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LibreTexts Español

18.6: Combinar polinomios usando multiplicación

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Multiplicar un polinomio por un monomio

Multiplicar un polinomio por un monomio es una aplicación directa de la propiedad distributiva.

Propiedad distributiva

El producto de un monomio a y un binomio b más c es igual a ab más ac. Esta es la propiedad distributiva. En la expresión, hay dos flechas que se originan en el monomio, a, y que apuntan hacia los términos b y c del binomio.

La propiedad distributiva sugiere la siguiente regla.

Multiplicar un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplique cada término del polinomio por el monomio y luego sumar los productos resultantes juntos.

Conjunto de Muestras A

Ejemplo18.6.1

\ (\ comenzar {alineado}
3 (x+9) &=3\ cdot x+3\ cdot 9\\
&=3 x+27
\ final {alineado}\)

Ejemplo18.6.2

\ (\ comenzar {alineado}
6\ izquierda (x^ {3} -2 x\ derecha) =6\ izquierda (x^ {3} + (-2 x)\ derecha) &=6\ cdot x^ {3} +6 (-2 x)\\
&=6 x^ {3} -12 x
\ end {alineado}\)

Ejemplo18.6.3

\ (\ comenzar {alineado}
(x-7) x &=x\ cdot x+x (-7)\\
&=x^ {2} -7 x
\ final {alineado}\)

Ejemplo18.6.4

\ (\ begin {alineado}
8 a^ {2}\ izquierda (3 a^ {4} -5 a^ {3} +a\ derecha) &=8 a^ {2}\ cdot 3 a^ {4} +8 a^ {2}\ izquierda (-5 a^ {3}\ derecha) +8 a^ {2}\ cdot a\\
&=24 a^ {6} -40 a^ {5} +8 a^ {3}
\ final {alineado}\)

Ejemplo18.6.5

\ (\ begin {alineado}
4 x^ {2} y^ {7} z\ izquierda (x^ {6} y+8 y^ {2} z^ {2} z^ {2}\ derecha) &=4 x^ {2} y^ {7} z\ cdot x^ {5} y+4 x^ {2} y^ {7} z\ cdot 8 y^ {2} z^ {2}
&=4 x^ {7} y^ {8} z+32 x^ {2} y^ {9} z^ {3}
\ final {alineado}\)

Ejemplo18.6.6

10ab2c(125a2)=1250a3b2c

Ejemplo18.6.7

\ (\ comenzar {alineado}
\ izquierda (9 x^ {2} z+4 w\ derecha)\ izquierda (5 z w^ {3}\ derecha) &=9 x^ {2} z\ cdot 5 z w^ {3} +4 w\ cdot 5 z w^ {3}\\
&=45 x^ {2} z^ {2} z^ {2} w^ {3} +20 z w^ {4}\\
&=45 x^ {2} w^ {3} z^ {2} +20 w^ {4} z
\ end {alineado}\)

Conjunto de práctica A

Determinar los siguientes productos.

Problema de práctica18.6.1

3(x+8)

Contestar

3x+24

Problema de práctica18.6.2

(2+a)4

Contestar

4a+8

Problema de práctica18.6.3

(a22b+6)2a

Contestar

2a34ab+12a

Problema de práctica18.6.4

8a2b3(2a+7b+3)

Contestar

16a3b3+56a2b4+24a2b3

Problema de práctica18.6.5

4x(2x5+6x48x3x2+9x11)

Contestar

8x6+24x532x44x3+36x244x

Problema de práctica18.6.6

(3a2b)(2ab2+4b3)

Contestar

6a3b3+12a2b4

Problema de práctica18.6.7

5mn(m2n2+m+n0),n0

Contestar

5m3n3+5m2n+5mn

Problema de práctica18.6.8

6.03(2.11a3+8.00a2b)

Contestar

12.7233a3+48.24a2b

Simplificando+(a+b) y(a+b)

+(a+b)y(a+b)

A menudo, encontraremos multiplicaciones de la forma

+1(a+b) o1(a+b)

Estos términos aparecerán realmente como

+(a+b) y(a+b)

Usando la propiedad distributiva, nosotros puede eliminar los paréntesis.

Eliminación de un conjunto de paréntesis precedido de un signo más utilizando la propiedad distributiva. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Se han eliminado los paréntesis y el signo de cada término se ha mantenido igual.

Eliminación de un conjunto de paréntesis precedido por un signo menos utilizando la propiedad distributiva. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Se han eliminado los paréntesis y se ha cambiado el signo de cada término a su opuesto.

  1. Para eliminar un conjunto de paréntesis precedidos de un signo “+”, basta con quitar los paréntesis y dejar el signo de cada término igual.
  2. Para eliminar un conjunto de paréntesis precedidos de un signo “−”, elimine los paréntesis y cambie el signo de cada término a su signo opuesto.

Conjunto de Muestras B

Simplifica las expresiones.

Ejemplo18.6.8

(6x1).

Este conjunto de paréntesis va precedido de un signo “+” (implícito). Simplemente dejamos caer los paréntesis.

(6x1)=6x1

Ejemplo18.6.9

(14a26a3b2+ab4)=14a2b36a3b2+ab4

Ejemplo18.6.10

(21a2+7a18)

Este conjunto de paréntesis va precedido de un signo “”. Podemos dejar los paréntesis siempre y cuando cambiemos el signo de cada término dentro de los paréntesis a su signo opuesto.

(21a2+7a18)=21a27a+18

Ejemplo18.6.11

(7y32y2+9y+1)=7y3+2y29y1

Set de práctica B

Simplifique quitando los paréntesis.

Problema de práctica18.6.9

(2a+3b)

Contestar

2a+3b

Problema de práctica18.6.10

(a26a+10)

Contestar

a26a+10

Problema de práctica18.6.11

(x+2y)

Contestar

x2y

Problema de práctica18.6.12

(5m2n)

Contestar

5m+2n

Problema de práctica18.6.13

(3s27s+9)

Contestar

3s2+7s9

Multiplicar un polinomio por un polinomio

Como podemos considerar una expresión encerrada entre paréntesis como una sola cantidad, tenemos, por la propiedad distributiva,

Encontrar el producto de los binomios 'a más b' y 'c más d', utilizando la propiedad distributiva. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Para mayor comodidad, utilizaremos la propiedad conmutativa de suma para escribir esta expresión de manera que los dos primeros términos contengan a y los dos segundos contengan b.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Este método se llama comúnmente el método FOIL.

  • F: Primeros Términos
  • O: Términos externos
  • I: Términos internos
  • L: Ultimos Términos

(a+b)(2+3)=(a+b)+(a+b)2 terms +(a+b)+(a+b)+(a+b)3 terms 

Reorganizar,

\ (\ begin {array} {l}
=a+a+b+a+a+a+b+b+b\
= 2 a+2 b+3 a+3 b
\ end {array}\)

Combinando términos similares,

\ (\ begin {array} {l}
=5a + 5b
\ end {array}\)

Este uso de la propiedad distributiva sugiere la siguiente regla.

Multiplicación de un polinomio por un polinomio

Para multiplicar dos polinomios juntos, multiplique cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio.

Conjunto de Muestras C

Realiza las siguientes multiplicaciones y simplifica.

Ejemplo18.6.12

Encontrar el producto de 'a más seis' y 'a más tres' utilizando el método FOIL. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Con algo de práctica, el segundo y tercer término se pueden combinar mentalmente.

Ejemplo18.6.13

Encontrar el producto de dos binomios 'x más y' y 'dos x más cuatro y' utilizando el método FOIL. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Ejemplo18.6.14

Encontrar el producto de dos polinomios 'x al cuadrado más cuatro' y 'x al cuadrado más siete x más dos' usando el método FOIL. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Ejemplo18.6.15

Encontrar el producto de dos binomios 'menos cuatro' y 'menos tres' usando el método FOIL. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Ejemplo18.6.16

\ (\ begin {alineado}
(m-3) ^ {2} &= (m-3) (m-3)\\
&=m\ cdot m+m (-3) -3\ cdot m-3 (-3)\\
&=m^ {2} -3 m-3 m+9\\
&=m^ {2} -6 m+9
\ final {alineado}\)

Ejemplo18.6.17

\ (\ begin {alineado}
(x+5) ^ {3} & =( x+5) (x+5) (x+5) (x+5) &\ text {Asociar los dos primeros factores.}\\
&= [(x+5) (x+5)] (x+5)\
&=\ left [x^ {2} +5 x+5 x+25\ right] (x+5)\
&=\ left [x^ {2} +10 x+25\ derecha] (x+5)\\
&=x^ {2}\ cdot x+x^ {2} \ cdot 5+10 x\ cdot x+10 x\ cdot 5+25\ cdot x+25\ cdot 5\\
&=x^ {3} +5 x^ {2} +10 x^ {2} +50 x+25 x+125\\
&=x^ {3} +15 x^ {2} +75 x+125
\ final {alineado}\)

Set de práctica C

Encuentra los siguientes productos y simplifica.

Problema de práctica18.6.14

(a+1)(a+4)

Contestar

a2+5a+4

Problema de práctica18.6.15

(m9)(m2)

Contestar

m211m+18

Problema de práctica18.6.16

(2x+4)(x+5)

Contestar

2x2+14x+20

Problema de práctica18.6.17

(x+y)(2x3y)

Contestar

2x2xy3y2

Problema de práctica18.6.18

(3a21)(5a2+a)

Contestar

15a4+3a35a2a

Problema de práctica18.6.19

(2x2y3+xy2)(5x3y2+x2y)

Contestar

10x5y5+7x4y4+x3y3

Problema de práctica18.6.20

(a+3)(a2+3a+6)

Contestar

a3+6a2+15a+18

Problema de práctica18.6.21

(a+4)(a+4)

Contestar

a2+8a+16

Problema de práctica18.6.22

(r7)(r7)

Contestar

r214r+49

Problema de práctica18.6.23

(x+6)2

Contestar

x2+12x+36

Problema de práctica18.6.24

(y8)2

Contestar

y216y+64

Conjunto de Muestras D

Realizar las siguientes adiciones y restas.

Ejemplo18.6.18

3x+7+(x3). Primero debemos quitar los paréntesis. Están precedidos de un signo+ ""”, así que los quitamos y dejamos el signo de cada término igual.
3x+7+x3Combina términos similares.
4x+4

Ejemplo18.6.19

5y3+11(12y32). Primero eliminamos los paréntesis. Están precedidos por un signo ""”, así que los quitamos y cambiamos el signo de cada término dentro de ellos.
5y3+1112y3+2Combina términos similares.
7y3+13

Ejemplo18.6.20

Agregar4x2+2x8 a3x27x10

\ (\ begin {array} {l}
\ izquierda (4 x^ {2} +2 x-8\ derecha) +\ izquierda (3 x^ {2} -7 x-10\ derecha)\\
4 x^ {2} +2 x-8+3 x^ {2} -7 x-10\\
7 x^ {2} -5 x-18
\ end {array}\)

Ejemplo18.6.21

Restar8x25x+2 de3x2+x12.

\ (\ begin {array} {l}
\ izquierda (3 x^ {2} +x-12\ derecha) -\ izquierda (8 x^ {2} -5 x+2\ derecha)\\
3 x^ {2} +x-12-8 x^ {2} +5 x-2\
-5 x^ {2} +6 x-14
\ end {array}\)

Ten mucho cuidado de no escribir este problema como:

3x2+x128x25x+2

Esta forma nos hace restar sólo el primer término,8x2, en lugar de toda la expresión. Use paréntesis.

Otra forma incorrecta es:

8x25x+2(3x2+x12)

Esta forma nos hace realizar la resta en el orden equivocado.

Set de Práctica D

Realizar las siguientes adiciones y restas.

Problema de práctica18.6.25

6y2+2y1+(5y218)

Contestar

11y2+2y19

Problema de práctica18.6.26

(9mn)(10m+12n)

Contestar

m13n

Problema de práctica18.6.27

Agregar2r2+4r1 a3r2r7

Contestar

5r2+3r8

Problema de práctica18.6.28

Restar4s3 de7s+8.

Contestar

Agrega textos aquí. No borre primero este texto.

Ejercicios

Para los siguientes problemas, realice la multiplicación y combine cualquier término similar.

Ejercicio18.6.1

7(x+6)

Contestar

7x+42

Ejercicio18.6.2

4(y+3)

Ejercicio18.6.3

6(y+4)

Contestar

6y+24

Ejercicio18.6.4

8(m+7)

Ejercicio18.6.5

5(a6)

Contestar

5a30

Ejercicio18.6.6

2(x10)

Ejercicio18.6.7

3(4x+2)

Contestar

12x+6

Ejercicio18.6.8

6(3x+4)

Ejercicio18.6.9

9(4y3)

Contestar

36y27

Ejercicio18.6.10

5(8m6)

Ejercicio18.6.11

9(a+7)

Contestar

9a63

Ejercicio18.6.12

3(b+8)

Ejercicio18.6.13

4(x+2)

Contestar

4x8

Ejercicio18.6.14

6(y+7)

Ejercicio18.6.15

3(a6)

Contestar

3a+18

Ejercicio18.6.16

9(k7)

Ejercicio18.6.17

5(2a+1)

Contestar

10a5

Ejercicio18.6.18

7(4x+2)

Ejercicio18.6.19

3(10y6)

Contestar

30y+18

Ejercicio18.6.20

8(4y11)

Ejercicio18.6.21

x(x+6)

Contestar

x2+6x

Ejercicio18.6.22

y(y+7)

Ejercicio18.6.23

m(m4)

Contestar

m24m

Ejercicio18.6.24

k(k11)

Ejercicio18.6.25

3x(x+2)

Contestar

3x2+6x

Ejercicio18.6.26

4y(y+7)

Ejercicio18.6.27

6a(a5)

Contestar

6a230a

Ejercicio18.6.28

9x(x3)

Ejercicio18.6.29

3x(5x+4)

Contestar

15x2+12x

Ejercicio18.6.30

4m(2m+7)

Ejercicio18.6.31

2b(b1)

Contestar

2b22b

Ejercicio18.6.32

7a(a4)

Ejercicio18.6.33

3x2(5x2+4)

Contestar

15x4+12x2

Ejercicio18.6.34

9y3(3y2+2)

Ejercicio18.6.35

4a4(5a3+3a2+2a)

Contestar

20a7+12a6+8a5

Ejercicio18.6.36

2x4(6x35x22x+3)

Ejercicio18.6.37

5x2(x+2)

Contestar

5x310x2

Ejercicio18.6.38

6y3(y+5)

Ejercicio18.6.39

2x2y(3x2y26x)

Contestar

6x4y312x3y

Ejercicio18.6.40

8a3b2c(2ab3+3b)

Ejercicio18.6.41

b5x2(2bx11)

Contestar

2b6x311b5x2

Ejercicio18.6.42

4x(3x26x+10)

Ejercicio18.6.43

9y3(2y43y3+8y2+y6)

Contestar

18y727y6+72y5+9y454y3

Ejercicio18.6.44

a2b3(6ab4+5ab38b2+7b2)

Ejercicio18.6.45

(a+4)(a+2)

Contestar

a2+6a+8

Ejercicio18.6.46

(x+1)(x+7)

Ejercicio18.6.47

(y+6)(y3)

Contestar

y2+3y18

Ejercicio18.6.48

(t+8)(t2)

Ejercicio18.6.49

(i3)(i+5)

Contestar

i2+2i15

Ejercicio18.6.50

(xy)(2x+y)

Ejercicio18.6.51

(3a1)(2a6)

Contestar

6a220a+6

Ejercicio18.6.52

(5a2)(6a8)

Ejercicio18.6.53

(6y+11)(3y+10)

Contestar

18y2+93y+110

Ejercicio18.6.54

(2t+6)(3t+4)

Ejercicio18.6.55

(4+x)(3x)

Contestar

x2x+12

Ejercicio18.6.56

(6+a)(4+a)

Ejercicio18.6.57

(x2+2)(x+1)

Contestar

x3+x2+2x+2

Ejercicio18.6.58

(x2+5)(x+4)

Ejercicio18.6.59

(3x25)(2x2+1)

Contestar

6x47x25

Ejercicio18.6.60

(4a2b32a)(5a2b3b)

Ejercicio18.6.61

(6x3y4+6x)(2x2y3+5y)

Contestar

12x5y7+30x3y5+12x3y3+30xy

Ejercicio18.6.62

5(x7)(x3)

Ejercicio18.6.63

4(a+1)(a8)

Contestar

4a228a32

Ejercicio18.6.64

a(a3)(a+5)

Ejercicio18.6.65

x(x+1)(x+4)

Contestar

x3+5x2+4x

Ejercicio18.6.66

y3(y3)(y2)

Contestar

y55y4+6y3

Ejercicio18.6.67

2a2(a+4)(a+3)

Ejercicio18.6.68

5y6(y+7)(y+1)

Contestar

5y8+40y7+35y6

Ejercicio18.6.69

ab2(a22b)(a+b4)

Ejercicio18.6.70

x3y2(5x2y23)(2xy1)

Contestar

10x6y55x5y46x4y3+3x3y2

Ejercicio18.6.71

6(a2+5a+3)

Ejercicio18.6.72

8(c3+5c+11)

Contestar

8c3+40c+88

Ejercicio18.6.73

3a2(2a310a24a+9)

Ejercicio18.6.74

6a3b3(4a2b6+7ab8+2b10+14)

Contestar

24a5b9+42a4b11+12a3b13+18a3b3

Ejercicio18.6.75

(a4)(a2+a5)

Ejercicio18.6.76

(x7)(x2+x3)

Contestar

x36x210x+21

Ejercicio18.6.77

(2x+1)(5x3+6x2+8)

Ejercicio18.6.78

(7a2+2)(3a54a3a1)

Contestar

21a722a515a37a22a2

Ejercicio18.6.79

(x+y)(2x2+3xy+5y2)

Ejercicio18.6.80

(2a+b)(5a2+4a2bb4)

Contestar

10a3+8a3b+4a2b2+5a2bb28a4b2ab

Ejercicio18.6.81

(x+3)2

Ejercicio18.6.82

(x+1)2

Contestar

x2+2x+1

Ejercicio18.6.83

(x5)2

Ejercicio18.6.84

(a+2)2

Contestar

a2+4a+4

Ejercicio18.6.85

(a9)2

Ejercicio18.6.86

(3x5)2

Contestar

9x2+30x25

Ejercicio18.6.87

(8t+7)2

Para los siguientes problemas, realice las operaciones indicadas y combine términos similares.

Ejercicio18.6.88

3x2+5x2+(4x210x5)

Contestar

7x25x7

Ejercicio18.6.89

2x3+4x2+5x8+(x33x211x+1)

Ejercicio18.6.90

5x12xy+4y2+(7x+7xy2y2)

Contestar

2y25xy12x

Ejercicio18.6.91

(6a23a+7)4a2+2a8

Ejercicio18.6.92

(5x224x15)+x29x+14

Contestar

6x233x1

Ejercicio18.6.93

(3x37x2+2)+(x3+6)

Ejercicio18.6.94

(9a2b3ab+12ab2)+ab2+2ab

Contestar

9a2b+13ab2ab

Ejercicio18.6.95

6x212x+(4x23x1)+4x210x4

Ejercicio18.6.96

5a32a26+(4a311a2+2a)7a+8a3+20

Contestar

17a311a27a6

Ejercicio18.6.97

2xy15(5xy+4)

Ejercicio18.6.98

Agregar4x+6 a8x15.

Contestar

12x9

Ejercicio18.6.99

Agregar5y25y+1 a9y2+4y2

Ejercicio18.6.100

Agregar3(x+6) a4(x7)

Contestar

7x10

Ejercicio18.6.101

Agregar2(x24) a5(x2+3x1)

Ejercicio18.6.102

Agregar cuatro veces5x+2 a tres veces2x1

Contestar

26x+5

Ejercicio18.6.103

Agregar cinco veces3x+2 a siete veces4x+3

Ejercicio18.6.104

Agregar4 tiempos9x+6 a2 tiempos8x3.

Contestar

20x18

Ejercicio18.6.105

Restar6x210x+4 de3x22x+5

Ejercicio18.6.106

Restara216 dea216

Contestar

0

Ejercicios para la revisión

Ejercicio18.6.107

Simplificar(15x2y45xy2)4

Ejercicio18.6.108

Exprese el número198,000 usando notación científica.

Contestar

1.98×105

Ejercicio18.6.109

¿Cuántos4a2x3 hay adentro16a4x5?

Ejercicio18.6.110

Indicar el grado del polinomio4xy3+3x5y5x3y3, y escribir el coeficiente numérico de cada término.

Contestar

El grado es 6; 4, 3, -5

Ejercicio18.6.111

Simplificar3(4x5)+2(5x2)(x3).


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