1.2: Funciones

Si$A$ y$B$ son conjuntos, llamamos a una relación$R \subset A \times B$ una función con dominio$A$ si por cada$a \in A$ existe uno, y solo uno,$b \in B$ tal que$(a, b) \in R .$ normalmente indicamos tal relación con la notación$f: A \rightarrow B,$ y escribimos$f(a)=b$ para indicar que $(a, b) \in R .$Llamamos al conjunto de todos$b \in B$ tales que$f(a)=b$ para algunos$a \in A$ el rango de$f .$ Con esta notación, a menudo nos referimos$R$ como la gráfica de$f$.

Decimos$f: A \rightarrow B$ es uno a uno si por cada$b$ en el rango de$f$ existe un único$a \in A$ tal que$f(a)=b .$ Decimos$f$ es sobre si por cada$b \in B$ existe al menos uno$a \in A$ tal que$f(a)=b .$ Por ejemplo, la función$f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ definida por $f(z)=z^{2}$es uno a uno, pero no on, mientras que la función$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ definida por$f(z)=z+1$ es tanto uno a uno como onto.

Dadas dos funciones,$g: A \rightarrow B$ y$f: B \rightarrow C,$ definimos la composición, denotada como$f \circ g: A \rightarrow C,$ la función definida por$f \circ g(a)=f(g(a))$.

Si$f: A \rightarrow B$ es tanto uno a uno como a uno, entonces podemos definir una función$f^{-1}: B \rightarrow A$ requiriendo$f^{-1}(b)=a$ si y solo si$f(a)=b$. Tenga en cuenta que esto implica que$f \circ f^{-1}(b)=b$ para todos$b \in B$ y$f^{-1} \circ f(a)=a$ para todos$a \in A .$ Nosotros llamamos a$f^{-1}$ la inversa de$f$.

Dada cualquier colección de conjuntos no vacíos,$\left\{A_{\alpha}\right\}, \alpha \in I,$ asumimos la existencia de una función$\phi: I \rightarrow B=\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha},$ con la propiedad que$\phi(\alpha) \in A_{\alpha} .$ llamamos tal función función de elección. La suposición de que las funciones de elección siempre existen se conoce como el Axioma de la Elección.