Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

28.3: Uso de diagramas para representar la multiplicación

  1. Última actualización
  2. Guardar como PDF
  • Page ID
    119637

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Lección

    Usemos diagramas de área para encontrar productos.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Estimate the Product

    Para cada uno de los siguientes productos, elija la mejor estimación de su valor. Esté preparado para explicar su razonamiento.

    1. \((6.8)\cdot (2.3)\)
      • \(1.40\)
      • \(14\)
      • \(140\)
    2. \(74\cdot (8.1)\)
      • \(5.6\)
      • \(56\)
      • \(560\)
    3. \(166\cdot (0.09)\)
      • \(1.66\)
      • \(16.6\)
      • \(166\)
    4. \((3.4)\cdot (1.9)\)
      • \(6.5\)
      • \(65\)
      • \(650\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Connecting Area Diagrams to Calculations with Whole Numbers

    1. Aquí hay tres formas de encontrar el área de un rectángulo que es\(24\) unidades por\(13\) unidades.
    clipboard_e1774f73831420e7d72c588434fb43a40.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Diagrama 1, rectángulo particionado vertical y horizontalmente en 4 rectángulos. Rectángulo superior izquierdo, lado vertical, 10, lado horizontal, 20, área, 200. Rectángulo superior derecho, lado horizontal, 4, área, 40. Rectángulo inferior izquierdo, lado vertical, 3, área 60. Rectángulo inferior derecho, área, 12. Diagrama 2, rectángulo particionado horizontalmente en 2 rectángulos. Rectángulo superior, lado vertical, 10, lado horizontal, 24, área, 240. Rectángulo inferior, lado vertical 3, área, 72. Diagrama 3, rectángulo particionado verticalmente en 2 rectángulos. Rectángulo izquierdo, lado vertical, 13, lado horizontal, 20, área, 260. Rectángulo derecho, lado horizontal, 4, área, 52.

    Discuta con tu pareja:

    1. ¿Qué tienen en común los diagramas? ¿Cómo son iguales?
    2. ¿En qué se diferencian?
    3. Si encontraras el área de un rectángulo que es de 37 unidades por 19 unidades, ¿cuál de las tres formas de descomponer el rectángulo usarías? ¿Por qué?
    1. Puede estar familiarizado con diferentes formas de escribir cálculos de multiplicación. Aquí hay dos formas de calcular 24 veces 13.
    clipboard_e63c706ec36be982d7b1a92747d31046e.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Dos cálculos verticales de 24 veces 13. Cálculo A, 7 filas. Primera fila: 24. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 13. Línea horizontal. Tercera fila: 12. Cuarta fila: 60. Quinta fila: 40. Sexta fila: más 200. Línea horizontal. Séptima fila: 312. Cálculo B, 5 filas. Primera fila: 24. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 13. Línea horizontal. Tercera fila: 72. Cuarta fila: más 240. Línea horizontal. Quinta fila: 312.

    Discuta con tu pareja:

    1. En el Cálculo A, ¿cómo se obtiene cada uno de los productos parciales? Por ejemplo, ¿de dónde vienen los 12?
    2. En el Cálculo B, ¿cómo se obtienen los 72 y 240?
    3. Mira los diagramas en la primera pregunta. ¿Qué diagrama corresponde al Cálculo A? ¿Cuál corresponde al Cálculo B?
    4. ¿Cómo se relacionan los productos parciales en Cálculo A y los 72 y 240 en Cálculo B con los números en los diagramas?
    1. Usa los dos métodos siguientes para encontrar el producto de 18 y 14, luego compara los valores obtenidos.
    1. Calcular numéricamente.
    clipboard_eb36cb2289b6de9f4770165c5c993dc7a.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)
    1. Aquí hay un rectángulo que es de 18 unidades por 14 unidades. Encuentra su área, en unidades cuadradas descomponiéndola. Muestra tu razonamiento.
    clipboard_ed11afe0bf18f73cbf4947a17aa03e84c.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)
    1. Compara los valores\(18\cdot 14\) que obtuviste usando los dos métodos. Si no son lo mismo, revisa tu trabajo.
      • Usa el applet para verificar tus respuestas y explorar tus propios escenarios. Para ajustar los valores, mueva los puntos en los extremos de los segmentos.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Connecting Area Diagrams to Calculations with Decimals

    1. Puede utilizar diagramas de área para representar productos de decimales. Aquí hay un diagrama de área que representa\((2.4)\cdot (1.3)\).
    clipboard_ebea75d21398d92b1a36a9e6417ceaab0.png
    Figura\(\PageIndex{5}\): Un rectángulo particionado vertical y horizontalmente en 4 rectángulos. Rectángulo superior izquierdo, lado vertical, 1, lado horizontal, 2. Rectángulo superior derecho, lado vertical, 1, lado horizontal, 0 punto 4. Rectángulo inferior izquierdo, lado vertical, 0 punto 3, lado horizontal, 2. Rectángulo inferior derecho, lado vertical, 0 punto 3, lado horizontal, 0 punto 4.
    1. ¿Encuentra la región que representa\((0.4)\cdot (0.3)\)? Etiquetar esa región con su área de\(0.12\).
    2. Etiquetar cada una de las otras regiones con sus respectivas áreas.
    3. Encuentra el valor de\((2.4)\cdot (1.3)\). Muestra tu razonamiento.
    1. Aquí hay dos formas de calcular los\(2.4\) tiempos\(1.3\).
    clipboard_ee5536c6ac07b56c2822f1065ca71893c.png
    Figura\(\PageIndex{6}\): Dos cálculos verticales de 2 puntos 4 veces 1 punto 3. Cálculo A, 7 filas. Primera fila: 2 punto 4. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 1 punto 3. Línea horizontal. Tercera fila: 0 punto 1 2. Cuarta fila: 0 punto 6. Quinta fila: 0 punto 4. Sexta fila: más 2. Línea horizontal. Séptima fila: 3 punto 1 2. Cálculo B, 5 filas. Primera fila: 2 punto 4. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 1 punto 3. Línea horizontal. Tercera fila: 0 punto 7 2. Cuarta fila: más 2 punto 4. Línea horizontal. Quinta fila: 3 punto 1 2.

    Analice los cálculos y discuta con un socio:

    1. En Cálculo A, ¿de dónde provienen los 0.12 y otros productos parciales? En Cálculo B, ¿de dónde provienen los 0.72 y 2.4? ¿Cómo se calculan los otros números en azul?
    2. En cada cálculo, ¿por qué los números en azul están alineados verticalmente tal como son?
    1. Encuentra el producto de\((3.1)\cdot (1.5)\) dibujando y etiquetando un diagrama de área. Muestra tu razonamiento.
    2. Mostrar cómo calcular\((3.1)\cdot (1.5)\) usando números sin diagrama. Esté preparado para explicar su razonamiento. Si estás atascado, usa los ejemplos de una pregunta anterior para ayudarte.
    3. Usa el applet para verificar tus respuestas y explorar tus propios escenarios. Para ajustar los valores, mueva los puntos en los extremos de los segmentos.

    ¿Estás listo para más?

    ¿Cuántas hectáreas es propiedad de tu escuela? ¿Cuántos morgens es eso?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Using the Partial Products Method

    1. Etiquete el diagrama de área para representar\((2.5)\cdot (1.2)\) y encontrar ese producto.
    clipboard_e4d20b0e1232abd0602ecc251231af168.png
    Figura\(\PageIndex{7}\)
    1. Descomponga cada número en sus unidades base diez (unas, décimas, etc.) y escríbelas en las cajas a cada lado del rectángulo.
    2. Etiquete las Regiones A, B, C y D con sus áreas. Muestra tu razonamiento.
    3. Encuentra el producto que representa el diagrama de área. Muestra tu razonamiento.
    1. Aquí hay dos formas de calcular\((2.5)\cdot (1.2)\). Cada número con una caja da el área de una o más regiones en el diagrama de área.
    clipboard_e39209f8c10a63e1bcb0e9122c68b6b9d.png
    Figura\(\PageIndex{8}\): Dos cálculos verticales de 2 puntos 5 veces 1 punto 2. Cálculo A, 7 filas. Primera fila: 2 punto 5. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 1 punto 2. Línea horizontal. Tercera fila: 0 punto 1. Cuarta fila: 0 punto 4. Quinta fila: 0 punto 5. Sexta fila: más 2. Línea horizontal. Séptima fila: 3 punto 0 0. Cálculo B, 5 filas. Primera fila: 2 punto 5. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 1 punto 2. Línea horizontal. Tercera fila: 0 punto 5. Cuarta fila: más 2 punto 5. Línea horizontal. Quinta fila: 3 punto 0 0.
    1. En las casillas al lado de cada número, escriba la letra o letras de la región o regiones correspondientes.
    2. En Cálculo B, ¿qué dos números se están multiplicando para obtener 0.5?
      ¿Qué números se están multiplicando para obtener 2.5?

    Resumen

    Supongamos que queremos calcular el producto de dos números que están escritos en base diez. Para explicar cómo, podemos usar lo que sabemos sobre los números de base diez y las áreas de rectángulos.

    Aquí hay un diagrama de un rectángulo con longitudes laterales 3.4 unidades y 1.2 unidades.

    clipboard_e9157eca82a3d82d47e17cbd4999f36df.png
    Figura\(\PageIndex{9}\)

    Su área, en unidades cuadradas, es el producto

    \((3.4)\cdot (1.2)\)

    Para calcular este producto y encontrar el área del rectángulo, podemos descomponer cada longitud de lado en sus unidades de base diez\(1.2=1+0.2\),\(3.4=3+0.4\) y descomponer el rectángulo en cuatro sub-rectángulos más pequeños.

    clipboard_e60244de51946f055bec063593dbdfe51.png
    Figura\(\PageIndex{10}\): Diagrama de área. Un rectángulo particionado en 4 rectángulos, A, B, C, D. D, lado vertical, 1, lado horizontal, 3. C, lado vertical, 1, lado horizontal, 0 punto 4. B, lado vertical, 0 punto 2, lado horizontal, 3. A, lado vertical, 0 punto 2, lado horizontal, 0 punto 4.

    Podemos reescribir el producto y expandirlo dos veces:

    \(\begin{aligned} (3.4)\cdot (1.2)&=(3+0.4)\cdot (1+0.2) \\ &= (3+0.4)\cdot 1+(3+0.4)\cdot 0.2 \\ &=3\cdot 1+3\cdot (0.2)+(0.4)\cdot 1+(0.4)\cdot (0.2)\end{aligned}\)

    En la última expresión, cada uno de los cuatro términos se denomina producto parcial. Cada producto parcial da el área de un subrectángulo en el diagrama. La suma de los cuatro productos parciales da el área de todo el rectángulo.

    Podemos mostrar los cálculos horizontales anteriores como dos cálculos verticales.

    clipboard_ef6c1ea3d8194df10076e48eddaa1620a.png
    Figura\(\PageIndex{11}\): Dos cálculos verticales de 3 puntos 4 veces 1 punto 2. Primer cálculo, 7 filas. Primera fila: 3 punto 4. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 1 punto 2. Línea horizontal. Tercera fila: 0 punto 0 8, A. Cuarta fila: 0 punto 6, B. Quinta fila: 0 punto 4, C. Sexta fila: más 3, D. Línea horizontal. Séptima fila: 4 punto 0 8. Segundo cálculo, 5 filas. Primera fila: 3 punto 4. Segunda fila: símbolo de multiplicación, 1 punto 2. Línea horizontal. Tercera fila: 0 punto 6 8, A más B. Cuarta fila: más 3 punto 4, C más D. Línea horizontal. Quinta fila: 4 punto 0 8.

    El cálculo de la izquierda es un ejemplo del método de productos parciales. Se muestran los valores de cada producto parcial y la letra del subrectángulo correspondiente. Cada producto parcial da un área:

    • A es 0.2 unidades por 0.4 unidades, por lo que su área es 0.08 unidad cuadrada.
    • B es 3 unidades por 0.2 unidades, por lo que su área es 0.6 unidad cuadrada.
    • C es 0.4 unidad por 1 unidad, por lo que su área es 0.4 unidad cuadrada.
    • D es de 3 unidades por 1 unidad, por lo que su área es de 3 unidades cuadradas.
    • La suma de los productos parciales es\(0.08+0.6+0.4+3\), por lo que el área del rectángulo es de 4.08 unidades cuadradas.

    El cálculo de la derecha muestra los valores de dos productos. Cada valor da un área combinada de dos sub-rectángulos:

    • Las regiones combinadas de A y B tienen un área de 0.68 unidades cuadradas; 0.68 es el valor de\((3+0.4)\cdot 0.2\).
    • Las regiones combinadas de C y D tienen un área de 3.4 unidades cuadradas; 3.4 es el valor de\((3+0.4)\cdot 1\).
    • La suma de los valores de dos productos es\(0.68+3.4\), por lo que el área del rectángulo es de 4.08 unidades cuadradas.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Aquí hay un rectángulo que ha sido particionado en cuatro rectángulos más pequeños.

    clipboard_ee00ede48f9994ee3e80ab77bc0deb213.png
    Figura\(\PageIndex{12}\)

    Para cada expresión, elija el subrectángulo cuya área, en unidades cuadradas, coincida con la expresión.

    1. \(3\cdot (0.6)\)
    2. \((0.4)\cdot 2\)
    3. \((0.4)\cdot (0.6)\)
    4. \(3\cdot 2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Aquí hay un diagrama de área que representa\((3.1)\cdot (1.4)\).

    clipboard_e877d38d33fa27bc1e3b62a61a611b194.png
    Figura\(\PageIndex{13}\)
    1. Encuentra las áreas de sub-rectángulos A y B.
    2. ¿Cuál es el área del rectángulo 3.1 por 1.4?

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Dibuja un diagrama de área para encontrar\((0.36)\cdot (0.53)\). Etiquete y organice su trabajo para que pueda ser seguido por otros.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra cada producto. Muestra tu razonamiento.

    1. \((2.5)\cdot (1.4)\)
    2. \((0.64)\cdot (0.81)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Complete los cálculos para que cada uno muestre la suma correcta.

    clipboard_e2095e6bde1fa75cec6937d2a7585e4fb.png
    Figura\(\PageIndex{14}\): Cuatro cálculos con cifras faltantes. Primer cálculo, 2 punto 3 en blanco más punto en blanco 6 4 es igual a 9 punto en blanco cinco. Segundo cálculo, 2 punto 3 en blanco más punto en blanco 6 4 es igual a 9 punto en blanco 2. Tercer cálculo, 4 punto 3 en blanco más punto en blanco 1 5 es igual a 6 punto en blanco 2. Cuarto cálculo, 1 punto 5 en blanco más punto en blanco 3 8 es igual a 1 punto en blanco 4.

    (De la Unidad 5.2.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Diego compró 12 mini magdalenas por $4.20.

    1. A este ritmo, ¿cuánto pagaría Diego por 4 mini magdalenas?
    2. ¿Cuántos mini magdalenas podría comprar Diego con $3.00? Explica o muestra tu razonamiento. Si te quedas atascado, considera usar la mesa.
    número de mini magdalenas precio en dólares
    \(12\) \(4.20\)
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    (De la Unidad 2.4.2)

    28.3: Uso de diagramas para representar la multiplicación is shared under a CC BY 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.