1.2: Funciones

Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, llamamos a una relación\(R \subset A \times B\) una función con dominio\(A\) si por cada\(a \in A\) existe uno, y solo uno,\(b \in B\) tal que\((a, b) \in R .\) normalmente indicamos tal relación con la notación\(f: A \rightarrow B,\) y escribimos\(f(a)=b\) para indicar que \((a, b) \in R .\)Llamamos al conjunto de todos\(b \in B\) tales que\(f(a)=b\) para algunos\(a \in A\) el rango de\(f .\) Con esta notación, a menudo nos referimos\(R\) como la gráfica de\(f\).

Decimos\(f: A \rightarrow B\) es uno a uno si por cada\(b\) en el rango de\(f\) existe un único\(a \in A\) tal que\(f(a)=b .\) Decimos\(f\) es sobre si por cada\(b \in B\) existe al menos uno\(a \in A\) tal que\(f(a)=b .\) Por ejemplo, la función\(f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}\) definida por \(f(z)=z^{2}\)es uno a uno, pero no on, mientras que la función\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) definida por\(f(z)=z+1\) es tanto uno a uno como onto.

Dadas dos funciones,\(g: A \rightarrow B\) y\(f: B \rightarrow C,\) definimos la composición, denotada como\(f \circ g: A \rightarrow C,\) la función definida por\(f \circ g(a)=f(g(a))\).

Si\(f: A \rightarrow B\) es tanto uno a uno como a uno, entonces podemos definir una función\(f^{-1}: B \rightarrow A\) requiriendo\(f^{-1}(b)=a\) si y solo si\(f(a)=b\). Tenga en cuenta que esto implica que\(f \circ f^{-1}(b)=b\) para todos\(b \in B\) y\(f^{-1} \circ f(a)=a\) para todos\(a \in A .\) Nosotros llamamos a\(f^{-1}\) la inversa de\(f\).

Dada cualquier colección de conjuntos no vacíos,\(\left\{A_{\alpha}\right\}, \alpha \in I,\) asumimos la existencia de una función\(\phi: I \rightarrow B=\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha},\) con la propiedad que\(\phi(\alpha) \in A_{\alpha} .\) llamamos tal función función de elección. La suposición de que las funciones de elección siempre existen se conoce como el Axioma de la Elección.