1.2: Funciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
SiA yB son conjuntos, llamamos a una relaciónR⊂A×B una función con dominioA si por cadaa∈A existe uno, y solo uno,b∈B tal que(a,b)∈R. normalmente indicamos tal relación con la notaciónf:A→B, y escribimosf(a)=b para indicar que (a,b)∈R.Llamamos al conjunto de todosb∈B tales quef(a)=b para algunosa∈A el rango def. Con esta notación, a menudo nos referimosR como la gráfica def.
Decimosf:A→B es uno a uno si por cadab en el rango def existe un únicoa∈A tal quef(a)=b. Decimosf es sobre si por cadab∈B existe al menos unoa∈A tal quef(a)=b. Por ejemplo, la funciónf:Z+→Z+ definida por f(z)=z2es uno a uno, pero no on, mientras que la funciónf:Z→Z definida porf(z)=z+1 es tanto uno a uno como onto.
Dadas dos funciones,g:A→B yf:B→C, definimos la composición, denotada comof∘g:A→C, la función definida porf∘g(a)=f(g(a)).
Sif:A→B es tanto uno a uno como a uno, entonces podemos definir una funciónf−1:B→A requiriendof−1(b)=a si y solo sif(a)=b. Tenga en cuenta que esto implica quef∘f−1(b)=b para todosb∈B yf−1∘f(a)=a para todosa∈A. Nosotros llamamos af−1 la inversa def.
Dada cualquier colección de conjuntos no vacíos,{Aα},α∈I, asumimos la existencia de una funciónϕ:I→B=⋃α∈IAα, con la propiedad queϕ(α)∈Aα. llamamos tal función función de elección. La suposición de que las funciones de elección siempre existen se conoce como el Axioma de la Elección.