16.5: Exponentes
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Visión general
- Notación exponencial
- Lectura de Notación Exponencial
- El orden de operaciones
Notación exponencial
En la Sección 2.4 se nos recordó que la multiplicación es una descripción para la adición repetida. Una pregunta natural es “¿Existe una descripción para la multiplicación repetida?” La respuesta es sí. La notación que describe la multiplicación repetida es la notación exponencial.
Factores
En la multiplicación, los números que se multiplican entre sí se denominan factores. En multiplicación repetida, todos los factores son iguales. En la multiplicación no repetida, ninguno de los factores es el mismo. Por ejemplo,
18⋅18⋅18⋅18Multiplicación repetida de 18. Los cuatro factores, 18 son iguales.
x⋅x⋅x⋅x⋅xMultiplicación repetida dex. Los cinco factoresx,, son iguales.
3⋅7⋅aMultiplicación no repetida. Ninguno de los factores es el mismo.
La notación exponencial se utiliza para mostrar multiplicación repetida del mismo factor. La notación consiste en utilizar un superíndice sobre el factor que se repite. Al superíndice se le llama exponente.
Notación exponencial Six es cualquier número real yn es un número natural, entonces
xn=x⋅x⋅x⋅…⋅x⏟n factors of x
Un exponente registra el número de factores idénticos en la multiplicación.
Tenga en cuenta que la definición de notación exponencial solo tiene significado para exponentes numéricos naturales. Ampliaremos esta notación para incluir otros números como exponentes posteriormente.
Conjunto de Muestras A
7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7=76
El factor repetido es 7. El exponente 6 registra el hecho de que 7 aparece 6 veces en la multiplicación.
x⋅x⋅x⋅x=x4
El factor repetido esx. El exponente 4 registra el hecho quex aparece 4 veces en la multiplicación.
(2y)(2y)(2y)=(2y)3
El factor repetido es2y. El exponente 3 registra el hecho de que el factor2y aparece 3 veces en la multiplicación.
2yyy=2y3
El factor repetido esy. El exponente 3 registra el hecho de que el factory aparece 3 veces en la multiplicación.
(a+b)(a+b)(a−b)(a−b)(a−b)=(a+b)2(a−b)3
Los factores repetidos son(a+b) y(a−b),(a+b) apareciendo 2 veces y(a−b) apareciendo 3 veces.
Conjunto de práctica A
Escribe cada uno de los siguientes usando exponentes.
Problema de práctica16.5.1
a⋅a⋅a⋅a
- Contestar
-
a4
Problema de práctica16.5.2
(3b)(3b)(5c)(5c)(5c)(5c)
- Contestar
-
(3b)2(5c)4
Problema de práctica16.5.3
2⋅2⋅7⋅7⋅7⋅(a−4)(a−4)
- Contestar
-
22⋅73(a−4)2
Problema de práctica16.5.4
8xxxyzzzzz
- Contestar
-
8x3yz5
Conjunto de Muestras B
8x3significa8⋅xxx y no8x8x8x. El exponente3 aplica sólo al factorx ya que es sólo al factorx que el3 está conectado.
(8x)3significa(8x)(8x)(8x) ya que los paréntesis indican que el exponente3 está directamente conectado al factor8x. Recuerde que los símbolos de agrupación () indican que las cantidades en su interior deben considerarse como un solo número.
34(a+1)2significa34⋅(a+1)(a+1) ya que el exponente2 se aplica únicamente al factor(a+1).
Set de práctica B
Escribe cada uno de los siguientes sin exponentes.
Problema de práctica16.5.5
4a3
- Contestar
-
4aaa
Problema de práctica16.5.6
(4a)3
- Contestar
-
(4a)(4a)(4a)
Conjunto de Muestras C
Seleccione un número para mostrar que(2x)2 no siempre sea igual a2x2.
Supongamosx que elegimos ser 5. Considere ambos(2x)2 y2x2.
\ (
\ begin {array} {ll}
(2 x) ^ {2} & 2 x^ {2}\\
(2\ cdot 5) ^ {2} & 2\ cdot 5^ {2}\
(10) ^ {2} & 2\ cdot 25\\
100 &\ neq 50
\ end {array}
\)
Observe que (2x)2=2x2sólo cuandox=0.
Set de práctica C
Problema de práctica16.5.7
Seleccione un número para mostrar que(5x)2 no siempre sea igual a5x2
- Responder
-
Seleccionex=3. Entonces(5⋅3)2=(15)2=225, pero5⋅32=5⋅9=45. 225≠45
Lectura de Notación Exponencial
ln(xn)
Base
x es la base.
El exponente
n es el exponente.
Poder
El número representado porxn se llama poder.
xaln th Poder
El términoxn se lee como "xaln th poder”, o más simplemente como "xaln th.”
xCuadrados yx Cubicados
El símbolo a menudox2 se lee como "xcuadrado”, y a menudox3 se lee como "enx cubos”. Una pregunta natural es “¿Por qué aparecen términos geométricos en la expresión exponente?” La respuesta parax3 es esta:x3 mediosx⋅x⋅x. En geometría, el volumen de una caja rectangular se encuentra multiplicando el largo por el ancho por la profundidad. Un cubo tiene la misma longitud en cada lado. Si representamos esta longitud por la letrax entonces el volumen del cubo esx⋅x⋅x, que, por supuesto, es descrito porx3. (¿Se te ocurre por quéx2 se lee comox cuadrado?)
Cubo con
largo =x
ancho =x
profundidad =x
Volumen =xxx =x3
El orden de operaciones
En la Sección 4.2 nos presentaron el orden de operaciones. Se señaló que insertaríamos otra operación antes de la multiplicación y división. Ya podemos hacer eso.
- Realice todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación comenzando con el conjunto más interno.
- Realiza todas las operaciones exponenciales a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
- Realiza todas las multiplicaciones y divisiones a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
- Realiza todas las adiciones y restas a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
Conjunto de Muestras D
Utilice el orden de las operaciones para simplificar cada una de las siguientes.
22+5=4+5=9
52+32+10=25+9+10=44
\ (
\ begin {alineado}
2^ {2} + (5) (8) -1 &=4+ (5) (8) -1\\
&=4+40-1\\
&=43
\ end {alineado}
\)
\ (
\ begin {alineado}
7\ cdot 6-4^ {2} +1^ {5} &=7\ cdot 6-16+1\\
&=42-16+1\\
&=27
\ end {alineado}
\)
\ (
\ begin {alineado}
(2+3) ^ {3} +7^ {2} -3 (4+1) ^ {2} & =( 5) ^ {3} +7^ {2} -3 (5) ^ {2}\
&=125+49-3 (25)\\
&=125+49-75
\ end {alineado}
\)
\ (
\ begin {alineado}
\ izquierda [4 (6+2) ^ {3}\ derecha] ^ {2} &=\ izquierda [4 (8) ^ {3}\ derecha] ^ {2}\\
&= [4 (512)] ^ {2}\\
&= [2048] ^ {2}\\
&=4.194.304
\ end {alineado}
\)
\ (
\ begin {alineado}
6\ izquierda (3^ {2} +2^ {2}\ derecha) +4^ {2} &=6 (9+4) +4^ {2}\\
&=6 (13) +4^ {2}\\
&=6 (13) +16\\
&=78+16\\
&=94
\ end {alineado}
\)
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {6^ {2} +2^ {2}} {4^ {2} +6\ cdot 2^ {2}} +\ dfrac {1^ {3} +8^ {2}} {10^ {2} - (19) (5)} &=\ dfrac {36+4} {16+6\ cdot 4} +\ dfrac {1+64} {100-95}\
&=\ dfrac {36+4} {16+24} +\ dfrac {1+64} {100-95}\\
&=\ dfrac {40} {40} +\ dfrac {65} {5}\\
&=1+13\\
&=14
\ end {alineado}
\)
Set de Práctica D
Utilice el orden de operaciones para simplificar lo siguiente.
Problema de práctica16.5.8
32+4⋅5
- Responder
-
29
Problema de práctica16.5.9
23+33−8⋅4
- Responder
-
3
Problema de práctica16.5.10
14+(22+4)2÷23
- Responder
-
9
Problema de práctica16.5.11
[6(10−23)]2−102−62
- Responder
-
8
Problema de práctica16.5.12
52+62−101+42+04−0572−6⋅23
- Responder
-
3
Ejercicios
Para los siguientes problemas, escriba cada una de las cantidades usando notación exponencial.
Ejercicio16.5.1
bal cuarto
- Responder
-
b4
Ejercicio16.5.2
aal cuadrado
Ejercicio16.5.3
xa la octava
- Responder
-
x8
Ejercicio16.5.4
(−3)en cubos
Ejercicio16.5.5
5tiemposs al cuadrado
- Responder
-
5s2
Ejercicio16.5.6
3tiempos cuadradosy a la quinta
Ejercicio16.5.7
acubicado menos(b+7) cuadrado
- Responder
-
a3−(b+7)2
Ejercicio16.5.8
(21−x)cubos másx+5 al séptimo
Ejercicio16.5.9
xxxxx
- Responder
-
x5
Ejercicio16.5.10
(8)(8)xxxx
Ejercicio16.5.11
2⋅3⋅3⋅3⋅3xxyyyyy
- Responder
-
2(34)x2y5
Ejercicio16.5.12
2⋅2⋅5⋅6⋅6⋅6xyyzzzwwww
Ejercicio16.5.13
7xx(a+8)(a+8)
- Responder
-
7x2(a+8)2
Ejercicio16.5.14
10xyy(c+5)(c+5)(c+5)
Ejercicio16.5.15
4x4x4x4x4x
- Responder
-
(4x)5o45x5
Ejercicio16.5.16
(9a)(9a)(9a)(9a)
Ejercicio16.5.17
(−7)(−7)(−7)aabbba(−7)baab
- Responder
-
(−7)4a5b5
Ejercicio16.5.18
(a−10)(a−10)(a+10)
Ejercicio16.5.19
(z+w)(z+w)(z+w)(z−w)(z−w)
- Responder
-
(z+w)3(z−w)2
Ejercicio16.5.20
(2y)(2y)2y2y
Ejercicio16.5.21
3xyxxy−(x+1)(x+1)(x+1)
- Responder
-
3x3y2−(x+1)3
Para los siguientes problemas, ampliar las cantidades para que no aparezcan exponentes.
Ejercicio16.5.22
43
Ejercicio16.5.23
62
- Responder
-
6⋅6
Ejercicio16.5.24
73y2
Ejercicio16.5.25
8x3y2
- Responder
-
8⋅x⋅x⋅x⋅y⋅y
Ejercicio16.5.26
(18x2y4)2
Ejercicio16.5.27
(9a3b2)3
- Responder
-
(9aaabb)(9aaabb)(9aaabb)o9⋅9⋅9aaaaaaaaabbbbbb
Ejercicio16.5.28
5x2(2y3)3
Ejercicio16.5.29
10a3b2(3c)2
- Responder
-
10aaabb(3c)(3c)o10⋅3⋅3aaabbcc
Ejercicio16.5.30
(a+10)2(a2+10)2
Ejercicio16.5.31
(x2−y2)(x2+y2)
- Responder
-
(xx−yy)(xx+yy)
Para los siguientes problemas, seleccione un número (o números) para mostrar que
Ejercicio16.5.32
(5x)2generalmente no es igual a5x2.
Ejercicio16.5.33
(7x)2no es generalmente igual a7x2
- Responder
-
Seleccionex=2. Entonces,196≠28
Ejercicio16.5.34
(a+b)2no es generalmente igual aa2+b2
Ejercicio16.5.35
Por lo que el número real es(6a)2 igual a6a2
- Responder
-
0
Ejercicio16.5.36
Por lo que los números reales,a yb, es(a+b)2 igual aa2+b2.
Utilice el orden de operaciones para simplificar las cantidades para los siguientes problemas.
Ejercicio16.5.37
32+7
- Responder
-
16
Ejercicio16.5.38
43−18
Ejercicio16.5.39
52+2(40)
- Responder
-
105
Ejercicio16.5.40
82+3+5(2+7)
Ejercicio16.5.41
25+3(8+1)
- Responder
-
59
Ejercicio16.5.42
34+24(1+5)3
Ejercicio16.5.43
(62−42)÷5
- Responder
-
4
Ejercicio16.5.44
22(10−23)
Ejercicio16.5.45
(34−43)÷17
- Responder
-
1
Ejercicio16.5.46
(4+3)2+1÷(2⋅5
Ejercicio16.5.47
(24+25−23⋅5)2÷42
- Responder
-
4
Ejercicio16.5.48
16+08+52(2+8)3
Ejercicio16.5.49
(7)(16)−92+4(11+32)
- Responder
-
71
Ejercicio16.5.50
23−752
Ejercicio16.5.51
(1+6)2+219
- Responder
-
5119
Ejercicio16.5.52
62−15+43+(2)(3)10
Ejercicio16.5.53
(2+1)3+23+1362−152−[2(5)]25⋅52
Ejercicio16.5.54
63−2⋅10222+18(23+72)2(19)−33
- Responder
-
107011o97.27
Ejercicios para revisión
Ejercicio16.5.55
Usa la notación algebraica para escribir la sentencia “un número dividido por ocho, más cinco, es igual a diez”.
Ejercicio16.5.56
Dibuja una línea numérica que se extienda de −5 a 5 y coloque puntos en todos los números reales que sean estrictamente mayores que −3 pero menores o iguales a 2.
- Responder
-
Ejercicio16.5.57
¿Cada entero es un número entero?
Ejercicio16.5.58
Utilice la propiedad conmutativa de la multiplicación para escribir un número igual al númeroyx.
- Responder
-
xy
Ejercicio16.5.59
Utilice la propiedad distributiva para expandir3(x+6).