16.4: Propiedades de los números reales

Visión general

• Las propiedades de cierre
• Las propiedades conmutativas
• Las propiedades asociativas
• Las propiedades distributivas
• Las propiedades de identidad
• Las propiedades inversas

Propiedad

Una propiedad de una colección de objetos es una característica que describe la colección. A continuación examinaremos algunas de las propiedades de la colección de números reales. Las propiedades que examinaremos se expresan en términos de suma y multiplicación.

Las propiedades de cierre

Las propiedades de cierre

Si$a$ y$b$ son números reales, entonces$a + b$ es un número real único, y$a \cdot b$ es un número real único.

Por ejemplo, 3 y 11 son números reales;$3 + 11 = 14$ y$3 \cdot 11 = 33$, y tanto 14 como 33 son números reales. Si bien esta propiedad parece obvia, algunas cobranzas no se cierran bajo ciertas operaciones. Por ejemplo,

- Los números reales no se cierran bajo división ya que, aunque 5 y 0 son números reales,$5/0$ y no$0/0$ son números reales.

- Los números naturales no se cierran bajo resta ya que, aunque 8 es un número natural, no lo$8 - 8$ es. ($8 - 8 = 0$y 0 no es un número natural).

Las propiedades conmutativas

Dejar$a$ y$b$ representar números reales.

Las propiedades conmutativas

Propiedad Conmutativa de Adición:

$a + b = b + a$

Propiedad conmutativa de la multiplicación:

$a \cdot b = b \cdot a$

Las propiedades conmutativas nos indican que se pueden sumar o multiplicar dos números en cualquier orden sin afectar el resultado.

Conjunto de Muestras A

Los siguientes son ejemplos de las propiedades conmutativas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$3 + 4 = 4 + 3$Ambos iguales 7

Ejemplo$\PageIndex{2}$

$5 + x = x + 5$Ambos representan la misma suma.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

$4 \cdot 8 = 8 \cdot 4$Ambos iguales 32

Ejemplo$\PageIndex{4}$

$y7 = 7y$Ambos representan el mismo producto

Ejemplo$\PageIndex{5}$

$5(a + 1) = (a + 1)5$Ambos representan el mismo producto

Ejemplo$\PageIndex{6}$

$(x+4)(y+2) = (y+2)(x+4)$Ambos representan el mismo producto

Conjunto de práctica A

Rellene el () con el número o letra correspondiente para que la declaración sea verdadera. Utilice las propiedades conmutativas.

Problema de práctica$\PageIndex{1}$

$6 + 5 + ( ) + 6$

Contestar

5

Problema de práctica$\PageIndex{2}$

$m + 12 = 12 + ( )$

Contestar

$m$

Problema de práctica$\PageIndex{3}$

$9 \cdot 7 = ( ) \cdot 9$

Contestar

7

Problema de práctica$\PageIndex{4}$

$6a = a( )$

Contestar

6

Problema de práctica$\PageIndex{5}$

$4(k - 5) = ( )4$

Contestar

$k - 5$

Problema de práctica$\PageIndex{6}$

$(9a - 1)( ) = (2b + 7)(9a - 1)$

Contestar

$2b + 7$

Las propiedades asociativas

Dejar$a$,$b$, y$c$ representar números reales.

Las propiedades asociativas

Propiedad Asociativa de Adición:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Propiedad asociativa de la multiplicación:

$(ab)c = a(bc)$

Las propiedades asociativas nos dicen que podemos agrupar las cantidades como nos plazca sin afectar el resultado.

Conjunto de Muestras B

Los siguientes ejemplos muestran cómo se pueden usar las propiedades asociativas.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

$(2 + 6) + 1 = 2 + (6 + 1)$

$8 + 1 = 2 + 7$

$9 = 9$

Ambos iguales 9

Ejemplo$\PageIndex{8}$

$(3 + x) + 17 = 3 + (x + 17)$

Ambos representan la misma suma.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

$(2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5)$

$6 \cdot 5 = 2 \cdot 15$

$30 = 30$

Ambos equivalen a 30

Ejemplo$\PageIndex{10}$

$(y)4 = 9(y4)$

Ambos representan el mismo producto.

Set de práctica B

Rellena el () para que cada enunciado sea verdadero. Utilice las propiedades asociativas.

Problema de práctica$\PageIndex{7}$

$(9 + 2) + 5 = 9 + ( )$

Solución

$2 + 5$

Problema de práctica$\PageIndex{8}$

$x + (5 + y) = ( ) + y$

Solución

$x + 5$

Problema de práctica$\PageIndex{9}$

$(11a)6 = 11( )$

Solución

$a \cdot 6$

Problema de práctica$\PageIndex{10}$

$[(7m - 2)(m + 3)](m + 4) = (7m - 2)[( ) ( )]$

Solución

$(m + 3)(m + 4)$

Conjunto de Muestras C

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Simplificar (reorganizar en una forma más simple):$5x6b8ac4$.

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos hacer una serie de interruptores consecutivos y juntar todos los números y todas las letras juntas.

$5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 4 \cdot x \cdot b \cdot a \cdot c$

$960xbac$Multiplique los números.

$960abcx$Por convención, cuando sea posible, escribiremos todas las letras en orden alfabético.

Set de práctica C

Simplifica cada una de las siguientes cantidades.

Problema de práctica$\PageIndex{11}$

$3a7y9d$

Solución

$189ady$

Problema de práctica$\PageIndex{12}$

$6b8acz4\cdot5$

Solución

$960abcz$

Problema de práctica$\PageIndex{13}$

$4p6qr3(a + b)$

Solución

$72pqr(a + b)$

Las propiedades distributivas

Cuando nos introdujeron por primera vez a la multiplicación vimos que se desarrolló como una descripción para la adición repetida.

$4 + 4 + 4 = 3 \cdot 4$

Observe que hay tres 4's, es decir, 4 aparece 3 veces. De ahí, 3 veces 4.
Sabemos que el álgebra es aritmética generalizada. Ahora podemos hacer una generalización importante.

Cuando$a$ se agrega un número varias$n$ veces, tenemos:

$\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{a \text { appears } n \text { times }}$

Luego, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, podemos reemplazar:

$\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{n \text { times }}$con$na$

Por ejemplo:

$x + x + x + x$se puede escribir como$4x$ ya que$x$ se repite$4$ tiempos añadidos.

$x + x + x + x = 4x$

$r + r$se puede escribir como$2r$ ya que$r$ se agrega repetidamente$2$ veces.

$r + r = 2r$

La propiedad distributiva implicó tanto la multiplicación como la suma. Vamos a reescribir$4(a + b)$. Se procede leyendo$4(a + b)$ como multiplicación: 4 veces la cantidad$(a + b)$. Esto nos dirige a escribir:

$
\ comenzar {alineado}
4 (a+b) & =( a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b)\\
&=a+b+a+b+a+b+a+b
\ final {alineado}
\]

Ahora usamos la propiedad conmutativa de adición para recolectar todos los$a$ 's juntos y todos los$b$' s juntos.

$
4 (a+b) =\ underbrackets {a+a+a+a} _ {4 a^ {\ prime} s} +\ underbrackets {b+b+b+b} _ {4 b^ {\ prime} s}
$
Ahora, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, tenemos
$
4 (a+b) =4 a+4 b
$
Hemos distribuido los 4 sobre la suma a ambos$a$ y$b$
$4(a+b)=4a+4b$

La propiedad distributiva

$a(b + c) = a\cdot b + a \cdot c$

$(b + c)a = a \cdot b + a \cdot c$

La propiedad distributiva es útil cuando no podemos o no deseamos realizar operaciones entre paréntesis.

Conjunto de Muestras D

Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.

Ejemplo$\PageIndex{12}$

$2(5+7)=2 \cdot 5+2 \cdot 7 \quad \text { Both equal } 24$

Ejemplo$\PageIndex{13}$

$6(x + 3) = 6 \cdot x + 6 \cdot 3$Ambos representan el mismo número.

=$6x + 18$

Ejemplo$\PageIndex{14}$

$(z + 5)y = zy + 5y = yz + 5y$

Set de Práctica D

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Qué propiedad de números reales justifica:

$a(b + c) = (b + c)a$?

Contestar

la propiedad conmutativa de la multiplicación

Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$3(2 + 1)$

Contestar

6 + 3

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$(x+6)7$

Contestar

$7x + 42$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$4(a + y)$

Contestar

$4a + 4y$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$(9 + 2)a$

Contestar

$9a + 2a$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$a(x + 5)$

Contestar

$ax + 5a$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$1(x + y)$

Contestar

$x + y$

Las propiedades de identidad

Identidad Aditiva

Al número 0 se le llama identidad aditiva ya que cuando se agrega a cualquier número real, conserva la identidad de ese número. El cero es la única identidad aditiva.
Por ejemplo,$6 + 0 = 6$

Identidad Multiplicativa

Al número 1 se le llama la identidad multiplicativa ya que cuando multiplica cualquier número real, conserva la identidad de ese número. Una es la única identidad multiplicativa.
Por ejemplo$6 \cdot 1 = 6$.

Resumimos las propiedades de identidad de la siguiente manera:

Propiedad de identidad aditiva

Si$a$ es un número real, entonces:

$a + 0 = a$y$0 + a = a$

Propiedad de Identidad Multiplicativa

Si$a$ es un número real, entonces:

$a \cdot 1 = a$y$1 \cdot a = a$

Las propiedades inversas

Inversos Aditivos

Cuando se suman dos números y el resultado es la identidad aditiva, 0, los números se denominan inversos aditivos entre sí. Por ejemplo, cuando se agrega 3 a −3 el resultado es 0, es decir,$3+(−3)=0$. Los números 3 y −3 son inversos aditivos entre sí.

Inversaciones multiplicativas

Cuando dos números se multiplican juntos y el resultado es la identidad multiplicativa, 1, los números se denominan inversos multiplicativos entre sí. Por ejemplo, cuando$6$ y$\dfrac{1}{6}$ se multiplican juntos, el resultado es 1, es decir,$6 \cdot 16 = 1$. Los números 6 y$\dfrac{1}{6}$ son inversos multiplicativos entre sí.

Resumimos las propiedades inversas de la siguiente manera:

Las propiedades inversas:

1. Si$a$ hay algún número real, entonces hay un número real único$-a$, tal que
$a + (-a) = 0$ y$-a + a = 0$
Los números$a$ y$-a$ se llaman inversos aditivos entre sí.

2. Si$a$ hay algún número real distinto de cero, entonces hay un número real único$\dfrac{1}{a}$ tal que
$a \cdot \dfrac{1}{a} = 1$ y$\dfrac{1}{a} \cdot a = 1$.
Los números$a$ y$\dfrac{1}{a}$ se llaman inversos multiplicativos entre sí.

Cantidades en expansión:

Cuando realizamos operaciones como$6(a + 3) = 6a + 18$, decimos que estamos ampliando la cantidad$6(a + 3)$.

Ejercicios

Utilice la propiedad conmutativa de suma y multiplicación para escribir expresiones para un número igual para los siguientes problemas. No es necesario realizar ningún cálculo.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$x + 3$

Contestar

$3+x$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$5 + y$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$10x$

Contestar

$x10$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$18z$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$r6$

Contestar

$6r$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$ax$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$xc$

Contestar

$cx$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$7(2 + b)$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$6(s + 1)$

Contestar

$(s + 1)6$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$(8 + a)(x + 6)$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$(x + 16)(a + 7)$

Contestar

$(a + 7)(x + 16)$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$(x + y)(x - y)$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$0.06m$

Contestar

$m(0.06)$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$x + 3$

Contestar

$3+x$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$5(6h + 1)$

Contestar

$(6h + 1)5$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$m(a + 2b)$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$k(10a - b)$

Contestar

$(10a - b)k$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$(21c)(0.008)$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$(-16)(4)$

Contestar

$(4)(-16)$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$(5)(b - 6)$

Simplificar el uso de la propiedad conmutativa de la multiplicación para los siguientes problemas. No es necesario utilizar la propiedad distributiva.

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$9x2y$

Contestar

$18xy$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$5a6b$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$2a3b4c$

Contestar

$24abc$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$5x10y5z$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$1u3r2z5m1n$

Contestar

$30mnruz$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$6d4e1f2(g + 2h)$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$(\dfrac{1}{2})d(\dfrac{1}{4})e(\dfrac{1}{2})a$

Contestar

$\dfrac{1}{16}ade$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

$3(a + 6)2(a - 9)6b$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

$1(x + 2y)(6 + z)9(3x + 5y)$

Contestar

$9(x + 2y)(6 + z)(3x + 5y)$

Para los siguientes problemas, utilice la propiedad distributiva para ampliar las cantidades.

Ejercicio$\PageIndex{30}$

$2(y + 9)$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

$b(r + 5)$

Contestar

$br + 5b$

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$m(u + a)$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

$k(j + 1)$

Contestar

$jk + k$

Ejercicio$\PageIndex{34}$

$x(2y + 5)$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

$z(x + 9w)$

Contestar

$xz + 9wz$

Ejercicio$\PageIndex{36}$

$(1 + d)e$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

$(8 + 2f)g$

Contestar

$8g + 2fg$

Ejercicio$\PageIndex{38}$

$c(2a + 10b)$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

$15x(2y + 3z)$

Contestar

$30xy + 45xz$

Ejercicio$\PageIndex{40}$

$8y(12a + b)$

Ejercicio$\PageIndex{41}$

$z(x + y + m)$

Contestar

$xz + yz + mz$

Ejercicio$\PageIndex{42}$

$(a + 6)(x + y)$

Ejercicio$\PageIndex{43}$

$(x + 10)(a + b + c)$

Contestar

$zx + bx + cx + 10a + 10b + 10c$

Ejercicio$\PageIndex{44}$

$1(x + y)$

Ejercicio$\PageIndex{45}$

$1(a + 16)$

Contestar

$a + 16$

Ejercicio$\PageIndex{46}$

$0.48(0.34a + 0.61)$

Ejercicio$\PageIndex{47}$

$21.5(16.2a + 3.8b + 0.7c)$

Contestar

$348.3a + 81.7b + 15.05c$

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$\PageIndex{48}$

Encuentra el valor de$4 \cdot 2 + 5(2 \cdot 4 - 6 \div 3) - 2 \cdot 5$.

Ejercicio$\PageIndex{49}$

¿La afirmación es$3(5 \cdot 3 - 3 \cdot 5) + 6 \cdot 2 - 3 \cdot 4 < 0$ verdadera o falsa?

Responder

false

Ejercicio$\PageIndex{50}$

Dibuja una línea numérica que se extienda desde$-2$$2$ y coloque puntos en todos los números enteros entre e incluyendo$-2$ y$3$.

Ejercicio$\PageIndex{51}$

Reemplazar el$*$ por el símbolo de relación apropiado$(<,>)$. $-7 * -3$.

Responder

$<$

Ejercicio$\PageIndex{52}$

¿Qué números enteros pueden reemplazar$x$ para que la afirmación$-2 \le x < 2$ sea verdadera?