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2.3: Área de Paralelogramos

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    119970

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    Lección

    Practicemos encontrar el área de los paralelogramos.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Missing Dots

    clipboard_e9ada10e020939c31049c757a6fca015f.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuántos puntos hay en la imagen?

    ¿Cómo los ves?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): More Areas of Parallelograms

      1. Calcular el área de la figura dada en el applet. Luego, verifica si tu cálculo de área es correcto haciendo clic en la casilla de verificación Mostrar área.
      2. Desmarque la casilla de verificación Área. Mueve uno de los vértices del paralelogramo para crear un nuevo paralelogramo. Cuando obtengas un paralelogramo que te guste, bosquéalo y calcula el área. Después, comprueba si tu cálculo es correcto utilizando de nuevo el botón Mostrar Área.
      3. Repita este proceso dos veces más. Dibuja y etiqueta cada paralelogramo con sus medidas y el área que calculaste.
    2. Aquí está el Paralelogramo B. ¿Cuál es la altura correspondiente para la base que mide 10 cm de largo? Explica o muestra tu razonamiento.
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    Figura\(\PageIndex{2}\)
    1. Aquí hay dos paralelogramos diferentes con la misma área.
      1. Explique por qué sus áreas son iguales.
      2. Arrastre puntos para crear dos nuevos paralelogramos que no sean copias idénticas entre sí pero que tengan la misma área entre sí. Esboza tus paralelogramos y explica o muestra cómo sabes que sus áreas son iguales. Después, da clic en el botón Verificar para ver si las dos áreas son efectivamente iguales.

    ¿Estás listo para más?

    Aquí hay un paralelogramo compuesto por paralelogramos más pequeños. La región sombreada está compuesta por cuatro paralelogramos idénticos. Todas las longitudes están en pulgadas.

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Paralelogramo compuesto por paralelogramos más pequeños. La región sombreada está compuesta por cuatro paralelogramos idénticos, para cada uno, base = 5, altura = 2 y 4 décimas, longitud inclinada = 3.

    ¿Cuál es el área del paralelogramo sin sombra en el medio? Explica o muestra tu razonamiento.

    Resumen

    Cualquier par de base y altura correspondiente pueden ayudarnos a encontrar el área de un paralelogramo, pero algunos pares de altura de base se identifican más fácilmente que otros.

    Cuando se dibuja un paralelogramo sobre una rejilla y tiene lados horizontales, podemos usar un lado horizontal como base. Cuando tiene lados verticales, podemos usar un lado vertical como base. La rejilla puede ayudarnos a encontrar (o estimar) las longitudes de la base y de la altura correspondiente.

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Dos paralelogramos dibujados en dos cuadrículas. Primer paralelogramo, 2 lados horizontales cada uno de 8 unidades de largo, 2 lados inclinados que se elevan 2 unidades verticales sobre 4 unidades horizontales. Lado horizontal inferior etiquetado, b. Un segmento perpendicular de 2 unidades etiquetado, h, conecta los lados horizontales. Segundo paralelogramo, 2 lados verticales cada uno de 6 unidades de largo, 2 lados inclinados que se elevan 4 unidades verticales sobre 4 unidades horizontales. El lado vertical izquierdo está etiquetado, b. Un segmento perpendicular de 4 unidades etiquetado, h, conecta un vértice del lado vertical a un punto en el otro lado vertical.

    Cuando no se dibuja un paralelogramo sobre una cuadrícula, aún podemos encontrar su área si se conoce una base y una altura correspondiente.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    En este paralelogramo no se da la altura correspondiente para el lado que es de 10 unidades de largo, sino que se da la altura para el lado que es de 8 unidades de largo. Este par de base-altura puede ayudarnos a encontrar el área.

    Independientemente de su forma, los paralelogramos que tengan la misma base y la misma altura tendrán la misma área; el producto de la base y la altura serán iguales. Aquí hay algunos paralelogramos con el mismo par de mediciones de altura base.

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    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Entradas en el glosario

    Definición: base (de un paralelogramo o triángulo)

    Podemos elegir cualquier lado de un paralelogramo o triángulo para que sea la base de la forma. A veces usamos la palabra base para referirnos a la longitud de este lado.

    clipboard_efdc2d1802033a1596e2069df32cf5ce3.png
    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Definición: altura (de un paralelogramo o triángulo)

    La altura es la distancia más corta desde la base de la forma hasta el lado opuesto (para un paralelogramo) o vértice opuesto (para un triángulo).

    Podemos mostrar la altura en más de un lugar, pero siempre será perpendicular a la base elegida.

    clipboard_e96534d8024d2edc81ecf56bfbbda66ab.png
    Figura\(\PageIndex{8}\)

    Definición: Paralelogramo

    Un paralelogramo es un tipo de cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

    Aquí hay dos ejemplos de paralelogramos.

    clipboard_e63643e0f76082a51a15180251ba0759c.png
    Figura\(\PageIndex{9}\): Dos paralelogramos con los ángulos y longitudes laterales proporcionados. A la izquierda, lados superior e inferior = 5 unidades. Laterales izquierdo y derecho = 4.24 unidades. Ángulo superior izquierdo e inferior derecho = 135 grados. Ángulo superior derecho e inferior izquierdo = 45 grados. A la derecha, lados superior e inferior = 9.34 unidades. Lados izquierdo y derecho = 4 unidades. Ángulo superior izquierdo e inferior derecho = 27.2 grados. Ángulo superior derecho e inferior izquierdo = 152.8 grados.

    Definición: Cuadrilátero

    Un cuadrilátero es un tipo de polígono que tiene 4 lados. Un rectángulo es un ejemplo de cuadrilátero. Un pentágono no es cuadrilátero, porque tiene 5 lados.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    ¿Cuáles tres de estos paralelogramos tienen la misma área entre sí?

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    Figura D, los lados izquierdo y derecho son cada uno de 3 unidades, y los lados superior e inferior descienden 1 unidad a medida que se mueven hacia la derecha 5 unidades.
    1. A
    2. B
    3. C
    4. D

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    ¿Qué par de base y altura produce la mayor superficie? Todas las medidas son en centímetros.

    1. \(b=4, h=3.5\)
    2. \(b=0.8, h=20\)
    3. \(b=6, h=2.25\)
    4. \(b=10, h=1.4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Aquí están las áreas de tres paralelogramos. Úselos para encontrar la longitud que falta (etiquetada con un “?”) en cada paralelogramo.

    1. 10 unidades cuadradas
    2. 21 unidades cuadradas
    3. 25 unidades cuadradas
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    Figura\(\PageIndex{11}\): Tres paralelogramos etiquetados A, B, C. Paralelogramo A, lado derecho = 5 unidades, altura = signo de interrogación. Paralelogramo B, lado inferior = signo de interrogación. Triángulo recto dibujado fuera del paralelogramo, base = 1 unidad, altura = 7 unidades. Paralelogramo C, lado inferior = signo de interrogación. Triángulo recto dibujado fuera del paralelogramo, base = 2.5 unidades, altura = 5 unidades.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    El edificio Docckland en Hamburgo, Alemania, tiene la forma de un paralelogramo.

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    Figura\(\PageIndex{12}\): Arquitectura Edificio Port Elbe Hamburg, de Max Pixel. Dominio público. freegreatpicture.com. Fuente.

    Si la longitud del edificio es de 86 metros y su altura es de 55 metros, ¿cuál es el área de esta cara del edificio?

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Seleccione todos los segmentos que puedan representar una altura correspondiente si el lado\(m\) es la base.

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    Figura\(\PageIndex{13}\)
    1. e
    2. f
    3. g
    4. h
    5. j
    6. k
    7. n

    (De la Unidad 1.2.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra el área de la región sombreada. Todas las medidas son en centímetros. Muestra tu razonamiento.

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    Figura\(\PageIndex{14}\)

    (De la Unidad 1.1.3)

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