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LibreTexts Español

16.5: Exponentes

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Visión general

  • Notación exponencial
  • Lectura de Notación Exponencial
  • El orden de operaciones

Notación exponencial

En la Sección 2.4 se nos recordó que la multiplicación es una descripción para la adición repetida. Una pregunta natural es “¿Existe una descripción para la multiplicación repetida?” La respuesta es sí. La notación que describe la multiplicación repetida es la notación exponencial.

Factores

En la multiplicación, los números que se multiplican entre sí se denominan factores. En multiplicación repetida, todos los factores son iguales. En la multiplicación no repetida, ninguno de los factores es el mismo. Por ejemplo,

Ejemplo16.5.1

18181818Multiplicación repetida de 18. Los cuatro factores, 18 son iguales.

xxxxxMultiplicación repetida dex. Los cinco factoresx,, son iguales.

37aMultiplicación no repetida. Ninguno de los factores es el mismo.

La notación exponencial se utiliza para mostrar multiplicación repetida del mismo factor. La notación consiste en utilizar un superíndice sobre el factor que se repite. Al superíndice se le llama exponente.

Notación exponencial

Notación exponencial Six es cualquier número real yn es un número natural, entonces

xn=xxxxn factors of x

Un exponente registra el número de factores idénticos en la multiplicación.

Tenga en cuenta que la definición de notación exponencial solo tiene significado para exponentes numéricos naturales. Ampliaremos esta notación para incluir otros números como exponentes posteriormente.

Conjunto de Muestras A

Ejemplo16.5.2

777777=76

El factor repetido es 7. El exponente 6 registra el hecho de que 7 aparece 6 veces en la multiplicación.

Ejemplo16.5.3

xxxx=x4

El factor repetido esx. El exponente 4 registra el hecho quex aparece 4 veces en la multiplicación.

Ejemplo16.5.4

(2y)(2y)(2y)=(2y)3

El factor repetido es2y. El exponente 3 registra el hecho de que el factor2y aparece 3 veces en la multiplicación.

Ejemplo16.5.5

2yyy=2y3

El factor repetido esy. El exponente 3 registra el hecho de que el factory aparece 3 veces en la multiplicación.

Ejemplo16.5.6

(a+b)(a+b)(ab)(ab)(ab)=(a+b)2(ab)3

Los factores repetidos son(a+b) y(ab),(a+b) apareciendo 2 veces y(ab) apareciendo 3 veces.

Conjunto de práctica A

Escribe cada uno de los siguientes usando exponentes.

Problema de práctica16.5.1

aaaa

Contestar

a4

Problema de práctica16.5.2

(3b)(3b)(5c)(5c)(5c)(5c)

Contestar

(3b)2(5c)4

Problema de práctica16.5.3

22777(a4)(a4)

Contestar

2273(a4)2

Problema de práctica16.5.4

8xxxyzzzzz

Contestar

8x3yz5

Conjunto de Muestras B

Ejemplo16.5.7

8x3significa8xxx y no8x8x8x. El exponente3 aplica sólo al factorx ya que es sólo al factorx que el3 está conectado.

Ejemplo16.5.8

(8x)3significa(8x)(8x)(8x) ya que los paréntesis indican que el exponente3 está directamente conectado al factor8x. Recuerde que los símbolos de agrupación () indican que las cantidades en su interior deben considerarse como un solo número.

Ejemplo16.5.9

34(a+1)2significa34(a+1)(a+1) ya que el exponente2 se aplica únicamente al factor(a+1).

Set de práctica B

Escribe cada uno de los siguientes sin exponentes.

Problema de práctica16.5.5

4a3

Contestar

4aaa

Problema de práctica16.5.6

(4a)3

Contestar

(4a)(4a)(4a)

Conjunto de Muestras C

Ejemplo16.5.10

Seleccione un número para mostrar que(2x)2 no siempre sea igual a2x2.
Supongamosx que elegimos ser 5. Considere ambos(2x)2 y2x2.
\ (
\ begin {array} {ll}
(2 x) ^ {2} & 2 x^ {2}\\
(2\ cdot 5) ^ {2} & 2\ cdot 5^ {2}\
(10) ^ {2} & 2\ cdot 25\\
100 &\ neq 50
\ end {array}
\)
Observe que (2x)2=2x2sólo cuandox=0.

Set de práctica C

Problema de práctica16.5.7

Seleccione un número para mostrar que(5x)2 no siempre sea igual a5x2

Responder

Seleccionex=3. Entonces(53)2=(15)2=225, pero532=59=45. 22545

Lectura de Notación Exponencial

ln(xn)

Base
x es la base.

El exponente
n es el exponente.

Poder
El número representado porxn se llama poder.

xaln th Poder
El términoxn se lee como "xaln th poder”, o más simplemente como "xaln th.”

xCuadrados yx Cubicados

El símbolo a menudox2 se lee como "xcuadrado”, y a menudox3 se lee como "enx cubos”. Una pregunta natural es “¿Por qué aparecen términos geométricos en la expresión exponente?” La respuesta parax3 es esta:x3 mediosxxx. En geometría, el volumen de una caja rectangular se encuentra multiplicando el largo por el ancho por la profundidad. Un cubo tiene la misma longitud en cada lado. Si representamos esta longitud por la letrax entonces el volumen del cubo esxxx, que, por supuesto, es descrito porx3. (¿Se te ocurre por quéx2 se lee comox cuadrado?)

Cubo con

largo =x
ancho =x
profundidad =x
Volumen =xxx =x3

clipboard_e5a24204a712094a23f76f8e8f4952e4b.png

El orden de operaciones

En la Sección 4.2 nos presentaron el orden de operaciones. Se señaló que insertaríamos otra operación antes de la multiplicación y división. Ya podemos hacer eso.

El orden de las operaciones
  1. Realice todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación comenzando con el conjunto más interno.
  2. Realiza todas las operaciones exponenciales a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
  3. Realiza todas las multiplicaciones y divisiones a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
  4. Realiza todas las adiciones y restas a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.

Conjunto de Muestras D

Utilice el orden de las operaciones para simplificar cada una de las siguientes.

Ejemplo16.5.11

22+5=4+5=9

Ejemplo16.5.12

52+32+10=25+9+10=44

Ejemplo16.5.13

\ (
\ begin {alineado}
2^ {2} + (5) (8) -1 &=4+ (5) (8) -1\\
&=4+40-1\\
&=43
\ end {alineado}
\)

Ejemplo16.5.14

\ (
\ begin {alineado}
7\ cdot 6-4^ {2} +1^ {5} &=7\ cdot 6-16+1\\
&=42-16+1\\
&=27
\ end {alineado}
\)

Ejemplo16.5.15

\ (
\ begin {alineado}
(2+3) ^ {3} +7^ {2} -3 (4+1) ^ {2} & =( 5) ^ {3} +7^ {2} -3 (5) ^ {2}\
&=125+49-3 (25)\\
&=125+49-75
\ end {alineado}
\)

Ejemplo16.5.16

\ (
\ begin {alineado}
\ izquierda [4 (6+2) ^ {3}\ derecha] ^ {2} &=\ izquierda [4 (8) ^ {3}\ derecha] ^ {2}\\
&= [4 (512)] ^ {2}\\
&= [2048] ^ {2}\\
&=4.194.304
\ end {alineado}
\)

Ejemplo16.5.17

\ (
\ begin {alineado}
6\ izquierda (3^ {2} +2^ {2}\ derecha) +4^ {2} &=6 (9+4) +4^ {2}\\
&=6 (13) +4^ {2}\\
&=6 (13) +16\\
&=78+16\\
&=94
\ end {alineado}
\)

Ejemplo16.5.18

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {6^ {2} +2^ {2}} {4^ {2} +6\ cdot 2^ {2}} +\ dfrac {1^ {3} +8^ {2}} {10^ {2} - (19) (5)} &=\ dfrac {36+4} {16+6\ cdot 4} +\ dfrac {1+64} {100-95}\
&=\ dfrac {36+4} {16+24} +\ dfrac {1+64} {100-95}\\
&=\ dfrac {40} {40} +\ dfrac {65} {5}\\
&=1+13\\
&=14
\ end {alineado}
\)

Set de Práctica D

Utilice el orden de operaciones para simplificar lo siguiente.

Problema de práctica16.5.8

32+45

Responder

29

Problema de práctica16.5.9

23+3384

Responder

3

Problema de práctica16.5.10

14+(22+4)2÷23

Responder

9

Problema de práctica16.5.11

[6(1023)]210262

Responder

8

Problema de práctica16.5.12

52+62101+42+040572623

Responder

3

Ejercicios

Para los siguientes problemas, escriba cada una de las cantidades usando notación exponencial.

Ejercicio16.5.1

bal cuarto

Responder

b4

Ejercicio16.5.2

aal cuadrado

Ejercicio16.5.3

xa la octava

Responder

x8

Ejercicio16.5.4

(3)en cubos

Ejercicio16.5.5

5tiemposs al cuadrado

Responder

5s2

Ejercicio16.5.6

3tiempos cuadradosy a la quinta

Ejercicio16.5.7

acubicado menos(b+7) cuadrado

Responder

a3(b+7)2

Ejercicio16.5.8

(21x)cubos másx+5 al séptimo

Ejercicio16.5.9

xxxxx

Responder

x5

Ejercicio16.5.10

(8)(8)xxxx

Ejercicio16.5.11

23333xxyyyyy

Responder

2(34)x2y5

Ejercicio16.5.12

225666xyyzzzwwww

Ejercicio16.5.13

7xx(a+8)(a+8)

Responder

7x2(a+8)2

Ejercicio16.5.14

10xyy(c+5)(c+5)(c+5)

Ejercicio16.5.15

4x4x4x4x4x

Responder

(4x)5o45x5

Ejercicio16.5.16

(9a)(9a)(9a)(9a)

Ejercicio16.5.17

(7)(7)(7)aabbba(7)baab

Responder

(7)4a5b5

Ejercicio16.5.18

(a10)(a10)(a+10)

Ejercicio16.5.19

(z+w)(z+w)(z+w)(zw)(zw)

Responder

(z+w)3(zw)2

Ejercicio16.5.20

(2y)(2y)2y2y

Ejercicio16.5.21

3xyxxy(x+1)(x+1)(x+1)

Responder

3x3y2(x+1)3

Para los siguientes problemas, ampliar las cantidades para que no aparezcan exponentes.

Ejercicio16.5.22

43

Ejercicio16.5.23

62

Responder

66

Ejercicio16.5.24

73y2

Ejercicio16.5.25

8x3y2

Responder

8xxxyy

Ejercicio16.5.26

(18x2y4)2

Ejercicio16.5.27

(9a3b2)3

Responder

(9aaabb)(9aaabb)(9aaabb)o999aaaaaaaaabbbbbb

Ejercicio16.5.28

5x2(2y3)3

Ejercicio16.5.29

10a3b2(3c)2

Responder

10aaabb(3c)(3c)o1033aaabbcc

Ejercicio16.5.30

(a+10)2(a2+10)2

Ejercicio16.5.31

(x2y2)(x2+y2)

Responder

(xxyy)(xx+yy)

Para los siguientes problemas, seleccione un número (o números) para mostrar que

Ejercicio16.5.32

(5x)2generalmente no es igual a5x2.

Ejercicio16.5.33

(7x)2no es generalmente igual a7x2

Responder

Seleccionex=2. Entonces,19628

Ejercicio16.5.34

(a+b)2no es generalmente igual aa2+b2

Ejercicio16.5.35

Por lo que el número real es(6a)2 igual a6a2

Responder

0

Ejercicio16.5.36

Por lo que los números reales,a yb, es(a+b)2 igual aa2+b2.

Utilice el orden de operaciones para simplificar las cantidades para los siguientes problemas.

Ejercicio16.5.37

32+7

Responder

16

Ejercicio16.5.38

4318

Ejercicio16.5.39

52+2(40)

Responder

105

Ejercicio16.5.40

82+3+5(2+7)

Ejercicio16.5.41

25+3(8+1)

Responder

59

Ejercicio16.5.42

34+24(1+5)3

Ejercicio16.5.43

(6242)÷5

Responder

4

Ejercicio16.5.44

22(1023)

Ejercicio16.5.45

(3443)÷17

Responder

1

Ejercicio16.5.46

(4+3)2+1÷(25

Ejercicio16.5.47

(24+25235)2÷42

Responder

4

Ejercicio16.5.48

16+08+52(2+8)3

Ejercicio16.5.49

(7)(16)92+4(11+32)

Responder

71

Ejercicio16.5.50

23752

Ejercicio16.5.51

(1+6)2+219

Responder

5119

Ejercicio16.5.52

6215+43+(2)(3)10

Ejercicio16.5.53

(2+1)3+23+1362152[2(5)]2552

Ejercicio16.5.54

63210222+18(23+72)2(19)33

Responder

107011o97.27

Ejercicios para revisión

Ejercicio16.5.55

Usa la notación algebraica para escribir la sentencia “un número dividido por ocho, más cinco, es igual a diez”.

Ejercicio16.5.56

Dibuja una línea numérica que se extienda de −5 a 5 y coloque puntos en todos los números reales que sean estrictamente mayores que −3 pero menores o iguales a 2.

Responder

clipboard_efe9b717158f5efe402d1ea75b9fc0430.png

Ejercicio16.5.57

¿Cada entero es un número entero?

Ejercicio16.5.58

Utilice la propiedad conmutativa de la multiplicación para escribir un número igual al númeroyx.

Responder

xy

Ejercicio16.5.59

Utilice la propiedad distributiva para expandir3(x+6).


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