1.3: Números racionales

$P=\{(p, q): p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\} .$Dejemos Definimos una relación de equivalencia sobre$P$ diciendo$(p, q) \sim(s, t)$ si$p t=q s$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar que la relación como se acaba de definir es efectivamente una relación de equivalencia.

Vamos a denotar la clase de equivalencia de$(p, q) \in P$ by$p / q,$ o$\frac{p}{q} .$ Llamamos al conjunto de todas las clases de equivalencia de$P$ los números racionales, que denotamos por$\mathbb{Q}$. Si$p \in \mathbb{Z},$ vamos a denotar la clase de equivalencia de$(p, 1)$ por$p ;$ eso es, dejamos

$$\frac{p}{1}=p.$$

De esta manera, podemos pensar en$\mathbb{Z}$ como un subconjunto de$\mathbb{Q}$.

1.3.1 Propiedades de campo

Deseamos definir operaciones de suma y multiplicación sobre elementos de$\mathbb{Q}$. Comenzamos definiendo operaciones sobre los elementos de$P .$ A saber, dado$(p, q) \in P$ y$(s, t) \in P,$ definir

$$(p, q) \oplus(s, t)=(p t+s q, q t)$$

y

$$(p, q) \otimes(s, t)=(p s, q t).$$

Ahora supongamos$(p, q) \sim(a, b)$ y de$(s, t) \sim(c, d) .$ ello se deduce$(p, q) \oplus(s, t) \sim$$(a, b) \oplus(c, d),$ que es decir,$(p t+s q, q t) \sim(a d+c b, b d),$ ya que

$$(p t+s q) b d=p b t d+s d q b=q a t d+t c q b=(a d+c b) q t.$$

Además, es$(p, q) \otimes(s, t) \sim(a, b) \otimes(c, d),$ decir,$(p s, q t) \sim(a c, b d),$ ya que

$$p s b d=p b s d=q a t c=q t a c.$$

Esto demuestra que la clase de equivalencia de una suma o producto depende únicamente de las clases de equivalencia de los elementos que se agregan o multiplican. Por lo tanto, podemos definir suma y multiplicación$\mathbb{Q}$ por

$$\frac{p}{q}+\frac{s}{t}=\frac{p t+s q}{q t}$$

y

$$\frac{p}{q} \times \frac{s}{t}=\frac{p s}{q t},$$

y los resultados no dependerán de qué representantes elijamos para cada clase de equivalencia. Por supuesto, la multiplicación a menudo se denota usando yuxtaposición, es decir,

$$\frac{p}{q} \times \frac{s}{t}=\frac{p}{q} \frac{s}{t},$$

y la multiplicación repetida puede denotarse por exponenciación, es decir,$a^{n},$$a \in \mathbb{Q}$ y$n \in \mathbb{Z}^{+},$ representa el producto de$a$ consigo mismo$n$ tiempos.

Tenga en cuenta que si$(p, q) \in P,$ entonces$(-p, q) \sim(p,-q) .$ Por lo tanto, si$a=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q},$ entonces dejamos

$$-a=\frac{-p}{q}=\frac{p}{-q}.$$

Para cualquiera$a, b \in \mathbb{Q},$ escribiremos$a-b$ para denotar$a+(-b)$.

$\quad$Si$a=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ con$p \neq 0,$ entonces dejamos

$$a^{-1}=\frac{q}{p}.$$

Además, escribiremos

$$\frac{1}{a}=a^{-1},$$

$$\frac{1}{a^{n}}=a^{-n}$$

para cualquier$n \in \mathbb{Z}^{+},$ y, para cualquier$b \in \mathbb{Q}$,

$$\frac{b}{a}=b a^{-1}.$$

Ahora es fácil demostrar que

1. $a+b=b+a$para todos$a, b \in \mathbb{Q}$;

2. $(a+b)+c=a+(b+c)$para todos$a, b, c \in \mathbb{Q}$;

3. $a b=b a$para todos$a, b \in \mathbb{Q}$;

4. $(a b) c=a(b c)$para todos$a, b, c \in \mathbb{Q}$;

5. $a(b+c)=a b+a c$para todos$a, b, c \in \mathbb{Q}$;

6. $a+0=a$para todos$a \in \mathbb{Q}$;

7. $a+(-a)=0$para todos$a \in \mathbb{Q}$;

8. $1 a=a$para todos$a \in \mathbb{Q}$;

9. si$a \in \mathbb{Q}, a \neq 0,$ entonces$a a^{-1}=1$.

Tomadas en conjunto, estas afirmaciones implican que$\mathbb{Q}$ es un campo.

1.3.2 Propiedades de orden y métricas

Decimos que un número racional$a$ es positivo si existe$p, q \in \mathbb{Z}^{+}$ tal que$a=\frac{p}{q}$. Denotamos el conjunto de todos los elementos positivos de$\mathbb{Q}$ by$\mathbb{Q}^{+} .$

Dado$a, b \in \mathbb{Q},$ decimos$a$ es menor que$b,$ o, equivalentemente,$b$ es mayor que$a,$ denotado ya sea por$a<b$ o$b>a$, si$b-a$ es positivo. En particular,$a>0$ si y sólo si$a$ es positivo. Si$a<0,$ decimos$a$ es negativo. Escribimos$a \leq b,$ o, equivalentemente,$b \geq a,$ si cualquiera$a<b$ o$a=b$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Demostrar que para cualquiera$a \in \mathbb{Q},$ y sólo uno de los siguientes debe tener: (a)$a<0,(b) a=0,(c) a>0$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Demuéstralo si$a, b \in \mathbb{Q}^{+},$ entonces$a+b \in \mathbb{Q}^{+}$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Supongamos$a, b, c \in \mathbb{Q} .$ Mostrar cada uno de los siguientes:

a. Uno, y sólo uno, de los siguientes deberá poseer:

i)$a<b$,

ii)$a=b$,

iii)$a>b$.

b. Si$a<b$ y$b<c,$ entonces$a<c$.

c. Si$a<b,$ entonces$a+c<b+c$.

d. Si$a>0$ y$b>0,$ entonces$a b>0$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$a, b \in \mathbb{Q}$Demuéstralo si con$a>0$ y$b<0,$ luego$a b<0$.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Demuestre que si$a, b, c \in \mathbb{Q}$ con$a<b,$ entonces$a c<b c$ si$c>0$ y$a c>b c$ si$c<0$.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Demuestre que si$a, b \in \mathbb{Q}$ con$a<b,$ entonces

$$a<\frac{a+b}{2}<b.$$

Como consecuencia del Ejercicio 1.3 .4 decimos que$\mathbb{Q}$ es un campo ordenado. Para cualquiera$a \in \mathbb{Q},$ que llamemos

$$|a|=\left\{\begin{aligned} a, & \text { if } a \geq 0, \\-a, & \text { if } a<0,\end{aligned}\right.$$

el valor absoluto de$a$.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Demuéstralo para cualquier$a \in \mathbb{Q},-|a| \leq a \leq|a|$.

Proposición$\PageIndex{1}$

Para cualquier$a, b \in \mathbb{Q},|a+b| \leq|a|+|b|$.

Prueba

Si$a+b \geq 0,$ entonces

$$|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|-a-b=(|a|-a)+(|b|-b).$$

Ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio$1.3 .8 .$ De ahí que la suma no sea negativa y la proposición sigue. Si$a+b<0,$ entonces

$$|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|+a+b=(|a|+a)+(|b|+b).$$

Nuevamente, ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio$1.3 .8 .$ De ahí que la suma no sea negativa y el teorema sigue. $\quad$Q.E.D.

Ahora es fácil demostrar que el valor absoluto satisface

1. $|a-b| \geq 0$para todos$a, b \in \mathbb{Q},$ con$|a-b|=0$ si y solo si$a=b$,

2. $|a-b|=|b-a|$para todos$a, b \in \mathbb{Q}$,

3. $|a-b| \leq|a-c|+|c-b|$para todos$a, b, c \in \mathbb{Q}$.

Obsérvese que la última afirmación, conocida como la desigualdad triangular, se desprende de la escritura

$$a-b=(a-c)+(c-b)$$

y aplicando la proposición anterior. Estas propiedades muestran que la función

$$d(a, b)=|a-b|$$

es una métrica, y llamaremos a$|a-b|$ la distancia de$a$ a$b .$

Supongamos$a, b \in \mathbb{Q}^{+}$ con$a<b$ y vamos$p, q, r, s \in \mathbb{Z}^{+}$ tal que$a=\frac{p}{q}$ y$b=\frac{r}{s} .$ Para cualquiera$n \in \mathbb{Z}^{+},$ tenemos

$$n a-b=n \frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{n p s-r q}{q s}.$$

Si elegimos lo suficientemente$n$ grande como para que$n p s-r q>0,$ se deduce$n a-b>0,$ que es decir,$n a>b .$ Decimos que el campo ordenado$\mathbb{Q}$ es de arquímedes. Tenga en cuenta que también se deduce que podemos elegir lo suficientemente$n$ grande como para asegurar eso$\frac{b}{n}<a$.

1.3.3 límites superior e inferior

Definición

Que$A \subset \mathbb{Q} .$ Si$s \in \mathbb{Q}$ es tal que$s \geq a$ para cada$a \in A,$ entonces llamamos$s$ un límite superior para$A$. Si$s$ es un límite superior para$A$ con la propiedad que$s \leq t$ siempre$t$ es un límite superior para$A,$ entonces llamamos$s$ al supremum, o menos límite superior, de$A,$ denotado$s=\sup A .$ De manera similar, si$r \in \mathbb{Q}$ es tal que$r \leq a$ para cada $a \in A,$entonces llamamos$r$ un límite inferior para$A .$ Si$r$ es un límite inferior para$A$ con la propiedad que$r \geq t$ siempre que$t$ sea un límite inferior para$A,$ entonces llamamos$r$ al infimum, o mayor límite inferior, de$A,$ denotado$r=\inf A .$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Demostrar que lo supremo de un conjunto$A \subset \mathbb{Q},$ si existe, es único, y así justificar el uso del artículo definido en la definición anterior.

Un conjunto que no tenga un límite superior no tendrá,$a$ fortiori, un supremo. Además, incluso los conjuntos que tienen límites superiores no necesitan tener un supremo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$\mathbb{Q}$no tiene un límite superior.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Considera el conjunto

$$A=\left\{a: a \in \mathbb{Q}^{+}, a^{2}<2\right\}.$$

Tenga en cuenta que si$a, b \in \mathbb{Q}^{+}$ con$a<b,$ entonces

$$b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)>0,$$

de lo que se deduce que$a^{2}<b^{2} .$ Por lo tanto si$a \in \mathbb{Q}^{+}$ con$a^{2}>2,$ entonces$a$ es un límite superior$A .$ para Por ejemplo, 4 es un límite superior para$A .$

Ahora supongamos que$s \in \mathbb{Q}^{+}$ es lo supremo de$A .$ Debemos tener$s^{2}<2,$$s^{2}>2,$ o bien$s^{2}=2$.

Supongamos$s^{2}<2$ y dejemos$\epsilon=2-s^{2} .$ Por la propiedad arquímedes de$\mathbb{Q},$ podemos elegir$n \in \mathbb{Z}^{+}$ tal que

$$\frac{2 s+1}{n}<\epsilon,$$

de lo que se deduce que

$$\frac{2 s}{n}+\frac{1}{n^{2}}=\frac{2 s+\frac{1}{n}}{n} \leq \frac{2 s+1}{n}<\epsilon.$$

De ahí

$$\left(s+\frac{1}{n}\right)^{2}=s^{2}+\frac{2 s}{n}+\frac{1}{n^{2}}<s^{2}+\epsilon=2,$$

lo que implica que$s+\frac{1}{n} \in A .$ dado que$s<s+\frac{1}{n},$ ello contradice la suposición de que$s$ es un límite superior para$A .$

Así que ahora supongamos$s^{2}>2 .$ Una vez más vamos$n \in \mathbb{Z}^{+}$ y notemos que

$$\left(s-\frac{1}{n}\right)^{2}=s^{2}-\frac{2 s}{n}+\frac{1}{n^{2}}.$$

Si lo dejamos$\epsilon=s^{2}-2,$ entonces podemos elegir$n \in \mathbb{Z}^{+}$ para que

$$\frac{2 s}{n}<\epsilon.$$

De ello se deduce que

$$\left(s-\frac{1}{n}\right)^{2}>s^{2}-\epsilon+\frac{1}{n^{2}}=2+\frac{1}{n^{2}}>2.$$

Así$s-\frac{1}{n}$ es un límite superior para$A$ y que$s-\frac{1}{n}<s,$ contradice la suposición de que$s=\sup A$.

Así debemos tener$s^{2}=2 .$ Sin embargo, esto es imposible a la luz de la siguiente proposición. De ahí que debemos concluir que$A$ no tiene un supremo.

Proposición$\PageIndex{2}$

No existe un número racional$s$ con la propiedad que$s^{2}=2$.

Prueba

Supongamos que existe$s \in \mathbb{Q}$ tal que$s^{2}=2 .$ Elija de$a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ manera que$a$ y$b$ sean relativamente primos (es decir, no tienen otro factor que 1 en común) y$s=\frac{a}{b} .$ Entonces

$$\frac{a^{2}}{b^{2}}=2,$$

$a^{2}=2 b^{2} .$así$a^{2},$ y por lo tanto$a,$ es un entero par. Entonces existe$c \in \mathbb{Z}^{+}$ tal que$a=2 c .$ De ahí

$$2 b^{2}=a^{2}=4 c^{2},$$

de lo que se deduce que$b^{2}=2 c,$ y así$b$ es también un entero par. Pero esto contradice la suposición de que$a$ y$b$ son relativamente primos. $\quad$Q.E.D.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Demostrar que no existe un número racional$s$ con la propiedad que$s^{2}=3$.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Demostrar que no existe un número racional$s$ con la propiedad que$s^{2}=6$.

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Vamos$A=\left\{a: a \in \mathbb{Q}, a^{3}<2\right\}$.

1. Demuéstralo si$a \in A$ y$b<a,$ entonces$b \in A$.

2. Demuéstralo si$a \notin A,$ y$b>a,$ entonces$b \notin A$.

1.3.4 Secuencias

Definición

Supongamos$n \in \mathbb{Z}, I=\{n, n+1, n+2, \ldots\},$ y$A$ es un conjunto. Llamamos a una función$\varphi: I \rightarrow A$ una secuencia con valores en$A$.

Frecuentemente, definiremos una secuencia$\varphi$ especificando sus valores con notación como, por ejemplo,$\{\varphi(i)\}_{i \in I},$ o$\{\varphi(i)\}_{i=n}^{\infty} .$ Así, por ejemplo,$\left\{i^{2}\right\}_{i=1}^{\infty}$ denota la secuencia$\varphi: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}$ definida por$\varphi(i)=i^{2} .$ Además, es costumbre denotar los valores de una secuencia usando notación de subíndices. Así si$a_{i}=\varphi(i),$$i \in I,$ entonces$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ denota la secuencia$\varphi .$ Por ejemplo, podemos definir la secuencia del ejemplo anterior escribiendo$a_{i}=i^{2}, i=1,2,3, \ldots$.

Definición

Supongamos que$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia con valores en$\mathbb{Q} .$ Nosotros decimos que$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ converge, y tiene límite$L, L \in \mathbb{Q},$ si por cada$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ existe$N \in \mathbb{Z}$ tal que

$$\left|a_{i}-L\right|<\epsilon \text { whenever } i>N.$$

Si la secuencia$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ converge a$L,$ escribimos

$$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=L.$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Tenemos

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \frac{1}{i}=0,$$

ya que, para cualquier número racional$\epsilon>0$,

$$\left|\frac{1}{i}-0\right|=\frac{1}{i}<\epsilon$$

para cualquier$i>N,$ lugar$N$ es cualquier entero mayor que$\frac{1}{\epsilon}$.

Definición

Supongamos que$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia con valores en$\mathbb{Q} .$ Llamamos a$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ una secuencia Cauchy si por cada$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ existe$N \in \mathbb{Z}$ tal que

$$\left|a_{i}-a_{k}\right|<\epsilon \text { whenever both } i>N \text { and } k>N.$$

Proposición$\PageIndex{3}$

Si$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ converge, entonces$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia de Cauchy.

Prueba

Supongamos$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=L .$ Dado$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ elegir un entero$N$ tal que

$$\left|a_{i}-L\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

para todos$i>N .$ Entonces para cualquiera$i, k>N,$ tenemos

$$\left|a_{i}-a_{k}\right|=\left|\left(a_{i}-L\right)+\left(L-a_{k}\right)\right| \leq\left|a_{i}-L\right|+\left|a_{k}-L\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$

De ahí$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ que sea una secuencia de Cauchy. $\quad$Q.E.D.

La proposición muestra que cada secuencia convergente en$\mathbb{Q}$ es una secuencia de Cauchy, pero, como muestra el siguiente ejemplo, la inversa no se sostiene.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Let

$$f(x)=x^{2}-2$$

y considere la secuencia construida de la siguiente manera: Comenzar por establecer$a_{1}=1$,$b_{1}=2,$ y$x_{1}=\frac{3}{2} .$ Si se$f\left(a_{1}\right) f\left(x_{1}\right)<0,$ establece

$$x_{2}=\frac{a_{1}+x_{1}}{2},$$

$a_{2}=a_{1},$y de$b_{2}=x_{1} ;$ lo contrario, establecer

$$x_{2}=\frac{x_{1}+b_{1}}{2},$$

$a_{2}=x_{1},$y$b_{2}=b_{1} .$ En general, dado$a_{n}, x_{n},$ y$b_{n},$ si se$f\left(a_{n}\right) f\left(x_{n}\right)<0,$ establece

$$x_{n+1}=\frac{a_{n}+x_{n}}{2},$$

$a_{n+1}=a_{n},$y de$b_{n+1}=x_{n} ;$ lo contrario, establecer

$$x_{n+1}=\frac{x_{n}+b_{n}}{2},$$

$a_{n+1}=x_{n},$y$b_{n+1}=b_{n} .$ Tenga en cuenta que para cualquier entero positivo$N, f\left(a_{N}\right)<0,$$f\left(b_{N}\right)>0,$ y

$$a_{N}<x_{i}<b_{N}$$

para todos$i>N .$ Por otra parte,

$$\left|b_{N}-a_{N}\right|=\frac{1}{2^{N-1}},$$

por lo

$$\left|x_{i}-x_{k}\right|<\frac{1}{2^{N-1}}$$

para todos$i, k>N .$ Por lo tanto, dado cualquiera$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ si elegimos un entero$N$ tal que$2^{N-1}>\frac{1}{\epsilon},$ entonces

$$\left|x_{i}-x_{k}\right|<\frac{1}{2^{N-1}}<\epsilon$$

para todos$i, k>N,$ mostrando que$\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ es una secuencia de Cauchy. Ahora supongamos que$\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ converge a$s \in \mathbb{Q}$. Nota sombrero que debemos tener

$$a_{i} \leq s \leq b_{i}$$

para todos$i \in \mathbb{Z}^{+} .$ Si$f(s)<0,$ entonces, ya que el conjunto$\left\{a: a \in \mathbb{Q}^{+}, a^{2}<2\right\}$ no tiene un supremum, existe$t \in \mathbb{Q}^{+}$ tal que$s<t$ y$f(t)<0 .$ Si elegimos$N$ para que

$$\frac{1}{2^{N-1}}<t-s,$$

entonces

$$\left|s-b_{N}\right| \leq\left|a_{N}-b_{N}\right|=\frac{1}{2^{N-1}}<t-s.$$

De ahí lo$b_{N}<t,$ que implica que$f\left(b_{N}\right)<0,$ contradiciendo la construcción de$\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .$ Por lo tanto debemos tener$f(s)>0 .$ Pero si$f(s)>0,$ entonces existe$t \in \mathbb{Q}^{+}$ tal que$t<s$ y entonces$f(t)>0 .$ podemos elegir$N$ para que$t<a_{N}$, implicando que$f\left(a_{N}\right)>0,$ contradiciendo la construcción de$\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .$ De ahí debemos tener lo$f(s)=0,$ que no es posible desde entonces$s \in \mathbb{Q}$. Así debemos concluir que$\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ no converge.