5.1: Poliedros

Lección

Investiguemos los poliedros.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): What are Polyhedra?

Aquí hay fotos que representan poliedros:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Aquí hay fotos que no representan poliedros:

Figura\(\PageIndex{2}\)

1. Tu profesor te dará algunas figuras u objetos. Clasifíquelos en poliedros y no poliedros.
2. ¿Qué características te ayudaron a distinguir los poliedros de las otras figuras?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Prisms and Pyramids

1. Aquí hay algunos poliedros llamados prismas.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Aquí hay algunos poliedros llamados pirámides.

Figura\(\PageIndex{4}\)

1. Mira los prismas. ¿Cuáles son sus características o características?
2. Mira las pirámides. ¿Cuáles son sus características o características?

2. ¿Cuál de estas redes se puede plegar en Pyramid P? Seleccione todas las que correspondan.

Figura\(\PageIndex{5}\): Tres figuras etiquetadas neto 1, neto 2 y neto 3. La red 1 tiene cuatro triángulos pequeños dispuestos horizontalmente para crear un paralelogramo, la red dos tiene cuatro triángulos pequeños dispuestos para formar un triángulo más grande, y la red 3 tiene dos cuatro triángulos pequeños que se encuentran todos en sus vértices.

3. Tu profesor le dará a tu grupo un conjunto de polígonos y le asignará un poliedro.
   1. Decide qué polígonos son necesarios para componer tu poliedro asignado. Enumere los polígonos y cuántos de cada uno se necesitan.
   2. Colocar los recortes en una red que, si se pega y se pliega, se puede ensamblar en el poliedro. Esbozar la red. Si es posible, encuentra más de una manera de organizar los polígonos (mostrar una red diferente para el mismo poliedro).

¿Estás listo para más?

¿Cuál es el menor número de caras que un poliedro puede tener? Explique cómo sabe.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Assembling Polyhedra

1. Tu profesor te dará la red de un poliedro. Corta la red y dóblala a lo largo de los bordes para armar un poliedro. Pega o pega las solapas para que no queden bordes sin unir.
2. ¿Cuántos vértices, aristas y caras hay en tu poliedro?

Resumen

Un poliedro es una figura tridimensional compuesta por caras. Cada cara es un polígono rellenado y se encuentra solo con otra cara a lo largo de una arista completa. Los extremos de los bordes se encuentran en puntos que se denominan vértices.

Figura\(\PageIndex{6}\)

Un poliedro siempre encierra una región tridimensional.

El plural de poliedro es poliedros. Aquí hay algunos dibujos de poliedros:

Figura\(\PageIndex{7}\)

Un prisma es un tipo de poliedro con dos caras idénticas que son paralelas entre sí y que se denominan bases. Las bases están conectadas por un conjunto de rectángulos (o a veces paralelogramos).

Un prisma recibe el nombre de la forma de sus bases. Por ejemplo, si la base es un pentágono, entonces se le llama “prisma pentagonal”.

Figura\(\PageIndex{8}\)

Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una cara especial llamada base. Todas las demás caras son triángulos que todos se encuentran en un solo vértice.

Una pirámide recibe el nombre de la forma de su base. Por ejemplo, si la base es un pentágono, entonces se le llama “pirámide pentagonal”.

Figura\(\PageIndex{9}\)

Una red es una representación bidimensional de un poliedro. Se compone de polígonos que forman las caras de un poliedro.

Un cubo tiene 6 caras cuadradas, por lo que su red está compuesta por seis cuadrados, como se muestra aquí.

Figura\(\PageIndex{10}\)

Una red se puede cortar y plegar para hacer un modelo del poliedro.

En un cubo, cada cara comparte sus bordes con otros 4 cuadrados. En una red de un cubo, no todos los bordes de los cuadrados se unen con otro borde. Sin embargo, cuando la red está plegada, cada uno de estos bordes abiertos se unirá a otro borde.

Se necesita práctica para visualizar el poliedro final con solo mirar una red.

Entradas en el glosario

Definición: Base (de un prisma o pirámide)

La palabra base también puede referirse a una cara de un poliedro.

Un prisma tiene dos bases idénticas que son paralelas. Una pirámide tiene una base.

Un prisma o pirámide recibe el nombre de la forma de su base.

Figura\(\PageIndex{11}\): La figura de la izquierda está etiquetada como prisma pentagonal. Hay dos pentágonos idénticos en la parte superior e inferior. Cada vértice de un pentágono está conectado por un segmento vertical al vértice correspondiente de los otros pentágonos. Los pentágonos están cada uno sombreados, con la base de la palabra apuntando a cada uno. La figura de la derecha está etiquetada como pirámide hexagonal. Hay un hexágono en la parte inferior sombreada en verde. Desde un punto por encima del hexágono se extienden 6 segmentos, cada uno conectado a un vértice del hexágono.

Definición: Cara

Cada lado plano de un poliedro se llama cara. Por ejemplo, un cubo tiene 6 caras, y todas son cuadrados.

Definición: Net

Una red es una figura bidimensional que se puede plegar para hacer un poliedro.

Aquí hay una red para un cubo.

Figura\(\PageIndex{12}\)

Definición: Poliedro

Un poliedro es una forma cerrada, tridimensional con lados planos. Cuando tenemos más de un poliedro, los llamamos poliedros.

Aquí algunos dibujos de poliedros.

Figura\(\PageIndex{13}\)

Definición: Prisma

Un prisma es un tipo de poliedro que tiene dos bases que son copias idénticas entre sí. Las bases están conectadas por rectángulos o paralelogramos.

Aquí algunos dibujos de prismas.

Figura\(\PageIndex{14}\)

Definición: Pyramid

Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una base. Todas las demás caras son triángulos, y todas se encuentran en un solo vértice.

Aquí algunos dibujos de pirámides.

Figura\(\PageIndex{15}\)

Definición: Superficie

El área superficial de un poliedro es el número de unidades cuadradas que cubren todas las caras del poliedro, sin huecos ni superposiciones.

Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen cada una un área de 9 cm ², entonces la superficie del cubo es\(6\cdot 9\), o 54 cm ².

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Seleccione todos los poliedros.

Figura\(\PageIndex{16}\)

1. A
2. B
3. C
4. D
5. E

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. ¿Este poliedro es un prisma, una pirámide o ninguno? Explique cómo sabe.

Figura\(\PageIndex{17}\)

2. ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Tyler dijo que esta red no puede ser una red para un prisma cuadrado porque no todas las caras son cuadradas.

¿Estás de acuerdo con Tyler? Explica tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{18}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Explica por qué cada uno de estos triángulos tiene una superficie de 9 unidades cuadradas.

Figura\(\PageIndex{19}\)

(De la Unidad 1.3.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

1. Un paralelogramo tiene una base de 12 metros y una altura de 1.5 metros. ¿Cuál es su área?
2. Un triángulo tiene una base de 16 pulgadas y una altura de\(\frac{1}{8}\) pulgadas. ¿Cuál es su área?
3. Un paralelogramo tiene un área de 28 pies cuadrados y una altura de 4 pies. ¿Cuál es su base?
4. Un triángulo tiene un área de 32 milímetros cuadrados y una base de 8 milímetros. ¿Cuál es su altura?

(De la Unidad 1.3.3)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Encuentra el área de la región sombreada. Muestra o explica tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{20}\): 2 triángulos rectos congruentes que tocan altura a altura. En cada uno, base = 7 centímetros, altura = 5 centímetros. cuadrado con longitud lateral = 2 centímetros recortados desde el centro de la figura. área alrededor del cuadrado sombreado.

(De la Unidad 1.1.3)