1.4: Números reales

$C$Sea el conjunto de todas las secuencias Cauchy de números racionales. Definimos una relación sobre de la$C$ siguiente manera: Si$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ y$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ son secuencias de Cauchy en$\mathbb{Q}$, entonces$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I} \sim\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},$ que escribiremos más simplemente como$a_{i} \sim b_{i},$ si por cada número racional$\epsilon>0,$ existiera un entero$N$ tal que

$$\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon$$

siempre que$i>N .$ esta relación sea claramente reflexiva y simétrica. Para demostrar que también es transitiva, y de ahí una relación de equivalencia, supongamos$a_{i} \sim b_{i}$ y$b_{i} \sim c_{i} .$ Dado$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ elegir$N$ para que

$$\left|a_{i}-b_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

para todos$i>N$ y$M$ para que

$$\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

para todos$i>M .$$L$ Sea el mayor de$N$ y$M .$ Entonces, para todos$i>L$,

$$\left|a_{i}-c_{i}\right| \leq\left|a_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$

De ahí$a_{i} \sim c_{i}$.

Definición: conjunto de clases de equivalencia

Usando la relación de equivalencia que se acaba de definir, llamamos al conjunto de clases de equivalencia de$C$ los números reales, denotados$\mathbb{R}$.

Tenga en cuenta que si$a \in \mathbb{Q},$ podemos identificarnos$a$ con la clase de equivalencia de la secuencia$\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ donde$b_{i}=a, i=1,2,3, \ldots,$ y así$\mathbb{Q}$ considerar que es un subconjunto de$\mathbb{R} .$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ y$\left\{b_{i}\right\}_{i \in J}$ son secuencias en$\mathbb{Q}$ con

$$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.$$

$a_{i} \sim b_{i}$Demuéstralo.

1.4.1 Propiedades de campo

Supongamos$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ y$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ son ambas secuencias Cauchy de números racionales. Dejar$K=I \cap J$ y definir una nueva secuencia$\left\{s_{k}\right\}_{k \in K}$ configurando$s_{k}=a_{k}+b_{k}$. Dado cualquier racional$\epsilon>0,$ elegir enteros$N$ y$M$ tal que

$$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

para todos$i, j>N$ y

$$\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

para todos$i, j>M .$ Si$L$ es el mayor de$N$ y$M,$ luego, para todos$i, j>L$,

$$\left|s_{i}-s_{j}\right|=\left|\left(a_{i}-a_{j}\right)+\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \leq\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon,$$

mostrando que también$\left\{s_{i}\right\}_{k \in K}$ es una secuencia de Cauchy. Por otra parte, supongamos$a_{i} \sim c_{i}$ y$b_{i} \sim d_{i} .$ Dado$\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},$ elegir$N$ para que

$$\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

para todos$i>N$ y elegir$M$ para que

$$\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$

para todos$i>M .$ Si$L$ es el mayor de$N$ y$M,$ luego, para todos$i>L$,

$$\left|\left(a_{i}+b_{i}\right)-\left(c_{i}+d_{i}\right)\right| \leq\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$

Por lo$a_{i}+b_{i} \sim c_{i}+d_{i} .$ tanto, si$u, v \in \mathbb{R},$ con$u$ ser la clase de equivalencia de$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ y$v$ siendo la clase de equivalencia de$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},$ entonces podemos definir$u+v$ inequívocamente como la clase de equivalencia de$\left\{a_{i}+b_{i}\right\}_{i \in K},$ donde$K=I \cap J$.

Supongamos$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ y$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ son ambas secuencias Cauchy de números racionales.

Dejar$K=I \cap J$ y definir una nueva secuencia$\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}$ estableciendo$p_{k}=a_{k} b_{k} .$ Let$B>0$ ser un límite superior para el conjunto$\left\{\left|a_{i}\right|: i \in I\right\} \cup\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} .$ Dado$\epsilon>0$ elegir enteros$N$ y$M$ tal que

$$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

para todos$i, j>N$ y

$$\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

para todos$i, j>M .$ Si$L$ es el mayor de$N$ y$M,$ luego, para todos$i, j>L$,

$$\begin{aligned}\left|p_{i}-p_{j}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{i}+a_{j} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)+a_{j}\left(b_{i}-b_{j} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right|+\left|a_{j}\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|a_{j}\right|\left|b_{i}-b_{j}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon \end{aligned}$$

De ahí$\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}$ que sea una secuencia de Cauchy.

Ahora supongamos$\left\{c_{i}\right\}_{i \in H}$ y$\left\{d_{i}\right\}_{i \in G}$ son secuencias de Cauchy con$a_{i} \sim c_{i}$ y$b_{i} \sim d_{i} .$ Let$B>0$ ser un límite superior para el conjunto$\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} \cup\left\{\left|c_{i}\right|: i \in H\right\}$. Dado$\epsilon>0,$ elegir enteros$N$ y$M$ tal que

$$\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

para todos$i>N$ y

$$\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}$$

para todos$i>M .$ Si$L$ es el mayor de$N$ y$M,$ luego, para todos$i>L$,

$$\begin{aligned}\left|a_{i} b_{i}-c_{i} d_{i}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-b_{i} c_{i}+b_{i} c_{i}-c_{i} d_{i}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)+c_{i}\left(b_{i}-d_{i} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)\right|+\left|c_{i}\left(b_{i}-d_{i}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|c_{i}\right|\left|b_{i}-d_{i}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon. \end{aligned}$$

Por lo$a_{i} b_{i} \sim c_{i} d_{i} .$ tanto, si$u, v \in \mathbb{R},$$u$ siendo la clase de equivalencia de$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ y$v$ siendo la clase de equivalencia de$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},$ entonces podemos definir$u v$ inequívocamente como la clase de equivalencia de$\left\{a_{i} b_{i}\right\}_{i \in K},$ donde$K=I \cap J .$

Si$u \in \mathbb{R},$ definimos$-u=(-1) u .$ Tenga en cuenta que si$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia Cauchy de números racionales en la clase de equivalencia de$u,$ entonces$\left\{-a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia Cauchy en la clase de equivalencia de$-u .$

Vamos a decir que una secuencia$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ está delimitada lejos de 0 si existe un número racional$\delta>0$ y un entero$N$ tal que$\left|a_{i}\right|>\delta$ para todos$i>N .$ Debe quedar claro que cualquier secuencia que converja a 0 no está delimitada lejos de$0 .$ Además, como consecuencia de la siguiente ejercicio, cualquier secuencia de Cauchy que no converja a 0 debe estar delimitada lejos de$0 .$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Supongamos que$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia de Cauchy que no está delimitada lejos de 0. Demostrar que la secuencia converge y$\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=0$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Supongamos que$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia de Cauchy que está delimitada lejos de 0 y$a_{i} \sim b_{i} .$ Show que también$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ está delimitada lejos de$0 .$

Ahora supongamos que$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ es una secuencia de Cauchy que está delimitada lejos de 0 y elegir$\delta>0$ y$\left|a_{i}\right|>\delta$ para$N$ que para todos$i>N .$ Defina una nueva secuencia$\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}+1$ configurando

$$c_{i}=\frac{1}{a_{i}}, i=N+1, N+2, \ldots$$

Dado$\epsilon>0,$ elegir$M$ para que

$$\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon \delta^{2}$$

para todos$i, j>M .$ Dejemos$L$ ser los más grandes de$N$ y$M .$ Entonces, para todos$i, j>L,$ tenemos

$$\begin{aligned}\left|c_{i}-c_{j}\right| &=\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{a_{j}}\right| \\ &=\left|\frac{a_{j}-a_{i}}{a_{i} a_{j}}\right| \\ &=\frac{\left|a_{j}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} a_{j}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta^{2}}{\delta^{2}} \\ &=\epsilon. \end{aligned}$$

De ahí$\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}$ que sea una secuencia de Cauchy.

Ahora supongamos que$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ es una secuencia de Cauchy con$a_{i} \sim b_{i} .$ Por Ejercicio 1.4.3 sabemos que también$\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}$ está acotada lejos de$0,$ así elegir$\gamma>0$ y$K$ tal que$\left|b_{j}\right|>\gamma$ para todos$j>K .$ Dado$\epsilon>0,$ elegir$P$ para que

$$\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon \delta \gamma .$$

para todos$i>P .$ Dejemos$S$ ser los más grandes de$N, K,$ y$P .$ Entonces, para todos$i, j>S,$ tenemos

$$\begin{aligned}\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{b_{i}}\right| &=\left|\frac{b_{i}-a_{i}}{a_{i} b_{i}}\right| \\ &=\frac{\left|b_{i}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} b_{i}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta \gamma}{\delta \gamma} \\ &=\epsilon . \end{aligned}$$

Por$\frac{1}{a_{i}} \sim \frac{1}{b_{i}} .$ lo tanto, si$u \neq 0$ es un número real que es la clase de equivalencia de$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}(\text { necessarily bounded away from } 0),$ entonces podemos definir

$$a^{-1}=\frac{1}{a}$$

ser la clase de equivalencia de

$$\left\{\frac{1}{a_{i}}\right\}_{i=N+1}^{\infty},$$

donde se$N$ ha elegido para que$\left|a_{i}\right|>\delta$ para todos$i>N$ y algunos$\delta>0 .$

De estas definiciones se desprende inmediatamente que$\mathbb{R}$ es un campo. Es decir:

1. $a+b=b+a$para todos$a, b \in \mathbb{R}$;

2. $(a+b)+c=a+(b+c)$para todos$a, b, c \in \mathbb{R}$;

3. $a b=b a$para todos$a, b \in \mathbb{R}$;

4. $(a b) c=a(b c)$para todos$a, b, c \in \mathbb{R}$;

5. $a(b+c)=a b+a c$para todos$a, b, c \in \mathbb{R}$;

6. $a+0=a$para todos$a \in \mathbb{R}$;

7. $a+(-a)=0$para todos$a \in \mathbb{R}$;

8. $1 a=a$para todos$a \in \mathbb{R}$;

9. si$a \in \mathbb{R}, a \neq 0,$ entonces$a a^{-1}=1$.

1.4.2 Propiedades de orden y métricas

Definición

Dado$u \in \mathbb{R},$ decimos que$u$ es positivo, escrito$u>0,$ si$u$ es la clase de equivalencia de una secuencia Cauchy$\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}$ para la que existe un número racional$\epsilon>0$ y un entero$N$ tal que$a_{i}>\epsilon$ por cada$i>N .$ Un número real$u \in \mathbb{R}$ se dice que es negativo si$-u>0 .$ Dejamos$\mathbb{R}^{+}$ denotar el conjunto de todos los números reales positivos.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Demostrar que si$u \in \mathbb{R},$ entonces una y sólo una de las siguientes son ciertas:$(\mathrm{a}) u>0,(\mathrm{b}) u<0,$ o$(\mathrm{c}) u=0$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Demuéstralo si$a, b \in \mathbb{R}^{+},$ entonces$a+b \in \mathbb{R}^{+}$.

Definición

Dados los números reales$u$ y$v,$ decimos$u$ es mayor que$v$, escrito$u>v,$ o, equivalentemente,$v$ es menor que$u,$ escrito,$v<u,$ si$u-v>0 .$ escribimos$u \geq v,$ o, equivalentemente,$v \leq u,$ para indicar que$u$ es mayor que o igual a$v .$ Decimos que no$u$ es negativo si$u \geq 0$.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Mostrar que$\mathbb{R}$ es un campo ordenado, es decir, verificar lo siguiente:

a. para cualquiera$a, b \in \mathbb{R},$ y sólo uno de los siguientes deberá ostentar:$(i) a<b,$ ii)$a=b,(\text { iii) } a>b$.

b. Si$a, b, c \in \mathbb{R}$ con$a<b$ y$b<c,$ luego$a<c$.

c. Si$a, b, c \in \mathbb{R}$ con$a<b,$ entonces$a+c<b+c$.

d. Si$a, b \in \mathbb{R}$ con$a>0$ y$b>0,$ luego$a b>0$.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$a, b \in \mathbb{R}$Demuéstralo si con$a>0$ y$b<0,$ luego$a b<0$.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Demuestre que si$a, b, c \in \mathbb{R}$ con$a<b,$ entonces$a c<b c$ si$c>0$ y$a c>b c$ si$c<0$.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Demostrar que si$a, b \in \mathbb{R}$ con$a<b,$ entonces para cualquier número real$\lambda$ con$0<\lambda<1, a<\lambda a+(1-\lambda) b<b$.

Definición

Para cualquiera$a \in \mathbb{R},$ que llamemos

$$|a|=\left\{\begin{array}{cc}{a,} & {\text { if } a \geq 0,} \\ {-a,} & {\text { if } a<0,}\end{array}\right.$$

el valor absoluto de$a$.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Demuéstralo para cualquier$a \in \mathbb{R},-|a| \leq a \leq|a|$.

Proposición$\PageIndex{1}$

Para cualquier$a, b \in \mathbb{R},|a+b| \leq|a|+|b|$.

Prueba

Si$a+b \geq 0,$ entonces

$$|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|-a-b=(|a|-a)+(|b|-b).$$

Ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio$1.4 .10 .$ De ahí que la suma no sea negativa y la proposición sigue. Si$a+b<0,$ entonces

$$|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|+a+b=(|a|+a)+(|b|+b).$$

Nuevamente, ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio$1.4 .10 .$ De ahí que la suma no sea negativa y la proposición sigue. $\quad Q.E.D.$

Ahora es fácil demostrar que la función de valor absoluto satisface

1. $|a-b| \geq 0$para todos$a, b \in \mathbb{R},$ con$|a-b|=0$ si y solo si$a=b,$

2. $|a-b|=|b-a|$para todos$a, b \in \mathbb{R}$,

3. $|a-b| \leq|a-c|+|c-b|$para todos$a, b, c \in \mathbb{R} .$

Estas propiedades muestran que la función

$$d(a, b)=|a-b|$$

es una métrica, y llamaremos a$|a-b|$ la distancia de$a$ a$b$.

Proposición$\PageIndex{2}$

Dado$a \in \mathbb{R}^{+},$ que existen$r, s \in \mathbb{Q}$ tales que$0<r<a<s$.

Prueba

$\{u\}_{i \in I}$Sea una secuencia Cauchy en la clase de equivalencia de$a .$ Puesto que$a>0,$ existe un racional$\epsilon>0$ y un entero$N$ tal que$u_{i}>\epsilon$ para todos$i>N .$ Let$r=\frac{\epsilon}{2} .$ Entonces$u_{i}-r>\frac{\epsilon}{2}$ para cada$i>N,$ así es$a-r>0,$ decir,$0<r<a .$

Ahora elige un entero$\left|u_{i}-u_{j}\right|<1$ para$M$ que para todos$i, j>M .$ Let$s=u_{M+1}+2 .$ Then

$$s-u_{i}=u_{M+1}+2-u_{i}>1$$

para todos$i>M .$ De ahí$s>a$. $\quad$Q.E.D.

Proposición$\PageIndex{3}$

$\mathbb{R}$es un campo ordenado por Arquímedes.

Prueba

Dados números reales$a$ y$b$ con$0<a<b,$ let$r$ y$s$ ser números racionales para los cuales$0<r<a<b<s .$ ya que$\mathbb{Q}$ es un campo arquímedes, existe un entero$n$ tal que$n r>s .$ Por lo tanto

$$n a>n r>s>b.$$

Q.E.D.

Proposición$\PageIndex{4}$

Dado$a, b \in \mathbb{R}$ con$a<b,$ existe$r \in \mathbb{Q}$ tal que$a<r<b$.

Prueba

Dejar$\{u\}_{i \in I}$ ser una secuencia Cauchy en la clase de equivalencia de$a$ y dejar$\{v\}_{j \in J}$ estar en la clase de equivalencia de$b .$ Dado que$b-a>0,$ existe un racional$\epsilon>0$ y un entero$N$ tal que$v_{i}-u_{i}>\epsilon$ para todos$i>N .$ Ahora elige un entero para$M$ que $\left|u_{i}-u_{j}\right|<\frac{e}{4}$para todos$i, j>M .$ Let$r=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2} .$ Then

$$\begin{aligned} r-u_{i} &=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2}-u_{i} \\ &=\frac{\epsilon}{2}-\left(u_{i}-u_{M+1}\right) \\ &>\frac{\epsilon}{2}-\frac{\epsilon}{4} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}$$

para todos$i>M$ y

$$\begin{aligned} v_{i}-r &=v_{i}-u_{M+1}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\left(v_{i}-u_{i}\right)-\left(u_{M+1}-u_{i}\right)-\frac{\epsilon}{2} \\ &>\epsilon-\frac{\epsilon}{4}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}$$

para todos$i$ más grandes que los más grandes de$N$ y$M .$ Por lo tanto$a<r<b . \quad$ Q.E.D.

1.4.3 Límite superior e inferior

Definición

Vamos$A \subset \mathbb{R}$. Si$s \in \mathbb{R}$ es tal que$s \geq a$ para cada$a \in A,$ entonces llamamos$s$ un límite superior para$A$. Si$s$ es un límite superior para$A$ con la propiedad que$s \leq t$ siempre$t$ es un límite superior para$A,$ entonces llamamos$s$ al límite supremo, o menos límite superior, de$A,$ denotado$s=\sup A$. Del mismo modo, si$r \in \mathbb{R}$ es tal que$r \leq a$ para cada$a \in A,$ entonces llamamos$r$ un límite inferior para$A .$ Si$r$ es un límite inferior para$A$ con la propiedad que$r \geq t$ siempre que$t$ sea un límite inferior para$A,$ entonces llamamos$r$ al infimum, o límite inferior mayor, de$A,$ denotado$r=\inf A .$

Teorema$\PageIndex{5}$

Supongamos que$A \subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset,$ tiene un límite superior. Entonces el sup$A$ existe.

Prueba

Let$a \in A$ y let$b$ ser un límite superior para$A .$ Definir secuencias$\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ y de la$\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ siguiente manera: Let$a_{1}=a$ y$b_{1}=b .$ For$i>1,$ let

$$c=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}.$$

Si$c$ es un límite superior para$A,$ let$a_{i}=a_{i-1}$ y let de$b_{i}=c_{i}$ otra manera, let$a_{i}=c$ y$b_{i}=b_{i-1} .$ then

$$\left|b_{i}-a_{i}\right|=\frac{|b-a|}{2^{i-1}}$$

por$i=1,2,3, \ldots$ Ahora, para$i=1,2,3, \ldots,$ que$r_{i}$ sea un número racional tal que$a_{i}<r_{i}<b_{i} .$ dado cualquiera$\epsilon>0,$$N$ podamos elegir para que

$$2^{N}>\frac{|b-a|}{\epsilon}.$$

Entonces, cuando$i>N$ y$j>N$,

$$\left|r_{i}-r_{j}\right|<\left|b_{N+1}-a_{N+1}\right|=\frac{|b-a|}{2^{N}}<\epsilon.$$

De ahí$\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}$ que sea una secuencia de Cauchy. $s \in \mathbb{R}$Sea la clase de equivalencia de$\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .$ Tenga en cuenta que, para$i=1,2,3, \ldots, a_{i} \leq s \leq b_{i}$.

Ahora bien, si no$s$ es un límite superior para$A,$ entonces existe$a \in A$ con$a>s .$ Let$\delta=a-s$ y elige un entero$N$ tal que

$$2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.$$

Entonces

$$b_{N+1} \leq s+\frac{|b-a|}{2^{N}}<s+\delta=a.$$

Pero, por construcción,$b_{N+1}$ es un límite superior para$A .$ Así s debe ser un límite superior para$A .$

Ahora supongamos que$t$ es otro límite superior para$A$ y$t<s .$ Let$\delta=s-t$ y elige un entero$N$ tal que

$$2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.$$

Entonces

$$a_{N+1} \geq s-\frac{|b-a|}{2^{N}}>s-\delta=t,$$

lo que implica que$a_{N+1}$ es un límite superior para$A .$ Pero, por construcción, no$a_{N+1}$ es un límite superior para$A$. De ahí que$s$ deba ser el límite inferior superior para$A$, es decir,$s=\sup A .$$\quad$ Q.E.D.

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Mostrar que si no$A \subset \mathbb{R}$ está vacío y tiene un límite inferior, entonces$A$ existe inf. (Pista: Es posible que desee mostrar primero ese inf$A=-\sup (-A),$ donde$-A=\{x:-x \in A\}) .$