16.4: Propiedades de los números reales
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Visión general
- Las propiedades de cierre
- Las propiedades conmutativas
- Las propiedades asociativas
- Las propiedades distributivas
- Las propiedades de identidad
- Las propiedades inversas
Una propiedad de una colección de objetos es una característica que describe la colección. A continuación examinaremos algunas de las propiedades de la colección de números reales. Las propiedades que examinaremos se expresan en términos de suma y multiplicación.
Las propiedades de cierre
Sia yb son números reales, entoncesa+b es un número real único, ya⋅b es un número real único.
Por ejemplo, 3 y 11 son números reales;3+11=14 y3⋅11=33, y tanto 14 como 33 son números reales. Si bien esta propiedad parece obvia, algunas cobranzas no se cierran bajo ciertas operaciones. Por ejemplo,
- Los números reales no se cierran bajo división ya que, aunque 5 y 0 son números reales,5/0 y no0/0 son números reales.
- Los números naturales no se cierran bajo resta ya que, aunque 8 es un número natural, no lo8−8 es. (8−8=0y 0 no es un número natural).
Las propiedades conmutativas
Dejara yb representar números reales.
Propiedad Conmutativa de Adición:
a+b=b+a
Propiedad conmutativa de la multiplicación:
a⋅b=b⋅a
Las propiedades conmutativas nos indican que se pueden sumar o multiplicar dos números en cualquier orden sin afectar el resultado.
Conjunto de Muestras A
Los siguientes son ejemplos de las propiedades conmutativas.
3+4=4+3Ambos iguales 7
5+x=x+5Ambos representan la misma suma.
4⋅8=8⋅4Ambos iguales 32
y7=7yAmbos representan el mismo producto
5(a+1)=(a+1)5Ambos representan el mismo producto
(x+4)(y+2)=(y+2)(x+4)Ambos representan el mismo producto
Conjunto de práctica A
Rellene el () con el número o letra correspondiente para que la declaración sea verdadera. Utilice las propiedades conmutativas.
Problema de práctica16.4.1
6+5+()+6
- Contestar
-
5
Problema de práctica16.4.2
m+12=12+()
- Contestar
-
m
Problema de práctica16.4.3
9⋅7=()⋅9
- Contestar
-
7
Problema de práctica16.4.4
6a=a()
- Contestar
-
6
Problema de práctica16.4.5
4(k−5)=()4
- Contestar
-
k−5
Problema de práctica16.4.6
(9a−1)()=(2b+7)(9a−1)
- Contestar
-
2b+7
Las propiedades asociativas
Dejara,b, yc representar números reales.
Propiedad Asociativa de Adición:
(a+b)+c=a+(b+c)
Propiedad asociativa de la multiplicación:
(ab)c=a(bc)
Las propiedades asociativas nos dicen que podemos agrupar las cantidades como nos plazca sin afectar el resultado.
Conjunto de Muestras B
Los siguientes ejemplos muestran cómo se pueden usar las propiedades asociativas.
Ejemplo16.4.7
(2+6)+1=2+(6+1)
8+1=2+7
9=9
Ambos iguales 9
(3+x)+17=3+(x+17)
Ambos representan la misma suma.
(2⋅3)⋅5=2⋅(3⋅5)
6⋅5=2⋅15
30=30
Ambos equivalen a 30
(y)4=9(y4)
Ambos representan el mismo producto.
Set de práctica B
Rellena el () para que cada enunciado sea verdadero. Utilice las propiedades asociativas.
(9+2)+5=9+()
Solución
2+5
x+(5+y)=()+y
Solución
x+5
(11a)6=11()
Solución
a⋅6
[(7m−2)(m+3)](m+4)=(7m−2)[()()]
Solución
(m+3)(m+4)
Conjunto de Muestras C
Simplificar (reorganizar en una forma más simple):5x6b8ac4.
De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos hacer una serie de interruptores consecutivos y juntar todos los números y todas las letras juntas.
5⋅6⋅8⋅4⋅x⋅b⋅a⋅c
960xbacMultiplique los números.
960abcxPor convención, cuando sea posible, escribiremos todas las letras en orden alfabético.
Set de práctica C
Simplifica cada una de las siguientes cantidades.
3a7y9d
Solución
189ady
6b8acz4⋅5
Solución
960abcz
4p6qr3(a+b)
Solución
72pqr(a+b)
Las propiedades distributivas
Cuando nos introdujeron por primera vez a la multiplicación vimos que se desarrolló como una descripción para la adición repetida.
4+4+4=3⋅4
Observe que hay tres 4's, es decir, 4 aparece 3 veces. De ahí, 3 veces 4.
Sabemos que el álgebra es aritmética generalizada. Ahora podemos hacer una generalización importante.
Cuandoa se agrega un número variasn veces, tenemos:
a+a+a+⋯+a⏟a appears n times
Luego, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, podemos reemplazar:
a+a+a+⋯+a⏟n times conna
Por ejemplo:
x+x+x+xse puede escribir como4x ya quex se repite4 tiempos añadidos.
x+x+x+x=4x
r+rse puede escribir como2r ya quer se agrega repetidamente2 veces.
r+r=2r
La propiedad distributiva implicó tanto la multiplicación como la suma. Vamos a reescribir4(a+b). Se procede leyendo4(a+b) como multiplicación: 4 veces la cantidad(a+b). Esto nos dirige a escribir:
$
\ comenzar {alineado}
4 (a+b) & =( a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b)\\
&=a+b+a+b+a+b+a+b
\ final {alineado}
\]
Ahora usamos la propiedad conmutativa de adición para recolectar todos losa 's juntos y todos losb' s juntos.
$
4 (a+b) =\ underbrackets {a+a+a+a} _ {4 a^ {\ prime} s} +\ underbrackets {b+b+b+b} _ {4 b^ {\ prime} s}
$
Ahora, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, tenemos
$
4 (a+b) =4 a+4 b
$
Hemos distribuido los 4 sobre la suma a ambosa yb
4(a+b)=4a+4b
a(b+c)=a⋅b+a⋅c
(b+c)a=a⋅b+a⋅c
La propiedad distributiva es útil cuando no podemos o no deseamos realizar operaciones entre paréntesis.
Conjunto de Muestras D
Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.
Ejemplo16.4.12
2(5+7)=2⋅5+2⋅7 Both equal 24
Ejemplo16.4.13
6(x+3)=6⋅x+6⋅3Ambos representan el mismo número.
=6x+18
Ejemplo16.4.14
(z+5)y=zy+5y=yz+5y
Set de Práctica D
Ejercicio16.4.14
Qué propiedad de números reales justifica:
a(b+c)=(b+c)a?
- Contestar
-
la propiedad conmutativa de la multiplicación
Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.
Ejercicio16.4.1
3(2+1)
- Contestar
-
6 + 3
Ejercicio16.4.1
(x+6)7
- Contestar
-
7x+42
Ejercicio16.4.1
4(a+y)
- Contestar
-
4a+4y
Ejercicio16.4.1
(9+2)a
- Contestar
-
9a+2a
Ejercicio16.4.1
a(x+5)
- Contestar
-
ax+5a
Ejercicio16.4.1
1(x+y)
- Contestar
-
x+y
Las propiedades de identidad
Identidad Aditiva
Al número 0 se le llama identidad aditiva ya que cuando se agrega a cualquier número real, conserva la identidad de ese número. El cero es la única identidad aditiva.
Por ejemplo,6+0=6
Identidad Multiplicativa
Al número 1 se le llama la identidad multiplicativa ya que cuando multiplica cualquier número real, conserva la identidad de ese número. Una es la única identidad multiplicativa.
Por ejemplo6⋅1=6.
Resumimos las propiedades de identidad de la siguiente manera:
Sia es un número real, entonces:
a+0=ay0+a=a
Sia es un número real, entonces:
a⋅1=ay1⋅a=a
Las propiedades inversas
Inversos Aditivos
Cuando se suman dos números y el resultado es la identidad aditiva, 0, los números se denominan inversos aditivos entre sí. Por ejemplo, cuando se agrega 3 a −3 el resultado es 0, es decir,3+(−3)=0. Los números 3 y −3 son inversos aditivos entre sí.
Inversaciones multiplicativas
Cuando dos números se multiplican juntos y el resultado es la identidad multiplicativa, 1, los números se denominan inversos multiplicativos entre sí. Por ejemplo, cuando6 y16 se multiplican juntos, el resultado es 1, es decir,6⋅16=1. Los números 6 y16 son inversos multiplicativos entre sí.
Resumimos las propiedades inversas de la siguiente manera:
Las propiedades inversas:
1. Sia hay algún número real, entonces hay un número real único−a, tal que
a+(−a)=0 y−a+a=0
Los númerosa y−a se llaman inversos aditivos entre sí.
2. Sia hay algún número real distinto de cero, entonces hay un número real único1a tal que
a⋅1a=1 y1a⋅a=1.
Los númerosa y1a se llaman inversos multiplicativos entre sí.
Cantidades en expansión:
Cuando realizamos operaciones como6(a+3)=6a+18, decimos que estamos ampliando la cantidad6(a+3).
Ejercicios
Utilice la propiedad conmutativa de suma y multiplicación para escribir expresiones para un número igual para los siguientes problemas. No es necesario realizar ningún cálculo.
Ejercicio16.4.1
x+3
- Contestar
-
3+x
Ejercicio16.4.2
5+y
Ejercicio16.4.3
10x
- Contestar
-
x10
Ejercicio16.4.4
18z
Ejercicio16.4.5
r6
- Contestar
-
6r
Ejercicio16.4.6
ax
Ejercicio16.4.7
xc
- Contestar
-
cx
Ejercicio16.4.8
7(2+b)
Ejercicio16.4.9
6(s+1)
- Contestar
-
(s+1)6
Ejercicio16.4.10
(8+a)(x+6)
Ejercicio16.4.11
(x+16)(a+7)
- Contestar
-
(a+7)(x+16)
Ejercicio16.4.12
(x+y)(x−y)
Ejercicio16.4.13
0.06m
- Contestar
-
m(0.06)
Ejercicio16.4.14
x+3
- Contestar
-
3+x
Ejercicio16.4.15
5(6h+1)
- Contestar
-
(6h+1)5
Ejercicio16.4.16
m(a+2b)
Ejercicio16.4.17
k(10a−b)
- Contestar
-
(10a−b)k
Ejercicio16.4.18
(21c)(0.008)
Ejercicio16.4.19
(−16)(4)
- Contestar
-
(4)(−16)
Ejercicio16.4.20
(5)(b−6)
Simplificar el uso de la propiedad conmutativa de la multiplicación para los siguientes problemas. No es necesario utilizar la propiedad distributiva.
Ejercicio16.4.21
9x2y
- Contestar
-
18xy
Ejercicio16.4.22
5a6b
Ejercicio16.4.23
2a3b4c
- Contestar
-
24abc
Ejercicio16.4.24
5x10y5z
Ejercicio16.4.25
1u3r2z5m1n
- Contestar
-
30mnruz
Ejercicio16.4.26
6d4e1f2(g+2h)
Ejercicio16.4.27
(12)d(14)e(12)a
- Contestar
-
116ade
Ejercicio16.4.28
3(a+6)2(a−9)6b
Ejercicio16.4.29
1(x+2y)(6+z)9(3x+5y)
- Contestar
-
9(x+2y)(6+z)(3x+5y)
Para los siguientes problemas, utilice la propiedad distributiva para ampliar las cantidades.
Ejercicio16.4.30
2(y+9)
Ejercicio16.4.31
b(r+5)
- Contestar
-
br+5b
Ejercicio16.4.32
m(u+a)
Ejercicio16.4.33
k(j+1)
- Contestar
-
jk+k
Ejercicio16.4.34
x(2y+5)
Ejercicio16.4.35
z(x+9w)
- Contestar
-
xz+9wz
Ejercicio16.4.36
(1+d)e
Ejercicio16.4.37
(8+2f)g
- Contestar
-
8g+2fg
Ejercicio16.4.38
c(2a+10b)
Ejercicio16.4.39
15x(2y+3z)
- Contestar
-
30xy+45xz
Ejercicio16.4.40
8y(12a+b)
Ejercicio16.4.41
z(x+y+m)
- Contestar
-
xz+yz+mz
Ejercicio16.4.42
(a+6)(x+y)
Ejercicio16.4.43
(x+10)(a+b+c)
- Contestar
-
zx+bx+cx+10a+10b+10c
Ejercicio16.4.44
1(x+y)
Ejercicio16.4.45
1(a+16)
- Contestar
-
a+16
Ejercicio16.4.46
0.48(0.34a+0.61)
Ejercicio16.4.47
21.5(16.2a+3.8b+0.7c)
- Contestar
-
348.3a+81.7b+15.05c
Ejercicios para la revisión
Ejercicio16.4.48
Encuentra el valor de4⋅2+5(2⋅4−6÷3)−2⋅5.
Ejercicio16.4.49
¿La afirmación es3(5⋅3−3⋅5)+6⋅2−3⋅4<0 verdadera o falsa?
- Responder
-
false
Ejercicio16.4.50
Dibuja una línea numérica que se extienda desde−22 y coloque puntos en todos los números enteros entre e incluyendo−2 y3.
Ejercicio16.4.51
Reemplazar el∗ por el símbolo de relación apropiado(<,>). −7∗−3.
- Responder
-
<
Ejercicio16.4.52
¿Qué números enteros pueden reemplazarx para que la afirmación−2≤x<2 sea verdadera?