5.4: Distinguir entre área de superficie y volumen

Lección

Contrastemos el área de superficie y el volumen.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Attributes and Their Measures

Por cada cantidad, elija una o más unidades de medida adecuadas.

Para los dos últimos, piense en una cantidad que podría medirse adecuadamente con las unidades dadas.

Cantidades

1. Perímetro de un estacionamiento:
2. Volumen de un camión semi:
3. Superficie de un refrigerador:
4. Longitud de una pestaña:
5. Área de un estado:
6. Volumen de un océano:
7. ________________________: millas
8. ________________________: metros cúbicos

Unidades

• milímetros (mm)
• pies (ft)
• metros (m)
• pulgadas cuadradas (sq in)
• pies cuadrados (pies cuadrados)
• millas cuadradas (sq mi)
• kilómetros cúbicos (cu km)
• yardas cúbicas (cu yd)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Building with 8 Cubes

Este applet tiene 16 cubos en su pila oculta. Construye dos formas diferentes usando 8 cubos para cada una.

Para cada forma, determine la siguiente información y escríbela en una nota adhesiva.

• Dar un nombre o una etiqueta (por ejemplo, la primera forma de Mae o los pasos de Eric).
• Determinar su volumen.
• Determinar su superficie.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Comparing Prisms Without Building Them

Tres prismas rectangulares cada uno tienen una altura de 1 cm.

• El prisma A tiene una base que es de 1 cm por 11 cm.
• El prisma B tiene una base que es de 2 cm por 7 cm.
• El prisma C tiene una base que es de 3 cm por 5 cm.

1. Encuentra la superficie y el volumen de cada prisma. Usa el papel de punto para dibujar los prismas, si es necesario.

Figura\(\PageIndex{1}\)

2. Analizar los volúmenes y áreas superficiales de los prismas. ¿Qué notas? Escribe 1 o 2 observaciones sobre ellos.

¿Estás listo para más?

¿Se pueden encontrar más ejemplos de prismas que tienen las mismas áreas superficiales pero diferentes volúmenes? ¿Cuántos puedes encontrar?

Resumen

La longitud es un atributo unidimensional de una figura geométrica. Medimos longitudes usando unidades como milímetros, centímetros, metros, kilómetros, pulgadas, pies, yardas y millas.

Figura\(\PageIndex{2}\)

El área es un atributo bidimensional. Medimos área en unidades cuadradas. Por ejemplo, un cuadrado que es de 1 centímetro en cada lado tiene un área de 1 centímetro cuadrado.

Figura\(\PageIndex{3}\)

El volumen es un atributo tridimensional. Medimos el volumen en unidades cúbicas. Por ejemplo, un cubo que es de 1 kilómetro a cada lado tiene un volumen de 1 kilómetro cúbico.

Figura\(\PageIndex{4}\)

El área superficial y el volumen son atributos diferentes de figuras tridimensionales. El área superficial es una medida bidimensional, mientras que el volumen es una medida tridimensional.

Dos figuras pueden tener el mismo volumen pero diferentes áreas superficiales. Por ejemplo:

• Un prisma rectangular con longitudes laterales de 1 cm, 2 cm y 2 cm tiene un volumen de 4 cm cúbicos y una superficie de 16 cm cuadrados.
• Un prisma rectangular con longitudes laterales de 1 cm, 1 cm y 4 cm tiene el mismo volumen pero una superficie de 18 cm cuadrados.

Figura\(\PageIndex{5}\): A la izquierda, el prisma rectangular con longitudes laterales de 1 centímetro, 2 centímetros y 2 centímetros tiene un volumen de 4 centímetros cúbicos y una superficie de 16 centímetros cuadrados. A la derecha, el prisma rectangular con longitudes laterales de 1 centímetro, 1 centímetro y 4 centímetros tiene el mismo volumen pero una superficie de 18 centímetros cuadrados.

De igual manera, dos figuras pueden tener la misma superficie pero volúmenes diferentes.

• Un prisma rectangular con longitudes laterales de 1 cm, 1 cm y 5 cm tiene una superficie de 22 cm cuadrados y un volumen de 5 cm cúbicos.
• Un prisma rectangular con longitudes laterales de 1 cm, 2 cm y 3 cm tiene la misma superficie pero un volumen de 6 cu cm.

Figura\(\PageIndex{6}\): A la izquierda, el prisma rectangular con longitudes laterales de 1 centímetro, 1 centímetro y 5 centímetros tiene una superficie de 22 centímetros cuadrados y un volumen de 5 centímetros cúbicos. A la derecha, el prisma rectangular con longitudes laterales de 1 centímetro, 2 centímetros y 3 centímetros tiene la misma superficie pero un volumen de 6 centímetros cúbicos.

Entradas en el glosario

Definición: Base (de un prisma o pirámide)

La palabra base también puede referirse a una cara de un poliedro.

Un prisma tiene dos bases idénticas que son paralelas. Una pirámide tiene una base.

Un prisma o pirámide recibe el nombre de la forma de su base.

Figura\(\PageIndex{7}\): La figura de la izquierda está etiquetada como prisma pentagonal. Hay dos pentágonos idénticos en la parte superior e inferior. Cada vértice de un pentágono está conectado por un segmento vertical al vértice correspondiente de los otros pentágonos. Los pentágonos están cada uno sombreados, con la base de la palabra apuntando a cada uno. La figura de la derecha está etiquetada como pirámide hexagonal. Hay un hexágono en la parte inferior sombreada en verde. Desde un punto por encima del hexágono se extienden 6 segmentos, cada uno conectado a un vértice del hexágono.

Definición: Cara

Cada lado plano de un poliedro se llama cara. Por ejemplo, un cubo tiene 6 caras, y todas son cuadrados.

Definición: Net

Una red es una figura bidimensional que se puede plegar para hacer un poliedro.

Aquí hay una red para un cubo.

Figura\(\PageIndex{9}\)

Definición: Poliedro

Un poliedro es una forma cerrada, tridimensional con lados planos. Cuando tenemos más de un poliedro, los llamamos poliedros.

Aquí algunos dibujos de poliedros.

Figura\(\PageIndex{10}\)

Definición: Prisma

Un prisma es un tipo de poliedro que tiene dos bases que son copias idénticas entre sí. Las bases están conectadas por rectángulos o paralelogramos.

Aquí algunos dibujos de prismas.

Figura\(\PageIndex{11}\)

Definición: Pyramid

Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una base. Todas las demás caras son triángulos, y todas se encuentran en un solo vértice.

Aquí algunos dibujos de pirámides.

Figura\(\PageIndex{12}\)

Definición: Superficie

El área superficial de un poliedro es el número de unidades cuadradas que cubren todas las caras del poliedro, sin huecos ni superposiciones.

Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen cada una un área de 9 cm ², entonces la superficie del cubo es\(6\cdot 9\), o 54 cm ².

Definición: Volumen

Volumen es el número de unidades cúbicas que llenan una región tridimensional, sin huecos ni superposiciones.

Por ejemplo, el volumen de este prisma rectangular es de 60 unidades ³, ya que está compuesto por 3 capas que son cada una de 20 unidades ³.

Figura\(\PageIndex{13}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Haga coincidir cada cantidad con una unidad de medida apropiada.

1. La superficie de una caja de pañuelos
2. La cantidad de tierra en una caja de maceta
3. El área de un estacionamiento
4. La longitud de un campo de fútbol
5. El volumen de una pecera

1. Metros cuadrados
2. Yardas
3. Pulgadas cúbicas
4. Pies cúbicos
5. Centímetros cuadrados

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Aquí hay una figura construida a partir de cubos de presión.

Figura\(\PageIndex{14}\)

1. Encuentra el volumen de la figura en unidades cúbicas.
2. Encuentra la superficie de la figura en unidades cuadradas.
3. Verdadero o falso: Si duplicamos el número de cubos que se apilan, tanto el volumen como el área de superficie se duplicarán. Explique o muestre cómo sabe.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Lin dijo: “Dos figuras con el mismo volumen también tienen la misma superficie”.

1. ¿Cuáles dos cifras sugieren que su afirmación es cierta?
2. ¿Cuáles dos cifras podrían demostrar que su afirmación no es cierta?

Figura\(\PageIndex{15}\): 5 figuras compuestas por cubos unitarios, etiquetados A, B, C, D, E. A es una forma de T, 3 cubos de ancho, 3 cubos abajo. B, 2 cubos apilados encima de 3 cubos, 1 cubo adicional al frente. C, 1 cubo apilado encima de 2 cubos apilados sobre 3 cubos. D. Cubos de 2 por 4 planos con 1 cubo adicional apilado en la parte superior. E. 6 cubos apilados uno encima del otro, 1 por 1 por 6.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dibuja un pentágono (polígono de cinco lados) que tenga un área de 32 unidades cuadradas. Etiquete todos los lados o segmentos relevantes con sus medidas y demuestre que el área es de 32 unidades cuadradas.

(De la Unidad 1.4.1)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

1. Dibuja una red para este prisma rectangular.

Figura\(\PageIndex{16}\)

2. Encuentra el área de superficie del prisma rectangular.

(De la Unidad 1.5.4)