1.4: Números reales

\(C\)Sea el conjunto de todas las secuencias Cauchy de números racionales. Definimos una relación sobre de la\(C\) siguiente manera: Si\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) son secuencias de Cauchy en\(\mathbb{Q}\), entonces\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I} \sim\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},\) que escribiremos más simplemente como\(a_{i} \sim b_{i},\) si por cada número racional\(\epsilon>0,\) existiera un entero\(N\) tal que

\[\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon\]

siempre que\(i>N .\) esta relación sea claramente reflexiva y simétrica. Para demostrar que también es transitiva, y de ahí una relación de equivalencia, supongamos\(a_{i} \sim b_{i}\) y\(b_{i} \sim c_{i} .\) Dado\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) elegir\(N\) para que

\[\left|a_{i}-b_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]

para todos\(i>N\) y\(M\) para que

\[\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]

para todos\(i>M .\)\(L\) Sea el mayor de\(N\) y\(M .\) Entonces, para todos\(i>L\),

\[\left|a_{i}-c_{i}\right| \leq\left|a_{i}-b_{i}\right|+\left|b_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\]

De ahí\(a_{i} \sim c_{i}\).

Definición: conjunto de clases de equivalencia

Usando la relación de equivalencia que se acaba de definir, llamamos al conjunto de clases de equivalencia de\(C\) los números reales, denotados\(\mathbb{R}\).

Tenga en cuenta que si\(a \in \mathbb{Q},\) podemos identificarnos\(a\) con la clase de equivalencia de la secuencia\(\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) donde\(b_{i}=a, i=1,2,3, \ldots,\) y así\(\mathbb{Q}\) considerar que es un subconjunto de\(\mathbb{R} .\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{b_{i}\right\}_{i \in J}\) son secuencias en\(\mathbb{Q}\) con

\[\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} b_{i}.\]

\(a_{i} \sim b_{i}\)Demuéstralo.

1.4.1 Propiedades de campo

Supongamos\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) son ambas secuencias Cauchy de números racionales. Dejar\(K=I \cap J\) y definir una nueva secuencia\(\left\{s_{k}\right\}_{k \in K}\) configurando\(s_{k}=a_{k}+b_{k}\). Dado cualquier racional\(\epsilon>0,\) elegir enteros\(N\) y\(M\) tal que

\[\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]

para todos\(i, j>N\) y

\[\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]

para todos\(i, j>M .\) Si\(L\) es el mayor de\(N\) y\(M,\) luego, para todos\(i, j>L\),

\[\left|s_{i}-s_{j}\right|=\left|\left(a_{i}-a_{j}\right)+\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \leq\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon,\]

mostrando que también\(\left\{s_{i}\right\}_{k \in K}\) es una secuencia de Cauchy. Por otra parte, supongamos\(a_{i} \sim c_{i}\) y\(b_{i} \sim d_{i} .\) Dado\(\epsilon \in \mathbb{Q}^{+},\) elegir\(N\) para que

\[\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]

para todos\(i>N\) y elegir\(M\) para que

\[\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}\]

para todos\(i>M .\) Si\(L\) es el mayor de\(N\) y\(M,\) luego, para todos\(i>L\),

\[\left|\left(a_{i}+b_{i}\right)-\left(c_{i}+d_{i}\right)\right| \leq\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\]

Por lo\(a_{i}+b_{i} \sim c_{i}+d_{i} .\) tanto, si\(u, v \in \mathbb{R},\) con\(u\) ser la clase de equivalencia de\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(v\) siendo la clase de equivalencia de\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},\) entonces podemos definir\(u+v\) inequívocamente como la clase de equivalencia de\(\left\{a_{i}+b_{i}\right\}_{i \in K},\) donde\(K=I \cap J\).

Supongamos\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) son ambas secuencias Cauchy de números racionales.

Dejar\(K=I \cap J\) y definir una nueva secuencia\(\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}\) estableciendo\(p_{k}=a_{k} b_{k} .\) Let\(B>0\) ser un límite superior para el conjunto\(\left\{\left|a_{i}\right|: i \in I\right\} \cup\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} .\) Dado\(\epsilon>0\) elegir enteros\(N\) y\(M\) tal que

\[\left|a_{i}-a_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]

para todos\(i, j>N\) y

\[\left|b_{i}-b_{j}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]

para todos\(i, j>M .\) Si\(L\) es el mayor de\(N\) y\(M,\) luego, para todos\(i, j>L\),

\[\begin{aligned}\left|p_{i}-p_{j}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|a_{i} b_{i}-a_{j} b_{i}+a_{j} b_{i}-a_{j} b_{j}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)+a_{j}\left(b_{i}-b_{j} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right|+\left|a_{j}\left(b_{i}-b_{j}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-a_{j}\right|+\left|a_{j}\right|\left|b_{i}-b_{j}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon \end{aligned}\]

De ahí\(\left\{p_{k}\right\}_{k \in K}\) que sea una secuencia de Cauchy.

Ahora supongamos\(\left\{c_{i}\right\}_{i \in H}\) y\(\left\{d_{i}\right\}_{i \in G}\) son secuencias de Cauchy con\(a_{i} \sim c_{i}\) y\(b_{i} \sim d_{i} .\) Let\(B>0\) ser un límite superior para el conjunto\(\left\{\left|b_{j}\right|: j \in J\right\} \cup\left\{\left|c_{i}\right|: i \in H\right\}\). Dado\(\epsilon>0,\) elegir enteros\(N\) y\(M\) tal que

\[\left|a_{i}-c_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]

para todos\(i>N\) y

\[\left|b_{i}-d_{i}\right|<\frac{\epsilon}{2 B}\]

para todos\(i>M .\) Si\(L\) es el mayor de\(N\) y\(M,\) luego, para todos\(i>L\),

\[\begin{aligned}\left|a_{i} b_{i}-c_{i} d_{i}\right| &=\left|a_{i} b_{i}-b_{i} c_{i}+b_{i} c_{i}-c_{i} d_{i}\right| \\ &=\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)+c_{i}\left(b_{i}-d_{i} \right)\right|\\ & \leq\left|b_{i}\left(a_{i}-c_{i}\right)\right|+\left|c_{i}\left(b_{i}-d_{i}\right)\right| \\ &=\left|b_{i}\right|\left|a_{i}-c_{i}\right|+\left|c_{i}\right|\left|b_{i}-d_{i}\right| \\ &<B \frac{\epsilon}{2 B}+B \frac{\epsilon}{2 B} \\ &=\epsilon. \end{aligned}\]

Por lo\(a_{i} b_{i} \sim c_{i} d_{i} .\) tanto, si\(u, v \in \mathbb{R},\)\(u\) siendo la clase de equivalencia de\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) y\(v\) siendo la clase de equivalencia de\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J},\) entonces podemos definir\(u v\) inequívocamente como la clase de equivalencia de\(\left\{a_{i} b_{i}\right\}_{i \in K},\) donde\(K=I \cap J .\)

Si\(u \in \mathbb{R},\) definimos\(-u=(-1) u .\) Tenga en cuenta que si\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia Cauchy de números racionales en la clase de equivalencia de\(u,\) entonces\(\left\{-a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia Cauchy en la clase de equivalencia de\(-u .\)

Vamos a decir que una secuencia\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) está delimitada lejos de 0 si existe un número racional\(\delta>0\) y un entero\(N\) tal que\(\left|a_{i}\right|>\delta\) para todos\(i>N .\) Debe quedar claro que cualquier secuencia que converja a 0 no está delimitada lejos de\(0 .\) Además, como consecuencia de la siguiente ejercicio, cualquier secuencia de Cauchy que no converja a 0 debe estar delimitada lejos de\(0 .\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia de Cauchy que no está delimitada lejos de 0. Demostrar que la secuencia converge y\(\lim _{i \rightarrow \infty} a_{i}=0\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia de Cauchy que está delimitada lejos de 0 y\(a_{i} \sim b_{i} .\) Show que también\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) está delimitada lejos de\(0 .\)

Ahora supongamos que\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) es una secuencia de Cauchy que está delimitada lejos de 0 y elegir\(\delta>0\) y\(\left|a_{i}\right|>\delta\) para\(N\) que para todos\(i>N .\) Defina una nueva secuencia\(\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}+1\) configurando

\[c_{i}=\frac{1}{a_{i}}, i=N+1, N+2, \ldots\]

Dado\(\epsilon>0,\) elegir\(M\) para que

\[\left|a_{i}-a_{j}\right|<\epsilon \delta^{2}\]

para todos\(i, j>M .\) Dejemos\(L\) ser los más grandes de\(N\) y\(M .\) Entonces, para todos\(i, j>L,\) tenemos

\[\begin{aligned}\left|c_{i}-c_{j}\right| &=\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{a_{j}}\right| \\ &=\left|\frac{a_{j}-a_{i}}{a_{i} a_{j}}\right| \\ &=\frac{\left|a_{j}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} a_{j}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta^{2}}{\delta^{2}} \\ &=\epsilon. \end{aligned}\]

De ahí\(\left\{c_{i}\right\}_{i=N+1}^{\infty}\) que sea una secuencia de Cauchy.

Ahora supongamos que\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) es una secuencia de Cauchy con\(a_{i} \sim b_{i} .\) Por Ejercicio 1.4.3 sabemos que también\(\left\{b_{j}\right\}_{j \in J}\) está acotada lejos de\(0,\) así elegir\(\gamma>0\) y\(K\) tal que\(\left|b_{j}\right|>\gamma\) para todos\(j>K .\) Dado\(\epsilon>0,\) elegir\(P\) para que

\[\left|a_{i}-b_{i}\right|<\epsilon \delta \gamma .\]

para todos\(i>P .\) Dejemos\(S\) ser los más grandes de\(N, K,\) y\(P .\) Entonces, para todos\(i, j>S,\) tenemos

\[\begin{aligned}\left|\frac{1}{a_{i}}-\frac{1}{b_{i}}\right| &=\left|\frac{b_{i}-a_{i}}{a_{i} b_{i}}\right| \\ &=\frac{\left|b_{i}-a_{i}\right|}{\left|a_{i} b_{i}\right|} \\ &<\frac{\epsilon \delta \gamma}{\delta \gamma} \\ &=\epsilon . \end{aligned}\]

Por\(\frac{1}{a_{i}} \sim \frac{1}{b_{i}} .\) lo tanto, si\(u \neq 0\) es un número real que es la clase de equivalencia de\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}(\text { necessarily bounded away from } 0),\) entonces podemos definir

\[a^{-1}=\frac{1}{a}\]

ser la clase de equivalencia de

\[\left\{\frac{1}{a_{i}}\right\}_{i=N+1}^{\infty},\]

donde se\(N\) ha elegido para que\(\left|a_{i}\right|>\delta\) para todos\(i>N\) y algunos\(\delta>0 .\)

De estas definiciones se desprende inmediatamente que\(\mathbb{R}\) es un campo. Es decir:

1. \(a+b=b+a\)para todos\(a, b \in \mathbb{R}\);

2. \((a+b)+c=a+(b+c)\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{R}\);

3. \(a b=b a\)para todos\(a, b \in \mathbb{R}\);

4. \((a b) c=a(b c)\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{R}\);

5. \(a(b+c)=a b+a c\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{R}\);

6. \(a+0=a\)para todos\(a \in \mathbb{R}\);

7. \(a+(-a)=0\)para todos\(a \in \mathbb{R}\);

8. \(1 a=a\)para todos\(a \in \mathbb{R}\);

9. si\(a \in \mathbb{R}, a \neq 0,\) entonces\(a a^{-1}=1\).

1.4.2 Propiedades de orden y métricas

Definición

Dado\(u \in \mathbb{R},\) decimos que\(u\) es positivo, escrito\(u>0,\) si\(u\) es la clase de equivalencia de una secuencia Cauchy\(\left\{a_{i}\right\}_{i \in I}\) para la que existe un número racional\(\epsilon>0\) y un entero\(N\) tal que\(a_{i}>\epsilon\) por cada\(i>N .\) Un número real\(u \in \mathbb{R}\) se dice que es negativo si\(-u>0 .\) Dejamos\(\mathbb{R}^{+}\) denotar el conjunto de todos los números reales positivos.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que si\(u \in \mathbb{R},\) entonces una y sólo una de las siguientes son ciertas:\((\mathrm{a}) u>0,(\mathrm{b}) u<0,\) o\((\mathrm{c}) u=0\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demuéstralo si\(a, b \in \mathbb{R}^{+},\) entonces\(a+b \in \mathbb{R}^{+}\).

Definición

Dados los números reales\(u\) y\(v,\) decimos\(u\) es mayor que\(v\), escrito\(u>v,\) o, equivalentemente,\(v\) es menor que\(u,\) escrito,\(v<u,\) si\(u-v>0 .\) escribimos\(u \geq v,\) o, equivalentemente,\(v \leq u,\) para indicar que\(u\) es mayor que o igual a\(v .\) Decimos que no\(u\) es negativo si\(u \geq 0\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Mostrar que\(\mathbb{R}\) es un campo ordenado, es decir, verificar lo siguiente:

a. para cualquiera\(a, b \in \mathbb{R},\) y sólo uno de los siguientes deberá ostentar:\((i) a<b,\) ii)\(a=b,(\text { iii) } a>b\).

b. Si\(a, b, c \in \mathbb{R}\) con\(a<b\) y\(b<c,\) luego\(a<c\).

c. Si\(a, b, c \in \mathbb{R}\) con\(a<b,\) entonces\(a+c<b+c\).

d. Si\(a, b \in \mathbb{R}\) con\(a>0\) y\(b>0,\) luego\(a b>0\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(a, b \in \mathbb{R}\)Demuéstralo si con\(a>0\) y\(b<0,\) luego\(a b<0\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demuestre que si\(a, b, c \in \mathbb{R}\) con\(a<b,\) entonces\(a c<b c\) si\(c>0\) y\(a c>b c\) si\(c<0\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar que si\(a, b \in \mathbb{R}\) con\(a<b,\) entonces para cualquier número real\(\lambda\) con\(0<\lambda<1, a<\lambda a+(1-\lambda) b<b\).

Definición

Para cualquiera\(a \in \mathbb{R},\) que llamemos

\[|a|=\left\{\begin{array}{cc}{a,} & {\text { if } a \geq 0,} \\ {-a,} & {\text { if } a<0,}\end{array}\right.\]

el valor absoluto de\(a\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demuéstralo para cualquier\(a \in \mathbb{R},-|a| \leq a \leq|a|\).

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier\(a, b \in \mathbb{R},|a+b| \leq|a|+|b|\).

Prueba

Si\(a+b \geq 0,\) entonces

\[|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|-a-b=(|a|-a)+(|b|-b).\]

Ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio\(1.4 .10 .\) De ahí que la suma no sea negativa y la proposición sigue. Si\(a+b<0,\) entonces

\[|a|+|b|-|a+b|=|a|+|b|+a+b=(|a|+a)+(|b|+b).\]

Nuevamente, ambos términos de la derecha son no negativos por Ejercicio\(1.4 .10 .\) De ahí que la suma no sea negativa y la proposición sigue. \(\quad Q.E.D.\)

Ahora es fácil demostrar que la función de valor absoluto satisface

1. \(|a-b| \geq 0\)para todos\(a, b \in \mathbb{R},\) con\(|a-b|=0\) si y solo si\(a=b,\)

2. \(|a-b|=|b-a|\)para todos\(a, b \in \mathbb{R}\),

3. \(|a-b| \leq|a-c|+|c-b|\)para todos\(a, b, c \in \mathbb{R} .\)

Estas propiedades muestran que la función

\[d(a, b)=|a-b|\]

es una métrica, y llamaremos a\(|a-b|\) la distancia de\(a\) a\(b\).

Proposición\(\PageIndex{2}\)

Dado\(a \in \mathbb{R}^{+},\) que existen\(r, s \in \mathbb{Q}\) tales que\(0<r<a<s\).

Prueba

\(\{u\}_{i \in I}\)Sea una secuencia Cauchy en la clase de equivalencia de\(a .\) Puesto que\(a>0,\) existe un racional\(\epsilon>0\) y un entero\(N\) tal que\(u_{i}>\epsilon\) para todos\(i>N .\) Let\(r=\frac{\epsilon}{2} .\) Entonces\(u_{i}-r>\frac{\epsilon}{2}\) para cada\(i>N,\) así es\(a-r>0,\) decir,\(0<r<a .\)

Ahora elige un entero\(\left|u_{i}-u_{j}\right|<1\) para\(M\) que para todos\(i, j>M .\) Let\(s=u_{M+1}+2 .\) Then

\[s-u_{i}=u_{M+1}+2-u_{i}>1\]

para todos\(i>M .\) De ahí\(s>a\). \(\quad\)Q.E.D.

Proposición\(\PageIndex{3}\)

\(\mathbb{R}\)es un campo ordenado por Arquímedes.

Prueba

Dados números reales\(a\) y\(b\) con\(0<a<b,\) let\(r\) y\(s\) ser números racionales para los cuales\(0<r<a<b<s .\) ya que\(\mathbb{Q}\) es un campo arquímedes, existe un entero\(n\) tal que\(n r>s .\) Por lo tanto

\[n a>n r>s>b.\]

Q.E.D.

Proposición\(\PageIndex{4}\)

Dado\(a, b \in \mathbb{R}\) con\(a<b,\) existe\(r \in \mathbb{Q}\) tal que\(a<r<b\).

Prueba

Dejar\(\{u\}_{i \in I}\) ser una secuencia Cauchy en la clase de equivalencia de\(a\) y dejar\(\{v\}_{j \in J}\) estar en la clase de equivalencia de\(b .\) Dado que\(b-a>0,\) existe un racional\(\epsilon>0\) y un entero\(N\) tal que\(v_{i}-u_{i}>\epsilon\) para todos\(i>N .\) Ahora elige un entero para\(M\) que \(\left|u_{i}-u_{j}\right|<\frac{e}{4}\)para todos\(i, j>M .\) Let\(r=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2} .\) Then

\[\begin{aligned} r-u_{i} &=u_{M+1}+\frac{\epsilon}{2}-u_{i} \\ &=\frac{\epsilon}{2}-\left(u_{i}-u_{M+1}\right) \\ &>\frac{\epsilon}{2}-\frac{\epsilon}{4} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}\]

para todos\(i>M\) y

\[\begin{aligned} v_{i}-r &=v_{i}-u_{M+1}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\left(v_{i}-u_{i}\right)-\left(u_{M+1}-u_{i}\right)-\frac{\epsilon}{2} \\ &>\epsilon-\frac{\epsilon}{4}-\frac{\epsilon}{2} \\ &=\frac{\epsilon}{4} \end{aligned}\]

para todos\(i\) más grandes que los más grandes de\(N\) y\(M .\) Por lo tanto\(a<r<b . \quad\) Q.E.D.

1.4.3 Límite superior e inferior

Definición

Vamos\(A \subset \mathbb{R}\). Si\(s \in \mathbb{R}\) es tal que\(s \geq a\) para cada\(a \in A,\) entonces llamamos\(s\) un límite superior para\(A\). Si\(s\) es un límite superior para\(A\) con la propiedad que\(s \leq t\) siempre\(t\) es un límite superior para\(A,\) entonces llamamos\(s\) al límite supremo, o menos límite superior, de\(A,\) denotado\(s=\sup A\). Del mismo modo, si\(r \in \mathbb{R}\) es tal que\(r \leq a\) para cada\(a \in A,\) entonces llamamos\(r\) un límite inferior para\(A .\) Si\(r\) es un límite inferior para\(A\) con la propiedad que\(r \geq t\) siempre que\(t\) sea un límite inferior para\(A,\) entonces llamamos\(r\) al infimum, o límite inferior mayor, de\(A,\) denotado\(r=\inf A .\)

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que\(A \subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset,\) tiene un límite superior. Entonces el sup\(A\) existe.

Prueba

Let\(a \in A\) y let\(b\) ser un límite superior para\(A .\) Definir secuencias\(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) y de la\(\left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) siguiente manera: Let\(a_{1}=a\) y\(b_{1}=b .\) For\(i>1,\) let

\[c=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}.\]

Si\(c\) es un límite superior para\(A,\) let\(a_{i}=a_{i-1}\) y let de\(b_{i}=c_{i}\) otra manera, let\(a_{i}=c\) y\(b_{i}=b_{i-1} .\) then

\[\left|b_{i}-a_{i}\right|=\frac{|b-a|}{2^{i-1}}\]

por\(i=1,2,3, \ldots\) Ahora, para\(i=1,2,3, \ldots,\) que\(r_{i}\) sea un número racional tal que\(a_{i}<r_{i}<b_{i} .\) dado cualquiera\(\epsilon>0,\)\(N\) podamos elegir para que

\[2^{N}>\frac{|b-a|}{\epsilon}.\]

Entonces, cuando\(i>N\) y\(j>N\),

\[\left|r_{i}-r_{j}\right|<\left|b_{N+1}-a_{N+1}\right|=\frac{|b-a|}{2^{N}}<\epsilon.\]

De ahí\(\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) que sea una secuencia de Cauchy. \(s \in \mathbb{R}\)Sea la clase de equivalencia de\(\left\{r_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} .\) Tenga en cuenta que, para\(i=1,2,3, \ldots, a_{i} \leq s \leq b_{i}\).

Ahora bien, si no\(s\) es un límite superior para\(A,\) entonces existe\(a \in A\) con\(a>s .\) Let\(\delta=a-s\) y elige un entero\(N\) tal que

\[2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.\]

Entonces

\[b_{N+1} \leq s+\frac{|b-a|}{2^{N}}<s+\delta=a.\]

Pero, por construcción,\(b_{N+1}\) es un límite superior para\(A .\) Así s debe ser un límite superior para\(A .\)

Ahora supongamos que\(t\) es otro límite superior para\(A\) y\(t<s .\) Let\(\delta=s-t\) y elige un entero\(N\) tal que

\[2^{N}>\frac{|b-a|}{\delta}.\]

Entonces

\[a_{N+1} \geq s-\frac{|b-a|}{2^{N}}>s-\delta=t,\]

lo que implica que\(a_{N+1}\) es un límite superior para\(A .\) Pero, por construcción, no\(a_{N+1}\) es un límite superior para\(A\). De ahí que\(s\) deba ser el límite inferior superior para\(A\), es decir,\(s=\sup A .\)\(\quad\) Q.E.D.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Mostrar que si no\(A \subset \mathbb{R}\) está vacío y tiene un límite inferior, entonces\(A\) existe inf. (Pista: Es posible que desee mostrar primero ese inf\(A=-\sup (-A),\) donde\(-A=\{x:-x \in A\}) .\)