31.2: Verdad y Ecuaciones

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Lección

Usemos ecuaciones para representar historias y ver qué significa resolver ecuaciones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Three Letters

La ecuación\(a+b=c\) podría ser verdadera o falsa.
1. Si\(a\) es 3,\(b\) es 4, y\(c\) es 5, ¿la ecuación es verdadera o falsa?
2. Encuentra nuevos valores de\(a, b,\) y\(c\) que hagan que la ecuación sea verdadera.
3. Encuentra nuevos valores de\(a, b,\) y\(c\) que hacen que la ecuación sea falsa.
La ecuación\(x\cdot y=z\) podría ser verdadera o falsa.
1. Si\(x\) es 3,\(y\) es 4, y\(z\) es 12, ¿la ecuación es verdadera o falsa?
2. Encuentra nuevos valores de\(x, y,\) y\(z\) que hagan que la ecuación sea verdadera.
3. Encuentra nuevos valores de\(x, y,\) y\(z\) que hacen que la ecuación sea falsa.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Storytime

Aquí hay tres situaciones y seis ecuaciones. ¿Cuál ecuación representa mejor cada situación? Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.

\(\begin{array}{lllll}{x+5=20}&{\qquad}&{x=20+5}&{\qquad}&{5x=20}\\{x+20=5}&{\qquad}&{5\cdot 20=x}&{\qquad}&{20x=5}\end{array}\)

Después de que Elena corría 5 millas el viernes, había corrido un total de 20 millas durante la semana. Corrió\(x\) millas antes del viernes.
La escuela de Andre tiene 20 clubes, que es cinco veces más que la escuela de su primo. La escuela de su primo tiene\(x\) clubes.
Jada es voluntario en el refugio de animales. Ella dividió 5 tazas de comida para gatos por igual para alimentar a 20 gatos. Cada gato recibió\(x\) tazas de comida.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Using Structures to Find Solutions

Aquí hay algunas ecuaciones que contienen una variable y una lista de valores. Piensa en lo que significa cada ecuación y encuentra una solución en la lista de valores. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama. Esté preparado para explicar por qué su solución es correcta.

\(1000-a=400\)
\(12.6=b+4.1\)
\(8c=8\)
\(\frac{2}{3}\cdot d=\frac{10}{9}\)
\(10e=1\)
\(10=0.5f\)
\(0.99=1-g\)
\(h+\frac{3}{7}=1\)

Lista:

\(\begin{array}{ccccccccc}{\frac{1}{8}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{4}{7}}&{\frac{3}{5}}&{\frac{5}{3}}&{\frac{7}{3}}&{0.01}&{0.1}&{0.5}\\{1}&{2}&{8.5}&{9.5}&{16.7}&{20}&{400}&{600}&{1400}\end{array}\)

¿Estás listo para más?

Una solución a la ecuación\(a+b+c=10\) es\(a=2, b=5, c=3\).

¿Cuántas soluciones diferentes de números enteros hay para la ecuación\(a+b+c=10\)? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen

Una ecuación puede ser verdadera o falsa. Un ejemplo de una ecuación verdadera es\(7+1=4\cdot 2\). Un ejemplo de una ecuación falsa es\(7+1=9\).

Una ecuación puede tener una letra en ella, por ejemplo,\(u+1=8\). Esta ecuación es falsa si\(u\) es 3, porque\(3+1\) no equivale a 8. Esta ecuación es verdadera si\(u\) es 7, porque\(7+1=8\).

Una letra en una ecuación se llama variable. En\(u+1=8\), la variable es\(u\). Un número que se puede utilizar en lugar de la variable que hace verdadera la ecuación se denomina solución a la ecuación. En\(u+1=8\), la solución es 7.

Cuando se escribe un número junto a una variable, se multiplican el número y la variable. Por ejemplo,\(7x=21\) significa lo mismo que\(7\cdot x=21\). Un número escrito junto a una variable se llama coeficiente. Si no se escribe ningún coeficiente, el coeficiente es 1. Por ejemplo, en la ecuación\(p+3=5\), el coeficiente de\(p\) es 1.

Entradas en el glosario

Definición: Coeficiente

Un coeficiente es un número que se multiplica por una variable.

Por ejemplo, en la expresión\(3x+5\), el coeficiente de\(x\) es\(3\). En la expresión\(y+5\), el coeficiente de\(y\) es\(1\), porque\(y=1\cdot y\).

Definición: Solución a una ecuación

Una solución a una ecuación es un número que se puede utilizar en lugar de la variable para hacer que la ecuación sea verdadera.

Por ejemplo, 7 es la solución a la ecuación\(m+1=8\), porque es cierto que\(7+1=8\). La solución a no\(m+1=8\) es\(9\), porque\(9+1\neq 8\).

Definición: Variable

Una variable es una letra que representa un número. Se pueden elegir diferentes números para el valor de la variable.

Por ejemplo, en la expresión\(10-x\), la variable es\(x\). Si el valor de\(x\) es 3, entonces\(10-x=7\), porque\(10-3=7\). Si el valor de\(x\) es\(6\), entonces\(10-x=4\), porque\(10-6=4\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Seleccione todas las ecuaciones verdaderas.

\(5+0=0\)
\(15\cdot 0=0\)
\(1.4+2.7=4.1\)
\(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{9}=\frac{7}{12}\)
\(4\frac{2}{3}=5-\frac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

La botella de agua de Mai tenía 24 onzas en ella. Después de que ella bebió\(x\) onzas de agua, quedaban 10 onzas. Seleccione todas las ecuaciones que representen esta situación.

\(24\div 10=x\)
\(24+10=x\)
\(24-10=x\)
\(x+10=24\)
\(10x=24\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Priya tiene 5 lápices, cada uno\(x\) pulgadas de largo. Cuando alinea los lápices de extremo a extremo, miden 34.5 pulgadas. Seleccione todas las ecuaciones que representen esta situación.

\(5+x=34.5\)
\(5x=34.5\)
\(34.5\div 5=x\)
\(34.5-5=x\)
\(x=(34.5)\cdot 5\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Haga coincidir cada ecuación con una solución de la lista de valores.

\(2a=4.6\)
\(b+2=4.6\)
\(c\div 2=4.6\)
\(d-2=4.6\)
\(e+\frac{3}{8}=2\)
\(\frac{1}{8}f=3\)
\(g\div\frac{8}{5}=1\)

\(\frac{8}{5}\)
\(1\frac{5}{8}\)
\(2.3\)
\(2.6\)
\(6.6\)
\(9.2\)
\(24\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

La cantidad diaria recomendada de vitamina C para un niño de sexto grado es de 45 mg. 1 naranja tiene aproximadamente 75% de la cantidad diaria recomendada de vitamina C. ¿Cuántos miligramos hay en 1 naranja? Si te quedas atascado, considera usar la línea numérica doble.

Figura\(\PageIndex{1}\): Doble línea numérica, 6 marcas de verificación espaciadas uniformemente. Línea superior, vitamina C, mg. A partir de la primera marca de verificación, etiquetas: 0, en blanco, en blanco, en blanco, 45, en blanco. Línea de fondo. Comenzando en la primera marca de verificación, etiquetada 0, en blanco, en blanco, en blanco, 100 por ciento, en blanco

(De la Unidad 3.4.2)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Hay 90 niños en la banda. El 20% de los niños poseen sus propios instrumentos, y el resto los renta.

¿Cuántos niños poseen sus propios instrumentos?
¿Cuántos niños rentan instrumentos?
¿Qué porcentaje de niños rentan sus instrumentos?

(De la Unidad 3.4.3)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Encuentra cada producto.

\((0.25)\cdot (1.4)\)
\((0.061)\cdot (0.43)\)
\((1.017)\cdot (0.072)\)
\((5.226)\cdot (0.037)\)

(De la Unidad 5.3.4)