6.6: Teorema de Taylor
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6.6.1 Derivados de Orden Superior
Supongamos que\(f\) es diferenciable en un intervalo abierto\(I\) y\(f^{\prime}\) es diferenciable en\(a \in I .\) Llamamos a la derivada de\(f^{\prime}\) a\(a\) la segunda derivada de\(f\) a la\(a,\) que denotamos\(f^{\prime \prime}(a)\).
Mediante la diferenciación continua, podemos definir los derivados de orden superior\(f^{\prime \prime \prime},\)\(f^{\prime \prime \prime \prime},\) y así sucesivamente. En general, para cualquier entero\(n, n \geq 0,\) dejamos\(f^{(n)}\) denotar la derivada\(n\) th de\(f,\) where\(f^{(0)}\) denota\(f\).
Supongamos que\(D \subset \mathbb{R}, a\) es un punto interior de\(D, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(f^{\prime \prime}(a)\) existe. Demostrar que
\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2 f(a)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(a).\]
Encuentra un ejemplo para ilustrar que este límite puede existir aunque\(f^{\prime \prime}(a)\) no exista.
Para cualquier intervalo abierto\((a, b),\) donde\(a\) y\(b\) son números reales extendidos, dejamos\(C^{(n)}(a, b),\) donde\(n \in \mathbb{Z}^{+},\) denotan el conjunto de todas las funciones\(f\) con la propiedad de que cada una de\(f, f^{(1)}, f^{(2)}, \ldots, f^{(n)}\) está definida y continua en\((a, b) .\)
6.6.2 Teorema de Taylor
(Teorema de Taylor).
Supongamos\(f \in C^{(n)}(a, b)\) y\(f^{(n)}\) es diferenciable en\((a, b) .\) Let\(\alpha, \beta \in(a, b)\) with\(\alpha \neq \beta,\) y let
\[\begin{aligned} P(x)=f(&\alpha)+f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)+\frac{f^{\prime \prime}(\alpha)}{2}(x-\alpha)^{2}+\cdots \\ &+\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n !}(x-\alpha)^{n} \\=& \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k !}(x-\alpha)^{k}. \end{aligned}\]
Entonces existe un punto\(\gamma\) entre\(\alpha\) y\(\beta\) tal que
\[f(\beta)=P(\beta)+\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}(\beta-\alpha)^{n+1}.\]
- Prueba
-
Primera nota que\(P^{(k)}(\alpha)=f^{(k)}(\alpha)\) para\(k=0,1, \ldots, n .\) Let
\[M=\frac{f(\beta)-P(\beta)}{(\beta-\alpha)^{n+1}}.\]
Entonces
\[f(\beta)=P(\beta)+M(\beta-\alpha)^{n+1}.\]
Tenemos que demostrar que
\[M=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !}\]
para algunos\(\gamma\) entre\(\alpha\) y\(\beta .\) Let
\[g(x)=f(x)-P(x)-M(x-\alpha)^{n+1}.\]
Entonces, para\(k=0,1, \ldots, n\),
\[g^{(k)}(\alpha)=f^{(k)}(\alpha)-P^{(k)}(\alpha)=0.\]
Ahora bien,\(g(\beta)=0,\) por el teorema de Rolle, existe\(\gamma_{1}\) entre\(\alpha\) y\(\beta\) tal que\(g^{\prime}\left(\gamma_{1}\right)=0 .\) Usando de nuevo el teorema de Rolle, vemos que existe\(\gamma_{2}\) entre\(\alpha\) y\(\gamma_{1}\) tal que\(g^{\prime \prime}\left(\gamma_{2}\right)=0 .\) Continuando por\(n+1\) pasos, encontramos\(\gamma_{n+1}\) entre \(\left.\alpha \text { and } \gamma_{n} \text { (and hence between } \alpha \text { and } \beta\right)\)tal que\(g^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)=0 .\) De ahí
\[0=g^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)=f^{(n+1)}\left(\gamma_{n+1}\right)-(n+1) ! M.\]
Dejando\(\gamma=\gamma_{n+1},\) que tengamos
\[M=\frac{f^{(n+1)}(\gamma)}{(n+1) !},\]
según sea necesario. \(\quad\)Q.E.D.
Llamamos al polinomio\(P\) en el enunciado del teorema de Taylor el polinomio de Taylor de orden\(n\) para\(f\) al\(\alpha .\)
\(f(x)=\sqrt{x} .\)Entonces el polinomio Taylor de 4to orden para\(f\) en 1 es
\[P(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{16}(x-1)^{3}-\frac{5}{128}(x-1)^{4}.\]
Por el teorema de Taylor, para cualquiera\(x>0\) existe\(\gamma\) entre 1 y\(x\) tal que
\[\sqrt{x}=P(x)+\frac{105}{(32)(5 !) \gamma^{\frac{9}{2}}}(x-1)^{5}=P(x)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(x-1)^{5}.\]
Por ejemplo,
\[\sqrt{1.2}=P(1.2)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(1.2-1)^{5}=P(1.2)+\frac{7}{256 \gamma^{\frac{9}{2}}}(0.2)^{5}=P(1.2)+\frac{7}{800000 \gamma^{\frac{9}{2}}},\]
para algunos\(\gamma\) con\(1<\gamma<1.2 .\) Por lo tanto\(P(1.2)\) subestima\(\sqrt{1.2}\) por un valor que no es mayor que\(\frac{7}{80000} .\) Tenga en cuenta que
\[P(1.2)=\frac{17527}{16000}=1.0954375\]
y
\[\frac{7}{800000}=0.00000875.\]
Así\(\sqrt{1.2}\) se encuentra entre 1.0954375 y 1.09544625.
Utilice el polinomio Taylor de 5to orden para\(f(x)=\sqrt{x}\) al 1 para estimar\(\sqrt{1.2}\). ¿Es esto una subestimación o una sobreestimación? Encuentra un límite superior para la mayor cantidad por la que la estimación y\(\sqrt{1.2}\) difieren.
Encuentra el polinomio Taylor de 3er orden para\(f(x)=\sqrt[3]{1+x}\) al 0 y úsalo para estimar\(\sqrt[3]{1.1}\). ¿Es esto una subestimación o una sobreestimación? Encuentra un límite superior para la mayor cantidad por la que la estimación y\(\sqrt[3]{1.1}\) difieren.
Supongamos que\(f \in C^{(2)}(a, b) .\) Usa el teorema de Taylor para demostrar que
\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h)+f(c-h)-2 f(c)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(c)\]
para cualquier\(c \in(a, b)\).
Supongamos\(f \in C^{(1)}(a, b), c \in(a, b), f^{\prime}(c)=0,\)\((a, b)\) y\(f^{\prime \prime}\) existe en y es continuo en\(c .\) Show que\(f\) tiene un máximo local en\(c\) if\(f^{\prime \prime}(c)<0\) y un mínimo local en\(c\) if\(f^{\prime \prime}(c)>0 .\)