1.3: Números racionales

\(P=\{(p, q): p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\} .\)Dejemos Definimos una relación de equivalencia sobre\(P\) diciendo\((p, q) \sim(s, t)\) si\(p t=q s\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que la relación como se acaba de definir es efectivamente una relación de equivalencia.

Vamos a denotar la clase de equivalencia de\((p, q) \in P\) by\(p / q,\) o\(\frac{p}{q} .\) Llamamos al conjunto de todas las clases de equivalencia de\(P\) los números racionales, que denotamos por\(\mathbb{Q}\). Si\(p \in \mathbb{Z},\) vamos a denotar la clase de equivalencia de\((p, 1)\) por\(p ;\) eso es, dejamos

\[\frac{p}{1}=p.\]

De esta manera, podemos pensar en\(\mathbb{Z}\) como un subconjunto de\(\mathbb{Q}\).

1.3.1 Propiedades de campo

Deseamos definir operaciones de suma y multiplicación sobre elementos de\(\mathbb{Q}\). Comenzamos definiendo operaciones sobre los elementos de\(P .\) A saber, dado\((p, q) \in P\) y\((s, t) \in P,\) definir

\[(p, q) \oplus(s, t)=(p t+s q, q t)\]

y

\[(p, q) \otimes(s, t)=(p s, q t).\]

Ahora supongamos\((p, q) \sim(a, b)\) y de\((s, t) \sim(c, d) .\) ello se deduce\((p, q) \oplus(s, t) \sim\)\((a, b) \oplus(c, d),\) que es decir,\((p t+s q, q t) \sim(a d+c b, b d),\) ya que

\[(p t+s q) b d=p b t d+s d q b=q a t d+t c q b=(a d+c b) q t.\]

Además, es\((p, q) \otimes(s, t) \sim(a, b) \otimes(c, d),\) decir,\((p s, q t) \sim(a c, b d),\) ya que

\[p s b d=p b s d=q a t c=q t a c.\]

Esto demuestra que la clase de equivalencia de una suma o producto depende únicamente de las clases de equivalencia de los elementos que se agregan o multiplican. Por lo tanto, podemos definir suma y multiplicación\(\mathbb{Q}\) por

\[\frac{p}{q}+\frac{s}{t}=\frac{p t+s q}{q t}\]

y

\[\frac{p}{q} \times \frac{s}{t}=\frac{p s}{q t},\]

y los resultados no dependerán de qué representantes elijamos para cada clase de equivalencia. Por supuesto, la multiplicación a menudo se denota usando yuxtaposición, es decir,

\[\frac{p}{q} \times \frac{s}{t}=\frac{p}{q} \frac{s}{t},\]

y la multiplicación repetida puede denotarse por exponenciación, es decir,\(a^{n},\)\(a \in \mathbb{Q}\) y\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) representa el producto de\(a\) consigo mismo\(n\) tiempos.

Tenga en cuenta que si\((p, q) \in P,\) entonces\((-p, q) \sim(p,-q) .\) Por lo tanto, si\(a=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q},\) entonces dejamos

\[-a=\frac{-p}{q}=\frac{p}{-q}.\]

Para cualquiera\(a, b \in \mathbb{Q},\) escribiremos\(a-b\) para denotar\(a+(-b)\).

\(\quad\)Si\(a=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}\) con\(p \neq 0,\) entonces dejamos

\[a^{-1}=\frac{q}{p}.\]

Además, escribiremos

\[\frac{1}{a}=a^{-1},\]

\[\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}\]

para cualquier\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) y, para cualquier\(b \in \mathbb{Q}\),

\[\frac{b}{a}=b a^{-1}.\]

Ahora es fácil demostrar que

1. \(a+b=b+a\)para todos\(a, b \in \mathbb{Q}\);

2. \((a+b)+c=a+(b+c)\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{Q}\);

3. \(a b=b a\)para todos\(a, b \in \mathbb{Q}\);

4. \((a b) c=a(b c)\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{Q}\);

5. \(a(b+c)=a b+a c\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{Q}\);

6. \(a+0=a\)para todos\(a \in \mathbb{Q}\);

7. \(a+(-a)=0\)para todos\(a \in \mathbb{Q}\);

8. \(1 a=a\)para todos\(a \in \mathbb{Q}\);

9. si\(a \in \mathbb{Q}, a \neq 0,\) entonces\(a a^{-1}=1\).

Tomadas en conjunto, estas afirmaciones implican que\(\mathbb{Q}\) es un campo.

1.3.2 Propiedades de orden y métricas

Decimos que un número racional\(a\) es positivo si existe\(p, q \in \mathbb{Z}^{+}\) tal que\(a=\frac{p}{q}\). Denotamos el conjunto de todos los elementos positivos de\(\mathbb{Q}\) by\(\mathbb{Q}^{+} .\)

Dado\(a, b \in \mathbb{Q},\) decimos\(a\) es menor que\(b,\) o, equivalentemente,\(b\) es mayor que\(a,\) denotado ya sea por\(a<b\) o\(b>a\), si\(b-a\) es positivo. En particular,\(a>0\) si y sólo si\(a\) es positivo. Si\(a<0,\) decimos\(a\) es negativo. Escribimos\(a \leq b,\) o, equivalentemente,\(b \geq a,\) si cualquiera\(a<b\) o\(a=b\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que para cualquiera\(a \in \mathbb{Q},\) y sólo uno de los siguientes debe tener: (a)\(a<0,(b) a=0,(c) a>0\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demuéstralo si\(a, b \in \mathbb{Q}^{+},\) entonces\(a+b \in \mathbb{Q}^{+}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos\(a, b, c \in \mathbb{Q} .\) Mostrar cada uno de los siguientes:

a. Uno, y sólo uno, de los siguientes deberá poseer:

i)\(a<b\),

ii)\(a=b\),

iii)\(a>b\).

b. Si\(a<b\) y\(b<c,\) entonces\(a<c\).

c. Si\(a<b,\) entonces\(a+c<b+c\).

d. Si\(a>0\) y\(b>0,\) entonces\(a b>0\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(a, b \in \mathbb{Q}\)Demuéstralo si con\(a>0\) y\(b<0,\) luego\(a b<0\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demuestre que si\(a, b, c \in \mathbb{Q}\) con\(a<b,\) entonces\(a c<b c\) si\(c>0\) y\(a c>b c\) si\(c<0\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demuestre que si\(a, b \in \mathbb{Q}\) con\(a<b,\) entonces

\[a<\frac{a+b}{2}<b.\]

Como consecuencia del Ejercicio 1.3 .4 decimos que\(\mathbb{Q}\) es un campo ordenado. Para cualquiera\(a \in \mathbb{Q},\) que llamemos

\[|a|=\left\{\begin{aligned} a, & \text { if } a \geq 0, \\-a, & \text { if } a<0,\end{aligned}\right.\]

el valor absoluto de\(a\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demuéstralo para cualquier\(a \in \mathbb{Q},-|a| \leq a \leq|a|\).

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier\(a, b \in \mathbb{Q},|a+b| \leq|a|+|b|\).

Prueba

Si\(a+b \geq 0,\) entonces

\[|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|-a-b=(|a|-a)+(|b|-b).\]

Ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio\(1.3 .8 .\) De ahí que la suma no sea negativa y la proposición sigue. Si\(a+b<0,\) entonces

\[|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|+a+b=(|a|+a)+(|b|+b).\]

Nuevamente, ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio\(1.3 .8 .\) De ahí que la suma no sea negativa y el teorema sigue. \(\quad\)Q.E.D.

Ahora es fácil demostrar que el valor absoluto satisface

1. \(|a-b| \geq 0\)para todos\(a, b \in \mathbb{Q},\) con\(|a-b|=0\) si y solo si\(a=b\),

2. \(|a-b|=|b-a|\)para todos\(a, b \in \mathbb{Q}\),

3. \(|a-b| \leq|a-c|+|c-b|\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{Q}\).

Obsérvese que la última afirmación, conocida como la desigualdad triangular, se desprende de la escritura

\[a-b=(a-c)+(c-b)\]

y aplicando la proposición anterior. Estas propiedades muestran que la función

\[d(a, b)=|a-b|\]

es una métrica, y llamaremos a\(|a-b|\) la distancia de\(a\) a\(b .\)

Supongamos\(a, b \in \mathbb{Q}^{+}\) con\(a<b\) y vamos\(p, q, r, s \in \mathbb{Z}^{+}\) tal que\(a=\frac{p}{q}\) y\(b=\frac{r}{s} .\) Para cualquiera\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) tenemos

\[n a-b=n \frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{n p s-r q}{q s}.\]

Si elegimos lo suficientemente\(n\) grande como para que\(n p s-r q>0,\) se deduce\(n a-b>0,\) que es decir,\(n a>b .\) Decimos que el campo ordenado\(\mathbb{Q}\) es de arquímedes. Tenga en cuenta que también se deduce que podemos elegir lo suficientemente\(n\) grande como para asegurar eso\(\frac{b}{n}<a\).

1.3.3 límites superior e inferior

Definición

Que\(A \subset \mathbb{Q} .\) Si\(s \in \mathbb{Q}\) es tal que\(s \geq a\) para cada\(a \in A,\) entonces llamamos\(s\) un límite superior para\(A\). Si\(s\) es un límite superior para\(A\) con la propiedad que\(s \leq t\) siempre\(t\) es un límite superior para\(A,\) entonces llamamos\(s\) al supremum, o menos límite superior, de\(A,\) denotado\(s=\sup A .\) De manera similar, si\(r \in \mathbb{Q}\) es tal que\(r \leq a\) para cada \(a \in A,\)entonces llamamos\(r\) un límite inferior para\(A .\) Si\(r\) es un límite inferior para\(A\) con la propiedad que\(r \geq t\) siempre que\(t\) sea un límite inferior para\(A,\) entonces llamamos\(r\) al infimum, o mayor límite inferior, de\(A,\) denotado\(r=\inf A .\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar que lo supremo de un conjunto\(A \subset \mathbb{Q},\) si existe, es único, y así justificar el uso del artículo definido en la definición anterior.

Un conjunto que no tenga un límite superior no tendrá,\(a\) fortiori, un supremo. Además, incluso los conjuntos que tienen límites superiores no necesitan tener un supremo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(\mathbb{Q}\)no tiene un límite superior.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considera el conjunto

\[A=\left\{a: a \in \mathbb{Q}^{+}, a^{2}<2\right\}.\]

Tenga en cuenta que si\(a, b \in \mathbb{Q}^{+}\) con\(a<b,\) entonces

\[b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)>0,\]

de lo que se deduce que\(a^{2}<b^{2} .\) Por lo tanto si\(a \in \mathbb{Q}^{+}\) con\(a^{2}>2,\) entonces\(a\) es un límite superior\(A .\) para Por ejemplo, 4 es un límite superior para\(A .\)

Ahora supongamos que\(s \in \mathbb{Q}^{+}\) es lo supremo de\(A .\) Debemos tener\(s^{2}<2,\)\(s^{2}>2,\) o bien\(s^{2}=2\).

Supongamos\(s^{2}<2\) y dejemos\(\epsilon=2-s^{2} .\) Por la propiedad arquímedes de\(\mathbb{Q},\) podemos elegir\(n \in \mathbb{Z}^{+}\) tal que

\[\frac{2 s+1}{n}<\epsilon,\]

de lo que se deduce que

\[\frac{2 s}{n}+\frac{1}{n^{2}}=\frac{2 s+\frac{1}{n}}{n} \leq \frac{2 s+1}{n}<\epsilon.\]

De ahí

\[\left(s+\frac{1}{n}\right)^{2}=s^{2}+\frac{2 s}{n}+\frac{1}{n^{2}}<s^{2}+\epsilon=2,\]

lo que implica que\(s+\frac{1}{n} \in A .\) dado que\(s<s+\frac{1}{n},\) ello contradice la suposición de que\(s\) es un límite superior para\(A .\)

Así que ahora supongamos\(s^{2}>2 .\) Una vez más vamos\(n \in \mathbb{Z}^{+}\) y notemos que

\[\left(s-\frac{1}{n}\right)^{2}=s^{2}-\frac{2 s}{n}+\frac{1}{n^{2}}.\]

Si lo dejamos\(\epsilon=s^{2}-2,\) entonces podemos elegir\(n \in \mathbb{Z}^{+}\) para que

\[\frac{2 s}{n}<\epsilon.\]

De ello se deduce que

\[\left(s-\frac{1}{n}\right)^{2}>s^{2}-\epsilon+\frac{1}{n^{2}}=2+\frac{1}{n^{2}}>2.\]

Así\(s-\frac{1}{n}\) es un límite superior para\(A\) y que\(s-\frac{1}{n}<s,\) contradice la suposición de que\(s=\sup A\).

Así debemos tener\(s^{2}=2 .\) Sin embargo, esto es imposible a la luz de la siguiente proposición. De ahí que debemos concluir que\(A\) no tiene un supremo.

Proposición\(\PageIndex{2}\)

No existe un número racional\(s\) con la propiedad que\(s^{2}=2\).

Prueba

Supongamos que existe\(s \in \mathbb{Q}\) tal que\(s^{2}=2 .\) Elija de\(a, b \in \mathbb{Z}^{+}\) manera que\(a\) y\(b\) sean relativamente primos (es decir, no tienen otro factor que 1 en común) y\(s=\frac{a}{b} .\) Entonces

\[\frac{a^{2}}{b^{2}}=2,\]

\(a^{2}=2 b^{2} .\)así\(a^{2},\) y por lo tanto\(a,\) es un entero par. Entonces existe\(c \in \mathbb{Z}^{+}\) tal que\(a=2 c .\) De ahí

\[2 b^{2}=a^{2}=4 c^{2},\]

de lo que se deduce que\(b^{2}=2 c,\) y así\(b\) es también un entero par. Pero esto contradice la suposición de que\(a\) y\(b\) son relativamente primos. \(\quad\)Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar que no existe un número racional\(s\) con la propiedad que\(s^{2}=3\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar que no existe un número racional\(s\) con la propiedad que\(s^{2}=6\).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Vamos\(A=\left\{a: a \in \mathbb{Q}, a^{3}<2\right\}\).

1. Demuéstralo si\(a \in A\) y\(b<a,\) entonces\(b \in A\).

2. Demuéstralo si\(a \notin A,\) y\(b>a,\) entonces\(b \notin A\).

1.3.4 Secuencias

Definición

Supongamos\(n \in \mathbb{Z}, I=\{n, n+1, n+2, \ldots\},\) y\(A\) es un conjunto. Llamamos a una función\(\varphi: I \rightarrow A\) una secuencia con valores en\(A\).

Frecuentemente, definiremos una secuencia\(\varphi\) especificando sus valores con notación como, por ejemplo,\(\{\varphi(i)\}_{i \in I},\) o\(\{\varphi(i)\}_{i=n}^{\infty} .\) Así, por ejemplo,\(\left\{i^{2}\right\}_{i=1}^{\infty}\) denota la secuencia\(\varphi: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}\) definida por\(\varphi(i)=i^{2} .\) Además, es costumbre denotar los valores de una secuencia usando notación de subíndices. Así si\(a_{i}=\varphi(i),\)\(i \in I,\) entonces\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) denota la secuencia\(\varphi .\) Por ejemplo, podemos definir la secuencia del ejemplo anterior escribiendo\(a_{i}=i^{2}, i=1,2,3, \ldots\).

Definición

Supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia con valores en\(\mathbb{Q} .\) Nosotros decimos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge, y tiene límite\(L, L \in \mathbb{Q},\) si por cada\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) existe\(N \in \mathbb{Z}\) tal que

\[\left|a_{i}-L\right|<\epsilon \text { whenever } i>N.\]

Si la secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge a\(L,\) escribimos

\[\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=L.\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Tenemos

\[\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{1}{i}=0,\]

ya que, para cualquier número racional\(\epsilon>0\),

\[\left|\frac{1}{i}-0\right|=\frac{1}{i}<\epsilon\]

para cualquier\(i>N,\) lugar\(N\) es cualquier entero mayor que\(\frac{1}{\epsilon}\).

Definición

Supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia con valores en\(\mathbb{Q} .\) Llamamos a\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) una secuencia Cauchy si por cada\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) existe\(N \in \mathbb{Z}\) tal que

\[\left|a_{i}-a_{k}\right|<\epsilon \text { whenever both } i>N \text { and } k>N.\]

Proposición\(\PageIndex{3}\)

Si\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) converge, entonces\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia de Cauchy.

Prueba

Supongamos\(\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=L .\) Dado\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) elegir un entero\(N\) tal que

\[\left|a_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{2}\]

para todos\(i>N .\) Entonces para cualquiera\(i, k>N,\) tenemos

\[\left|a_{i}-a_{k}\right|=\left|\left(a_{i}-L\right)+\left(L-a_{k}\right)\right| \leq\left|a_{i}-L\right|+\left|a_{k}-L\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\]

De ahí\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) que sea una secuencia de Cauchy. \(\quad\)Q.E.D.

La proposición muestra que cada secuencia convergente en\(\mathbb{Q}\) es una secuencia de Cauchy, pero, como muestra el siguiente ejemplo, la inversa no se sostiene.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Let

\[f(x)=x^{2}-2\]

y considere la secuencia construida de la siguiente manera: Comenzar por establecer\(a_{1}=1\),\(b_{1}=2,\) y\(x_{1}=\frac{3}{2} .\) Si se\(f\left(a_{1}\right) f\left(x_{1}\right)<0,\) establece

\[x_{2}=\frac{a_{1}+x_{1}}{2},\]

\(a_{2}=a_{1},\)y de\(b_{2}=x_{1} ;\) lo contrario, establecer

\[x_{2}=\frac{x_{1}+b_{1}}{2},\]

\(a_{2}=x_{1},\)y\(b_{2}=b_{1} .\) En general, dado\(a_{n}, x_{n},\) y\(b_{n},\) si se\(f\left(a_{n}\right) f\left(x_{n}\right)<0,\) establece

\[x_{n+1}=\frac{a_{n}+x_{n}}{2},\]

\(a_{n+1}=a_{n},\)y de\(b_{n+1}=x_{n} ;\) lo contrario, establecer

\[x_{n+1}=\frac{x_{n}+b_{n}}{2},\]

\(a_{n+1}=x_{n},\)y\(b_{n+1}=b_{n} .\) Tenga en cuenta que para cualquier entero positivo\(N, f\left(a_{N}\right)<0,\)\(f\left(b_{N}\right)>0,\) y

\[a_{N}<x_{i}<b_{N}\]

para todos\(i>N .\) Por otra parte,

\[\left|b_{N}-a_{N}\right|=\frac{1}{2^{N-1}},\]

por lo

\[\left|x_{i}-x_{k}\right|<\frac{1}{2^{N-1}}\]

para todos\(i, k>N .\) Por lo tanto, dado cualquiera\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) si elegimos un entero\(N\) tal que\(2^{N-1}>\frac{1}{\epsilon},\) entonces

\[\left|x_{i}-x_{k}\right|<\frac{1}{2^{N-1}}<\epsilon\]

para todos\(i, k>N,\) mostrando que\(\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) es una secuencia de Cauchy. Ahora supongamos que\(\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) converge a\(s \in \mathbb{Q}\). Nota sombrero que debemos tener

\[a_{i} \leq s \leq b_{i}\]

para todos\(i \in \mathbb{Z}^{+} .\) Si\(f(s)<0,\) entonces, ya que el conjunto\(\left\{a: a \in \mathbb{Q}^{+}, a^{2}<2\right\}\) no tiene un supremum, existe\(t \in \mathbb{Q}^{+}\) tal que\(s<t\) y\(f(t)<0 .\) Si elegimos\(N\) para que

\[\frac{1}{2^{N-1}}<t-s,\]

entonces

\[\left|s-b_{N}\right| \leq\left|a_{N}-b_{N}\right|=\frac{1}{2^{N-1}}<t-s.\]

De ahí lo\(b_{N}<t,\) que implica que\(f\left(b_{N}\right)<0,\) contradiciendo la construcción de\(\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .\) Por lo tanto debemos tener\(f(s)>0 .\) Pero si\(f(s)>0,\) entonces existe\(t \in \mathbb{Q}^{+}\) tal que\(t<s\) y entonces\(f(t)>0 .\) podemos elegir\(N\) para que\(t<a_{N}\), implicando que\(f\left(a_{N}\right)>0,\) contradiciendo la construcción de\(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .\) De ahí debemos tener lo\(f(s)=0,\) que no es posible desde entonces\(s \in \mathbb{Q}\). Así debemos concluir que\(\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) no converge.