22.9: Expresiones racionales Complejas
- Última actualización
- 28 mar 2023
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Fracciones simples y complejas
Fracción Simple
En la sección 8.2 vimos que una fracción simple era una fracción de la forma\dfrac{P}{Q}, dondeP yQ son polinomios yQ \not = 0.
Fracción Compleja
Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o denominador, o ambos, es una fracción. Las fracciones
\dfrac{\frac{8}{15}}{\frac{2}{3}}y\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}
son ejemplos de fracciones complejas, o más generalmente, expresiones racionales complejas.
Existen dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas: el método combine-divide y el método LCD-Multiply-Divide.
El método Combine-Divide
Método Combine-Divide
- Si es necesario, combine los términos del numerador juntos.
- Si es necesario, combine los términos del denominador juntos.
- Divide el numerador por el denominador.
Conjunto de Muestras A
Simplifica cada expresión racional compleja.
Ejemplo\PageIndex{1}
\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}}
Los pasos 1 y 2 no son necesarios por lo que procedemos con el paso 3:
\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}} = \dfrac{x^3}{8} \cdot \dfrac{12}{x^5} = \dfrac{\cancel{x^3}}{^\cancel{8}_2} \cdot \dfrac{_\cancel{12}^3}{x^{\cancel{5}2}} = \dfrac{3}{2x^2}
Ejemplo\PageIndex{2}
\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}
Paso 1: Combina los términos del numerador: LCD =x.
1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}
Paso 2: Combina los términos del denominador: LCD =x^2.
1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}
Paso 3: Divide el numerador por el denominador.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {x-1} {x}} {\ frac {x^2-1} {x^2}} &=\ dfrac {x-1} {x}\ cdot\ dfrac {x^2} {x^2-1}\\
&=\ dfrac {\ cancel {x-1}} {\ cancel {x}}\ dfrac {x^ {\ cancel {2}}} {(x+1)\ cancel {(x+1)}}\\
&=\ dfrac {x} {x+1}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \dfrac{x}{x+1}
Ejemplo\PageIndex{3}
\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}}
Paso 1: Combina los términos del numerador: LCD =m^2.
2-\dfrac{13}{m}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{13 m}{m^{2}}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}-13 m-7}{m^{2}}
Paso 2: Combina los términos del denominador: LCD =m^2
2+\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}+\dfrac{3 m}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}+3 m+1}{m^{2}}
Paso 3: Divide el numerador por el denominador:
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {2 m^ {2} -13 m-7} {m^ {2}} {\ frac {2 m^ {2} +3 m-1} {m^ {2}} &=\ dfrac {2 m^ {2} -13 m-7} {m^ {2}}\ cdot\ frac m^ {2}} {2 m^ {2} +3 m+1}\\
&=\ dfrac {\ cancel {(2 m+1)} (m-7)} {\ cancel {m^2}}\ cdot\ dfrac {\ cancel {m^2}} {\ cancel {(2 m+1)} (m+1)}\\
&=\ dfrac {m-7} {m+1}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}} = \dfrac{m - 7}{m + 1}
Conjunto de práctica A
Utilice el método combine-divide para simplificar cada expresión.
Problema de práctica\PageIndex{1}
\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}
- Responder
-
\dfrac{12}{5x}
Problema de práctica\PageIndex{2}
\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}
- Responder
-
\dfrac{3x - 1}{3x + 1}
Problema de práctica\PageIndex{3}
\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}
- Responder
-
\dfrac{x}{y(x-y)}
Problema de práctica\PageIndex{4}
\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}
- Responder
-
\dfrac{m-2}{m-3}
Problema de práctica\PageIndex{5}
\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}
- Responder
-
\dfrac{x}{x-2}
El método LCD-Multiply-Divide
Método LCD-Multiply-Dividir
- Encuentra la pantalla LCD de todos los términos.
- Multiplique el numerador y el denominador por el LCD.
- Reducir si es necesario.
Conjunto de Muestras B
Simplifique cada fracción compleja.
Ejemplo\PageIndex{4}
\dfrac{1 - \frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}}
Paso 1: El LCD=a^2.
Paso 2: Multiplica tanto el numerador como el denominador pora^2.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {a^2 (1 -\ frac {4} {a^2})} {a^2 (1 +\ frac {2} {a})} &=\ dfrac {a^2\ cdot 1-a^2\ cdot\ cdot\ frac {4} {a^2}} {a^2\ cdot 1+adot ^2\ cdot\ frac {2} {a}}\\
&=\ dfrac {a^2-4} {a^2 + 2a}
\ end {array}\).
Paso 3: Reducir:
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ frac {a^ {2} -4} {a^ {2} +2 a} &=\ frac {\ cancel {(a+2)} (a-2)} {a\ cancel {(a+2)}}\\
&=\ frac {a-2} {a}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\dfrac{1-\frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}} = \dfrac{a-2}{a}
Ejemplo\PageIndex{5}
\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}}
Paso 1: El LCD esx^2.
Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador porx^2.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {x^ {2} (1-\ frac {5} {x} -\ frac {6} {x^ {2}})} {x^ {2} (1+\ frac {6} {x} +\ frac {5} {x^ {2})} &=\ dfrac {x^ {2}\ cdot 1-x^ {\ cancel {2}}\ cdot\ frac {5} {\ cancel {x}} -\ cancel {x^ {2}}\ cdot\ frac {6} {\ cancel {x^ {2}}} {x^ {2}\ cdot 1+x^ {\ cancel {2}}\ cdot\ frac {6} {\ cancel {x}} +\ cancelar {x^2}\ cdot\ frac {5} {\ cancel {x^2}}}\\
&=\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5}
\ end {array}\)
Paso 3: Reducir:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5} &=\ dfrac {(x-6) (x+1)} {(x+5) (x+1)}\\
&=\ dfrac {x-6} {x+5}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}} = \dfrac{x-6}{x+5}
Set de práctica B
Los siguientes problemas son los mismos problemas que los problemas del Conjunto de práctica A. Simplifique estas expresiones utilizando el método LCD-Multiply-Divide. Compara las respuestas con las respuestas producidas en el Conjunto de Práctica A.
Problema de práctica\PageIndex{6}
\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}
- Responder
-
\dfrac{12}{5x}
Problema de práctica\PageIndex{7}
\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}
- Responder
-
\dfrac{3x - 1}{3x + 1}
Problema de práctica\PageIndex{8}
\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}
- Responder
-
\dfrac{x}{y(x-y)}
Problema de práctica\PageIndex{9}
\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}
- Responder
-
\dfrac{m-2}{m-3}
Problema de práctica\PageIndex{10}
\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}
- Responder
-
\dfrac{x}{x-2}
Ejercicios
Para los siguientes problemas, simplifique cada expresión racional compleja.
Ejercicio\PageIndex{1}
\dfrac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}
- Responder
-
\dfrac{5}{3}
Ejercicio\PageIndex{2}
\dfrac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}
Ejercicio\PageIndex{3}
\dfrac{1-\frac{1}{y}}{1+\frac{1}{y}}
- Responder
-
\dfrac{y-1}{y+1}
Ejercicio\PageIndex{4}
\dfrac{a+\frac{1}{x}}{a-\frac{1}{x}}
Ejercicio\PageIndex{5}
\dfrac{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}{\frac{a}{b}-\frac{c}{b}}
- Responder
-
\dfrac{a+c}{a-c}
Ejercicio\PageIndex{6}
\dfrac{\frac{5}{m}+\frac{4}{m}}{\frac{5}{m}-\frac{4}{m}}
Ejercicio\PageIndex{7}
\dfrac{3+\frac{1}{x}}{\frac{3 x+1}{x^{2}}}
- Responder
-
x
Ejercicio\PageIndex{8}
\dfrac{1+\frac{x}{x+y}}{1-\frac{x}{x+y}}
Ejercicio\PageIndex{9}
\dfrac{2+\frac{5}{a+1}}{2-\frac{5}{a+1}}
- Responder
-
\dfrac{2a + 7}{2a - 3}
Ejercicio\PageIndex{10}
\dfrac{1-\frac{1}{a-1}}{1+\frac{1}{a-1}}
Ejercicio\PageIndex{11}
\dfrac{4-\frac{1}{m^{2}}}{2+\frac{1}{m}}
- Responder
-
\dfrac{2m - 1}{m}
Ejercicio\PageIndex{12}
\dfrac{9-\frac{1}{x^{2}}}{3-\frac{1}{x}}
Ejercicio\PageIndex{13}
\dfrac{k-\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}
- Responder
-
k-1
Ejercicio\PageIndex{14}
\dfrac{\frac{m}{m+1}-1}{\frac{m+1}{2}}
Ejercicio\PageIndex{15}
\dfrac{\frac{2 x y}{2 x-y}-y}{\frac{2 x-y}{3}}
- Responder
-
\dfrac{3y^2}{(2x - y)^2}
Ejercicio\PageIndex{16}
\dfrac{\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}}
Ejercicio\PageIndex{17}
\dfrac{\frac{5}{x+3}-\frac{5}{x-3}}{\frac{5}{x+3}+\frac{5}{x-3}}
- Responder
-
\dfrac{-3}{x}
Ejercicio\PageIndex{18}
\dfrac{2+\frac{1}{y+1}}{\frac{1}{y}+\frac{2}{3}}
Ejercicio\PageIndex{19}
\dfrac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}
- Responder
-
\dfrac{y-x}{xy}
Ejercicio\PageIndex{20}
\dfrac{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}
Ejercicio\PageIndex{21}
\dfrac{1+\frac{1}{y}-\frac{2}{y^{2}}}{1+\frac{7}{y}+\frac{10}{y^{2}}}
- Responder
-
\dfrac{y-1}{y+5}
Ejercicio\PageIndex{22}
\dfrac{\frac{3 n}{m}-2-\frac{m}{n}}{\frac{3 n}{m}+4+\frac{m}{n}}
- Responder
-
3x−4
Ejercicio\PageIndex{23}
\dfrac{\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}}{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}}
Ejercicio\PageIndex{24}
\dfrac{\frac{a}{a-2}-\frac{a}{a+2}}{\frac{2 a}{a-2}+\frac{a^{2}}{a+2}}
- Responder
-
\dfrac{4}{a^2 + 4}
Ejercicio\PageIndex{25}
3 - \dfrac{2}{1 - \frac{1}{m+1}}
Ejercicio\PageIndex{26}
\dfrac{x-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}
- Responder
-
\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}
Ejercicio\PageIndex{27}
En la teoría de la electricidad, cuando dos resistencias de resistenciaR_1 yR_2 ohmios están conectadas en paralelo, la resistencia totalR es:
R = \dfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}
Escribe esta fracción compleja como una fracción simple.
Ejercicio\PageIndex{28}
Según la teoría de la relatividad de Einstein, dos velocidadesv_1 yv_2 no se agregan segúnv = v_1 + v_2, sino por
v = \dfrac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}
Escribe esta fracción compleja como una fracción simple.
La fórmula de Einstein en realidad solo es aplicable para velocidades cercanas a la velocidad de la luz (c=186,000millas por segundo). A velocidades mucho más bajas, como 500 millas por hora, la fórmulav=v_1+v_2 proporciona una aproximación extremadamente buena.
- Responder
-
\dfrac{c^2(V_1 + V_2)}{c^2 + V_1V_2}
Ejercicios para revisión
Ejercicio\PageIndex{30}
Suministrar la palabra faltante. El valor absoluto habla de la cuestión de cómo ____ y no “de qué manera”.
Ejercicio\PageIndex{31}
Encuentra el producto. (3x + 4)^2
- Responder
-
9x^2 + 24x + 16
Ejercicio\PageIndex{32}
Factorx^4 - y^4
Ejercicio\PageIndex{33}
Resuelve la ecuación\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{5}{x+3} = 0.
- Responder
-
x=7
Ejercicio\PageIndex{34}
Una tubería de entrada puede llenar un tanque en 10 minutos. Otra tubería de entrada puede llenar el mismo tanque en 4 minutos. ¿Cuánto tiempo tardan ambas tuberías trabajando juntas para llenar el tanque?