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LibreTexts Español

18.7: Productos Binomiales Especiales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Tres productos binomiales ocurren con tanta frecuencia en álgebra que los designamos como productos binomiales especiales. Los hemos visto antes, pero los volveremos a estudiar por su importancia como dispositivos ahorradores de tiempo y en la resolución de ecuaciones (que estudiaremos en un capítulo posterior).

Estos productos especiales se pueden mostrar como los cuadrados de un binomio

(a+b)2yab)2

y como la suma y diferencia de dos términos.

(a+b)(ab)

Hay dos reglas simples que nos permiten expandir (multiplicar) fácilmente estos binomios. Bien vale la pena memorizarlos, ya que ahorrarán mucho tiempo en el futuro.

Ampliando(a+b)2 y(ab)2

Al cuadrado de un binomio

Para cuadrar un binomio:

1. Cuadrado el primer término.

2. Toma el producto de los dos términos y duplicalo.

3. Cuadrarse el último término.

4. Sumar los tres resultados juntos

(a+b)2=a2+2ab+b2

(ab)2=a22ab+b2

Expansión (a+b) (a−b)

Suma y Diferencia de Dos Términos.

Para ampliar la suma y diferencia de dos términos: †

  1. Cuadrar el primer término y cuadrar el segundo término.
  2. Restar el cuadrado del segundo término del cuadrado del primer término.

(a+b)(ab)=a2b2

Conjunto de Muestras A

Ejemplo18.7.1

\ (
(x+4) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:x2.
El producto de ambos términos es4x. Doblarlo:8x.
Cuadrar el último término: 16.

Agréguelos juntos:x2+8x+16

(x+4)2=x2+8x+16

Tenga en cuenta que(x+4)2x2+42. ¡Falta el8x término!

Ejemplo18.7.2

\ (
(a-8) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:a2.
El producto de ambos términos es8a. Doblarlo:16a.
Cuadrar el último término: 64.

Sumarlos juntos:a2+(16a)+64

(a8)2=a216a+64

Observe que el signo del último término en esta expresión es “+.” Esto siempre sucederá ya que el último término resulta de que un número está al cuadrado. Cualquier número distinto de cero veces en sí mismo siempre es positivo.

(+)(+)=+y()()=+

El signo del segundo término en el trinomio siempre será el signo que ocurra dentro de los paréntesis.

Ejemplo18.7.3

\ (
(y-1) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:y2.
El producto de ambos términos esy. Doblarlo:2y.
Cuadrar el último término: +1.

Agréguelos juntos:y2+(2y)+1

El cuadrado del binomio 'y menos uno' es igual a y al cuadrado menos dos y más uno. El signo dentro de los paréntesis y el signo del término medio del trinomio son los mismos, y se etiquetan como 'menos'. El signo del último término del trinomio se etiqueta como 'más'.

Ejemplo18.7.4

\ (
(5x+3) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:25x2.
El producto de ambos términos es15x. Doblarlo:30x.
Cuadrar el último término: 9.

Agréguelos juntos:25x2+30x+9

El cuadrado del binomio 'cinco x más tres' es igual a veinticinco x cuadrado más treinta x más nueve. El signo dentro de los paréntesis y el signo del término medio del trinomio son los mismos, y se etiquetan como 'más'. El signo del último término del trinomio también se etiqueta como 'más'.

Ejemplo18.7.5

\ (
(7b-2) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:49b2.
El producto de ambos términos es14b. Doblarlo:28b.
Cuadrar el último término: 4.

Agréguelos juntos:49b2+(28b)+4

El cuadrado del binomio 'siete b menos dos' es igual a cuarenta y nueve b al cuadrado menos veintiocho b más cuatro. El signo dentro de los paréntesis y el signo del término medio del trinomio son los mismos, y se etiquetan como 'menos'. El signo del último término del trinomio se etiqueta como 'más'.

Ejemplo18.7.6

\ (
(x+6) (x-6)
\)
Cuadrar el primer término:x2.
Restar el cuadrado del segundo término (36) del cuadrado del primer término:x236

(x+6)(x6)=x236

Ejemplo18.7.7

\ (
(4a−12) (4a+12)
\)
Cuadrar el primer término:16a2.
Restar el cuadrado del segundo término (144) del cuadrado del primer término:16a2144

(4a12)(4a+12)=16a2144

Ejemplo18.7.8

\ (
(6x+8y) (6x−8y)
\)
Cuadrar el primer término:36x2.
Restar el cuadrado del segundo término (64y2) del cuadrado del primer término:36x264y2

(6x+8y)(6x8y)=36x264y2

Conjunto de práctica A

Encuentra los siguientes productos.

Problema de práctica18.7.1

(x+5)2

Contestar

x2+10x+25

Problema de práctica18.7.2

(x+7)2

Contestar

x2+14x+49

Problema de práctica18.7.3

(y6)2

Contestar

y212y+36

Problema de práctica18.7.4

(3a+b)2

Contestar

9a2+6ab+b2

Problema de práctica18.7.5

(9mn)2

Contestar

81m218mn+n2

Problema de práctica18.7.6

(10x2y)2

Contestar

100x240xy+4y2

Problema de práctica18.7.7

(12a7b)2

Contestar

144a2168ab+49b2

Problema de práctica18.7.8

(5h15k)2

Contestar

25h2150hk+225k2

Ejercicios

Para los siguientes problemas, encuentra los productos.

Ejercicio18.7.1

(x+3)2

Contestar

x2+6x+9

Ejercicio18.7.2

(x+5)2

Ejercicio18.7.3

(x+8)2

Contestar

x2+16x+64

Ejercicio18.7.4

(x+6)2

Ejercicio18.7.5

(y+9)2

Contestar

y2+18y+81

Ejercicio18.7.6

(y+1)2

Ejercicio18.7.7

(a4)2

Contestar

a28a+16

Ejercicio18.7.8

(a6)2

Ejercicio18.7.9

(a7)2

Contestar

a214a+49

Ejercicio18.7.10

(b+10)2

Ejercicio18.7.11

(b+15)2

Contestar

b2+30b+225

Ejercicio18.7.12

(a10)2

Ejercicio18.7.13

(x12)2

Contestar

x224x+144

Ejercicio18.7.14

(x+20)2

Ejercicio18.7.15

(y20)2

Contestar

y240y+400

Ejercicio18.7.16

(3x+5)2

Ejercicio18.7.17

(4x+2)2

Contestar

16x2+16x+4

Ejercicio18.7.18

(6x2)2

Ejercicio18.7.19

(7x2)2

Contestar

49x228x+4

Ejercicio18.7.20

(5a6)2

Ejercicio18.7.21

(3a9)2

Contestar

9a254a+81

Ejercicio18.7.22

(3w2z)2

Ejercicio18.7.23

(5a3b)2

Contestar

25a230ab+9b2

Ejercicio18.7.24

(6t7s)2

Ejercicio18.7.25

(2h8k)2

Contestar

4h232hk+64k2

Ejercicio18.7.26

(a+12)2

Ejercicio18.7.27

(a+13)2

Contestar

a2+23a+19

Ejercicio18.7.28

(x+34)2

Ejercicio18.7.29

(x+25)2

Contestar

x2+45x+425

Ejercicio18.7.30

(x23)2

Ejercicio18.7.31

(y56)2

Contestar

y253y+2536

Ejercicio18.7.32

(y+23)2

Ejercicio18.7.33

(x+1.3)2

Contestar

x2+2.6x+1.69

Ejercicio18.7.34

(x+5.2)2

Ejercicio18.7.35

(a+0.5)2

Contestar

a2+a+0.25

Ejercicio18.7.36

(a+0.08)2

Ejercicio18.7.37

(x3.1)2

Contestar

x26.2x+9.61

Ejercicio18.7.38

(y7.2)2

Ejercicio18.7.39

(b0.04)2

Contestar

b20.08b+0.0016

Ejercicio18.7.40

(f1.006)2

Ejercicio18.7.41

(x+5)(x5)

Contestar

x225

Ejercicio18.7.42

(x+6)(x6)

Ejercicio18.7.43

(x+1)(x1)

Contestar

x21

Ejercicio18.7.44

(t1)(t+1)

Ejercicio18.7.45

(f+9)(f9)

Contestar

f281

Ejercicio18.7.46

(y7)(y+7)

Ejercicio18.7.47

(2y+3)(2y3)

Contestar

4y29

Ejercicio18.7.48

(5x+6)(5x6)

Ejercicio18.7.49

(2a7b)(2a+7b)

Contestar

4a249b2

Ejercicio18.7.50

(7x+3t)(7x3t)

Ejercicio18.7.51

(5h2k)(5h+2k)

Contestar

25h24k2

Ejercicio18.7.52

(x+13)(x13)

Ejercicio18.7.53

(a+29)(a29)

Contestar

a2481

Ejercicio18.7.54

(x+73)(x73)

Ejercicio18.7.55

(2b+67)(2b67)

Contestar

4b23649

Ejercicio18.7.56

(a+b)2Ampliar para demostrar que es igual aa2+2ab+b2.

Ejercicio18.7.57

(ab)2Ampliar para demostrar que es igual aa22ab+b2.

Contestar

(ab)(ab)=a2abab+b2=a22ab+b2

Ejercicio18.7.58

(a+b)(ab)Ampliar para demostrar que es igual aa2b2.

Ejercicio18.7.59

Rellena la etiqueta que falta en la siguiente ecuación.

El cuadrado del binomio 'a más b' es igual a un cuadrado más dos ab más b al cuadrado. Rellene las etiquetas que faltan para la ecuación. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Contestar

Primer trimestre al cuadrado

Ejercicio18.7.60

Etiquete las partes de la ecuación a continuación.

El cuadrado del binomio 'a menos b' es igual a un cuadrado menos dos ab más b al cuadrado. Rellene las etiquetas que faltan para la ecuación. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Ejercicio18.7.61

Etiquete las partes de la ecuación a continuación.

El producto del binomio 'a más b' y del binomio 'a menos b' es igual a un cuadrado menos b cuadrado. Rellene las etiquetas que faltan para la ecuación. Consulte el longdesc para una descripción completa.

Contestar

a) Cuadrarse el primer término.

b) Cuadrar el segundo término y restarlo del primer término.

Ejercicios para la revisión

Ejercicio18.7.62

Simplificar(x3y0z4)5.

Ejercicio18.7.63

Encuentra el valor de10123

Contestar

180

Ejercicio18.7.64

Encuentra el producto.

(x+6)(x7).

Ejercicio18.7.65

Encuentra el producto.

(5m3)(2m+3)

Contestar

10m2+9m9

Ejercicio18.7.66

Encuentra el producto.

(a+4)(a22a+3)


This page titled 18.7: Productos Binomiales Especiales is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .

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