2.6: Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son nuestra primera consecuencia del hecho de que la definición del límite$f(z)$ debe ser la misma sin importar$z$ desde qué dirección se acerque. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann serán una de las herramientas más importantes de nuestra caja de herramientas.

Derivadas parciales como límites

Antes de llegar a las ecuaciones de Cauchy-Riemann te recordamos sobre las derivadas parciales. Si$u(x, y)$ es una función de dos variables entonces las derivadas parciales de$u$ se definen como

$$\dfrac{\partial u}{\partial x} (x, y) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{u(x + \Delta, y) - u(x, y)}{\Delta x},$$

es decir, la derivada de$u$ mantener$y$ constante.

$$\dfrac{\partial u}{\partial y} (x, y) = \lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{u(x, y + \Delta y) - u(x, y)}{\Delta y},$$

es decir, la derivada de$u$ mantener$x$ constante.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann utilizan las derivadas parciales de$u$ y$v$ para permitirnos hacer dos cosas: primero, verificar si$f$ tiene una derivada compleja y segunda, para computar esa derivada. Comenzamos por afirmar las ecuaciones como teorema.

Teorema$\PageIndex{1}$: Cauchy-Riemann Equations

Si$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ es analítico (complejo diferenciable) entonces

$$f'(z) = \dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} - i \dfrac{\partial u}{\partial y}$$

En particular,

$$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \text{ and } \dfrac{\partial u}{\partial y} = - \dfrac{\partial v}{\partial x}.$$

Este último conjunto de ecuaciones diferenciales parciales es lo que generalmente se entiende por las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Aquí está la forma corta de las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$$u_x = v_y$$

$$u_y = -v_x$$

Prueba

Supongamos que eso$f(z)$ es diferenciable en alguna región$A$ y

$$f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).$$

Calcularemos$f'(z)$ acercándonos$z$ primero desde la dirección horizontal y luego desde la dirección vertical. Usaremos la fórmula

$$f'(z) = \lim_{\Delta \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z},$$

donde$\Delta z = \Delta x + i \Delta y$.

Dirección horizontal:$\Delta y = 0, \Delta z = \Delta x$

$$\begin{array} {rcl} {f'(z)} & = & {\lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}} \\ {} & = & {\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x + iy) - f(x + iy)}{\Delta x}} \\ {} & = & {\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(u (x + \Delta, y) + iv(x + \Delta x, y)) - (u(x, y) + iv(x, y))}{\Delta x}} \\ {} & = & {\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{u(x + \Delta x, y) - u(x, y)}{\Delta x} + i \dfrac{v(x + \Delta x, y) - v(x, y)}{\Delta x}} \\ {} & = & {\dfrac{\partial u}{\partial x} (x, y) + i \dfrac{\partial v}{\partial x} (x, y)} \end{array}$$

Dirección vertical:$\Delta x = 0$,$\Delta z = i \Delta y$ (Vamos a hacer este un poco más rápido.)

$$\begin{array} {rcl} {f'(z)} & = & {\lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}} \\ {} & = & {\lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{(u(x, y + \Delta y) + iv (x, y + \Delta y)) - (u(x, y) + iv (x, y))}{i \Delta y}} \\ {} & = & {\lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{u(x, y+ \Delta y) - u(x, y)}{i \Delta y} + i \dfrac{v(x, y + \Delta y) - v(x, y)}{i \Delta y}} \\ {} & = & {\dfrac{1}{i} \dfrac{\partial u}{\partial y} (x, y) + \dfrac{\partial v}{\partial y} (x, y)} \\ {} & = & {\dfrac{\partial v}{\partial y} (x, y) - i \dfrac{\partial u}{\partial y} (x, y)} \end{array}$$

Hemos encontrado dos representaciones diferentes de$f'(z)$ en términos de los parciales de$u$ y$v$. Si los juntamos tenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$$f'(z) = \dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} - i \dfrac{\partial u}{\partial y} \ \ \Rightarrow \ \ \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \text{ and } -\dfrac{\partial u}{\partial y} = \dfrac{\partial v}{\partial x}.$$

Resulta que lo contrario es cierto y nos va a ser muy útil.

Teorema$\PageIndex{2}$

Considerar la función$f(z) = u(x, y) + iv (x, y)$ definida en una región$A$. Si$u$ y$v$ satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann y tener parciales continuos entonces$f(z)$ es diferenciable en$A$.

Prueba

La prueba de ello es un ejercicio complicado de análisis. Está algo más allá del alcance de esta clase, por lo que nos saltaremos. Si te interesa, con un poco de esfuerzo deberías poder captarlo.

Uso de las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann nos proporcionan una manera directa de verificar que una función es diferente y calcular su derivada.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Utilice las ecuaciones de Cauchy-Riemann para mostrar que$e^z$ es diferenciable y su derivada es$e^z$.

Solución

Escribimos

$$e^z = e^{x + iy} = e^x \cos (y) + ie^x \sin (y). \nonumber$$

Entonces

$$u(x, y) = e^x \cos (y) \nonumber$$

y

$$v(x, y) = e^x \sin(y). \nonumber$$

Computación de derivados parciales que tenemos

• $u_x = e^x \cos (y)$,
• $u_y = -e^x \sin (y)$,
• $v_x = e^x \sin (y)$,
• $u_y = e^x \cos (y)$.

Eso lo vemos$u_x = u_y$ y$u_y = -v_x$, así se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Así,$e^z$ es diferenciable y

$$\dfrac{d}{dz} e^z = u_x + iv_x = e^x \cos (y) + ie^x \sin (y) = e^z. \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Utilice las ecuaciones de Cauchy-Riemann para mostrar que no$f(z) = \overline{z}$ es diferenciable.

Solución

$f(x + iy) = x - iy$, entonces$u(x, y) = x, v(x, y) = -y$. Tomando derivados parciales

$u_x = 1$,$u_y = 0$,$v_x = 0$,$v_y = -1$

Dado que$u_x \ne v_y$ las ecuaciones de Cauchy-Riemann no están satisfechas y por lo tanto$f$ no son diferenciables.

Teorema$\PageIndex{3}$

Si$f(z)$ es diferenciable en un disco y$f'(z) =0$ en el disco entonces$f(z)$ es constante.

Prueba

Dado que$f$ es diferenciable y$f'(z) \equiv 0$, las ecuaciones de Cauchy-Riemann muestran que

$$u_x (x, y) = u_y (x, y) = v_x (x, y) = v_y (x, y) = 0 \nonumber$$

Sabemos por cálculo multivariable que una función de$(x, y)$ con ambos parciales idénticamente cero es constante. Así$u$ y$v$ son constantes, y por lo tanto así es$f$.

$f'(z)$como una$2 \times 2$ matriz

Recordemos que podríamos representar un número complejo$a + ib$ como una$2 \times 2$ matriz

$$a + ib \ \leftrightarrow \ \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}.$$

Ahora si escribimos$f(z$ en términos de$(x, y)$ tenemos

$$f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) \ \leftrightarrow \ f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)).$$

Tenemos

$$f'(z) = u_x + iv_x,$$

para que podamos representar$f'(z)$ como

$$\begin{bmatrix} u_x & -v_x \\ v_x & u_x \end{bmatrix}.$$

Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann podemos reemplazar$-v_x$ por$u_y$ y$u_x$ por$v_y$ lo cual nos da la representación

$$f'(z) \ \leftrightarrow \ \begin{bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{bmatrix},$$

es decir,$f'(z)$ es solo el jacobiano de$f(x, y)$.

Para mí, es más fácil recordar a la jacobiana que a las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Como$f'(z)$ es un número complejo puedo usar la representación matricial en la Ecuación 1 para recordar las ecuaciones de Cauchy-Riemann!