Investiguemos las características y áreas de los paralelogramos.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Features of a Parallelogram
Las figuras A, B y C son paralelogramos. Las figuras D, E y F no son paralelogramos.
Figura\(\PageIndex{1}\)
Estudiar los ejemplos y los no ejemplos. Qué notas sobre:
el número de lados que tiene un paralelogramo?
lados opuestos de un paralelogramo?
ángulos opuestos de un paralelogramo?
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Area of a Parallelogram
Encuentra el área del paralelogramo y explica tu razonamiento.
Cambia el paralelogramo arrastrando los puntos verdes en sus vértices. Encuentra su área y explica tu razonamiento.
Si usaste los polígonos en el costado, ¿cómo te fueron de ayuda? Si no lo hiciste, ¿podrías usar uno o más de los polígonos para mostrar otra manera de encontrar el área del paralelogramo?
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Lots of Parallelograms
Encuentra el área de cada paralelogramo. Muestra tu razonamiento.
Figura\(\PageIndex{2}\)Figura\(\PageIndex{3}\)
Resumen
Un paralelogramo es un cuadrilátero (tiene cuatro lados). Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. También es cierto que los lados opuestos de un paralelogramo tienen igual longitud, y los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen igual medida.
Figura\(\PageIndex{4}\): Dos paralelogramos con los ángulos y longitudes laterales proporcionados. A la izquierda, lados superior e inferior = 5 unidades. Laterales izquierdo y derecho = 4.24 unidades. Ángulo superior izquierdo e inferior derecho = 135 grados. Ángulo superior derecho e inferior izquierdo = 45 grados. A la derecha, lados superior e inferior = 9.34 unidades. Lados izquierdo y derecho = 4 unidades. Ángulo superior izquierdo e inferior derecho = 27.2 grados. Ángulo superior derecho e inferior izquierdo = 152.8 grados.
Existen varias estrategias para encontrar el área de un paralelogramo.
Podemos descomponer y reorganizar un paralelogramo para formar un rectángulo. Aquí hay tres formas:
Figura\(\PageIndex{5}\): Tres paralelogramos idénticos en rejillas separadas, cada uno tiene una base de cuatro unidades y una altura de tres unidades. Primer paralelogramo, segmento discontinua vertical que se extiende desde el vértice inferior izquierdo hasta el lado opuesto, formando un triángulo. Una flecha se extiende desde el triángulo hasta el lado opuesto del paralelogramo para crear un rectángulo de 4 unidades de ancho y 3 unidades de alto. Segundo paralelogramo, segmento discontinua vertical que se extiende desde el vértice superior derecho hasta el lado opuesto, formando un triángulo. Una flecha se extiende desde el triángulo hasta el lado opuesto del paralelogramo para crear un rectángulo de 4 unidades de ancho y 3 unidades de alto. Tercer paralelogramo, segmento discontinuo vertical a través de la mitad del paralelogramo. Una flecha se extiende desde la forma resultante hasta el lado opuesto del paralelogramo para crear un rectángulo de 4 unidades de ancho y 3 unidades de alto.
Podemos encerrar el paralelogramo y luego restar el área de los dos triángulos en la esquina.
Figura\(\PageIndex{6}\): Dos dibujos de paralelogramos en cuadrículas. A la izquierda, un triángulo en la esquina inferior izquierda y superior derecha está en blanco y el centro es de color azul. A la derecha se repite la imagen de la izquierda, pero los triángulos en las esquinas son de color amarillo. Las flechas se dibujan desde los triángulos a la derecha. Los triángulos dos triángulos se unen a la derecha para formar un rectángulo.
Ambas formas funcionarán para cualquier paralelogramo. Sin embargo, para algunos paralelogramos el proceso de descomposición y reordenamiento requiere muchos más pasos que si encerramos el paralelogramo con un rectángulo y restamos el área combinada de los dos triángulos en las esquinas.
Figura\(\PageIndex{7}\): Un paralelogramo sombreado en una cuadrícula. Base de tres unidades. Lados inclinados que disminuyen 6 unidades verticales sobre 9 unidades horizontales. Paralelogramo descompuesto por segmentos discontinuos en seis triángulos rectos iguales. Cada triángulo tiene un lado vertical de 2 unidades y un lado horizontal de 3 unidades. Las flechas se extienden hacia la izquierda desde cada uno de los 5 triángulos inferiores. La forma resultante es un rectángulo que mide 6 unidades de alto por 3 unidades de ancho.
Entradas en el glosario
Definición: Paralelogramo
Un paralelogramo es un tipo de cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.
Aquí hay dos ejemplos de paralelogramos.
Figura\(\PageIndex{8}\): Dos paralelogramos con los ángulos y longitudes laterales proporcionados. A la izquierda, lados superior e inferior = 5 unidades. Laterales izquierdo y derecho = 4.24 unidades. Ángulo superior izquierdo e inferior derecho = 135 grados. Ángulo superior derecho e inferior izquierdo = 45 grados. A la derecha, lados superior e inferior = 9.34 unidades. Lados izquierdo y derecho = 4 unidades. Ángulo superior izquierdo e inferior derecho = 27.2 grados. Ángulo superior derecho e inferior izquierdo = 152.8 grados.
Definición: Cuadrilátero
Un cuadrilátero es un tipo de polígono que tiene 4 lados. Un rectángulo es un ejemplo de cuadrilátero. Un pentágono no es cuadrilátero, porque tiene 5 lados.
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Seleccione todos los paralelogramos. Por cada figura que no esté seleccionada, explica cómo sabes que no es un paralelogramo.
La figura E es un triángulo rectángulo.
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Descomponer y reorganizar este paralelogramo para hacer un rectángulo.
Figura\(\PageIndex{10}\)
¿Cuál es el área del paralelogramo? Explique o su razonamiento.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Encuentra el área del paralelogramo.
Figura\(\PageIndex{11}\)
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Explique por qué este cuadrilátero no es un paralelogramo.
Figura\(\PageIndex{12}\): Un cuadrilátero sobre una rejilla. Largo del lado inferior de 8 unidades. Largo lateral superior de 4 unidades. El lado izquierdo asciende 5 unidades mientras se mueve a la derecha 13 unidades, y el lado derecho asciende 5 unidades mientras se mueve a la derecha 9 unidades.
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Encuentra el área de cada forma. Muestra tu razonamiento.
Figura\(\PageIndex{13}\): Una forma con ocho lados dibujados en una rejilla. Cuatro lados son lados rectos y se extienden a la izquierda, derecha, arriba y, abajo por 2 unidades cada uno. Los lados restantes son lados angulados que conectan cada uno de los lados rectos con el siguiente. La forma es de un total de 6 unidades de alto y 6 unidades de ancho.Figura\(\PageIndex{14}\)
(De la Unidad 1.1.3)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Encuentra el área del rectángulo con cada conjunto de longitudes laterales.
