) + (b-a) (d^2-c^2)\ right]. \]

El siguiente teorema es análogo al Teorem~.

Vamos a mostrar que si$f$ es unacounded on$R$,${\bf P}=\{R_1,R_2, \dots,R_k\}$ hay alguna partición de$R$, y$M>0$, entonces hay sumas de Riemann$\sigma$ y$\sigma'$ de$f$ sobre${\bf P}$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.11} |\ sigma-\ sigma'|\ ge M. \ end {ecuación}\] Esta implica que$f$ no puede satisfacer Definición~. (¿Por qué?)

Que\ [ \ sigma=\ suma_ {j=1} ^kf (\ mathbf {X} _j) V (R_j) \] sea una suma de Riemann de$f$ más${\bf P}$. Debe haber un entero$i$ en$\{1,2, \dots,k\}$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.12} |f (\ mathbf {X}) -f (\ mathbf {X} _i) |\ ge\ frac {M} {V (R_i)} \ end {ecuación}\] para algunos$\mathbf{X}$ in$R_i$, porque si esto no fuera así, tendríamos\ [ |f (\ mathbf {X}) -f (\ mathbf {X} _j) |<\ frac {M} {V (R_j )},\ quad\ mathbf {X}\ in r_j,\ quad \ quad 1\ le j\ le k. \] Si esto es así, entonces\ [\ begin {eqnarray*} |f (\ mathbf {X}) |\ ar=|f (\ mathbf {X} _j) +f (\ mathbf {X}) -f (\ mathbf {X} __j) |\ le|f (\ mathbf {X} _j) |+|f (\ mathbf {X}) -f (\ mathbf {X} _j) |\ \\ ar\ le |f (\ mathbf {X} _j) |+\ frac {M} {V (R_j)},\ quad\ mathbf {X}\ en R_j,\ 1\ le j\ le k. \ end {eqnarray*}\] Sin embargo, esto implica que\ [ |f (\ mathbf {X}) |\ le\ max\ set {|f (\ mathbf {X} _j) |+\ frac {M} {V (R_j)}} {1\ le j\ le k}, \ quad\ mathbf {X}\ in R, \] lo que contradice la suposición que no$f$ tiene límites$R$.

Ahora supongamos que eso$\mathbf{X}$ satisface, y considera la suma de Riemann \ [\ sigma'=\ sum_ {j=1} ^nf (\ mathbf {X} _j') V (R_j) \] sobre la misma partición${\bf P}$, donde \ [\ mathbf {X} _j'=\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} \ mathbf {X} _j, &j\ ne i,\\ \ mathbf {X}, &j=i.\ end {array}\ right. \] Desde\ [ |\ sigma-\ sigma'|=|f (\ mathbf {X}) -f (\ mathbf {X} _i) |V (R_i), \] implica.

Debido al Teorem~, necesitamos considerar solo funciones delimitadas en relación con Definition~. Como en el caso donde$n=1$, ahora es conveniente definir las integrales superior e inferior de una función acotada sobre un rectángulo. La siguiente definición es análoga a Definition~.

El siguiente teorema es análogo al Teorem~.

Ejercicio~.

Si\ [ m\ le f (\ mathbf {X})\ le M\ mbox {\ quad for $\ mathbf {X} $ in $R$}, \] entonces\ [ mV (R)\ le s ({\ bf P})\ le S ({\ bf P})\ le MV (R); \] por lo tanto,$\overline{\int_R}\, f(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}$ y$\underline{\int_R}\, f(\mathbf{X})\, d\mathbf{X}$ existen, son únicos, y satisfacen las desigualdades\ [ mV ()\ le\ overline {\ int_r}\, f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ le MV (R) \] y\ [ mV (R)\ le\ subrayado {\ int_r}\, f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ le MV (R). \]

Las integrales superior e inferior también se escriben como\ [ \ overline {\ int_r}\, f (x, y)\, d (x, y)\ mbox {\ quad y\ quad}\ subrayado {\ int_r}\, f (x, y)\, d (x, y)\ quad (n=2), \]\ [ \ overline {\ int_r}\, f (x, y, z)\, d (x, y, z)\ mbox {\ quad y\ quad} \ subrayado {\ int_r}\, f (x, y, z)\, d (x, y, z)\ quad (n=3), \] o\ [ \ overline {\ int_r}\, f (x_1, x_2,\ dots, x_n)\, d (x_1, x_2,\ dots, x_n) \] y\ [ \ subrayado {\ int_r}\, f (x_1, x_2,\ dots, x_n)\, d (x_1, x_2,\ dots, x_n)\ quad \ mbox {\ quad ($n$ arbitrario)}. \]

Dejar$P_1$ y$P_2$ ser particiones de$[a,b]$ y$[c,d]$; así,\ [ P_1: a=x_0<x_1<\ cdots<x_r=b\ mbox {\ quad y\ quad} P_2: c=y_0<y_1<\ cdots<y_s=d. \]

Los valores máximo y mínimo de$f$ en el rectángulo$[x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1},y_j]$ son$x_i+y_j$ y$x_{i-1}+y_{j-1}$, respectivamente. Por lo tanto,\ [\ begin {eqnarray} S ({\ bf P})\ ar=\ suma_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s (x_i+y_j) (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1})\ label {eq:7.1.13}\ \ arraytext {y}\ nonumber\\ s ({\ bf P})\ ar=\ suma_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s (x_ {i-1} +y_ {j-1}) (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1}). \ label {eq:7.1.14} \ end {eqnarray}\] Sustituyendo\ [ x_i+y_j=\ frac {1} {2} [(x_i+x_ {i-1}) + (y_j+y_ {j-1}) + (x_i-x_ {i-1}) + (y_j-y_ {j-1})] \] en, encontramos que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.15} S ({\ bf P}) =\ frac {1} {2} (\ Sigma_1+\ Sigma_2+\ Sigma_3+\ Sigma_4), \ end {ecuación}\] donde\ [ \ begin { array} {rclcl} \ Sigma_1\ ar=\ dst {\ sum_ {i=1} ^r (x_i^2-x_ {i-1} ^2) \ suma_ {j=1} ^s (y_j-y_ {j-1})}\ ar =( b^2-a^2) (d-c),\\ [2\ jot] \ Sigma_2\ ar=\ dst {\ sum_ {i=1} ^r (x_i-x_ {i-1}) \ suma_ {j=1} ^s (y_j^2-y_ {j-1} ^2)}\ ar =( b-a) (d^2-c^2),\\ [2\ jot] \ Sigma_3\ ar=\ dst {\ sum_ {i=1} ^r (x_i-x_ {i-1}) ^2 \ suma_ {j=1} ^s (y_j-y_ {j-1})}\ ar\ le\ |\ mathbf {P}\ | (b-a) (d-c),\\ [2\ jot] \ Sigma_4\ ar=\ dst {\ sum_ {i=1} ^r (x_i-x_ {i-1}) \ sum_ {j=1} ^s (y_j-y_ {j-1}) ^2}\ le\ ar\ |\ mathbf {P}\ | (b-a) (d-c). \ end {array} \] Sustituyendo estos cuatro resultados en muestra que\ [ I<S ({\ bf P}) <I+\ | {\ bf P}\ | (b-a) (d-c), \] donde\ [ I=\ frac {(d-c) (b^2-a^2) + (b-a) (d^2-c^2)} {2}. \] A partir de esto, vemos que\ [ \ overline {\ int_r}\, (x+y)\, d (x, y) =I. \]

Después de sustituir\ [ x_ {i-1} +y_ {j-1} =\ frac {1} {2} [(x_i+x_ {i-1}) + (y_j+y_ {j-1}) - (x_i-x_ {i-1}) - (y_j-y_ {j-1})] \] en, un argumento similar muestra que\ [ I-\ | {\ bf P}\ | (b-a) (d-c) <s ({\ bf P}) <I, \]

así\ [ \ subrayado {\ int_r}\, (x+y)\, d (x, y) =I. \ eqno {\ bbox} \]

Ahora demostramos un análogo de Lemma~.

Te probaremos y te dejaremos el comprobante de (Ejercicio~). Primero supongamos que$P_1'$ se obtiene sumando un punto a$P_1$, y$P_j'=P_j$ para$2\le j\le n$. Si$P_r$ está definido por\ [ p_r: a_r=a_ {r0} <a_ {r1} <\ cdots<a_ {rm_r} =b_r,\ quad 1\ le r\ le n, \] entonces un subrectángulo típico de${\bf P}$ es de la forma\ [ R_ {j_1j_2\ cdots j_n} = [a_ {1, j_1-1}, a_ {1j_1}]\ veces [a_ {2, j_2-1}, a_ {2j_2}]\ veces\ cdots\ veces [a_ {n, j_n-1}, a_ {nj_n}]. \] Dejar$c$ ser el punto adicional introducido en$P_1$ para obtener$P_1'$, y supongamos que\ [ a_ {1, k-1} <c<a_ {1k}. \] Si$j_1\ne k$, entonces$R_{j_1j_2\cdots j_n}$ es común a${\bf P}$ y${\bf P}'$, entonces los términos asociados con él en$S({\bf P}')$ y$S({\bf P})$ cancelan en la diferencia$S({\bf P})-S({\bf P}')$. Para analizar los términos que no cancelan, defina\ [ \ begin {array} {rcl} R^ {(1)} _ {kj_2\ cdots j_n}\ ar= [a_ {1, k-1}, c]\ times [a_ {2, j_2-1}, a_ {2j_2}] \ times\ cdots\ times [a_ {n, j_n-1}, a_ {nj_n}],\\ [2\ jot] R^ {(2)} _ {kj_2\ cdots j_n}\ ar= [c, a_ {1k}]\ veces [a_ {2, j_2-1}, a_ {2j_2}] \ veces\ cdots\ veces [a_ {n, j _n-1}, a_ {nj_n}], \ end {array} \]\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.18} M_ {kj_2\ cdots j_n} =\ sup\ set {f (\ mathbf {X})} {\ mathbf {X}\ en R_ {kj_2\ cdots j_n}} \ end {ecuación}\] y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.19} \ begin {array} {rcl} M^ {(i)} _ {kj_2\ cdots j_n} =\ sup\ set {f (\ mathbf {X})} {\ mathbf {X} \ in R^ {(i)} _ {kj_2\ cdots j_n}},\ quad i=1,2. \ end {array} \ end {ecuación}\]

Entonces$S({\bf P})-S({\bf P}')$ es la suma de términos de la forma\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.20} \ begin {array} {c} \ left [M_ {kj_2\ cdots j_n} (a_ {1k} -a_ {1, k-1}) -M^ {(1)} _ {kj_2 \ cdots j_n} (c-a_ {1, k-1}) -M^ {(2)} _ {kj_2\ cdots j_n} (a_ {1k} -c)\ derecha]\\ \ veces (a_ {2j_2} -a_ {2, j_2-1})\ cdots (a_ {nj_n} -a_ {n, j_n-1}). \ end {array} \ end {ecuación}\] Los términos entre corchetes se pueden reescribir como\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.21} (M_ {kj_2\ cdots j_n} -M^ {(1)} _ {kj_2\ cdots j_n}) (c-a_ {1, k-1}) + (M_ {kj_2\ cdots j_n n} -M^ {(2)} _ {kj_2\ cdots j_n}) (a_ {1k} -c), \ end {ecuación}\]

que no es negativo, debido a y. Por lo tanto,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.22} S ({\ bf P} ')\ le S ({\ bf P}). \ end {ecuación}\] Además, la cantidad en no es mayor que$2M(a_{1k}-a_{1,k-1})$, por lo que implica que el término general sobreviviente in no$S({\bf P})-S({\bf P}')$ es mayor que\ [ 2M\ | {\ bf P}\ | (a_ {2j_2} -a_ {2, j_2-1})\ cdots (a_ {nj_n} -a_ {n, j_n-1}). \] La suma de estos términos como$j_2$,,$j_n$ asumir todos los valores posibles$1 \le j_i\le m_i$,$2\le i\le n$, es\ [ 2M\ | {\ bf P}\ | (b_2-a_2)\ cdots (b_n-a_n) =\ frac {2M\ | {\ bf P}\ |V (R)} {b_1-a_1}. \] Esto implica que\ [ S ({\ bf P})\ le S ({\ bf P} ') +\ frac {2M\ | {\ bf P}\ |V (R)} {b_1-a_1}. \] Esto e implica para$r_1=1$ y$r_2=\cdots=r_n=0$.

Del mismo modo, si$r_i=1$ para algunos$i$ en$\{1, \dots,n\}$ y$r_j=0$ si$j\ne i$, entonces\ [ S ({\ bf P})\ le S ({\ bf P} ') +\ frac {2M\ | {\ bf P}\ |V (R)} {b_i-a_i}. \] Para obtener en el caso general, repita este argumento$r_1+r_2+\cdots+r_n$ veces, como en la prueba de Lemma~.

Lemma~ implica los siguientes teoremas y lema, con pruebas análogas a las pruebas de sus contrapartes en la Sección~3.2.

Ejercicio~.

El siguiente teorema es análogo al Teoremo~3.2.3.

Ejercicio~.

El siguiente teorema es análogo al Teoremo~3.2.5.

Ejercicio~.

Teoremas ~ e implican el siguiente teorema, el cual es análogo al Teorem~.

El siguiente teorema traduce esto en una prueba que se puede aplicar convenientemente. Es análogo al Teorem~.

Ejercicio~.

Teorem~ proporciona un criterio útil para la integrabilidad. El siguiente teorema es una aplicación importante. Es análogo al Teorem~.

Vamos$\epsilon>0$. Dado que$f$ es uniformemente continuo en$R$ (Teorem~), hay$\delta>0$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.23} |f (\ mathbf {X}) -f (\ mathbf {X} ') |<\ frac {\ epsilon} {V ({\ bf R})} \ end {ecuación}\] si$\mathbf{X}$ y$\mathbf{X}'$ están en$R$ y$|\mathbf{X}-\mathbf{X}'|<\delta$. Dejar${\bf P}=\{R_1,R_2, \dots,R_k\}$ ser una partición de$R$ con$\|P\|<\delta/\sqrt n$. Como$f$ es continuo on$R$, hay puntos$\mathbf{X}_j$ y$\mathbf{X}_j'$ en$R_j$ tal que\ [ f (\ mathbf {X} _j) =m_J=\ sup_ {\ mathbf {X}\ in R_j} f (\ mathbf {X}) \ mbox {\ quad y\ quad} f (\ mathbf {X} _j') =m_j=\ inf_ {\ mathbf {X}\ en R_j} f (\ mathbf {X}) \] (Teoremo~). Por lo tanto,\ [ S (\ mathbf {P}) -s (\ mathbf {P}) =\ sum_ {j=1} ^n (f (\ mathbf {X} _j) - f (\ mathbf {X} _j')) V (R_j). \] Desde$\|{\bf P}\|<\delta/\sqrt n$,$|\mathbf{X}_j-\mathbf{X}_j'|<\delta$, y, de con$\mathbf{X}=\mathbf{X}_j$ y$\mathbf{X}'=\mathbf{X}_j'$,\ [ S (\ mathbf {P}) -s (\ mathbf {P}) <\ frac {\ épsilon} {V (R)} \ sum_ {j=1} ^kV (R_j) =\ épsilon. \] Por lo tanto,$f$ es integrable en$R$, por Teorem~.

La siguiente definición nos permitirá establecer la existencia de$\int_Rf(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}$ en los casos en los$f$ que está delimitado sobre el rectángulo$R$, pero no es necesariamente continuo para todos$\mathbf{X}$ adentro$R$.

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El siguiente lema sigue inmediatamente de Definición~.

El siguiente teorema nos permitirá definir múltiples integrales sobre subconjuntos más generales de$\R^n$.

Supongamos que$\epsilon>0$. Ya que$E$ tiene cero contenido, hay rectángulos$T_1$,$T_2$,,$T_m$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.31} E\ subconjunto\ bigcup_ {j=1} ^m T_j \ end {ecuación}\] y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.32} \ sum_ {j=1} ^m V (T_j) <\ epsilon. \ end {ecuación}\] Podemos suponer que$T_1$,,$T_2$,$T_m$ están contenidos en$R$, ya que, si no, sus intersecciones con$R$ estarían contenidas en$R$, y aún así satisfacer y. También podemos suponer que si$T$ hay algún rectángulo tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.33} T\ bigcap\ left (\ bigcup_ {j=1} ^m t_j^0\ right) =\ emptyset,\ mbox {\ quad entonces \ quad} T\ cap E=\ emptyset \ end {ecuación}\]

ya que si esto no fuera así, podríamos hacerlo así ampliando$T_1$,$T_2$,,$T_m$ ligeramente manteniendo. Ahora supongamos que\ [ t_j= [a_ {1j}, b_ {1j}]\ times [a_ {2j}, b_ {2j}]\ times\ cdots\ times [a_ {nj}, b_ {nj}],\ quad 1\ le j\ le m, \] deja$P_{i0}$ ser la partición de$[a_i,b_i]$ (see) con puntos de partición\ [ a_i, b_i, _ {i1}, b_ {i1}, a_ {i2}, b_ {i2},\ dots, a_ {im}, b_ {im} \ vspace* {1pt} \] (estos no son en orden creciente),$1\le i\le n$, y dejar\ [ {\ bf P} _0=P_ {10}\ times P_ {20}\ times\ cdots\ times P_ {n0}. \] -.3em Entonces${\bf P}_0$ consiste en rectángulos cuya unión es igual$\cup_{j=1}^m T_j$ y otros rectángulos$T'_1$,$T'_2$,,$T'_k$ que no se cruzan$E$. (Tenemos que estar seguros de que$T'_i\cap E=\emptyset, 1\le i\le k.)$ si dejamos\ [ B=\ bigcup_ {j=1} ^m T_j\ mbox {\ quad y\ quad} C=\ bigcup^k_ {i=1} T'_i, \] entonces$R=B\cup C$ y$f$ es continuo en el conjunto compacto$C$. Si${\bf P}=\{R_1,R_2, \dots,R_k\}$ es un refinamiento de${\bf P}_0$, entonces cada subrectángulo$R_j$ de${\bf P}$ está contenido completamente en$B$ o completamente en$C$. Por lo tanto, podemos escribir\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.34} S ({\ bf P}) -s ({\ bf P}) =\ Sigma_1 (m_J-m_j) V (R_j) +\ Sigma_2 (M_J-M_j) V (R_j), \ end {ecuación}\] -.3em donde$\Sigma_1$ y$\Sigma_2$ son sumas sobre valores de$j$ para lo cual$R_j\subset B$ y$R_j\subset C$, respectivamente. Ahora supongamos que\ [ |f (\ mathbf {X}) |\ le M\ mbox {\ quad para $\ mathbf {X} $ en $R$}. \] Entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.35} \ Sigma_1 (M_J-m_j) V (R_j)\ Le2m\,\ Sigma_1 V (R_j) =2M\ suma_ {j=1} ^m V (T_j) < 2M\ épsilon, \ end {ecuación}\] de. Dado que$f$ es uniformemente continuo en el conjunto compacto$C$ (Teorem~), existe$\delta>0$ tal que$M_j-m_j<\epsilon$ si$\|{\bf P}\|< \delta$ y$R_j\subset C$; por lo tanto,\ [ \ Sigma_2 (M_J-M_j) V (R_j) <\ épsilon\ Sigma_2\, V (R_j)\ le\ épsilon V (R). \] Esto,, e implica que\ [ S ({\ bf P}) -s ({\ bf P}) < [2M+V (R)]\ épsilon \] si$\|{\bf P}\|<\delta$ y${\bf P}$ es un refinamiento de${\bf P}_0$. Por lo tanto, Teorem~ implica que$f$ es integrable en$R$.

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Ahora podemos definir la integral de una función acotada sobre subconjuntos más generales de~$\R^n$.

Para ver que esta definición tiene sentido, debemos demostrar que si$R_1$ y$R_2$ son dos rectángulos que contienen$S$ y$\int_{R_1} f_S({\bf X})\, d\mathbf{X}$ existen, entonces también lo hace$\int_{R_2} f_S (\mathbf{X})\,d{\bf X}$, y las dos integrales son iguales. La prueba de esto está bosquejada en Ejercicise~.

$f_S$Déjese ser como en. Dado que una discontinuidad de$f_S$ es o bien una discontinuidad de$f$ o un punto de$\partial S$, el conjunto de discontinuidades de$f_S$ es la unión de dos conjuntos de contenido cero y por lo tanto es de contenido cero (Lemma~). Por lo tanto,$f_S$ es integrable en cualquier rectángulo que contenga$S$ (de Teorem~), y consecuentemente en$S$ (Definición~).

, definido de la siguiente manera, forman una clase importante de conjuntos de contenido cero en$\R^n$.

Dejar$S$,$D$, y$\mathbf{G}$ ser como en Definición~. De Lemma~, hay una constante$M$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.37} |\ mathbf {G} (\ mathbf {X}) -\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\ le M|\ mathbf {X} -\ mathbf {Y} |\ mbox {\ quad si quad\}\ mathbf {X},\ mathbf {Y}\ en D. \ end {ecuación}\] Dado que$D$ está acotado,$D$ está contenido en un cubo\ [ C= [a_1, b_1]\ times [a_2, b_2]\ times\ cdots\ times [a_m, b_m], \] donde\ [ b_i-a_i=L,\ quad 1\ le i\ le m. \] Supongamos que particionamos$C$ en cubos$N^m$ más pequeños particionando cada uno de los intervalos$[a_i,b_i]$ en subintervalos$N$ iguales. Dejar$R_1$,$R_2$,,$R_k$ ser los cubos más pequeños así producidos que contienen puntos de$D$, y seleccionar puntos$\mathbf{X}_1$,$\mathbf{X}_2$,,$\mathbf{X}_k$ tal que$\mathbf{X}_i\in D\cap R_i$,$1\le i\le k$. Si$\mathbf{Y} \in D\cap R_i$, entonces implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.38} |\ mathbf {G} (\ mathbf {X} _i) -\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\ le M|\ mathbf {X} _i-\ mathbf {Y} |. \ end {ecuación}\] Ya que$\mathbf{X}_i$ y$\mathbf{Y}$ están ambos en el cubo$R_i$ con longitud de borde$L/N$,\ [ |\ mathbf {X} _i-\ mathbf {Y} |\ le\ frac {L\ sqrt {m}} {N}. \] Esto e implica que\ [ |\ mathbf {G} (\ mathbf {X} _i) -\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\ le\ frac {ML\ sqrt m} {N}, \] lo que a su vez implica que$\mathbf{G}(\mathbf{Y})$ se encuentra en un cubo$\widetilde{R}_i$ en$\R^n$ centrado en$\mathbf{G}(\mathbf{X}_i)$, con lados de longitud$2ML\sqrt{m}/N$. Ahora\ [ \ sum_ {i=1} ^k V (\ Widetilde {R} _i) = k\ izquierda (\ frac {2ML\ sqrt {m}} { N}\ derecha) ^n\ le n^M\ izquierda (\ frac {2ML\ sqrt {m}} {N}\ derecha) ^n =( 2ML\ sqrt {m}) ^n {m-n}. \] Ya que$n>m$, podemos hacer la suma de la izquierda arbitrariamente pequeña tomando$N$ suficientemente grande. Por lo tanto,$S$ tiene cero contenido.

Teoremas ~ e implican el siguiente teorema.

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Ahora enumeramos algunos teoremas sobre las propiedades de múltiples integrales. Las pruebas son similares a las de los teoremas análogos en la Sección~3.3.

Nota: Debido a Definition~, si decimos que una función$f$ es integrable en un conjunto$S$, entonces$S$ es necesariamente acotada.

Ejercicio~.

De Definición~ con$f$ y$S$ reemplazado por$f_S$ y$T$,\ [ (F_s) _T (\ mathbf {X}) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} F_s (\ mathbf {X}), &\ mathbf {X}\ en T,\\ 0, &\ mathbf {X}\ not\ en T.\ end {array}\ right. \] Desde$S\subset T$,$(f_S)_T=f_S$. (Verificar.) Ahora supongamos que$R$ es un rectángulo que contiene$T$. Entonces$R$ también contiene$S$ (Figura~), 6pt

12pt así\ [ \ begin {array} {rcll} \ dst\ int_SF (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ ar=\ dst\ int_rf_s (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} & \ mbox {(Definición~\ ref {thmtype:7.1.17}, aplicado a $f$ y S$})\\ [4\ jot] \ ar=\ dst\ int_r (F_s) _T (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} & \ mbox {(desde $ (F_s) _t=F_s$)}\\ [4\ jot] \ ar=\ dst\ Int_tf_s (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} & \ mbox {(Definition~\ ref {thmtype:7.1.17}, aplicado a $F_s$ y $T$}), \ end {array} \] que completa la prueba.

Para$i=1$,$2$, vamos\ [ f_ {s_i} (\ mathbf {X}) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} f (\ mathbf {X}), &\ mathbf {X}\ en s_i,\\ [2\ jot] 0, &\ mathbf {X}\ not\ en S_i.\ end {array}\ right. \] De Lemma~ con$S=S_i$ y$T=S_1\cup S_2$,$f_{S_i}$ es integrable en$S_1\cup S_2$, y\ [ \ int_ {S_1\ copa S_2} f_ {s_i} (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =\ int_ {s_i} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X},\ quad i=1,2. \] Teorem~ ahora implica que$f_{S_1}+f_{S_2}$ es integrable on$S_1\cup S_2$ y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.1.40} \ int_ {S_1\ cup S_2} (f_ {S_1} +f_ {S_2}) (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =\ int_ {S_1} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} +\ int_ {S_2} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}. \ end {ecuación}\]

Desde$S_1\cap S_2=\emptyset$,\ [ \ izquierda (f_ {S_1} +f_ {S_2}\ derecha) (\ mathbf {X}) = f_ {S_1} (\ mathbf {X}) +f_ {S_2} (\ mathbf {X}) =f (\ mathbf {X}),\ quad\ mathbf {X}\ en S_1\ copa S_2. \] Por lo tanto, implica.

Te dejamos probar la siguiente extensión del Teorema_{. (Ejercicio}

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12pt

Discutiremos este ejemplo más a fondo en la siguiente sección.

\ begin {exerciselist}

Demostrar: Si$R$ es degenerado, entonces Definición~ implica que$\int_R f(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}=0$ si$f$ está acotado en$R$.

Evaluar directamente desde Definición~.

Supongamos eso$\int_a^b f(x)\,dx$ y$\int_c^d g(y)\,dy$ existir, y dejar$R=[a,b]\times [c,d]$. Criticar la siguiente ``prueba” que$\int_R f(x)g(y)\,d(x,y)$ existe y es igual a \ [\ left (\ int_a^b f (x)\, dx\ derecha)\ left (\ int_c^d g (y)\, dy\ right). \] (Ver Ejercicio~ para una prueba correcta de esta afirmación.)

``Prueba.” Que\ [ P_1: a=x_0<x_1<\ cdots<x_r=b\ mbox {\ quad y\ quad} P_2:c=y_0<y_1<\ cdots<y_s=d \] sean particiones de$[a,b]$ y$[c,d]$, y${\bf P}=P_1\times P_2$. Entonces una suma típica de Riemann de$fg$ over${\bf P}$ es de la forma\ [ \ sigma=\ suma_ {i=1} ^r\ suma_ {j=1} ^s f (\ xi_i) g (\ eta_j) (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1}) =\ sigma_1\ sigma_2, \] donde\ [ \ sigma_1=\ suma_ {i=1} ^r f (\ xi_i) (x_i-x_ {i-1})\ mbox {\ quad y\ quad}\ sigma_2 =\ suma_ {j=1} ^sg (\ eta_j) (y_j-y_ {j-1 }) \]

son sumas típicas de Riemann de una$[a,b]$ y$f$$g$ otra vez$[c,d]$. Dado que$f$ y$g$ son integrables en estos intervalos,\ [ \ izquierda|\ sigma_1-\ int_a^b f (x)\, dx\ derecha|\ mbox {\ quad y \ quad}\ left|\ sigma_2-\ int_c^d g (y)\, dy\ derecha| \] pueden hacerse arbitrariamente pequeños tomando$\|P_1\|$ y$\|P_2\|$ suficientemente pequeños. A partir de esto, es sencillo demostrar que\ [ \ izquierda|\ sigma-\ izquierda (\ int_a^b f (x)\, dx\ derecha)\ izquierda (\ int_c^d g (y)\, dy \ derecha)\ derecha| \] puede hacerse arbitrariamente pequeña tomando$\|{\bf P}\|$ suficientemente pequeña. Esto implica el resultado declarado.

Supongamos que$f(x,y)\ge0$ en$R=[a,b]\times [c,d]$. Justificar la interpretación de$\int_Rf(x,y)\,d(x,y)$, si existe, como el volumen de la región en$\R^3$ delimitado por las superficies$z=f(x,y)$ y los planos$z=0$,$x=a$,$x=b$,$y=c$, y$y=d$.

Demostrar teoremo~.

Supongamos que\ [ f (x, y) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} 0& \ mbox {\ quad si $x$ y $y$ son racionales,\ quad}\\ 1&\ mbox {\ quad si $x$ es racional y $y$ es irracional,\ quad}\\ 2&\ mbox {\ quad si $x$ es irracional y y$ es racional,\ quad}\\ 3&\ mbox {\ quad si $x$ y $y$ son irracional. \ quad}\ end {array}\ derecho. \] Encuentra\ [ \ overline {\ int_r}\, f (x, y)\, d (x, y)\ mbox {\ quad y\ quad}\ subrayado {\ int_r}\, f (x, y)\, d (x, y)\ mbox {\ quad if\ quad} R= [a, b]\ veces [c, d]. \]

Demostrar Eqn.~ de Lemma~.

Demostrar teorem~

Demostrar Lemma~

Demostrar teorem~

Dar un ejemplo de un conjunto denumerable en$\R^2$ que no tiene contenido cero.

%:14 Demostrar:

Mostrar que un rectángulo degenerado tiene cero contenido.

Supongamos que$f$ es continuo en un conjunto compacto$S$ en$\R^n$. Demostrar que la superficie$z=f(\mathbf{X})$$\mathbf{X}\in S$,, tiene cero contenido en$\R^{n+1}$.

Dejar$S$ ser un conjunto acotado tal que$S\cap\partial S$ no tenga contenido cero.

Supongamos que$f$ es integrable en un conjunto$S$ y$S_0$ es un subconjunto de$S$ tales que$\partial S_0$ tiene cero contenido. Demostrar que$f$ es integrable en$S_0$.

Demostrar teorem~

Demostrar teoremo~.

Demostrar teorem~

Probar: Si$f$ es integrable en un rectángulo$R$, entonces$f$ es integrable en cualquier subrectángulo de$R$.

Supongamos que$R$ y$\widetilde{R}$ son rectángulos$R\subset \widetilde{R}$,,$g$ está acotado en$\widetilde{R}$, y$g({\bf X})=0$ si$\mathbf{X} \not\in R$.

Supongamos que$f$ es continuamente diferenciable en un rectángulo$R$. Demostrar que hay una constante$M$ tal que\ [ \ izquierda|\ sigma-\ int_r f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ derecha|\ le M\ | {\ bf P}\ | \] si$\sigma$ es alguna suma Riemann de$f$ sobre una partición${\bf P}$ de$R$.

Supongamos eso$\int_a^b f(x)\,dx$ y$\int_c^d g(y)\,dy$ existir, y dejar$R=[a,b]\times [c,d]$.

\ end {lista de ejercicios}

Excepto por ejemplos muy simples, no es práctico evaluar múltiples integrales directamente desde Definiciones~ y. Afortunadamente, esto generalmente se puede lograr evaluando integrales ordinarias$n$ sucesivas. Para motivar el método, primero supongamos que$f$ es continuo$R=[a,b]\times [c,d]$. Entonces, para cada$y$ en$[c,d]$,$f(x,y)$ es continuo con respecto a$x$ on$[a,b]$, así existe la integral\ [ F (y) =\ int_a^b f (x, y)\, dx \]. Además, la continuidad uniforme de$f$ on$R$ implica que$F$ es continua (ejercicio~) y por lo tanto integrable en$[c,d]$. Decimos que\ [ I_1=\ int_c^d F (y)\, dy=\ int_c^d\ left (\ int_a^b f (x, y)\, dx\ derecha) dy \]

es un {} de$f$ más$R$. Normalmente lo escribiremos como\ [ I_1=\ int_c^d dy\ int_a^b f (x, y)\, dx. \] Otra integral iterada se puede definir escribiendo\ [ G (x) =\ int_c^d f (x, y)\, dy,\ quad a\ le x\ le b, \] y definiendo\ [ I_2=\ int_a^b G (x)\, dx=\ int_a^b\ left (\ int_c^d f (x, y)\, dy derecha\) dx, \] que usualmente escribimos como\ [ I_2=\ int_a^b dx\ int_c^d f (x, y)\, dy. \]

En este ejemplo,$I_1=I_2$; además, al establecer$a=0$,$b=1$,$c=1$, y$d=2$ en Ejemplo~, vemos que\ [ \ int_r (x+y)\, d (x, y) =2, \] por lo que el valor común de las integrales iteradas es igual a la integral múltiple. El siguiente teorema muestra que esto no es un accidente.

Que\ [ P_1: a=x_0<x_1<\ cdots<x_r=b\ mbox {\ quad y\ quad} P_2: c=y_0<y_1<\ cdots<y_s=d \] sean particiones de$[a,b]$ y$[c,d]$, y$\mathbf{P}=P_1\times P_2$. Supongamos que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.3} y_ {j-1}\ le\ eta_j\ le y_j,\ quad 1\ le j\ le s, \ end {ecuación}\] así que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.4} \ sigma=\ sum_ {j=1} ^s F (\ eta_j) (y_j-y_ {j-1}) \ end {ecuación}\] es una suma típica de Riemann de$F$ más$P_2$. Desde\ [ F (\ eta_j) =\ int_a^b f (x,\ eta_j)\, dx=\ sum_ {i=1} ^r\ int^x_ {x_ {i-1}} f (x,\ eta_j)\, dx, \] implica que si\ [\ begin {eqnarray*} m_ {ij}\ ar=\ inf\ set {f (x, y)} {x_ {i-1}\ le x\ le x_i,\, y_ {j-1}\ le y\ le y_j}\\ \ arraytext {y}\\ M_ {ij}\ ar=\ sup\ set {f (x, y)} {x_ {i-1}\ le x le\ x_i,\, y_ {j-1}\ le y\ le y_j}, \ end {eqnarray*}\] entonces\ [ \ suma_ {i=1} ^r m_ {ij} (x_i-x_ {i-1})\ le F (\ eta_j)\ le\ suma_ {i=1} ^r M_ {ij} (x_i-x_ {i-1}). \] Multiplicando esto por$y_j-y_{j-1}$ y sumando de$j=1$ a$j=s$ rendimientos\ [\ begin {eqnarray*} \ sum_ {j=1} ^s\ sum_ {i=1} ^r m_ {ij} (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1})\ ar\ le \ sum_ {j=1} ^SF (\ eta_j) (y_j-y_ {j-1})\\\ ar \ le\ suma_ {j=1} ^s\ suma_ {i=1} ^r M_ {ij} (x_i-x_ {i-1}) (y_j-y_ {j-1}), \ end {eqnarray*} \]

que, de, se puede reescribir como\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.5} s_f (\ mathbf {P})\ le\ sigma\ le s_f (\ mathbf {P}), \ end {ecuación}\] donde$s_f(\mathbf{P})$ y$S_f(\mathbf{P})$ son las sumas inferior y superior de$f$ over$\mathbf{P}$. Ahora vamos$s_F(P_2)$ y$S_F(P_2)$ ser las sumas inferior y superior de$F$ over$P_2$; ya que son respectivamente el infimum y supremum de las sumas Riemann de$F$ over$P_2$ (Teorem~), implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.6} s_f (\ mathbf {P})\ le s_f (P_2)\ le S_F (P_2)\ le S_F (\ mathbf {P}). \ end {ecuación}\] Dado que$f$ es integrable on$R$, hay para cada$\epsilon>0$ una una partición$\mathbf{P}$ de$R$ tal que$S_f(\mathbf{P})-s_f(\mathbf{P})<\epsilon$, a partir del Teorem~. En consecuencia, de, hay una partición$P_2$ de$[c,d]$ tal que$S_F(P_2)-s_F(P_2)<\epsilon$, así$F$ es integrable en$[c,d]$, a partir del Teorem~.

Queda por verificar. De y la definición de$\int_c^dF(y)\,dy$, hay para cada uno$\epsilon>0$$\delta>0$ tal que\ [ \ izquierda|\ int_c^d F (y)\, dy-\ sigma\ derecha|<\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} \ |P_2\ |<\ delta; \] es decir,\ [ \ sigma-\ epsilon<\ int_c^d F (y)\, dy<\ ma+\ épsilon\ mbox {\ quad si\ quad} \ |P_2\ |<\ delta. \] Esto e implica que\ [ s_f (\ mathbf {P}) -\ épsilon<\ int_c^d F (y)\, dy<s_f (\ mathbf {P}) +\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} \ |\ mathbf {P}\ |<\ delta, \] y esto implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {q:7.2.7} \ subrayado {\ int_r}\, f (x, y)\, d (x, y) -\ épsilon\ le\ int_c^d F (y)\, dy \ le\ overline {\ int _R} f (x, y)\, d (x, y) +\ épsilon \ fin {ecuación}\] (Definición_{). Ya que\ [
\ subrayan {\ int_r}\, f (x, y)\, d (x, y) =\ overline {\ int_r} f (x, y)\, d (x, y)
\] (Teorema}) y se$\epsilon$ puede hacer arbitrariamente pequeño, implica.

Si$f$ es continuo$R$, entonces$f$ satisface las hipótesis de Teorem~ (Ejercicio~), así es válido en este caso.

Si$\int_R f(x,y)\,d(x,y)$ y\ [ \ int_c^d f (x, y)\, dy,\ quad a\ le x\ le b, \]

existir, entonces intercambiando$x$ y$y$ en Teorem~, vemos que\ [ \ int_a^b dx\ int_c^d f (x, y)\, dy=\ int_r f (x, y)\, d (x, y). \] Esto y dar el siguiente corolario del Teoremo~.

-2em2em

Un converso parcial plausible de Teorem~ sería que si$\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)\,dx$ existe entonces también lo hace$\int_R f(x,y)\,d(x,y)$; sin embargo, el siguiente ejemplo muestra que esto no tiene por qué ser así. \ begin {ejemplo}\ rm Si$f$ está definido$R=[0,1]\times [0,1]$ por\ [ f (x, y) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} 2xy&\ mbox {if $y$ es racional},\\ y&\ mbox {si $y$ es irracional}, \ end {array}\ right. \]

entonces\ [ \ int_0^1 f (x, y)\, dx=y,\ quad 0\ le y\ le1, \] y\ [ \ int_0^1 dy\ int_0^1 f (x, y)\, dx=\ int_0^1 y\, dy=\ frac {1} {2}. \] Sin embargo, no$f$ es integrable en$R$ (Ejercicio~). \ end {ejemplo}

El siguiente teorema generaliza Teorem~ a$\R^n$.

Para mayor comodidad, denota$(x_{p+1},x_{p+2}, \dots,x_n)$ por$\mathbf{Y}$. Denotar$\widehat R=I_1\times I_2\times\cdots\times I_p$ y$T=I_{p+1}\times I_{p+2}\times\cdots\times I_n$. Dejar$\widehat{\mathbf{P}}=\{\widehat R_1, \widehat R_2, \dots,\widehat R_k\}$ y$\mathbf{Q}=\{T_1,T_2, \dots,T_s\}$ ser particiones de$\widehat R$ y$T$, respectivamente. Entonces la colección de rectángulos de la forma$\widehat R_i\times T_j$ ($1\le i\le k$,$1\le j\le s$) es una partición$\mathbf{P}$ de$R$; además, cada partición$\mathbf{P}$ de$R$ es de esta forma.

Supongamos que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.8} \ mathbf {Y} _j\ en T_j,\ quad1\ le j\ le s, \ end {ecuación}\] así que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.9} \ sigma=\ sum_ {j=1} ^s F_p (\ mathbf {Y} _j) V (J) \ end {ecuación}\] es una suma típica de Riemann de$F_p$ más$\mathbf{Q}$. Desde\ [\ begin {eqnarray*} f_p (\ mathbf {y_j})\ ar=\ int_ {\ anchohat R} f (x_1, x_2, \ dots, x_p,\ mathbf {Y} _j)\, d (x_1, x_2,\ dots, x_p)\ \ ar=\ sum_ {j=1} ^k\ int_ {\ anchohat r_j} f (x_1, x_2,\ dots, x_p,\ mathbf {Y} _j)\, d (x_1, x_2, \ dots, x_p), \ end {eqnarray*}\] implica que si\ [\ begin {eqnarray*} m_ {ij}\ ar=\ inf\ set {f (x_1, x_2,\ dots, x_p,\ mathbf {Y})} {(x_1, x_2,\ dots, x_p)\ in\ anchohat R_i,\, \ mathbf {Y}\ en t_j}\\ \ arraytext {y}\\ M_ {ij}\ ar=\ sup\ set {f (x_1, x_2,\ puntos, x_p,\ mathbf {Y})} {(x_1, x_2,\ puntos, x_p)\ in\ anchohat R_i,\, \ mathbf {Y}\ en t_j}, \ end {eqnarray*}\]

entonces\ [ \ sum_ {i=1} ^k m_ {ij} V (\ anchohat R_i)\ le f_p (\ mathbf {y_j})\ le\ sum_ {i=1} ^k M_ {ij} V (\ anchohat R_i). \] Multiplicando esto por$V(T_j)$ y sumando de$j=1$ a$j=s$ rendimientos\ [ \ sum_ {j=1} ^s\ sum_ {i=1} ^k m_ {ij} V (\ anchohat R_i) V (T_j)\ le \ sum_ {j=1} ^SF_p (\ mathbf {Y} _j) V (T_j) \ le\ sum_ {j=1} ^s\ sum_ _ {i=1} ^k M_ {ij} V (\ anchohat R_i) V (T_j), \] que, desde, se puede reescribir como\ [\ begin { ecuación}\ label {eq:7.2.10} s_f (\ mathbf {P})\ le\ sigma\ le s_f (\ mathbf {P}), \ end {ecuación}\] donde$s_f(\mathbf{P})$ y$S_f(\mathbf{P})$ son las sumas inferior y superior de$f$ más$\mathbf{P}$. Ahora vamos$s_{F_p}(\mathbf{Q})$ y$S_{F_p}(\mathbf{Q})$ ser las sumas inferior y superior de$F_p$ over$\mathbf{Q}$; ya que son respectivamente el infimum y supremum de las sumas Riemann de$F_p$ over$\mathbf{Q}$ (Teorem~), implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.11} s_f (\ mathbf {P})\ le s_ {f_p} (\ mathbf {Q})\ le S_ {f_P} (\ mathbf {Q})\ le s_f (\ mathbf {P}). \ end {ecuación}\] Dado que$f$ es integrable on$R$, hay para cada$\epsilon>0$ una una partición$\mathbf{P}$ de$R$ tal que$S_f(\mathbf{P})-s_f(\mathbf{P})<\epsilon$, a partir del Teorem~. En consecuencia, de, hay una partición$\mathbf{Q}$ de$T$ tal que$S_{F_p}(\mathbf{Q})-s_{F_p}(\mathbf{Q})<\epsilon$, así$F_p$ es integrable en$T$, a partir del Teorem~.

Queda por verificar que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.12} \ int_r f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} = \ int_TF_P (\ mathbf {Y})\, d\ mathbf {Y}. \ end {ecuación}\] De y la definición de$\int_TF_p(\mathbf{Y})\,d\mathbf{Y}$, hay para cada uno$\epsilon>0$$\delta>0$ tal que\ [ \ izquierda|\ int_TF_P (\ mathbf {Y})\, d\ mathbf {Y} -\ sigma\ derecha|<\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} \ |\ mathbf {Q}\ |<\ delta; \] es decir,\ [ \ sigma-\ épsilon<\ int_tf_p (\ mathbf {Y})\ , d\ mathbf {Y} <\ sigma+ \ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad}\ |\ mathbf {Q}\ |<\ delta. \] Esto e implica que\ [ s_f (\ mathbf {P}) -\ epsilon< \ int_tf_p (\ mathbf {Y})\, d\ mathbf {Y} <s_f (\ mathbf {P}) +\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad}\ |\ mathbf {P}\ |< delta, \] y esto implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.13} \ subrayado {\ int_r}\, f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} - \ épsilon\ le \ int_tf_p (\ mathbf {Y})\, d\ mathbf {Y} \ le \ overline {\ int_r} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} +\ epsilon. \ end {ecuación}\] Ya que$\dst\underline{\int_R}\, f(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}= \overline{\int_R} f(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}$ (Teoremo~) y se$\epsilon$ puede hacer arbitrariamente pequeña, implica.

La prueba es por inducción. Del Teorem~, la proposición es cierta para$n=2$. Ahora$n>2$ asumamos y la proposición es verdadera con$n$ reemplazada por$n-1$. Retener$x_n$ fijo y aplicar esta suposición rinde\ [ f_n (x_n) = \ int^ {b_ {n-1}} _ {a_ {n-1}} dx_ {n-1}\ int_ {a_ {n-2}} ^ {b_ {n-2}} dx_ {n-2}\ cdots \ int^ {b_2} _ {a_2} dx_2\ int^ {b_1} _ {a_1} f (\ mathbf {X})\, dx_1. \] Ahora Teorem~ con$p=n-1$ completa la inducción.

Las hipótesis de Teoremas ~ y ~ se enuncian para justificar integraciones sucesivas con respecto a$x_1$, entonces$x_2$, entonces$x_3$, y así sucesivamente. Es legítimo utilizar otros órdenes de integración si las hipótesis se ajustan en consecuencia. Por ejemplo, supongamos que

$\{i_1,i_2, \dots,i_n\}$es una permutación de$\{1,2, \dots,n\}$ y$\int_R f(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}$ existe, junto con\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.14} \ int_ {I_ {i_1}\ times I_ {i_2}\ times\ cdots\ times I_ {i_j}} f (\ mathbf {X})\, d (x_ {i_1}, x_ {i_2},\ dots, x_ {i_j}),\ quad 1\ le j\ le n-1, \ end {ecuación}\] para cada\ [\ comenzar {ecuación}\ etiqueta {eq:7.2.15} (x_ {i_ {j+1}}, x_ {i_ {j+2}},\ puntos, x_ {i_n}) \ mbox {\ quad in\ quad} I_ {i_ {j+1}}\ veces I_ {i_ {j+2}}\ veces\ cdots\ veces I_ {i_n}. \ end {ecuación}\] Entonces, al cambiar el nombre de las variables, inferimos del Teoremo~ que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.16} \ int_r f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =\ int^ {b_ {i_n}} _ _ {a_ {i_n}} dx_ {i_n} \ int_ ^ {b_ {i_ {n-1}}} _ {a_ {i_ {n-1}}} dx_ {i_ {n-1}}\ cdots \ int^ {b_ {i_2}} _ {a_ {i_2}} dx_ {i_2}\ int^ {b_ {i_1}} _ _ {a_ {i_1}} f (\ mathbf {X})\, dx_ {i_1}. \ end {ecuación}\]

Dado que existen$n!$ permutaciones de$\{1,2, \dots,n\}$, hay$n!$ formas de evaluar una integral múltiple sobre un rectángulo en$\R^n$, siempre que el integrando satisfaga hipótesis apropiadas. En particular, si$f$ es continuo encendido$R$ y$\{i_1,i_2, \dots,i_n\}$ es cualquier permutación de$\{1,2, \dots,n\}$, entonces$f$ es continuo con respecto a$(x_{i_1},x_{i_2}, \dots,x_{i_j})$ encendido$I_{i_1}\times I_{i_2}\times\cdots \times I_{i_j}$ para cada$(x_{i_{j+1}}, x_{i_{j+2}}, \dots,x_{i_n})$ satisfacción fija. Por lo tanto, las integrales existen para cada permutación de$\{1,2, \dots,n\}$ (Teorem~). Resumimos esto en el siguiente teorema, que ahora se desprende del Teorem~.

Consideramos ahora el problema de evaluar múltiples integrales sobre conjuntos más generales. Primero, supongamos que$f$ es integrable en un conjunto de la forma\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.17} S=\ set {(x, y)} {u (y)\ le x\ le v (y),\ c\ le y\ le d} \ end {ecuación}\] (Figura~).

Si$u(y)\ge a$ y$v(y)\le b$ para$c\le y\le d$, y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.18} F_s (x, y) =\ izquierda\ {\ casespace\ begin {array} {ll} f (x, y), & (x, y)\ en S,\\ [2\ jot] 0, & (x, y)\ not\ en S,\ end {array}\ derecha. \ end {ecuación}\] entonces\ [ \ int_s f (x, y)\, d (x, y) =\ int_r f_s (x, y)\, d (x, y), \] donde$R=[a,b]\times [c,d]$.. Del Teorem~,\ [ \ int_r f_s (x, y)\, d (x, y) =\ int_c^d dy\ int_a^b f_s (x, y)\, dx \] siempre que$\int_a^b f_S(x,y)\,dx$ exista para cada uno$y$ en$[c,d]$. Desde y, esta integral puede escribirse como\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.19} \ int^ {v (y)} _ {u (y)} f (x, y)\, dx. \ end {ecuación}\] Así, hemos probado el siguiente teorema.

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A partir del Teorem~, los supuestos del Teorem~$f$ se satisfacen si es continuo$S$$u$ y$v$ son continuamente diferenciables en$[c,d]$.

Intercambiando$x$ y$y$ en Teoremo~ muestra que si$f$ es integrable en\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.2.21} S=\ set {(x, y)} {u (x)\ le y\ le v (x),\ a\ le x\ le b} \ end {ecuación}\] (Figura~) y\ [ \ int^ {v (x)} _ {u (x)} f (x, y)\, dy \] existe para$a\le x\le b$, entonces\ [\ begin {ecuación}\ etiqueta {eq:7.2.22} \ int_s f (x, y)\, d (x, y) =\ int_a^b dx\ int^ {v (x)} _ {u (x)} f (x, y)\, dy. \ end {ecuación}\]

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12pt Teorem~ tiene un análogo para$n>2$. Supongamos que$f$ es integrable en un conjunto$S$ de puntos$\mathbf{X}=(x_1,x_2, \dots,x_n)$ satisfaciendo las desigualdades\ [ u_j (x_ {j+1},\ dots, x_n)\ le x_j\ le v_j (x_ {j+1},\ dots, x_n),\ quad 1\ le j\ le n-1, \] y\ [ a_n\ le x_n\ le b_n. \] Entonces, bajo apropiado suposiciones adicionales, se puede mostrar mediante un argumento análogo al que llevó al Teoremo~ que\ [ \ int_s f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =\ int^ {b_n} _ {a_n} dx_n\ int^ {v_n (x_n)} _ {u_n (x_n)} dx_ {n-1}\ cdots\ int^ {v_2 (_3,\ puntos, x_n)} _ {u_2 (x_3,\ puntos, x_n)} dx_2 \ int^ {v_1 (x_2,\ puntos, x_n)} _ {u_1 (x_2,\ puntos, x_n)} f (\ mathbf {X})\, dx_1. \] Estas suposiciones adicionales son tediosas de afirmar para general$n$. El siguiente teorema contiene una declaración completa para$n=3$.

2em

Hasta ahora hemos visto la integral iterada como una herramienta para evaluar múltiples integrales. En algunos problemas la integral iterada es en sí misma el objeto de interés. En este caso un resultado

like Teorem~ se puede utilizar para evaluar la integral iterada. El procedimiento es el siguiente.

Este procedimiento se llama {} de una integral iterada.

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\ begin {exerciselist}

Evaluar

Vamos$I_j=[a_j, b_j]$,$1\le j\le 3$, y supongamos que$f$ es integrable en$R=I_1\times I_2\times I_3$. Demostrar:

Probar: Si$f$ es continuo encendido$[a,b]\times [c,d]$, entonces la función\ [ F (y) =\ int_a^b f (x, y)\, dx \] es continua en$[c,d]$.

Supongamos que\ [ f (x', y')\ ge f (x, y)\ mbox {\ quad if\ quad}\ a\ le x\ le x'\ le b,\ c\ le y\ le y'\ le d. \] Mostrar que$f$ satisface las hipótesis del Teoremo~ on$R=[a,b]\times [c,d]$.

Evaluar por medio de integrales iteradas:

Dejar$A$ ser el conjunto de puntos de la forma$(2^{-m}p, 2^{-m}q)$, donde$p$ y$q$ son enteros impares y$m$ es un entero no negativo. Dejar\ [ f (x, y) =\ izquierda\ {\ casespace\ begin {array} {ll} 1, & (x, y)\ not\ en A,\\\ [1\ jot] 0, & (x, y)\ en A.\ end {array}\ right. \] Mostrar que no$f$ es integrable en ningún rectángulo$R=[a,b]\times [c,d]$, sino\ [ \ int_a^b dx\ int_c^d f (x, y)\, dy=\ int_c^d dy\ int_a^b f (x, y)\, dx= (b-a) (d-c). \ eqno {\ rm (A)} \]

Vamos\ [ f (x, y) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} 2xy&\ mbox {\ quad si $y$ es racional},\\ y&\ mbox {\ quad si $y$ es irracional}, \ end {array}\ right. \] y$R=[0,1]\times [0,1]$ (Ejemplo~).

Dejar$R=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$,$\widetilde{R}=[0,1]\times [0,1]$, y\ [ f (x, y, z) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} 2xy+2xz& \ mbox {\ quad si $y$ y $z$ son racionales},\\ y+2xz&\ mbox {\ quad si $y$ es irracional y $z$ es racional},\\ 2xy+z&\ mbox {\ quad si $y$ es racional y $z$ es irracional},\\ y+z& amp;\ mbox {\ quad si $y$ y $z$ son irracionales}. \ end {array}\ derecho. \] Calcular Supongamos que$f$ está acotado en$R=[a,b]\times[c,d]$. Demostrar:

Usa Exercise~ para probar la siguiente generalización del Teorem~: Si$f$ es integrable on$R=[a,b]\times [c,d]$, entonces \ [\ overline {\ int_a^b} f (x, y)\, dy\ mbox {\ quad y\ quad}\ subrayan {\ int_c^d} f (x, y)\, dy \] son integrables en$[a,b]$, y\ [ \ int_a^b\ left (\ sobrelínea {\ int_c^d} f (x, y)\, dy\ derecha)\, dx= \ int_a^b \ izquierda (\ subrayado {\ int_c^d} f (x, y)\, dy\ derecha)\, dx=\ int_r f (x, y)\, d (x, y). \]

Evaluar Evaluar

Evaluar$\int_S(x+y)\,d(x,y)$, donde$S$ está delimitado por$y=x^2$ y$y=2x$, utilizando integrales iteradas de ambos tipos posibles.

Encuentra el área del conjunto delimitada por las curvas dadas.

En Ejemplo~, verifique las últimas cinco representaciones de$\int_S f(x,y,z)\,d(x,y,z)$ como integrales iteradas.

Dejar$S$ ser la región en$\R^3$ delimitada por los planos de coordenadas y el plano$x+2y+3z=1$. Dejar$f$ ser continuo en$S$. Configura seis integrales iteradas que sean iguales$\int_S f(x,y,z)\,d(x,y,z)$.

Evaluar Encuentra el volumen de$S$.

Vamos$R=[a_1,b_2]\times [a_2,b_2]\times\cdots\times [a_n,b_n]$. Evaluar

Suponiendo que eso$f$ es continuo, expresa \ [\ int^1_ {1/2} dy\ int^ {\ sqrt {1-y^2}} _ {-\ sqrt {1-y^2}} f (x, y)\, dx \] como una integral iterada con el orden de integración invertido.

Evaluar$\int_S (x+y)\,d(x,y)$ de Ejemplo~ por medio de integrales iteradas en las que la primera integración es con respecto a$x$.

Evaluar$\dst\int_0^1 x\,dx\int^{\sqrt{1-x^2}}_0\frac{dy}{\sqrt{x^2+y^2}}.$

Supongamos que$f$ es continuo on$[a,\infty)$,\ [ y^ {(n)} (x) =f (x),\ quad t\ ge a, \] y$y(a)=y'(a)=\cdots=y^{(n-1)}(a)=0$.

Vamos$T_\rho=[0,\rho]\times [0,\rho],\,\rho>0$. Al calcular\ [ I (a) =\ lim_ {\ rho\ a\ infty}\ int_ {T_\ rho} e^ {-xy}\ sin ax\, d (x, y) \] de dos maneras diferentes, muestra que\ [ \ int^\ infty_0\ frac {\ sin ax} {x} dx=\ frac {\ pi} {2}\ mbox {\ quad si\ quad} a>0. \]

\ end {lista de ejercicios}

En la Sección~3.3 vimos que un cambio de variables puede simplificar la evaluación de una integral ordinaria. Ahora consideramos el cambio de variables en múltiples integrales.

Antes de formular la regla para el cambio de variables, debemos tratar algunas consideraciones preliminares bastante involucradas.

-.4em En la Sección~ definimos el contenido de un conjunto$S$ para que sea\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.1} V (S) =\ int_S d\ mathbf {X} \ end {ecuación}\] si la integral existe. Si$R$ es un rectángulo que contiene$S$, entonces se puede reescribir como\ [ V (S) =\ int_r\ psi_s (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}, \] donde$\psi_S$ está la función característica de$S$, definida por\ [ \ psi_s (\ mathbf {X}) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} 1, &\ mathbf {X}\ en S,\\ 0, &\ mathbf {X}\ not\ en S.\ end {array}\ right. \] A partir de Ejercicise~, la existencia y el valor de$V(S)$ no dependen de la elección particular del rectángulo de cierre$R$. Decimos que$S$ es {} si$V(S)$ existe. Entonces$V(S)$ está el {}$S$.

Te dejamos a ti (Ejercicio~) demostrar que$S$ tiene cero contenido de acuerdo a Definición~ si y solo si$S$ tiene contenido Jordan cero.

Dejar$R$ ser un rectángulo que contenga$S$. Supongamos que$V(\partial S)=0$. Dado que$\psi_{S}$ está acotado$R$ y discontinuo solo en$\partial S$ (Ejercicio~), Teorem~ implica que$\int_R\psi_S (\mathbf{X})\,d\mathbf{X}$ existe. Para lo contrario, supongamos que$\partial S$ no tiene cero contenido y deja${\bf P}=\{R_1, R_2,\dots, R_k\}$ ser una partición de$R$. Para cada uno$j$$\{1,2,\dots,k\}$ hay tres posibilidades:

Que\ [\ comience {ecuación}\ label {eq:7.3.2} {\ mathcal U} _1=\ set {j} {r_j\ subconjunto S} \ mbox {\ quad y\ quad} {\ mathcal U} _2=\ set {j} {r_j\ cap S\ ne\ emptyset\ mbox {y} R_j\ cap s^C\ ne\ tyset}. \ end {ecuación}\]

Entonces las sumas superior e inferior de$\psi_S$ over${\bf P}$ son\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.3} \ begin {array} {rcl} S ({\ bf P})\ ar=\ dst\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (R_j) +\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _2} V (R_j)\ [2\ jot] \ ar=\ mbox {contenido total de los subrectángulos en $ {\ bf P} $ que se cruzan $S$} \ end {array} \ end {equation}\] y\ [\ begin {equation}\ label {eq:7.3.4} \ begin {array} {rcl} s ({\ bf P})\ ar=\ dst\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (R_j)\ \\ ar=\ mbox {contenido total de los subrectángulos en $ {bf P} $ contenido en $S$}. \ end {array} \ end {ecuación}\] Por lo tanto,\ [ S ({\ bf P}) -s ({\ bf P}) =\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _2} V (R_j), \] que es el contenido total de los subrectángulos en${\bf P}$ que se cruzan tanto como$S$$S^c$. Dado que estos subrectángulos contienen$\partial S$, que no tiene contenido cero, existe un$\epsilon_0>0$ tal que\ [ S ({\ bf P}) -s ({\ bf P})\ ge\ epsilon_0 \] por cada partición${\bf P}$ de$R$. Por Teorem~, esto implica que no$\psi_S$ es integrable en$R$, así que Jordania no$S$ es mensurable.

Teoremas ~ e implican el siguiente corolario.

Desde$V(K)=0$,\ [ \ int_c\ psi_k (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =0 \] si$C$ es cualquier cubo que contenga$K$. A partir de esto y de la definición de la integral, hay$\delta>0$ tal que si${\bf P}$ hay alguna partición de$C$ con$\|{\bf P}\|\le\delta$ y$\sigma$ es cualquier suma de Riemann de$\psi_K$ más${\bf P}$, entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.6} 0\ le\ sigma\ le\ épsilon. \ end {ecuación}\]

Ahora supongamos que${\bf P}=\{C_1,C_2,\dots,C_k\}$ es una partición de$C$ en cubos con\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.7} \ | {\ bf P}\ |<\ min (\ rho,\ delta), \ end {ecuación}\] y vamos$C_1$,,$C_2$,$C_k$ ser numerados para que$C_j\cap K\ne \emptyset$ si$1\le j\le r$ y$C_j\cap K=\emptyset$ si$r+1\le j\le k$. Entonces se sostiene, y una suma típica de Riemann de$\psi_K$ más${\bf P}$ es de la forma \ [\ sigma=\ sum_ {j=1} ^r\ psi_k (\ mathbf {X} _j) V (C_j) \] con$\mathbf{X}_j\in C_j$,$1\le j\le r$. En particular, podemos elegir entre$K$,$\mathbf{X}_j$ de modo que$\psi_K(\mathbf{X}_j)=1$, y\ [ \ sigma=\ sum_ {j=1} ^r V (C_j). \] Ahora e implica que$C_1$,$C_2$,,$C_r$ tienen las propiedades requeridas.

Para formular el teorema sobre el cambio de variables en integrales múltiples, primero debemos considerar la cuestión de la preservación de la medibilidad de Jordania bajo una transformación regular.

Dado que$K$ es un subconjunto compacto del conjunto abierto$S$, existe$\rho_1>0$ tal que el conjunto compacto\ [ K_ {\ rho_1} =\ set {\ mathbf {X}} {\ dist (\ mathbf {X}, K)\ le\ rho_1} \] está contenido en$S$ (Ejercicio _{5.1.26). Desde Lemma}, hay una constante$M$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.8} |\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) -\ mathbf {G} (\ mathbf {X}) |\ le M|\ mathbf {Y} -\ mathbf {X} |\ mbox {\ quad if \ quad}\ mathbf {X},\ mathbf {X},\ mathbf bf {Y}\ en K_ {\ rho_1}. \ end {ecuación}\] Ahora supongamos eso$\epsilon>0$. Ya que$V(K)=0$, hay cubos$C_1$,$C_2$,$C_r$ con longitudes de borde$s_1$,$s_2$,,$s_r<\rho_1/\sqrt n$ tales que$C_j\cap K\ne\emptyset$,$1\le j\le r$,,\ [ K\ subconjunto\ bigcup_ {j=1} ^r C_j, \] y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.9} \ sum_ {j=1} ^r V (C_j) <\ épsilon \ end {ecuación}\ ] (Lemma~). Para$1\le j\le r$, vamos$\mathbf{X}_j\in C_j\cap K$. Si$\mathbf{X}\in C_j$, entonces\ [ |\ mathbf {X} -\ mathbf {X} _j|\ le s_j\ sqrt n<\ rho_1, \]

así$\mathbf{X}\in K$ y$|\mathbf{G}(\mathbf{X})-\mathbf{G}(\mathbf{X}_j)|\le M|\mathbf{X}-\mathbf{X}_j|\le M\sqrt{n}\,s_j$, de. Por lo tanto,$\mathbf{G}(C_j)$ está contenido en un cubo$\widetilde{C}_j$ con longitud de borde$2M\sqrt{n}\,s_j$, centrado en$\mathbf{G}(\mathbf{X}_j)$. Desde\ [ V (\ Widetilde {C} _j) =( 2M\ sqrt {n}) ^ns_j^n =( 2M\ sqrt {n}) ^nV (C_j), \] vemos ahora que\ [ \ mathbf {G} (K)\ subconjunto\ bigcup_ {j=1} ^r\ Widetilde {C} _j \] y\ [ sum\ _ {j=1} ^r V (\ Widetilde {C} _j)\ le (2M\ sqrt {n}) ^n\ sum_ {j=1} ^r V (C_j) < (2M\ sqrt {n}) ^n\ épsilon, \] donde sigue la última desigualdad de. Ya que$(2M\sqrt{n})^n$ no depende de$\epsilon$, se deduce de eso$V(\mathbf{G}(K))=0$.

Te dejamos a ti demostrar que$\mathbf{G}(S)$ es compacto (Ejercicio~6.2.23). Ya que Jordania$S$ es mensurable$V(\partial S)=0$,, por Teorem~. Por lo tanto$V(\mathbf{G}(\partial S))=0$,, por Lemma~. Pero$\mathbf{G}(\partial S)= \partial(\mathbf{G}(S))$ (Ejercicio~), entonces$V(\partial(\mathbf{G}(S)))=0$, lo que implica que$\mathbf{G}(S)$ es Jordania medible, nuevamente por Teoremo~.

-.4em Para motivar y probar la regla para el cambio de variables en múltiples integrales, debemos saber cómo$V(\mathbf{L}(S))$ se relaciona con$V(S)$ si$S$ es un conjunto compacto Jordan medible y$\mathbf{L}$ es una transformación lineal no singular. (Del Teorem~,$\mathbf{L}(S)$ es compacto y Jordania medible en este caso.) El siguiente lema del álgebra lineal ayudará a establecer esta relación. Omitimos la prueba.

Las matrices del tipo descrito en este lema se denominan {} matrices. La clave para la prueba del lema es que si$\mathbf{E}$ es una$n\times n$ matriz elemental y$\mathbf{A}$ es cualquier$n\times n$ matriz, entonces$\mathbf{EA}$ es la matriz obtenida aplicando a$\mathbf{A}$ la misma operación a la que se debe aplicar$\mathbf{I}$ para producir$\mathbf{E}$ (Ejercicio~). Además, la inversa de una matriz elemental de tipo , o

es una matriz elemental del mismo tipo (Ejercicio~).

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para encontrar la factorización.

Lemma~ y teorem~

implica que una transformación lineal invertible arbitraria$\mathbf{L}: \R^n\to \R^n$, definida por\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.12} \ mathbf {X} =\ mathbf {L} (\ mathbf {Y}) =\ mathbf {AY}, \ end {ecuación}\] puede escribirse como una composición\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.13} \ mathbf {L}\ mathbf {L} _k\ circ\ mathbf {L} _ _ {k-1}\ circ\ cdots\ circ\ mathbf {L} _1, \ end {ecuación}\] donde\ [ \ mathbf {L} _i (\ mathbf {Y}) =\ mathbf {E} _i\ mathbf {Y},\ quad 1\ le i\ le k. \]

Teorem~ implica que Jordania$\mathbf{L}(S)$ es medible. Si\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.15} V (\ mathbf {L} (R)) =|\ det (\ mathbf {A}) | V (R) \ end {ecuación}\] siempre que$R$ sea un rectángulo, entonces sostiene si$S$ hay algún conjunto compacto Jordan medible. Para ver esto, supongamos que$\epsilon>0$, dejar$R$ ser un rectángulo conteniendo$S$, y dejar${\bf P}=\{R_1,R_2,\dots,R_k\}$ ser una partición de$R$ tal manera que las sumas superior e inferior de$\psi_S$ sobre${\bf P}$ satisfagan la desigualdad\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.16} S ({\ bf P}) -s ({\ bf P}) <\ épsilon. \ end {ecuación}\] Dejar${\mathcal U}_1$ y${\mathcal U}_2$ ser como en. De y,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.17} s ({\ bf P}) =\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (R_j)\ le V (S)\ le\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (R_j) +\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (R_j) +\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (R_} _2} V (R_j) =S ({\ bf P}). \ end {ecuación}\] Teorema ~ implica que$\mathbf{L}(R_1)$,$\mathbf{L}(R_2)$,$\mathbf{L}(R_k)$ y$\mathbf{L}(S)$ son todos Jordania medible. Desde\ [ \ bigcup_ {j\ in {\ mathcal U} _1} R_j\ subconjunto S\ subconjunto\ bigcup_ {j\ in {\ mathcal S} _1\ copa {\ mathcal S_2}} R_j, \] se deduce que\ [ L\ left (\ bigcup_ {j\ in {\ mathcal U} _1} R_j\ right)\ subconjunto L (S)\ subconjunto L\ izquierda (\ bigcup_ {j\ in {\ mathcal S} _1\ copa {\ mathcal S_2}} R_j\ derecha). \] Dado que$L$ es uno a uno en$\R^n$, esto implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.18} \ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (\ mathbf {L} (R_j))\ le V (\ mathbf {L} (S))\ le\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _1} V (\ mathbf {L} (R_j)) +\ sum_ {j\ in {\ mathcal U} _2} V (\ mathbf {L} (R_j)). \ end {ecuación}\] Si asumimos que sostiene siempre$R$ es un rectángulo, entonces\ [ V (\ mathbf {L} (R_j)) =|\ det (\ mathbf {A}) |V (R_j),\ quad 1\ le j\ le k, \] así implica que\ [ s ({\ bf P})\ le frac {V (\ mathbf {L} (S))} {|\ det (\ mathbf {A}) |}\ le S ({\ bf P}). \] Esto, e implica que\ [ \ izquierda|V (S) -\ frac {V (\ mathbf {L} (S))} {|\ det (\ mathbf {A}) |}\ right|<\ épsilon; \] por lo tanto, ya que$\epsilon$ puede hacerse arbitrariamente pequeño, sigue para cualquier conjunto medible de Jordania.

Para completar la prueba, debemos verificar por cada rectángulo\ [ R= [a_1, b_1]\ times [a_2, b_2]\ times\ cdots\ times [a_n, b_n] =I_1\ times I_2\ times\ cdots\ times I_n. \] Supongamos que$\mathbf{A}$ in es una matriz elemental; es decir, let\ [ \ mathbf {X} =\ mathbf {L =\ mathbf {} (\ mathbf {Y}) =\ mathbf {EY}. \]

{Caso 1}. Si$\mathbf{E}$ se obtiene intercambiando las filas$i$ th y$j$ th de$\mathbf{I}$, entonces\ [ x_r=\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} y_r&\ mbox {if $r\ ne i$ y $r\ ne j$};\\ y_j&\ mbox {if $r=i$};\\ y_i&\ mbox {if $r=j$}. \ end {array}\ derecho. \] Entonces$\mathbf{L}(R)$ es el producto cartesiano de$I_1$,$I_2$,,$I_n$ con$I_i$ e$I_j$ intercambiado, así que\ [ V (\ mathbf {L} (R)) =V (R) =|\ det (\ mathbf {E}) |V (R) \] ya que$\det(\mathbf{E})=-1$ en este caso (Ejercicio~

{Caso 2}. Si$\mathbf{E}$ se obtiene multiplicando la fila$r$ th de$\mathbf{I}$ por$a$, entonces\ [ x_r=\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} y_r&\ mbox {if $r\ ne i$},\\ ay_i&\ mbox {if $r=i$}. \ end {array}\ derecho. \] Entonces\ [ \ mathbf {L} (R) =I_1\ times\ cdots\ times I_ {i-1}\ times I'_i\ times I_ {i+1}\ times \ cdots\ times I_n, \] donde$I'_i$ es un intervalo con longitud igual a$|a|$ veces la longitud de$I_i$, así que\ [ V (\ mathbf {L} (R)) =|a|v (R) =|\ det (\ mathbf {E}) |V (R) \] ya que$\det(\mathbf{E})=a$ en este caso (Ejercicio~

{Caso 3}. Si$\mathbf{E}$ se obtiene agregando$a$ veces la fila$j$ th de$\mathbf{I}$ a su$i$ ésima fila ($j\ne i$), entonces\ [ x_r=\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} y_r&\ mbox {if $r\ ne i$};\\ y_i+ay_j&\ mbox {if $r=i$}. \ end {array}\ derecho. \] Entonces\ [ \ mathbf {L} (R) =\ set {(x_1, x_2,\ dots, x_n)} {a_i+ax_j\ le x_i\ le b_i+ax_j \ mbox {y} a_r\ le x_r\ le b_r\ mbox {if} r\ ne i}, \] que es un paralelogramo si$n=2$ y un paralelepípedo si$n=3$ (Figura~). Ahora\ [ V (\ mathbf {L} (R)) =\ int_ {\ mathbf {L} (R)} d\ mathbf {X}, \] que podemos evaluar como una integral iterada en la que la primera integración es con respecto a$x_i$. Por ejemplo, si$i=1$, entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.19} V (\ mathbf {L} (R)) =\ int^ {b_n} _ {a_n} _ {a_n} dx_n\ int^ {b_ {n-1}} _ {a_ {n-1}} dx_ {n-1}\ cdots\ int^ {b_2} _ {a_2} _2\ int^ {b_1+ax_j} _ {a_1+ax_j} dx_1. \ end {ecuación}\]

Desde\ [ \ int^ {b_1+ax_j} _ {a_1+ax_j} dy_1=\ int^ {b_1} _ {a_1} dy_1, \] se puede reescribir como\ [\ begin {eqnarray*} V (\ mathbf {L} (R))\ ar=\ int^ {b_n} _ {a_n} dx_n\ int^ {b_ {n-1}} _ {a_ {n-1}} dx_ {n-1}\ cdots\ int^ {b_2} _ {a_2} dx_2\ int^ {b_1} _ {a_1} dx_1\ \ ar =( b_n-a_n) (b_ {n-1} -a_ {n-1})\ cdots (b_1-a_1) =V (R). \ end {eqnarray*}\] De ahí$V(\mathbf{L}(R))=|\det(\mathbf{E})|V(R)$, ya que$\det(\mathbf{E})=1$ en este caso (Ejercicio~

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De lo que hemos demostrado hasta ahora, sostiene si$\mathbf{A}$ es una matriz elemental y$S$ es cualquier conjunto compacto medible Jordan. Si$\mathbf{A}$ es una matriz arbitraria no singular,

-.0em entonces podemos escribir$\mathbf{A}$ como producto de matrices elementales y aplicar nuestro resultado conocido sucesivamente a$\mathbf{L}_1$,$\mathbf{L}_2$,,$\mathbf{L}_k$ (ver). Esto produce\ [ V (\ mathbf {L} (S)) =|\ det (\ mathbf {E} _k) |\, |\ det (\ mathbf {E} _ _ {k-1}) |\ cdots |\ det\ mathbf {E} _1| V (S) =|\ det (\ mathbf {A}) |V (S), \] por Teorem~ y inducción.

Ahora formulamos la regla para el cambio de variables en una integral múltiple. Ya que por el momento estamos interesados únicamente en ``descubrir” la regla, haremos cualquier suposición que facilite esta tarea, aplazando cuestiones de rigor hasta la prueba.

A lo largo del resto de esta sección será conveniente pensar en el rango y dominio de una transformación$\mathbf{G}:\R^n\to \R^n$ como subconjuntos de distintas copias de$\R^n$. Denotaremos la copia que contiene$D_{\mathbf{G}}$ como$\E^n$, y escribir$\mathbf{G}: \E^n\to \R^n$ y$\mathbf{X}=\mathbf{G}(\mathbf{Y})$, revertir los roles habituales de$\mathbf{X}$ y$\mathbf{Y}$.

Si$\mathbf{G}$ es regular en un subconjunto$S$ de$\E^n$, entonces cada$\mathbf{X}$ en se$\mathbf{G}(S)$ puede identificar especificando el punto único$\mathbf{Y}$ en$S$ tal que$\mathbf{X}=\mathbf{G}(\mathbf{Y})$.

Supongamos que deseamos evaluar$\int_T f(\mathbf{X})\,d\mathbf{X}$, dónde$T$ está la imagen de un conjunto compacto medible de Jordania$S$ bajo la transformación regular$\mathbf{X}=\mathbf{G}(\mathbf{Y})$. Por simplicidad, tomamos$S$ como un rectángulo y asumimos que$f$ es continuo en$T=\mathbf{G}(S)$.

Ahora supongamos que${\bf P}=\{R_1,R_2,\dots,R_k\}$ es una partición de$S$ y$T_j= \mathbf{G}(R_j)$ (Figura~).

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Entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.20} \ int_t f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =\ sum_ {j=1} ^k\ int_ {t_j} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} \ end {ecuación}\] (Corollaro~ e inducción). Dado que$f$ es continuo, hay un punto$\mathbf{X}_j$ en$T_j$ tal que\ [ \ int_ {t_j} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =f (\ mathbf {X} _j)\ int_ {t_j}\, d\ mathbf {X} = f (\ mathbf {X} _j) V (T_j) \]

(Teorem~), así se puede reescribir como\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.21} \ int_t f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =\ sum_ {j=1} ^k f (\ mathbf {X} _j) V (T_j). \ end {ecuación}\]

Ahora aproximamos$V(T_j)$. Si\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.22} \ mathbf {X} _j=\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j), \ end {ecuación}\] entonces$\mathbf{Y}_j\in R_j$ y, ya que$\mathbf{G}$ es diferenciable en$\mathbf{Y}_j$,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.23} \ mathbf {G} (\ mathbf {Y})\ approx\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) + \ mathbf {G} '(\ mathbf {Y} _j) (\ mathbf {Y} -\ mathbf {Y} _j). \ end {equation}\] Aquí$\mathbf{G}$ y$\mathbf{Y}-\mathbf{Y}_j$ están escritos como matrices de columna,$\mathbf{G}'$ es una matriz diferencial, y $\ approx$” significa aproximadamente igual” en un sentido que podríamos hacer precisos si lo deseáramos (Teoremo~).

Es razonable esperar que el contenido de$\mathbf{G}(R_j)$ Jordania sea aproximadamente igual al contenido de Jordania de$\mathbf{A}(R_j)$, donde$\mathbf{A}$ está la transformación afín\ [ \ mathbf {A} (\ mathbf {Y}) =\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) + \ mathbf {G} '(\ mathbf {Y} _j) (\ mathbf {Y} -\ mathbf {Y} _j) \] en el lado derecho de; es decir,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.24} V (\ mathbf {G} (R_j))\ approx V (\ mathbf {A} (R_j)). \ end {ecuación}\] Podemos pensar en la transformación afín$\mathbf{A}$ como una composición$\mathbf{A}= \mathbf{A}_3\circ\mathbf{A}_2\circ\mathbf{A_1}$, donde\ [\ begin {eqnarray*} \ mathbf {A} _1 (\ mathbf {Y})\ ar=\ mathbf {Y} -\ mathbf {Y} _j,\\ \ mathbf {A} _2 (\ mathbf {Y})\ ar=\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y} _j)\ mathbf {Y},\\ \ arraytext {y}\\ \ mathbf {A} _3 (\ mathbf {Y})\ ar=\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) +\ mathbf {Y}. \ end {eqnarray*}\] Vamos$R_j'=\mathbf{A}_1(R_j)$. Dado que$\mathbf{A}_1$ simplemente se desplaza$R_j$ a una ubicación diferente, también$R_j'$ es un rectángulo, y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.25} V (R_j') =V (R_j). \ end {ecuación}\] Ahora vamos$R_j''=\mathbf{A_2}(R_j')$. (En general, no$R_j''$ es un rectángulo.) Dado que$\mathbf{A}_2$ es la transformación lineal con matriz no singular$\mathbf{G}'(\mathbf{Y}_j)$, Teorem~ implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.26} V (R_j”)) = |\ det\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y} _j) |V (R_j') =|J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) |V (R_j), \ end {ecuación}\] donde$J\mathbf{G}$ está el jacobiano de$\mathbf{G}$. Ahora vamos$R_j'''=\mathbf{A_3}(R_j'')$. Dado que$\mathbf{A}_3$ simplemente desplaza todos los puntos de la misma manera,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.27} V (R_j"') =V (R_j”). \ end {ecuación}\]

Ahora — sugiera que\ [ V (T_j)\ approx |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) |V (R_j). \]

(Recordemos eso$T_j=\mathbf{G}(R_j)$.) Sustituyendo esto y en rendimientos\ [ \ int_t f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ approx\ sum_ {j=1} ^k f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j)) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) | V (R_j). \] Pero la suma de la derecha es una suma Riemann para la integral\ [ \ int_s f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}, \] lo que sugiere que\ [ \ int_t f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =\ int_s f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}. \] Esto lo demostraremos mediante un argumento que fue publicado en el {} [Vol. 61 (1954), pp. 81-85] de J. Schwartz.

Ahora probamos la siguiente forma de la regla para cambio de variable en una integral múltiple.

Como la prueba es complicada, la desglosamos en una serie de lemmas. Primero observamos que ambas integrales en existen, por Corolary~, ya que sus integrandos son continuos. (Tenga en cuenta que$S$ es compacto y Jordania medible por suposición, y$\mathbf{G}(S)$ es compacto y Jordania medible por Teorem~.) Además, el resultado es trivial si$V(S)=0$, desde entonces$V(\mathbf{G}(S))=0$ por Lemma~, y ambas integrales en desaparecen. De ahí que supongamos que$V(S)>0$. Necesitamos la siguiente definición.

Dejar$s$ ser la longitud del borde de$C$. Que$\mathbf{Y}_0= (c_1,c_2,\dots,c_n)$ sea el centro de$C$, y supongamos que$\mathbf{H}=(y_1,y_2,\dots,y_n)\in C$. Si$\mathbf{H}= (h_1,h_2,\dots,h_n)$ es continuamente diferenciable on$C$, entonces aplicando el teorema del valor medio (Teorem~) a los componentes de$\mathbf{H}$ rendimientos\ [ h_i (\ mathbf {Y}) -h_i (\ mathbf {Y} _0) =\ sum_ {j=1} ^n \ frac {\ partial h_i (\ mathbf {Y} _i)} {\ partial y_j} (y_j-c_j),\ quad 1\ le i\ le n, \] donde$\mathbf{Y}_i\in C$. De ahí, recordando que \ [\ mathbf {H} '(\ mathbf {Y}) =\ left [\ frac {\ partial h_i} {\ partial y_j}\ right] _ {i, j=1} ^n, \] aplicando Definición~, y señalando que$|y_j-c_j|\le s/2$$1\le j\le n$,, inferimos que\ [ |h_i (\ mathbf {Y}) -h_i (\ mathbf Y {} _0) |\ le\ frac {s} {2} \ max\ set {\ |\ mathbf {H}' (\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ in C},\ quad 1\ le i\ le n. \] Esto significa que$\mathbf{H}(C)$ está contenido en un cubo con longitud de centro$\mathbf{X}_0=\mathbf{H}(\mathbf{Y}_0)$ y borde\ [ s\ max\ set {\ |\ mathbf {H} '(\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ en C}. \] Por lo tanto,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.30} \ begin {array} {rcl} V (\ mathbf {H} (C))\ ar \ le\ left [\ max\ set {\ |\ mathbf {H} '(\ mathbf {Y})\ |_\ infty\ derecha] ^n} {\ mathbf {Y}\ en C} s^n\\ [2\ jot] \ ar=\ izquierda [\ max\ set {\ |\ mathbf {H}' (\ mathbf {Y})\ |_\ infty\ derecha] ^n} {\ mathbf {Y}\ en C} V (C). \ end {array} \ end {ecuación}\] Ahora vamos\ [ \ mathbf {L} (\ mathbf {X}) =\ mathbf {A} ^ {-1}\ mathbf {X} \] y establecer$\mathbf{H}=\mathbf{L}\circ\mathbf{G}$; luego\ [ \ mathbf {H} (C) =\ mathbf {L} (\ mathbf {G} (C)) \ mbox {\ quad y\ quad}\ mathbf bf {H} '=\ mathbf {A} ^ {-1}\ mathbf {G} ', \] así implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.31} V ( \ mathbf {L} (\ mathbf {G} (C)))\ le \ left [\ max\ set {\ |\ mathbf {A} ^ {-1}\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ en C} \ derecha] ^nV (C). \ end {ecuación}\] Dado que$\mathbf{L}$ es lineal, Teoremo~ con$\mathbf{A}$ reemplazado por$\mathbf{A}^{-1}$ implica que\ [ V (\ mathbf {L} (\ mathbf {G} (C))) =|\ det (\ mathbf {A}) ^ {-1} |V (\ mathbf {G} (C)). \] Esto e implica que\ [ |\ det (\ mathbf {A} ^ {-1}) |V (\ mathbf {G} (C)) \ le\ left [\ max\ set {\ |\ mathbf {A} ^ {-1}\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ en C} \ derecha] ^nV (C). \] Ya que$\det(\mathbf{A}^{-1})=1/\det(\mathbf{A})$, esto implica.

Dejar${\bf P}$ ser una partición de$C$ en subcubes$C_1$,$C_2$,,$C_k$ con centros$\mathbf{Y}_1$,$\mathbf{Y}_2$,,$\mathbf{Y}_k$. Entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.33} V (\ mathbf {G} (C)) =\ sum_ {j=1} ^k V (\ mathbf {G} (C_j)). \ end {ecuación}\] Aplicando Lemma~ a$C_j$ con$\mathbf{A}=\mathbf{G}'(\mathbf{A}_j)$ rendimientos\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.34} V (\ mathbf {G} (C_j))\ le |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) | \ left [\ max\ set {\ | (\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y} _j)) ^ {-1} \ mathbf {G}' (\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ en C_j} \ derecha] ^n V (C_j). \ end {ecuación}\] Ejercicio~ implica que si$\epsilon>0$, hay$\delta>0$ tal que\ [ \ max\ set {\ | (\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y} _j)) ^ {-1} \ mathbf {G}' (\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ in C_j} <1+\ épsilon,\ quad 1\ le j\ le k,\ mbox {\ quad si\ quad}\ | {\ bf P}\ |<\ delta. \] Por lo tanto, de,\ [ V (\ mathbf {G} (C_j))\ le (1+\ épsilon) ^n|j\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) |V (C_j), \] así implica que\ [ V (\ mathbf {G} (C))\ le (1+\ épsilon) ^n\ sum_ {=1} ^k |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j) |V (C_j)\ mbox {\ quad si\ quad}\ | {\ bf P}\ |<\ delta. \] Dado que la suma a la derecha es una suma de Riemann para$\int_C |J\mathbf{G}(\mathbf{Y})|\,d\mathbf{Y}$ y$\epsilon$ puede tomarse arbitrariamente pequeña, esto implica.

Ya que Jordania$S$ es medible, \ [\ int_c\ psi_s (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} =V (S) \] si$C$ es cualquier cubo que contenga$S$. De esto y de la definición de la integral, hay$\delta>0$ tal que si${\bf P}$ hay alguna partición de$C$ con$\|{\bf P}\|<\delta$ y$\sigma$ es alguna suma de Riemann de$\psi_S$ más${\bf P}$, entonces$\sigma>V(S)-\epsilon/2$. Por lo tanto, si$s(P)$ es la suma inferior de$\psi_S$ over$\mathbf{P}$, entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.36} s (\ mathbf {P}) >V (S) -\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad}\ |\ mathbf {P}\ |<\ delta. \ end {ecuación}\] Ahora supongamos que${\bf P}=\{C_1,C_2,\dots,C_k\}$ es una partición de$C$ en cubos con$\|{\bf P}\|<\min (\rho,\delta)$, y vamos$C_1$,,$C_2$,$C_k$ ser numerados de manera que$C_j\subset S$ si$1\le j\le r$ y$C_j\cap S^c\ne\emptyset$ si$j>r$. De,$s(\mathbf{P})=\sum_{j=1}^rV(C_k)$. Esto e implica. Claramente,$C_i^0\cap C_j^0=\emptyset$ si$i\ne j$.

De la continuidad de$J\mathbf{G}$ y$f$ sobre los conjuntos compactos$S$ y$\mathbf{G}(S)$, hay constantes$M_1$ y$M_2$ tales que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.38} |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\ le M_1\ mbox {\ quad if\ quad}\ mathbf {Y}\ in S \ end {ecuación}\] y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.39} |f (\ mathbf {X}) |\ le M_2\ mbox {\ quad if\ quad}\ mathbf {X}\ in\ mathbf {G} (S) \ end {ecuación}\] (Teorem~). Ahora supongamos eso$\epsilon>0$. Dado que$f\circ\mathbf{G}$ es uniformemente continuo en$S$ (Teorem~), hay$\delta>0$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.40} |f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) -f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y} ') |<\ épsilon \ mbox {\ quad if\ quad$|\ mathbf {Y} -\ mathbf {Y} '|<\ delta$ y}\ mathbf {Y},\ mathbf {Y}'\ en S. \ end {ecuación}\] Ahora vamos a$C_1$$C_2$,,$C_r$ ser elegido como se describe en Lemma~, con$\rho=\delta/\sqrt{n}$. Vamos\ [ S_1=\ establecer {\ mathbf {Y}\ en S} {\ mathbf {Y}\ notin\ bigcup_ {j=1} ^r C_j}. \] Entonces$V(S_1)<\epsilon$ y\ [\ comenzar {ecuación}\ etiqueta {eq:7.3.41} S=\ izquierda (\ bigcup_ {j=1} ^r C_j\ derecha)\ copa S_1. \ end {ecuación}\]

Supongamos que$\mathbf{Y}_1$$\mathbf{Y}_2$,,,$\mathbf{Y}_r$ son puntos en$C_1$$C_2$,,,$C_r$ y$\mathbf{X}_j=\mathbf{G}(\mathbf{Y}_j)$,$1\le j\le r$. De y Teorem~,\ [\ begin {eqnarray*} Q (S)\ ar=\ int_ {\ mathbf {G} (S_1)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} -\ int_ {S_1} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y} \\ ar {} +\ sum_ {j=1} ^r\ int_ {\ mathbf {G} (C_j)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} - \ sum_ {j=1} ^r\ int_ {c_j} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ \ ar=\ int_ {\ mathbf {G} (S_1)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} -\ int_ {S_1} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ \\ ar {} +\ sum_ {j=1} ^r\ int_ {\ mathbf {G} (C_j)} (f (\ mathbf {X}) - f (\ mathbf {A} _j))\, d\ mathbf {X}\ \ ar {} + sum\ _ {j=1} ^r\ int_ {c_j} ((f ( \ mathbf {G} (\ mathbf {Y} _j)) - f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}))) |J (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ \ ar {} +\ sum_ {j=1} ^r f (\ mathbf {X} _j)\ izquierda ((\ mathbf {G} (C_j)) - \ int_ {C_j} |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ derecha). \ end {eqnarray*}\]

Dado que$f(\mathbf{X})\ge0$,\ [ \ int_ {S_1} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ ge0, \] y Lemma~ implica que la última suma es no positiva. Por lo tanto,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.42} Q (S)\ le I_1+I_2+I_3, \ end {ecuación}\] donde\ [ I_1=\ int_ {\ mathbf {G} (S_1)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X},\ quad I_2= \ sum_ {j_ =1} ^r\ int_ {\ mathbf {G} (C_j)} |f (\ mathbf {X}) -f (\ mathbf {X} _j) | \, d\ mathbf {X}, \] y\ [ I_3= \ sum_ {j=1} ^r\ int_ {c_j} |f (\ mathbf {G}) (\ mathbf {Y} _j)) -f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) | |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}. \] Ahora vamos a estimar estos tres términos. Supongamos que$\epsilon>0$.

Para estimar$I_1$, primero le recordamos que dado que$\mathbf{G}$ es regular en el conjunto compacto$S$, también$\mathbf{G}$ es regular en algún conjunto abierto${\mathcal O}$ que contiene$S$ (Definición~). Por lo tanto$V(S_1)<\epsilon$, ya que$S_1\subset S$ y,$S_1$ puede ser cubierto por cubos$T_1$$T_2$,,,$T_m$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.43} \ sum_ {j=1} ^r V (T_j) <\ épsilon \ end {ecuación}\] y$\mathbf{G}$ es regular on$\bigcup_{j=1}^m T_j$. Ahora,\ [ \ begin {array} {rcll} I_1\ ar\ le M_2V (\ mathbf {G} (S_1)) &\ mbox {(de \ eqref {eq:7.3.39})}\\ [2\ jot] \ ar\ le M_2\ dst\ sum_ {j=1} ^m V (\ mathbf {G} (t_j)) & (\ mbox {desde } S_1\ subconjunto\ cup_ {j=1} ^mt_j)\\ [2\ jot] \ ar\ le M_2\ dst\ sum_ {j=1} ^m\ int_ {t_j} | J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y} & \ mbox {(de Lemma~\ ref {thmtype:7.3.11})} \\ [2\ jot] \ ar\ le M_2M_1\ epsilon&\ mbox {(de\ eqref {eq:7.3.38} y \ eqref {eq:7.3.43})}. \ end {array} \]

Para estimar$I_2$, observamos que si$\mathbf{X}$ y$\mathbf{X}_j$ están en$\mathbf{G}(C_j)$ entonces$\mathbf{X}=\mathbf{G}(\mathbf{Y})$ y$\mathbf{X}_j=\mathbf{G}(\mathbf{Y}_j)$ para algunos$\mathbf{Y}$ y$\mathbf{Y}_j$ en$C_j$. Dado que la longitud del borde de$C_j$ es menor que$\delta/\sqrt n$, se deduce que$|\mathbf{Y}-\mathbf{Y}_j|<\delta$, así$|f(\mathbf{X})-f(\mathbf{X}_j)|<\epsilon$, por. Por lo tanto, \ [\ begin {array} {rcll} I_2\ ar<\ épsilon\ dst\ sum_ {j=1} ^r V (\ mathbf {G} (C_j))\\ [2\ jot]\ ar \ le\ épsilon\ dst\ sum_ {j=1} ^r\ int_ {c_j} |J\ mathbf {G} (\ mathbf {G} (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |d \ mathbf {Y} &\ mbox {(de Lemma~\ ref {thmtype:7.3.11})}\\ [2 \ jot]\ ar\ le\ dst\ épsilon M-1\ sum_ {j=1} ^r V (C_j) &\ mbox {(de \ eqref {eq:7.3.38}})\\ [2\ jot] \ ar\ le\ épsilon M_1 V (S) & (\ mbox {since}\ dst\ cup_ {j=1} ^rc_j\ subconjunto S). \ end {array} \]

Para estimar$I_3$, notamos de nuevo a partir de eso$|f(\mathbf{G}(\mathbf{Y}_j))-f(\mathbf{G}(\mathbf{Y}))|< \epsilon$ si$\mathbf{Y}$ y$\mathbf{Y}_j$ están en$C_j$. Por lo tanto,\ [\ begin {eqnarray*} I_3\ ar<\ epsilon\ sum_ {j=1} ^r \ int_ {c_j} |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |d\ mathbf {Y}\ \ ar\ le M_1\ épsilon\ sum_ {j=1} ^r V (C_j) \ mbox {\ quad (de\ eqref {eq:7.3.38}}\\ \ ar\ le M_1 V (S)\ epsilon \ end {eqnarray*}\] porque$\bigcup_{j=1}^r C_j\subset S$ y$C_i^0\cap C_j^0=\emptyset$ si$i\ne j$.

A partir de estas desigualdades$I_1$,$I_2$, y$I_3$, ahora implica que\ [ Q (S) <M_1 (M_2+2V (S))\ épsilon. \] Dado que$\epsilon$ es un número positivo arbitrario, ahora se deduce que$Q(S)\le0$.

Vamos\ [\ comenzar {ecuación}\ label {eq:7.3.44} \ mathbf {G} _1=\ mathbf {G} ^ {-1},\ quad S_1=\ mathbf {G} (S),\ quad f_1= (|J\ mathbf {G} |) f\ circ\ mathbf {G}, \ end {ecuación}\] y\ [\ comenzar {ecuación}\ label {eq:7.3.45} \ begin {array} {rcl} Q_1 (S_1)\ ar=\ dst\ int_ {\ mathbf {G} _1 (S_1)} f_1 (\ mathbf {Y})\, d\ mathbf {Y} -\ int_ {S_ 1} f_1 (\ mathbf {G} _1 (\ mathbf {X})) |J\ mathbf {G} _1 (\ mathbf {X}) |\, d\ mathbf {X}. \ end {array} \ end {equation}\] Dado que$\mathbf{G}_1$ es regular on$S_1$ (Teorem~) y$f_1$ es continuo y no negativo on$\mathbf{G}_1(S_1)=S$, Lemma~ implica eso$Q_1(S_1)\le0$. Sin embargo, sustituyendo de hacia y nuevamente observando que$\mathbf{G}_1(S_1)=S$ produce\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.46} \ begin {array} {rcl} Q_1 (S_1)\ ar=\ dst\ int_s f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\\ \ ar {} -\ dst\ int_ {\ mathbf {G} (S)} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {G} ^ {-1} (\ mathbf {X}))) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {G} ^ {-1} (\ mathbf {X})) | |J\ mathbf {G} ^ {-1} (\ mathbf {X}) |\, d\ mathbf {X}. \ end {array} \ end {ecuación}\] Desde$\mathbf{G}(\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{X}))=\mathbf{X}$,$f(\mathbf{G}(\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{X})))=f(\mathbf{X})$. Sin embargo, es importante interpretar$J\mathbf{G}(\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{X}))$ correctamente el símbolo. No estamos$\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{X})$ sustituyendo$\mathbf{G}$ aquí; más bien, estamos evaluando el determinante de la matriz diferencial de$\mathbf{G}$ en el punto$\mathbf{Y}=\mathbf{G}^{-1}(\mathbf{X})$. De Teoremas ~ y ~,\ [ |J\ mathbf {G} (\ mathbf {G} ^ {-1} (\ mathbf {X})) ||J\ mathbf {G} ^ {-1} (\ mathbf {X}) |=1,\] así se puede reescribir como \ [ Q_1 (S_1) =\ int_s f (\ mathbf {G} (\ mathbf {G} (\ mathbf {G} (\ mathbf {G} (\ mathbf bf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y} -\ int_ {\ mathbf {G} (S)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X} = -Q (S). \] Ya que$Q_1(S_1)\le0$, ahora se deduce que$Q(S)\ge0$.

Ya podemos completar la prueba del Teorema_{. Lemmas} e implican si no$f$ es negativo en$S$. Ahora supongamos que\ [ m=\ min\ set {f (\ mathbf {X})} {\ mathbf {X}\ in\ mathbf {G} (S)} <0. \] Entonces no$f-m$ es negativo on$\mathbf{G}(S)$, entonces con$f$ reemplazado por$f-m$ implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.47} \ int_ {\ mathbf {G} (S)} (f (\ mathbf {X}) -m)\, d\ mathbf {X} = \ int_s (f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) -m) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}. \ end {ecuación}\] Sin embargo, establecer$f=1$ en rendimientos\ [ \ int_ {\ mathbf {G} (S)}\, d\ mathbf {X} =\ int_s |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}, \] así lo implica.

Los supuestos del Teorem~ son demasiado estrictos para muchas aplicaciones. Por ejemplo, para encontrar el área del disco\ [ \ set {(x, y)} {x^2+y^2\ le1}, \] es conveniente usar coordenadas polares y considerar el círculo como$\mathbf{G}(S)$, donde\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.48} \ mathbf {G} (r,\ theta) =\ left [\ begin {array} {c} r\ cos\ theta\\ r\ sin\ theta\ end {array} \ derecha] \ end { ecuación}\] y$S$ es el conjunto compacto\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.49} S=\ set {(r,\ theta)} {0\ le r\ le1,\ 0\ le\ theta\ le2\ pi} \ end {ecuación}\] (Figura~).

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Desde\ [ \ mathbf {G} '(r,\ theta) = \ left [\ begin {array} {rr}\ cos\ theta&-r\ sin\ theta\\ sin\ theta&r\ cos\ theta \ end {array}\ right], \] se deduce eso$J\mathbf{G}(r,\theta)=r$. Por lo tanto, aplicando formalmente Teoremo~ con$f\equiv1$ rendimientos\ [ A=\ int_ {\ mathbf {G} (S)}\, d\ mathbf {X} =\ int_S r\, d (r,\ theta) =\ int_0^1 r\, dr \ int^ {2\ pi} _0 d\ theta=\ pi. \] Aunque este es un resultado familiar, Teorem~ realmente no se aplica aquí, ya que$\mathbf{G}(r,0)=\mathbf{G}(r,2\pi)$, $0r1 $, así que no$\mathbf{G}$ es uno a uno encendido$S$, y por lo tanto no es regular en$S$.

El siguiente teorema muestra que los supuestos del Teorem~ pueden ser relajados para incluir este ejemplo.

Dado que$f$ es continuo encendido$\mathbf{G}(S)$ y$(|J\mathbf{G}|) f\circ\mathbf{G}$ es continuo encendido$S$, las integrales en ambos existen, por Corolary~. Ahora vamos\ [ \ rho=\ dist\ (\ parcial S, n^C) \] (Ejercicio~5.1.25), y\ [ P=\ set {\ mathbf {Y}} {\ dist (\ mathbf {Y},\ parcial S)}\ le \ frac {\ rho} {2}. \] Entonces$P$ es un subconjunto compacto de$N$ (Ejercicio~5.1.26) y$\partial S\subset P^0$ (Figura~).

Ya que Jordania$S$ es mensurable$V(\partial S)=0$,, por Teorem~. Por lo tanto$\epsilon>0$, si, podemos elegir cubos$C_1$$C_2$,,,$C_k$ de$P^0$ tal manera que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.51} \ parcial S\ subconjunto\ bigcup_ {j=1} ^k C_j^0 \ end {ecuación}\] y\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.52} \ sum_ {j=1} ^k V (C_j) < ep\ silon \ end {ecuación}\]

Ahora deja$S_1$ ser el cierre del conjunto de puntos en$S$ que no están en ninguno de los cubos$C_1$,,$C_2$,$C_k$; así,\ [ S_1=\ overline {S\ cap\ left (\ cup_ {j=1} ^k C_j\ right) ^c}. \]

Debido a,$S_1\cap \partial S=\emptyset$, también lo$S_1$ es un compacto Jordan subconjunto medible de$S^0$. Por lo tanto,$\mathbf{G}$ es regular en$S_1$, y$f$ es continuo en$\mathbf{G}(S_1)$. En consecuencia, si$Q$ es como se define en, entonces$Q(S_1)=0$ por Teorem~.

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Ahora\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.53} Q (S) =Q (S_1) +Q (S\ cap s_1^c) =Q (S\ cap s_1^C) \ end {ecuación}\] (Ejercicio~) y\ [ |Q (S\ cap s_1^c) |\ le\ izquierda|\ int_ {\ mathbf {G} (S\ cap s_1^c)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ derecha|+\ izquierda| \ int_ {S\ cap s_1^C} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ derecha|. \] Pero\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.54} \ izquierda|\ int_ {S\ cap s_1^C} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ derecha|\ le M_1M_2 V (S cap\ s_s_1^c), \ end {ecuación}\] donde$M_1$ y$M_2$ son como se definen en y. Ya que$S\cap S_1^c\subset \cup_{j=1}^k C_j$, implica que$V(S\cap S_1^k)<\epsilon$; por lo tanto,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.55} \ izquierda|\ int_ {S\ cap s_1^C} f (\ mathbf {G} (\ mathbf {Y})) |J\ mathbf {G} (\ mathbf {Y}) |\, d\ mathbf {Y}\ derecha|\ le M_1M_2 epsilon, \ end {ecuación}\] de. También\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.56} \ izquierda|\ int_ {\ mathbf {G} (S\ cap s_1^c)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ derecha|\ le M_2 V (\ mathbf {G} (S\ cap s_1^C))\ le M_2\ sum_ {=1} ^k V (\ mathbf {G} (C_j)). \ end {ecuación}\]

Por el argumento que llevó a con${\bf H}={\bf G}$ y$C=C_{j}$,\ [ V (\ mathbf {G} (C_j))\ le\ left [\ max\ set {\ |\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ in C_j}\ right] ^nV (C_j), \] así se puede reescribir como\ [ \ izquierda|\ int_ {\ mathbf {G} (S\ cap s_1^c)} f (\ mathbf {X})\, d\ mathbf {X}\ derecha|\ le M_2 \ izquierda [\ max\ set {\ |\ mathbf {G} '(\ mathbf {Y})\ |_\ infty} {\ mathbf {Y}\ en P} \ derecha] ^n\ épsilon, \] debido a. Ya que se$\epsilon$ puede hacer arbitrariamente pequeño, esto e implicar eso$Q(S\cap S_1^c)=0$. Ahora$Q(S)=0$, desde.

Ahora se justifica la transformación a coordenadas polares para calcular el área del disco, ya que$\mathbf{G}$ y$S$ como se define por y satisfacer los supuestos del Teorem~.

Si$\mathbf{G}$ es la transformación de coordenadas polares a rectangulares\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.57} \ left [\ begin {array} {c} x\\ y\ end {array}\ right] = \ mathbf {G} (r,\ theta) =\ left [\ begin {array} {c} r \ cos\ theta\\ r\ sin\ theta\ end {array}\ right], \ end {ecuación}\] entonces$J\mathbf{G}(r,\theta)=r$ y se convierte en\ [ \ int_ {\ mathbf {G} (S)} f (x, y)\, d (x, y) =\ int_s f (r\ cos\ theta, r\ sin\ theta) r\, d (r,\ theta) \] si asumimos, como es convencional, que$S$ está en la mitad derecha cerrada del$r\theta$ plano. Esta transformación es especialmente útil cuando los límites de$S$ pueden expresarse convenientemente en términos de coordenadas polares, como en el ejemplo anterior Teorem~. Siguen dos ejemplos más.

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Si$\mathbf{G}$ es la transformación de coordenadas esféricas a rectangulares,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.58} \ left [\ begin {array} {c} x\\ y\\ z\ end {array}\ right] =\ mathbf {G} (r,\ theta,\ phi) = \ left [\ begin {array} {c} r\ cos\ theta\ cos\ phi\ r\ sin\ theta\ cos\ phi\\ r\ sin\ phi\ end {array}\ derecho], \ end { ecuación}\] entonces\ [ \ mathbf {G} '(r,\ theta,\ phi) = \ izquierda [\ begin {array} {crc} \ cos\ theta\ cos\ theta\ cos\ phi&-r\ sin\ theta\ cos\ phi&-r\ cos\ theta\ sin \ phi\\ sin\ theta\ cos\ phi&r\ cos\ theta\ cos\ phi&r\ sin\ theta\ sin\ phi\ \\ sin\ phi&0&r\ cos\ phi \ end {array}\ derecho] \] y$J\mathbf{G}(r,\theta,\phi)=r^2\cos\phi$, así se convierte en\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:7.3.59} \ begin {array} {l} \ dst\ int_ {\ mathbf {G} (S)} f (x, y, z)\, d (x, y, z)\\\\ =\ dst\ int_s f (r\ cos\ theta\ cos\ phi, r\ sin\ theta\ cos\ phi, r\ sin\ phi) r^2\ cos\ phi\, d (r,\ theta,\ phi) \ end {array} \ end {ecuación}\] si hacemos la suposición convencional de que$|\phi|\le\pi/2$ y$r\ge0$.

Consideramos ahora otras aplicaciones del Teorem~.

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