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2.2: Bases y Alturas de Paralelogramos

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    119961

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    Lección

    Investiguemos un poco más el área de los paralelogramos.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): A Parallelogram and Its Rectangles

    Elena y Tyler estaban encontrando el área de este paralelogramo:

    clipboard_e17996e4974611685649172847386534f.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Mueve el control deslizante para ver cómo lo hizo Tyler:

    Mueve el control deslizante para ver cómo lo hizo Elena:

    ¿Cómo son las dos estrategias para encontrar el área de un paralelogramo iguales? ¿En qué se diferencian?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): The Right Height?

    Estudiar los ejemplos y no ejemplos de bases y alturas de paralelogramos.

    • Ejemplos: Los segmentos discontinuos en estos dibujos representan la altura correspondiente para la base dada.
    clipboard_eb91f661d8bde928d0bc5ac705c31cb39.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)
    • No-ejemplos: Los segmentos discontinuos en estos dibujos no representan la altura correspondiente para la base dada.
    clipboard_e1948a291f86f7dbef9bc6aeefe01ccf5.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)
    1. Seleccione todas las declaraciones que sean verdaderas sobre bases y alturas en un paralelogramo.
      1. Solo un lado horizontal de un paralelogramo puede ser una base.
      2. Cualquier lado de un paralelogramo puede ser una base.
      3. Se puede dibujar una altura en cualquier ángulo hacia el lado elegido como base.
      4. Una base y su altura correspondiente deben ser perpendiculares entre sí.
      5. Una altura sólo se puede dibujar dentro de un paralelogramo.
      6. Se puede dibujar una altura fuera del paralelogramo, siempre y cuando se dibuje en un ángulo de 90 grados con respecto a la base.
      7. Una base no se puede extender para alcanzar una altura.
    2. Cinco estudiantes etiquetaron una base\(b\) y una altura correspondiente\(h\) para cada uno de estos paralelogramos. ¿Todos los dibujos están etiquetados correctamente? Explica cómo sabes.
    clipboard_e4c81c386d04712188b90db26b4028f27.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    ¿Estás listo para más?

    En el applet, el paralelogramo está hecho de segmentos de línea continua, y las líneas de altura y soporte están hechas de segmentos de línea discontinua. Se etiquetan una base b y la altura h correspondiente.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Finding the Formula for Area of Parallelograms

    Por cada paralelogramo:

    • Identificar una base y una altura correspondiente, y registrar sus longitudes en la tabla.
    • Encontrar el área del paralelogramo y registrarlo en la última columna de la tabla.
    clipboard_e83733ef1932b8b0dc168ab655b5e1298.png
    Figura\(\PageIndex{5}\)
    paralelogramo base (unidades) altura (unidades) área (unidades sq)
    A
    B
    C
    D
    cualquier paralelogramo \(b\) \(h\)
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    En la última fila, escribe una expresión para el área de cualquier paralelogramo, usando\(b\) y\(h\).

    ¿Estás listo para más?

    1. ¿Qué sucede con el área de un paralelogramo si la altura se duplica pero la base no cambia? ¿Si la altura se triplica? Si la altura es 100 veces la original?
    2. ¿Qué pasa con el área si tanto la base como la altura se doblan? ¿Ambos triples? ¿Ambos son 100 veces sus longitudes originales?

    Resumen

    • Podemos elegir cualquiera de los cuatro lados de un paralelogramo como base. Tanto el lado (el segmento) como su longitud (la medida) se llaman base.
    • Si dibujamos algún segmento perpendicular desde un punto en la base hasta el lado opuesto del paralelogramo, ese segmento siempre tendrá la misma longitud. A ese valor le llamamos la altura. ¡Hay infinitamente muchos segmentos que pueden representar la altura!
    clipboard_e1c905a1dcb247e046367e4fe2248af30.png
    Figura\(\PageIndex{6}\): 2 copias del mismo paralelogramo. A la izquierda, base = 6 unidades. Altura correspondiente = 4 unidades. A la derecha, base = 5 unidades. Altura correspondiente = 4.8 unidades. Para ambos, se muestran 3 segmentos diferentes para representar la altura.

    Aquí hay dos copias del mismo paralelogramo. A la izquierda, el lado que es la base es de 6 unidades de largo. Su altura correspondiente es de 4 unidades. A la derecha, el lado que es la base es de 5 unidades de largo. Su altura correspondiente es de 4.8 unidades. Para ambos, se muestran tres segmentos diferentes para representar la altura. ¡Podríamos dibujar en muchos más!

    No importa qué lado se elija como base, el área del paralelogramo es el producto de esa base y su altura correspondiente. Podemos comprobar esto:

    \(4\times 6=24\qquad\text{ and }\qquad 4.8\times 5=24\)

    Podemos ver por qué esto es cierto descomponiendo y reordenando los paralelogramos en rectángulos.

    clipboard_e36acc640c30c1e5b285f58c2411c6429.png
    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Observe que las longitudes laterales de cada rectángulo son la base y la altura del paralelogramo. A pesar de que los dos rectángulos tienen diferentes longitudes de lado, los productos de las longitudes laterales son iguales, ¡así que tienen la misma área! Y ambos rectángulos tienen la misma área que el paralelogramo.

    A menudo usamos letras para referirse a los números. Si\(b\) es base de un paralelogramo (en unidades), y\(h\) es la altura correspondiente (en unidades), entonces el área del paralelogramo (en unidades cuadradas) es el producto de estos dos números. \(b\cdot h\)

    Observe que escribimos el símbolo de multiplicación con un pequeño punto en lugar de un\(\times\) símbolo. Esto es para que no nos confundamos sobre si los\(\times\) medios se multiplican, o si la letra\(x\) está parando en un número.

    En la preparatoria, podrás demostrar que un segmento perpendicular desde un punto en un lado de un paralelogramo hasta el lado opuesto siempre tendrá la misma longitud.

    clipboard_ebfbac56f8d2c98d38540e5e682d348f9.png
    Figura\(\PageIndex{8}\)

    Esto se puede ver más fácilmente cuando dibuja un paralelogramo en papel cuadriculado. Por ahora, solo usaremos esto como un hecho.

    Entradas en el glosario

    Definición: base (de un paralelogramo o triángulo)

    Podemos elegir cualquier lado de un paralelogramo o triángulo para que sea la base de la forma. A veces usamos la palabra base para referirnos a la longitud de este lado.

    clipboard_efdc2d1802033a1596e2069df32cf5ce3.png
    Figura\(\PageIndex{9}\)

    Definición: altura (de un paralelogramo o triángulo)

    La altura es la distancia más corta desde la base de la forma hasta el lado opuesto (para un paralelogramo) o vértice opuesto (para un triángulo).

    Podemos mostrar la altura en más de un lugar, pero siempre será perpendicular a la base elegida.

    clipboard_e96534d8024d2edc81ecf56bfbbda66ab.png
    Figura\(\PageIndex{10}\)

    Definición: Paralelogramo

    Un paralelogramo es un tipo de cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

    Aquí hay dos ejemplos de paralelogramos.

    clipboard_e63643e0f76082a51a15180251ba0759c.png
    Figura\(\PageIndex{11}\): Dos paralelogramos con los ángulos y longitudes laterales proporcionados. A la izquierda, lados superior e inferior = 5 unidades. Laterales izquierdo y derecho = 4.24 unidades. Ángulos superior izquierdo e inferior derecho = 135 grados. Ángulos superior derecha e inferior izquierda = 45 grados. A la derecha, lados superior e inferior = 9.34 unidades. Lados izquierdo y derecho = 4 unidades. Ángulos superior izquierdo e inferior derecho = 27.2 grados. Ángulos superior derecha e inferior izquierda = 152.8 grados.

    Definición: Cuadrilátero

    Un cuadrilátero es un tipo de polígono que tiene 4 lados. Un rectángulo es un ejemplo de cuadrilátero. Un pentágono no es cuadrilátero, porque tiene 5 lados.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Seleccione todos los paralelogramos que tengan una altura correcta etiquetada para la base dada.

    clipboard_eb8c6991761f5003e811d3d3db6e462a4.png
    Figura\(\PageIndex{12}\): 4 paralelogramos en una cuadrícula, etiquetados A, B, C, D. Paralelogramo A, base = 3 unidades, altura = 2 unidades. Paralelogramo B, base = 3 unidades, altura = 2 unidades. Paralelogramo C, base = 3 unidades, altura = 2 unidades. Paralelogramo D, base = diagonal a través de cuadrados de dos unidades, altura = 3 unidades.
    1. A
    2. B
    3. C
    4. D

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    El lado etiquetado\(b\) ha sido elegido como base para este paralelogramo.

    clipboard_ec6b78439e35a6ca802bb7dcb93d54e8c.png
    Figura\(\PageIndex{13}\)

    Dibuja un segmento que muestre la altura correspondiente a esa base.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Encuentra el área de cada paralelogramo.

    clipboard_ebe3f5252f2a0bdb89e2ff12adc7f7dba.png
    Figura\(\PageIndex{14}\): 3 paralelogramos en una cuadrícula, etiquetados A, B, C. Paralelogramo A, base = 4 unidades, altura = 2 unidades. Paralelogramo B, base = 5 unidades, altura = 2 unidades. Paralelogramo C, base = 2 unidades, altura = 4 unidades.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Si el lado que tiene 6 unidades de largo es la base de este paralelogramo, ¿cuál es su altura correspondiente?

    clipboard_e6413dd3388180cf393bfd55d6d12790a.png
    Figura\(\PageIndex{15}\): Un paralelogramo con sus lados inferior y superior etiquetados 6 y su lado derecho etiquetado 5. Una línea discontinua perpendicular al lado derecho está etiquetada con 4.8, y una línea discontinua perpendicular al lado inferior está etiquetada con 4.
    1. 6 unidades
    2. 4.8 unidades
    3. 4 unidades
    4. 5 unidades

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra el área de cada paralelogramo.

    clipboard_ebba59d6e44cee1ce3c1958e6c0b93f98.png
    Figura\(\PageIndex{16}\): 3 paralelogramos etiquetados A, B, C. Paralelogramo A, base = 9 centímetros, altura = 4 centímetros. Paralelogramo B, base = 5 centímetros, altura = 4 centímetros. Paralelogramo C, base = b, altura = h.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    ¿Está de acuerdo con cada una de estas declaraciones? Explica tu razonamiento.

    1. Un paralelogramo tiene seis lados.
    2. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos.
    3. Un paralelogramo puede tener un par o dos pares de lados paralelos.
    4. Todos los lados de un paralelogramo tienen la misma longitud.
    5. Todos los ángulos de un paralelogramo tienen la misma medida.

    (De la Unidad 1.2.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Un cuadrado con un área de 1 metro cuadrado se descompone en 9 cuadrados pequeños idénticos. Cada pequeño cuadrado se descompone en dos triángulos idénticos.

    1. ¿Cuál es la superficie, en metros cuadrados, de 6 triángulos? Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.
    2. ¿Cuántos triángulos se necesitan para componer una región que es de metros\(1\frac{1}{2}\) cuadrados?

    (De la Unidad 1.1.2)

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