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16.4: Propiedades de los números reales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Visión general

  • Las propiedades de cierre
  • Las propiedades conmutativas
  • Las propiedades asociativas
  • Las propiedades distributivas
  • Las propiedades de identidad
  • Las propiedades inversas
Propiedad

Una propiedad de una colección de objetos es una característica que describe la colección. A continuación examinaremos algunas de las propiedades de la colección de números reales. Las propiedades que examinaremos se expresan en términos de suma y multiplicación.

Las propiedades de cierre

Las propiedades de cierre

Sia yb son números reales, entoncesa+b es un número real único, yab es un número real único.

Por ejemplo, 3 y 11 son números reales;3+11=14 y311=33, y tanto 14 como 33 son números reales. Si bien esta propiedad parece obvia, algunas cobranzas no se cierran bajo ciertas operaciones. Por ejemplo,

- Los números reales no se cierran bajo división ya que, aunque 5 y 0 son números reales,5/0 y no0/0 son números reales.

- Los números naturales no se cierran bajo resta ya que, aunque 8 es un número natural, no lo88 es. (88=0y 0 no es un número natural).

Las propiedades conmutativas

Dejara yb representar números reales.

Las propiedades conmutativas

Propiedad Conmutativa de Adición:

a+b=b+a

Propiedad conmutativa de la multiplicación:

ab=ba

Las propiedades conmutativas nos indican que se pueden sumar o multiplicar dos números en cualquier orden sin afectar el resultado.

Conjunto de Muestras A

Los siguientes son ejemplos de las propiedades conmutativas.

Ejemplo16.4.1

3+4=4+3Ambos iguales 7

Ejemplo16.4.2

5+x=x+5Ambos representan la misma suma.

Ejemplo16.4.3

48=84Ambos iguales 32

Ejemplo16.4.4

y7=7yAmbos representan el mismo producto

Ejemplo16.4.5

5(a+1)=(a+1)5Ambos representan el mismo producto

Ejemplo16.4.6

(x+4)(y+2)=(y+2)(x+4)Ambos representan el mismo producto

Conjunto de práctica A

Rellene el () con el número o letra correspondiente para que la declaración sea verdadera. Utilice las propiedades conmutativas.

Problema de práctica16.4.1

6+5+()+6

Contestar

5

Problema de práctica16.4.2

m+12=12+()

Contestar

m

Problema de práctica16.4.3

97=()9

Contestar

7

Problema de práctica16.4.4

6a=a()

Contestar

6

Problema de práctica16.4.5

4(k5)=()4

Contestar

k5

Problema de práctica16.4.6

(9a1)()=(2b+7)(9a1)

Contestar

2b+7

Las propiedades asociativas

Dejara,b, yc representar números reales.

Las propiedades asociativas

Propiedad Asociativa de Adición:

(a+b)+c=a+(b+c)

Propiedad asociativa de la multiplicación:

(ab)c=a(bc)

Las propiedades asociativas nos dicen que podemos agrupar las cantidades como nos plazca sin afectar el resultado.

Conjunto de Muestras B

Los siguientes ejemplos muestran cómo se pueden usar las propiedades asociativas.

Ejemplo16.4.7

(2+6)+1=2+(6+1)

8+1=2+7

9=9

Ambos iguales 9

Ejemplo16.4.8

(3+x)+17=3+(x+17)

Ambos representan la misma suma.

Ejemplo16.4.9

(23)5=2(35)

65=215

30=30

Ambos equivalen a 30

Ejemplo16.4.10

(y)4=9(y4)

Ambos representan el mismo producto.

Set de práctica B

Rellena el () para que cada enunciado sea verdadero. Utilice las propiedades asociativas.

Problema de práctica16.4.7

(9+2)+5=9+()

Solución

2+5

Problema de práctica16.4.8

x+(5+y)=()+y

Solución

x+5

Problema de práctica16.4.9

(11a)6=11()

Solución

a6

Problema de práctica16.4.10

[(7m2)(m+3)](m+4)=(7m2)[()()]

Solución

(m+3)(m+4)

Conjunto de Muestras C

Ejemplo16.4.11

Simplificar (reorganizar en una forma más simple):5x6b8ac4.

De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos hacer una serie de interruptores consecutivos y juntar todos los números y todas las letras juntas.

5684xbac

960xbacMultiplique los números.

960abcxPor convención, cuando sea posible, escribiremos todas las letras en orden alfabético.

Set de práctica C

Simplifica cada una de las siguientes cantidades.

Problema de práctica16.4.11

3a7y9d

Solución

189ady

Problema de práctica16.4.12

6b8acz45

Solución

960abcz

Problema de práctica16.4.13

4p6qr3(a+b)

Solución

72pqr(a+b)

Las propiedades distributivas

Cuando nos introdujeron por primera vez a la multiplicación vimos que se desarrolló como una descripción para la adición repetida.

4+4+4=34

Observe que hay tres 4's, es decir, 4 aparece 3 veces. De ahí, 3 veces 4.
Sabemos que el álgebra es aritmética generalizada. Ahora podemos hacer una generalización importante.

Cuandoa se agrega un número variasn veces, tenemos:

a+a+a++aa appears n times 

Luego, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, podemos reemplazar:

a+a+a++an times conna

Por ejemplo:

x+x+x+xse puede escribir como4x ya quex se repite4 tiempos añadidos.

x+x+x+x=4x

r+rse puede escribir como2r ya quer se agrega repetidamente2 veces.

r+r=2r

La propiedad distributiva implicó tanto la multiplicación como la suma. Vamos a reescribir4(a+b). Se procede leyendo4(a+b) como multiplicación: 4 veces la cantidad(a+b). Esto nos dirige a escribir:

$
\ comenzar {alineado}
4 (a+b) & =( a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b)\\
&=a+b+a+b+a+b+a+b
\ final {alineado}
\]

Ahora usamos la propiedad conmutativa de adición para recolectar todos losa 's juntos y todos losb' s juntos.

$
4 (a+b) =\ underbrackets {a+a+a+a} _ {4 a^ {\ prime} s} +\ underbrackets {b+b+b+b} _ {4 b^ {\ prime} s}
$
Ahora, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, tenemos
$
4 (a+b) =4 a+4 b
$
Hemos distribuido los 4 sobre la suma a ambosa yb
4(a+b)=4a+4b

La propiedad distributiva

a(b+c)=ab+ac

(b+c)a=ab+ac

La propiedad distributiva es útil cuando no podemos o no deseamos realizar operaciones entre paréntesis.

Conjunto de Muestras D

Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.

Ejemplo16.4.12

2(5+7)=25+27 Both equal 24

Ejemplo16.4.13

6(x+3)=6x+63Ambos representan el mismo número.

=6x+18

Ejemplo16.4.14

(z+5)y=zy+5y=yz+5y

Set de Práctica D

Ejercicio16.4.14

Qué propiedad de números reales justifica:

a(b+c)=(b+c)a?

Contestar

la propiedad conmutativa de la multiplicación

Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.

Ejercicio16.4.1

3(2+1)

Contestar

6 + 3

Ejercicio16.4.1

(x+6)7

Contestar

7x+42

Ejercicio16.4.1

4(a+y)

Contestar

4a+4y

Ejercicio16.4.1

(9+2)a

Contestar

9a+2a

Ejercicio16.4.1

a(x+5)

Contestar

ax+5a

Ejercicio16.4.1

1(x+y)

Contestar

x+y

Las propiedades de identidad

Identidad Aditiva

Al número 0 se le llama identidad aditiva ya que cuando se agrega a cualquier número real, conserva la identidad de ese número. El cero es la única identidad aditiva.
Por ejemplo,6+0=6

Identidad Multiplicativa

Al número 1 se le llama la identidad multiplicativa ya que cuando multiplica cualquier número real, conserva la identidad de ese número. Una es la única identidad multiplicativa.
Por ejemplo61=6.

Resumimos las propiedades de identidad de la siguiente manera:

Propiedad de identidad aditiva

Sia es un número real, entonces:

a+0=ay0+a=a

Propiedad de Identidad Multiplicativa

Sia es un número real, entonces:

a1=ay1a=a

Las propiedades inversas

Inversos Aditivos

Cuando se suman dos números y el resultado es la identidad aditiva, 0, los números se denominan inversos aditivos entre sí. Por ejemplo, cuando se agrega 3 a −3 el resultado es 0, es decir,3+(3)=0. Los números 3 y −3 son inversos aditivos entre sí.

Inversaciones multiplicativas

Cuando dos números se multiplican juntos y el resultado es la identidad multiplicativa, 1, los números se denominan inversos multiplicativos entre sí. Por ejemplo, cuando6 y16 se multiplican juntos, el resultado es 1, es decir,616=1. Los números 6 y16 son inversos multiplicativos entre sí.

Resumimos las propiedades inversas de la siguiente manera:

Las propiedades inversas:

1. Sia hay algún número real, entonces hay un número real únicoa, tal que
a+(a)=0 ya+a=0
Los númerosa ya se llaman inversos aditivos entre sí.

2. Sia hay algún número real distinto de cero, entonces hay un número real único1a tal que
a1a=1 y1aa=1.
Los númerosa y1a se llaman inversos multiplicativos entre sí.

Cantidades en expansión:

Cuando realizamos operaciones como6(a+3)=6a+18, decimos que estamos ampliando la cantidad6(a+3).

Ejercicios

Utilice la propiedad conmutativa de suma y multiplicación para escribir expresiones para un número igual para los siguientes problemas. No es necesario realizar ningún cálculo.

Ejercicio16.4.1

x+3

Contestar

3+x

Ejercicio16.4.2

5+y

Ejercicio16.4.3

10x

Contestar

x10

Ejercicio16.4.4

18z

Ejercicio16.4.5

r6

Contestar

6r

Ejercicio16.4.6

ax

Ejercicio16.4.7

xc

Contestar

cx

Ejercicio16.4.8

7(2+b)

Ejercicio16.4.9

6(s+1)

Contestar

(s+1)6

Ejercicio16.4.10

(8+a)(x+6)

Ejercicio16.4.11

(x+16)(a+7)

Contestar

(a+7)(x+16)

Ejercicio16.4.12

(x+y)(xy)

Ejercicio16.4.13

0.06m

Contestar

m(0.06)

Ejercicio16.4.14

x+3

Contestar

3+x

Ejercicio16.4.15

5(6h+1)

Contestar

(6h+1)5

Ejercicio16.4.16

m(a+2b)

Ejercicio16.4.17

k(10ab)

Contestar

(10ab)k

Ejercicio16.4.18

(21c)(0.008)

Ejercicio16.4.19

(16)(4)

Contestar

(4)(16)

Ejercicio16.4.20

(5)(b6)

Simplificar el uso de la propiedad conmutativa de la multiplicación para los siguientes problemas. No es necesario utilizar la propiedad distributiva.

Ejercicio16.4.21

9x2y

Contestar

18xy

Ejercicio16.4.22

5a6b

Ejercicio16.4.23

2a3b4c

Contestar

24abc

Ejercicio16.4.24

5x10y5z

Ejercicio16.4.25

1u3r2z5m1n

Contestar

30mnruz

Ejercicio16.4.26

6d4e1f2(g+2h)

Ejercicio16.4.27

(12)d(14)e(12)a

Contestar

116ade

Ejercicio16.4.28

3(a+6)2(a9)6b

Ejercicio16.4.29

1(x+2y)(6+z)9(3x+5y)

Contestar

9(x+2y)(6+z)(3x+5y)

Para los siguientes problemas, utilice la propiedad distributiva para ampliar las cantidades.

Ejercicio16.4.30

2(y+9)

Ejercicio16.4.31

b(r+5)

Contestar

br+5b

Ejercicio16.4.32

m(u+a)

Ejercicio16.4.33

k(j+1)

Contestar

jk+k

Ejercicio16.4.34

x(2y+5)

Ejercicio16.4.35

z(x+9w)

Contestar

xz+9wz

Ejercicio16.4.36

(1+d)e

Ejercicio16.4.37

(8+2f)g

Contestar

8g+2fg

Ejercicio16.4.38

c(2a+10b)

Ejercicio16.4.39

15x(2y+3z)

Contestar

30xy+45xz

Ejercicio16.4.40

8y(12a+b)

Ejercicio16.4.41

z(x+y+m)

Contestar

xz+yz+mz

Ejercicio16.4.42

(a+6)(x+y)

Ejercicio16.4.43

(x+10)(a+b+c)

Contestar

zx+bx+cx+10a+10b+10c

Ejercicio16.4.44

1(x+y)

Ejercicio16.4.45

1(a+16)

Contestar

a+16

Ejercicio16.4.46

0.48(0.34a+0.61)

Ejercicio16.4.47

21.5(16.2a+3.8b+0.7c)

Contestar

348.3a+81.7b+15.05c

Ejercicios para la revisión

Ejercicio16.4.48

Encuentra el valor de42+5(246÷3)25.

Ejercicio16.4.49

¿La afirmación es3(5335)+6234<0 verdadera o falsa?

Responder

false

Ejercicio16.4.50

Dibuja una línea numérica que se extienda desde22 y coloque puntos en todos los números enteros entre e incluyendo2 y3.

Ejercicio16.4.51

Reemplazar el por el símbolo de relación apropiado(<,>). 73.

Responder

<

Ejercicio16.4.52

¿Qué números enteros pueden reemplazarx para que la afirmación2x<2 sea verdadera?


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