3.3: Conjuntos de potencia
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Dado un conjunto\(A,\) llamamos al conjunto de todos los subconjuntos\(A\) del conjunto de potencia del\(A,\) que denotamos\(\mathcal{P}(A)\).
Si\(A=\{1,2,3\},\) entonces
\[\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.\]
Si\(A\) es finito con\(|A|=n,\) entonces\(|\mathcal{P}(A)|=2^{n}\).
- Prueba
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Let
\[B=\left\{\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right): b_{i}=0 \text { or } b_{i}=1, i=1,2, \ldots, n\right\}\]
y dejar que\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) sean los elementos de\(A .\) Definir\(\varphi: B \rightarrow \mathcal{P}(A)\) dejando
\[\varphi\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)=\left\{a_{i}: b_{i}=1, i=1,2, \ldots, n\right\}.\]
Entonces\(\varphi\) es una correspondencia uno a uno. El resultado ahora se desprende del siguiente ejercicio. \(\quad\)Q.E.D.
Con\(B\) como en la proposición anterior, demuéstralo\(|B|=2^{n}\).
En analogía con el caso cuando\(A\) es finito, dejamos\(2^{|A|}=|\mathcal{P}(A)|\) para cualquier conjunto no vacío\(A .\)
Supongamos\(A\) y\(B\) son conjuntos para los que existe una función uno a uno\(\varphi: A \rightarrow \bar{B}\) pero no existe una correspondencia uno a uno\(\psi: A \rightarrow B .\) Entonces escribimos\(|A|<|B| .\)
Si\(A\) es un conjunto no vacío, entonces\(|A|<|\mathcal{P}(A)|\).
- Prueba
-
Definir\(\varphi: A \rightarrow \mathcal{P}\left(\mathbb{Z}^{+}\right)\) por
\[\varphi\left(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\right)=\left\{i: i \in \mathbb{Z}^{+}, a_{i}=1\right\}.\]
Entonces\(\varphi\) es una correspondencia uno a uno. \(\quad\)Q.E.D.
Ahora deja\(B\) ser el conjunto de todas las secuencias de\(A\) tal\(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\) manera que por cada entero\(N\) existe un entero\(n>N\) tal que\(a_{n}=0 .\) Let\(C=A \backslash B\),
\[D_{0}=\left\{\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}: a_{i}=1, i=1,2,3, \ldots\right\},\]
y
\[D_{j}=\left\{\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}: a_{j}=0, a_{k}=1 \text { for } k>j\right\}\]
para\(j=1,2,3, \ldots\) Entonces\(\left|D_{0}\right|=1\) y\(\left|D_{j}\right|=2^{j-1}\) por\(j=1,2,3, \ldots\) otra parte,
\[C=\bigcup_{j=0}^{\infty} D_{j},\]
así\(C\) es contable. Ya que\(A=B \cup C,\) y\(A\) es incontable, se deduce que\(B\) es incontable. Ahora si dejamos
\[I=\{x: x \in \mathbb{R}, 0 \leq x<1\},\]
hemos visto que la función\(\varphi: B \rightarrow I\) definida por
\[\varphi\left(\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}\right)=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \ldots\]
es una correspondencia uno a uno. De ello se deduce que\(I\) es incontable. Como consecuencia, tenemos el siguiente resultado.
\(\mathbb{R}\)es incontable.
Vamos a\(I=\{x: x \in \mathbb{R}, 0 \leq x<1\} .\) mostrar eso
a.\(|I|=|\{x: x \in \mathbb{R}, 0 \leq x \leq 1\}|\)
b.\(|I|=|\{x: x \in \mathbb{R}, 0<x<1\}|\)
c.\(|I|=|\{x: x \in \mathbb{R}, 0<x<2\}|\)
d.\(|I|=|\{x: x \in \mathbb{R},-1<x<1\}|\)
Vamos\(I=\{x: x \in \mathbb{R}, 0 \leq x<1\}\) y supongamos\(a\) y\(b\) son números reales con\(a<b .\) Mostrar eso
\[|I|=|\{x: x \in \mathbb{R}, a \leq x<b\}|.\]
¿Existe un conjunto\(A \subset \mathbb{R}\) para el cual\(\aleph_{0}<|A|<2^{\aleph_{0}} ?\) (Antes de trabajar demasiado tiempo en este problema, es posible que desee leer sobre la hipótesis del continum de Cantor.)