22.10: Dividir polinomios
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- 28 mar 2023
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Dividiendo Un Polinomio Por Un Monomio
Los siguientes ejemplos ilustran cómo dividir un polinomio por un monomio. El proceso de división es bastante sencillo y se basa en la adición de expresiones racionales.
ac+bc=a+bc
Dando la vuelta a esta ecuación obtenemos
a+bc=ac+bc
Ahora simplementec dividimos ena, yc enb. Esto debería sugerir una regla.
Dividiendo un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio por un monomio, dividir cada término del polinomio por el monomio.
Conjunto de Muestras A
Ejemplo22.10.1
3x2+x−11x. Dividir cada término de3x2+x−11 porx.
3x2x+xx−11x=3x+1−11x
Ejemplo22.10.2
8x3+4a2−16a+92a2.Divideeverytermof\(8a3+4a2−16a+9por2a2.
Ejemplo22.10.3
4b6−9b4−2b+5−4b2. Dividir cada término de4b6−9b4−2b+5 por−4b2.
4b6−4b2−9b4−4b2−2b−4b2+5−4b2=−b4+94b2+12b−54b2
Conjunto de práctica A
Realizar las siguientes divisiones.
Problema de práctica22.10.1
2x2+x−1x
- Contestar
-
2x+1−1x
Problema de práctica22.10.2
3x3+4x2+10x−4x2
- Contestar
-
3x+4+10x−4x2
Problema de práctica22.10.3
a2b+3ab2+2bab
- Contestar
-
a+3b+2a
Problema de práctica22.10.4
14x2y2−7xy7xy
- Contestar
-
2xy−1
Problema de práctica22.10.5
10m3n2+15m2n3−20mn−5m
- Contestar
-
−2m2n2−3mn3+4n
El Proceso De División
En la Sección 8.3 se estudió el método de reducción de expresiones racionales. Por ejemplo, observamos cómo reducir una expresión como
x2−2x−8x2−3x−4
Nuestro método fue factorizar tanto el numerador como el denominador, luego dividir los factores comunes.
(x−4)(x+2)(x−4)(x+1)
(x−4)(x+2)(x−4)(x+1)
x+2x+1
Cuando el numerador y el denominador no tienen factores en común, la división aún puede ocurrir, pero el proceso está un poco más involucrado que simplemente factorizar. El método de dividir un polinomio por otro es muy similar al de dividir un número por otro. Primero, revisaremos los pasos para dividir números.
358. Estamos para dividir 35 por 8.
Intentamos 4, ya que 32 dividido por 8 es 4.
Multiplicar 4 y 8
Restar 32 de 35
Dado que el resto 3 es menor que el divisor 8, terminamos con la división 32.
438. El cociente se expresa como un número mixto.
El proceso consistió en dividir, multiplicar y restar.
Revisión De Resta De Polinomios
Un paso muy importante en el proceso de dividir un polinomio por otro es la resta de polinomios. Revisemos el proceso de resta observando algunos ejemplos.
1. Restarx−2 dex−5; es decir, encontrar(x−5)−(x−2).
Ya quex−2 va precedido de un signo menos, elimine los paréntesis, cambie el signo de cada término, luego agregue.
\ (\ begin {array} {ruedado}
x-5 && x-5\\
- (x-2) && -x+2\\
\ text {_______} & = &\ text {_______}\\
&&-3
\ end {array}\\)
El resultado es−3
2. Restarx3+3x2 dex3+4x2+x−1.
Ya quex3+3x2 va precedido de un signo menos, elimine los paréntesis, cambie el signo de cada término, luego agregue.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x^3 + 4x^2 + x - 1 && x^3 + 4x^2 + x - 1\\
- (x^3 + 3x^2) && -x^3 - 3x^2\
\ text {_______________} & = &\ text {_______________}\\
&&x^2 + x - 1
\ end {array}\)
El resultado esx2+x−1
3. Restarx2+3x dex2+1
Podemos escribirx2+1 comox2+0x+1.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x^2 + 1 && x^2 + 0x + 1 && x^2 + 0x + 1\\
- (x^2 + 3x) && - (x^2 + 3x) && -x^2 - 3x\
\\ text {____________} & = &\ text {____________} & = &\ texto {____________}\
&&&& -3x + 1
\ end {array}\)
Dividiendo Un Polinomio Por Un Polinomio
Ahora vamos a observar algunos ejemplos de dividir un polinomio por otro. El proceso es el mismo que el proceso utilizado con números enteros: dividir, multiplicar, restar, dividir, multiplicar, restar,...
La división, multiplicación y resta tienen lugar un término a la vez. El proceso se concluye cuando el resto polinómico es de menor grado que el divisor polinómico.
Conjunto de Muestras B
Realizar la división.
Ejemplo22.10.4
x−5x−2. Tenemos que dividirnosx−5 porx−2.
1−3x−2
Por lo tanto,
x−5x−2=1−3x−2
Ejemplo22.10.5
x3+4x2+x−1x+3. Tenemos que dividirnosx3+4x2+x−1 porx+3.
x2+x−2+5x+3
Por lo tanto,
x3+4x2+x−1x+3=x2+x−2+5x+3
Set de práctica B
Realizar las siguientes divisiones.
Problema de práctica22.10.6
x+6x−1
- Contestar
-
1+7x−1
Problema de práctica22.10.7
x2+2x+5x+3
- Contestar
-
x−1+8x+3
Problema de práctica22.10.8
x3+x2−x−2x+8
- Contestar
-
x2−7x+55−442x+8
Problema de práctica22.10.9
x3+x2−3x+1x2+4x−5
- Contestar
-
x−3+14x−14x2+4x−5=x−3+14x+5
Conjunto de Muestras C
Ejemplo22.10.6
Dividir2x3−4x+1 porx+6
2x3−4x+1x+6Observe que falta elx2 término en el numerador. Podemos evitar cualquier confusión escribiendo
2x3+0x2−4x+1x+6Dividir, multiplicar y restar.
2x3−4x+1x+6=2x3−12x+68−407x+6
Set de práctica C
Realizar las siguientes divisiones.
Problema de práctica22.10.10
x2−3x+2
- Contestar
-
x−2+1x+2
Problema de práctica22.10.11
4x2−1x−3
- Contestar
-
4x+12+35x−3
Problema de práctica22.10.12
x3+2x+2x−2
- Contestar
-
x2+2x+6+14x−2
Problema de práctica22.10.13
6x3+5x2−12x+3
- Contestar
-
3x2−2x+3−102x+3
Ejercicios
Para los siguientes problemas, realizar las divisiones.
Ejercicio22.10.1
6a+122
- Contestar
-
3a+6
Ejercicio22.10.2
12b−63
Ejercicio22.10.3
8y−4−4
- Contestar
-
−2y+1
Ejercicio22.10.4
21a−9−3
Ejercicio22.10.5
3x2−6x−3
- Contestar
-
−x(x−2)
Ejercicio22.10.6
4y2−2y2y
Ejercicio22.10.7
9a2+3a2a
- Contestar
-
3a+1
Ejercicio22.10.8
20x2+10x5x
Ejercicio22.10.9
6x3+2x2+8x2x
- Contestar
-
3x2+x+4
Ejercicio22.10.10
26y3+13y2+39y13y
Ejercicio22.10.11
a2b2+4a2b+6ab2−10abab
- Contestar
-
ab+4a+6b−10
Ejercicio22.10.12
7x3y+8x2y3+3xy4−4xyxy
Ejercicio22.10.13
5x3y3−15x2y2+20xy−5xy
- Contestar
-
−x2y2+3xy−4
Ejercicio22.10.14
4a2b3−8ab4+12ab2−2ab2
Ejercicio22.10.15
6a2y2+12a2y+18a224a2
- Contestar
-
14y2+12y+34
Ejercicio22.10.16
3c3y3+99c3y4−12c3y53x3y3
Ejercicio22.10.17
16ax2−20ax3+24ax46a4
- Contestar
-
8x2−10x3+12x43a3o12x4−10x3+8x23a2
Ejercicio22.10.18
21ay3−18ay2−15ay6ay2
Ejercicio22.10.19
−14b2c2+21b3−28c3−7a2c3
- Contestar
-
2b2−3b3c+4ca2c
Ejercicio22.10.20
−30a2b4−35a2b3−25a2−5b3
Ejercicio22.10.21
x+6x−2
- Contestar
-
1+8x−2
Ejercicio22.10.22
y+7y+1
Ejercicio22.10.23
x2−x+4x+2
- Contestar
-
x−3+10x+2
Ejercicio22.10.24
x2+2x−1x+1
Ejercicio22.10.25
x2−x+3x+1
- Contestar
-
x−2+5x+1
Ejercicio22.10.26
x2+5x+5x+5
Ejercicio22.10.27
x2−2x+1
- Contestar
-
x−1−1x+1
Ejercicio22.10.28
a2−6a+2
Ejercicio22.10.29
y2+4y+2
- Contestar
-
y−2+8y+2
Ejercicio22.10.30
x2+36x+6
Ejercicio22.10.31
x3−1x+1
- Contestar
-
x2−x+1−2x+1
Ejercicio22.10.32
a3−8a+2
Ejercicio22.10.33
x3+3x2+x−2x−2
- Contestar
-
x2+5x+11+20x−2
Ejercicio22.10.34
a3+2a2−a+1a−3
Ejercicio22.10.35
x3+2x+1x−3
Ejercicio22.10.36
y3+2y2+4y+2
- Contestar
-
y2+y−2+8y+2
Ejercicio22.10.37
y3+5y2−3y−1
Ejercicio22.10.38
x3+3x2x+3
- Contestar
-
x2
Ejercicio22.10.39
a2+2aa+2
Ejercicio22.10.40
x2−x−6x2−2x−3
- Contestar
-
1+1x+1
Ejercicio22.10.41
a2+5a+4a2−a−2
Ejercicio22.10.42
2y2+5y+3y2−3y−4
- Contestar
-
2+11y−4
Ejercicio22.10.43
3a2+4a+23a+4
Ejercicio22.10.44
6x2+8x−13x+4
- Contestar
-
2x−13x+4
Ejercicio22.10.45
20y2+15y−44y+3
Ejercicio22.10.46
4x3+4x2−3x−22x−1
- Contestar
-
2x2+3x−22x−1
Ejercicio22.10.47
9a3−18a28a−13a−2
Ejercicio22.10.48
4x4−4x3+2x2−2x−1x−1
- Contestar
-
4x3+2x−1x−1
Ejercicio22.10.49
3y4+9y3−2y2−6y+4y+3
Ejercicio22.10.50
3y2+3y+5y2+y+1
- Contestar
-
3+2y2+y+1
Ejercicio22.10.51
2a2+4a+1a2+2a+3
Ejercicio22.10.52
8z6−4z5−8z4+8z3+3z2−14z2z−3
- Contestar
-
4z5+4z4+2z3+7z2+12z+11+332z−3
Ejercicio22.10.53
9a7+15a6+4a5−3a4−a3+12a2+a−53a+1
Ejercicio22.10.54
(2x5+5x4−1)÷(2x+5)
- Contestar
-
x4−12x+5
Ejercicio22.10.55
(6a4−2a3−3a2+a+4)÷(3a−1)
Ejercicios para revisión
Ejercicio22.10.56
Encuentra el producto. x2+2x−8x2−9⋅2x+64x−8
- Contestar
-
x+42(x−3)
Ejercicio22.10.57
Encuentra la suma. x−7x+5+x+4x−2
Ejercicio22.10.58
Resolver la ecuación1x+3+1x−3=1x2−9
- Contestar
-
x=12
Ejercicio22.10.59
Cuando se resta el mismo número tanto del numerador como del denominador dedfrac310, el resultado es18. ¿Cuál es el número que se resta?
Ejercicio22.10.60
Simplificar1x+54x2−25
- Contestar
-
x−54