1.1: Conjuntos y relaciones
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1.1.1 Los números enteros
Kronecker dijo una vez: “Dios hizo los enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Tomando esto como nuestro punto de partida, asumimos la existencia del conjunto
\[\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}.\]
el conjunto de números enteros. Además, asumimos las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación de enteros, junto con otras propiedades elementales como el Teorema Fundamental de la Aritmética, es decir, la afirmación de que cada entero puede ser factorizado en un producto de números primos y esta factorización es esencialmente único.
1.1.2 Conjuntos
Tomaremos una visión ingenua de los conjuntos: dada cualquier propiedad\(p,\) podemos determinar un conjunto recopilando juntos todos los objetos que tienen propiedad\(p .\) Esto se puede hacer ya sea por enumeración explícita, como,\(p\) es la propiedad de ser uno de\(a, b,\) o\(c,\) que crea el conjunto \(\{a, b, c\},\)o indicando la propiedad deseada, tal como,\(p\) es la propiedad de ser un entero positivo, lo que crea el conjunto
\[\mathbb{Z}^{+}=\{1,2,3,4, \ldots\}.\]
La notación\(x \in A\) indica que\(x\) es un elemento del conjunto\(A .\) Dados conjuntos\(A\) y\(B,\) decimos que\(A\) es un subconjunto de\(B,\) denotado\(A \subset B,\) si del hecho de que necesariamente\(x \in A\) se deduce que\(x \in B .\) Decimos conjuntos\(A\) y\(B\) son igual si ambos\(A \subset B\) y\(B \subset A .\)
Dados dos sets\(A\) y\(B,\) llamamos al conjunto
\[A \cup B=\{x: x \in A \text { or } x \in B\}\]
la unión de\(A\) y\(B\) y el conjunto
\[A \cap B=\{x: x \in A \text { and } x \in B\}\]
la intersección de\(A\) y\(B .\) Llamamos al conjunto
\[A \backslash B=\{x: x \in A, x \notin B\}\]
la diferencia de\(A\) y\(B\).
Más generalmente, si\(I\) es un conjunto y\(\left\{A_{\alpha}: \alpha \in I\right\}\) es una colección de conjuntos, uno para cada elemento de\(I,\) entonces tenemos la unión
\[\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}=\left\{x: x \in A_{\alpha} \text { for some } \alpha\right\}\]
y la intersección
\[\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}=\left\{x: x \in A_{\alpha} \text { for all } \alpha\right\}.\]
Por ejemplo, si\(I=\{2,3,4, \ldots\}\) y dejamos
\[A_{2}=\left\{n: n \in \mathbb{Z}^{+}, n>1, n \neq 2 m \text { for any } m \in \mathbb{Z}^{+} \text {with } m>1\right\}\]
y, para cualquier\(i \in I, i>2\),
\[A_{i}=\left\{n: n \in A_{i-1}, n \neq m i \text { for any } m \in \mathbb{Z}^{+} \text {with } m>1\right\},\]
entonces\(\cap_{i \in I} A_{i}\) es el conjunto de números primos.
Si\(A\) y\(B\) son ambos conjuntos, llamamos al conjunto
\[A \times B=\{(a, b): a \in A, b \in B\}\]
el producto cartesiano de\(A\) y\(B .\) Si\(A=B,\) escribimos
\[A^{2}=A \times A.\]
\(\mathbb{Z}^{2}=\{(m, n): m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}\}\)es el conjunto de todos los pares ordenados de números enteros.
1.1.3 Relaciones
Dados dos conjuntos\(A\) y\(B,\) llamamos un subconjunto\(R\) de\(A \times B\) una relación. Dada una relación\(R,\) vamos a escribir\(a \sim _{R} b\), o simplemente\(a \sim b\) si\(R\) es claro desde el contexto, para indicar que\((a, b) \in R .\)
Decimos que un entero\(m\) divide y entero\(n\) si\(n=m i\) para algún entero\(i .\) Si dejamos
\[R=\{(m, n): m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, m \text { divides } n\},\]
entonces\(R\) es una relación. Por ejemplo,\(3 \sim_{R} 12\).
Considerar un conjunto\(A\) y una relación\(R \subset A^{2} .\) Para propósitos de concisión, decimos simplemente que\(R\) es una relación sobre\(A .\) Si\(R\) es tal que\(a \sim _{R} a\) para cada que\(a \in A,\) decimos\(R\) es reflexivo; si\(R\) es tal que\(b \sim R a\) cada vez que\(a \sim _{R} b,\) decimos \(R\)es simétrico; si\(a \sim_{R} b\) y\(b \sim_{R} c\) juntos implica\(a \sim_{R} c,\) decimos que\(R\) es transitivo. Llamamos a una relación reflexiva, simétrica y transitiva una relación de equivalencia.
Mostrar que la relación\(R\) sobre\(\mathbb{Z}\) definida por\(m \sim_{R} n\) si\(m\) divide\(n\) es reflexiva y transitiva, pero no simétrica.
Mostrar que la relación\(R\) sobre\(\mathbb{Z}\) definida por\(m \sim_{R} n\) si\(m-n\) es par es una relación de equivalencia.
Dada una relación de equivalencia\(R\) sobre un conjunto\(A\) y un elemento\(x \in A,\) que llamamos
\[[x]=\left\{y: y \in A, y \sim_{R} x\right\}\]
la clase de equivalencia de\(x .\)
Dada una relación de equivalencia\(R\) en un conjunto\(A,\) muestran que
a.\([x] \cap[y] \neq \emptyset\) si y sólo si\(x \sim_{R} y\)
b.\([x]=[y]\) si y sólo si\(x \sim_{R} y .\)
Como consecuencia del ejercicio anterior, las clases de equivalencia de una relación de equivalencia sobre un conjunto\(A\) constituyen una partición de\(A\) (es decir,\(A\) puede escribirse como la unión disjunta de las clases de equivalencia).
Encuentra las clases de equivalencia para la relación de equivalencia en el Ejercicio 1.1.2.