17.3: Las proporciones equivalentes tienen las mismas tarifas unitarias

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Lección

Revisemos las proporciones equivalentes.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Which One Doesn't Belong: Comparing Speeds

¿Cuál no pertenece? Esté preparado para explicar su razonamiento.

$5$millas en$15$ minutos

$3$minutos por milla

$20$millas por hora

$32$kilómetros por hora

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Price of Burritos

Dos burritos cuestan 14 dólares. Complete la tabla para mostrar el costo de 4, 5 y 10 burritos a esa tasa. A continuación, encuentra el costo de un solo burrito en cada caso.

Mesa$\PageIndex{1}$
número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por burrito)
$2$	$14$
$4$
$5$
$10$
$b$

¿Qué nota sobre los valores en esta tabla?

Noé compró$b$ burritos y pagó$c$ dólares. Lin compró el doble de burritos que Noah y pagó el doble del costo que hizo. ¿Cuánto pagó Lin por burrito?

Mesa$\PageIndex{2}$
	número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por burrito)
Noé	$b$	$c$	$\frac{c}{b}$
Lin	$2\cdot b$	$2\cdot c$

Explica por qué, si puedes comprar$b$ burritos por$c$ dólares, o comprar$2\cdot b$ burritos por$2\cdot c$ dólares, el costo por artículo es el mismo en cualquier caso.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Making Bracelets

Completa la tabla. Entonces, explica la estrategia que usaste para hacerlo.

Mesa$\PageIndex{3}$
tiempo en horas	número de brazaletes	velocidad (brazaletes por hora)
$2$		$6$
$5$		$6$
$7$		$6$
	$66$	$6$
	$100$	$6$

Figura$\PageIndex{1}$: Pulsera de Cuero con Cordón, de Maegan Tintari. CC POR 2.0. Flickr. Fuente.

Aquí hay una mesa parcialmente llena de una actividad anterior. Usa la misma estrategia que usaste para el problema de la pulsera para completar esta tabla.

Mesa$\PageIndex{4}$
número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por burrito)
	$14$	$7$
	$28$	$7$
$5$		$7$
$10$		$7$

A continuación, compare sus resultados con los de la primera tabla de la actividad anterior. ¿Coinciden? Explique por qué o por qué no.

Ejercicio$\PageIndex{4}$: How Much Applesauce?

Se necesitan 4 libras de manzanas para hacer 6 tazas de salsa de manzana.

A este ritmo, cuánta salsa de manzana se puede hacer con:
1. $7$libras de manzanas?
2. $10$libras de manzanas?
¿Cuántas libras de manzanas necesitarías hacer?
1. $9$tazas de manzana?
2. $20$tazas de manzana?

Mesa$\PageIndex{5}$
libras de manzanas	tazas de manzana
$4$	$6$
$7$
$10$
	$9$
	$20$

¿Estás listo para más?

Jada come 2 bolas de helado en 5 minutos. Noé come 3 bolas de helado en 5 minutos. ¿Cuánto tiempo les lleva comer 1 cucharada de helado trabajando juntos (si continúan comiendo helado al mismo ritmo lo hacen individualmente)?
La manguera de jardín en la casa de Andre puede llenar un balde de 5 galones en 2 minutos. La manguera de la casa de su vecino de al lado puede llenar un balde de 10 galones en 8 minutos. Si usan ambas mangueras de jardín al mismo tiempo, y las mangueras continúan funcionando al mismo ritmo que lo hacían al llenar un cubo, ¿cuánto tiempo tardará en llenar una piscina de 750 galones?

Resumen

En la tabla se muestran diferentes cantidades de manzanas que se venden a la misma tasa, lo que significa que todas las proporciones en la tabla son equivalentes. En cada caso, podemos encontrar el precio unitario en dólares por libra dividiendo el precio por el número de libras.

Mesa$\PageIndex{6}$
manzanas (libras)	precio (dólares)	precio unitario (dólares por libra)
$4$	$10$	$10\div 4=2.50$
$8$	$20$	$20\div 8=2.50$
$20$	$50$	$50\div 20=2.50$

El precio unitario es siempre el mismo. Ya sea que compremos 4 libras de manzanas por 10 dólares o 8 libras de manzanas por 20 dólares, las manzanas cuestan 2.50 dólares por libra.

También podemos encontrar el número de libras de manzanas que podemos comprar por dólar dividiendo el número de libras por el precio.

Mesa$\PageIndex{7}$
manzanas (libras)	precio (dólares)	libras por dólar
$4$	$10$	$4\div 10=0.4$
$8$	$20$	$8\div 20=0.4$
$20$	$50$	$20\div 50=0.4$

¡El número de libras que podemos comprar por un dólar también es el mismo! Ya sea que compremos 4 libras de manzanas por 10 dólares o 8 libras de manzanas por 20 dólares, estamos recibiendo 0.4 libras por dólar.

Esto es cierto en todos los contextos: cuando dos ratios son equivalentes, sus tasas unitarias serán iguales.

Mesa$\PageIndex{8}$
cantidad$x$	cantidad$y$	tarifa unitaria 1	tarifa unitaria 2
\ (x\) ">$a$	\ (y\) ">$b$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$
\ (x\) ">$s\cdot a$	\ (y\) ">$s\cdot b$	$\frac{s\cdot a}{s\cdot b}=\frac{a}{b}$	$\frac{s\cdot b}{s\cdot a}=\frac{b}{a}$

Entradas en el glosario

Definición: Precio unitario

El precio unitario es el costo de un artículo o por una unidad de medida. Por ejemplo, si 10 pies de esgrima de eslabones de cadena cuestan $150, entonces el precio unitario es$150\div 10$, o $15 por pie.

Definición: Tasa Unitaria

Una tarifa unitaria es una tarifa por 1.

Por ejemplo, 12 personas comparten 2 pasteles por igual. Una tarifa unitaria es de 6 personas por pastel, porque$12\div 2=6$. La otra tarifa unitaria es$\frac{1}{6}$ de un pastel por persona, porque$2\div 12=\frac{1}{6}$.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Un automóvil recorre 55 millas por hora durante 2 horas. Completa la tabla.

Mesa$\PageIndex{9}$
tiempo (horas)	distancia (millas)	millas por hora
$1$	$55$	$55$
$\frac{1}{2}$
$1\frac{1}{2}$
	$110$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

En la tabla se muestran las cantidades de cebollas y tomates en lotes de diferentes tamaños de una receta de salsa.

Mesa$\PageIndex{10}$
cebollas (onzas)	tomates (onzas)
$2$	$16$
$4$	$32$
$6$	$48$

Elena nota que si toma el número en la columna de tomates y lo divide por el número correspondiente en la columna de cebollas, siempre obtiene el mismo resultado.

¿Cuál es el significado del número que Elena ha calculado?

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Un restaurante ofrece 2 especiales: 10 burritos por $12, o 6 burritos por $7.50. Noé necesita 60 burritos para su fiesta. ¿Debería comprar 6 pedidos del especial de 10 burritos o 10 pedidos del especial de 6 burritos? Explica tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Completa la tabla para que el costo por banano siga siendo el mismo.

Mesa$\PageIndex{11}$
número de plátanos	costo en dólares	precio unitario (dólares por banano)
$4$		$0.50$
$6$		$0.50$
$7$		$0.50$
$10$		$0.50$
	$10.00$	$0.50$
	$16.50$	$0.50$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Dos aviones viajan a velocidad constante. El Avión A recorre 2,800 millas en 5 horas. El avión B recorre 3,885 millas en 7 horas. ¿Qué avión es más rápido? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 3.3.1)

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Un automóvil tiene 15 galones de gasolina en su tanque. El auto viaja 35 millas por galón de gasolina. Utiliza$\frac{1}{35}$ un galón de gas para ir 1 milla.

¿Hasta dónde puede viajar el auto con 15 galones? Muestra tu razonamiento.
¿Cuánta gasolina usa el auto para recorrer 100 millas? Muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 3.3.2)

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Una caja de cereal pesa 600 gramos. ¿Cuánto cuesta este peso en libras? Explica o muestra tu razonamiento. (Nota: 1 kilogramo = 2.2 libras)

(De la Unidad 3.2.3)

número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por burrito)
\(2\)	\(14\)
\(4\)
\(5\)
\(10\)
\(b\)

tiempo en horas	número de brazaletes	velocidad (brazaletes por hora)
\(2\)		\(6\)
\(5\)		\(6\)
\(7\)		\(6\)
	\(66\)	\(6\)
	\(100\)	\(6\)

número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por burrito)
	\(14\)	\(7\)
	\(28\)	\(7\)
\(5\)		\(7\)
\(10\)		\(7\)

libras de manzanas	tazas de manzana
\(4\)	\(6\)
\(7\)
\(10\)
	\(9\)
	\(20\)

manzanas (libras)	precio (dólares)	precio unitario (dólares por libra)
\(4\)	\(10\)	\(10\div 4=2.50\)
\(8\)	\(20\)	\(20\div 8=2.50\)
\(20\)	\(50\)	\(50\div 20=2.50\)

	número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por burrito)
Noé	\(b\)	\(c\)	\(\frac{c}{b}\)
Lin	\(2\cdot b\)	\(2\cdot c\)

manzanas (libras)	precio (dólares)	libras por dólar
\(4\)	\(10\)	\(4\div 10=0.4\)
\(8\)	\(20\)	\(8\div 20=0.4\)
\(20\)	\(50\)	\(20\div 50=0.4\)

cantidad\(x\)	cantidad\(y\)	tarifa unitaria 1	tarifa unitaria 2
\ (x\) ">\(a\)	\ (y\) ">\(b\)	\(\frac{a}{b}\)	\(\frac{b}{a}\)
\ (x\) ">\(s\cdot a\)	\ (y\) ">\(s\cdot b\)	\(\frac{s\cdot a}{s\cdot b}=\frac{a}{b}\)	\(\frac{s\cdot b}{s\cdot a}=\frac{b}{a}\)

número de plátanos	costo en dólares	precio unitario (dólares por banano)
\(4\)		\(0.50\)
\(6\)		\(0.50\)
\(7\)		\(0.50\)
\(10\)		\(0.50\)
	\(10.00\)	\(0.50\)
	\(16.50\)	\(0.50\)