31.3: Mantenerse en Equilibrio

Lección

Usemos perchas balanceadas para ayudarnos a resolver ecuaciones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Hanging Around

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos perchas, A y B. A, desequilibradas. Lado izquierdo, 1 triángulo, lado derecho, 1 cuadrado. Izquierda inferior que derecha. B, equilibrado. Lado izquierdo, 1 triángulo, lado derecho, 3 cuadrados idénticos.

Para el diagrama A, busque:

1. Una cosa que debe ser verdad
2. Una cosa que podría ser verdadera o falsa
3. Una cosa que no puede ser verdad

Para el diagrama B, busque:

1. Una cosa que debe ser verdad
2. Una cosa que podría ser verdadera o falsa
3. Una cosa que no puede ser verdad

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Match Equations and Hangers

Figura\(\PageIndex{2}\): Cuatro perchas balanceadas, A, B, C y D. A, lado izquierdo, 3 círculos idénticos, x, lado derecho, 6 cuadrados idénticos, 1. B, lado izquierdo, 1 pentágono, y, 3 cuadrados idénticos, 1, lado derecho, 6 cuadrados idénticos, 1. C, lado izquierdo, 6 cuadrados idénticos, 1, lado derecho, 3 triángulos idénticos, z. D, lado izquierdo, 6 cuadrados idénticos, 1, lado derecho, 1 corona, w, 1 cuadrado, 1.

1. Haga coincidir cada percha con una ecuación. Completa la ecuación escribiendo\(x, y, z,\) o\(w\) en la caja vacía.

Figura\(\PageIndex{3}\)

2. Encuentra una solución a cada ecuación. Usa las perchas para explicar lo que significa cada solución.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Connecting Diagrams to Equations and Solutions

Aquí hay algunas perchas balanceadas. Cada pieza está etiquetada con su peso.

Figura\(\PageIndex{4}\): Cuatro perchas balanceadas, A, B, C y D. A, lado izquierdo, 1 círculo, x, 1 rectángulo, 3, lado derecho, 1 rectángulo, 8. B, lado izquierdo, 1 rectángulo, 12, lado derecho, 2 pentágonos idénticos, y. C, lado izquierdo, 1 rectángulo, 11, lado derecho, cuatro triángulos idénticos, z. D, lado izquierdo, 1 rectángulo, 13 y cuatro quintos, lado derecho, 1 corona, w, 1 rectángulo, 3 y cuatro quintos.

Para cada diagrama:

1. Escribe una ecuación.
2. Explica cómo razonar con el diagrama para encontrar el peso de una pieza con una letra.
3. Explica cómo razonar con la ecuación para encontrar el peso de una pieza con una letra.

¿Estás listo para más?

Cuando tengas tiempo, visita el sitio https://solveme.edc.org/Mobiles.html para resolver algunos acertijos más difíciles que usan diagramas de colgadores como los de esta lección. Incluso se pueden construir otros nuevos. (Si quieres hacer esto durante la clase, ¡consulta primero con tu profesor!)

Resumen

Una percha se mantiene equilibrada cuando los pesos en ambos lados son iguales. Podemos cambiar los pesos y la percha se mantendrá equilibrada siempre y cuando ambos lados se cambien de la misma manera. Por ejemplo, agregar 2 libras a cada lado de una percha balanceada la mantendrá equilibrada. Quitar la mitad del peso de cada lado también lo mantendrá equilibrado.

Una ecuación se puede comparar con una percha balanceada. Podemos cambiar la ecuación, pero para que una ecuación verdadera siga siendo cierta, se debe hacer lo mismo a ambos lados del signo igual. Si sumamos o restamos el mismo número en cada lado, o multiplicamos o dividimos cada lado por el mismo número, la nueva ecuación seguirá siendo cierta.

Esta forma de pensar nos puede ayudar a encontrar soluciones a las ecuaciones. En lugar de verificar diferentes valores, podemos pensar en restar la misma cantidad de cada lado o dividir cada lado por el mismo número.

Figura\(\PageIndex{5}\): Dos perchas balanceadas, A y B. A, lado izquierdo, 3 cuadrados idénticos, x, lado derecho, 1 rectángulo, 11. B, lado izquierdo 1 rectángulo, 11, lado derecho, 1 triángulo, y, y 1 círculo, 5.

El diagrama A puede ser representado por la ecuación\(3x=11\).

Si rompemos las 11 en 3 partes iguales, cada parte tendrá el mismo peso que un bloque con un\(x\).

Dividir cada lado de la percha en 3 partes iguales es lo mismo que dividir cada lado de la ecuación por 3.

• \(3x\)dividido por\(3\) es\(x\).
• \(11\)dividido por\(3\) es\(\frac{11}{3}\).
• Si\(3x=11\) es verdad, entonces\(x=\frac{11}{3}\) es verdad.
• La solución a\(3x=11\) es\(\frac{11}{3}\).

El diagrama B se puede representar con la ecuación\(11=y+5\).

Si retiramos un peso de 5 de cada lado de la percha, se mantendrá en equilibrio.

Quitar 5 de cada lado de la percha es lo mismo que restar 5 de cada lado de la ecuación.

• \(11-5\)es\(6\).
• \(y+5-5\)es\(y\).
• Si\(11=y+5\) es verdad, entonces\(6=y\) es verdad.
• La solución a\(11=y+5\) es\(6\).

Entradas en el glosario

Definición: Coeficiente

Un coeficiente es un número que se multiplica por una variable.

Por ejemplo, en la expresión\(3x+5\), el coeficiente de\(x\) es\(3\). En la expresión\(y+5\), el coeficiente de\(y\) es\(1\), porque\(y=1\cdot y\).

Definición: Solución a una ecuación

Una solución a una ecuación es un número que se puede utilizar en lugar de la variable para hacer que la ecuación sea verdadera.

Por ejemplo, 7 es la solución a la ecuación\(m+1=8\), porque es cierto que\(7+1=8\). La solución a no\(m+1=8\) es\(9\), porque\(9+1\neq 8\).

Definición: Variable

Una variable es una letra que representa un número. Se pueden elegir diferentes números para el valor de la variable.

Por ejemplo, en la expresión\(10-x\), la variable es\(x\). Si el valor de\(x\) es 3, entonces\(10-x=7\), porque\(10-3=7\). Si el valor de\(x\) es\(6\), entonces\(10-x=4\), porque\(10-6=4\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Seleccione todas las ecuaciones que representen el colgador.

Figura\(\PageIndex{6}\)

1. \(x+x+x=1+1+1+1+1+1\)
2. \(x\cdot x\cdot x=6\)
3. \(3x=6\)
4. \(x+3=6\)
5. \(x\cdot x\cdot x=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Escribe una ecuación para representar cada colgador.

Figura\(\PageIndex{7}\): Cuatro perchas balanceadas, A, B, C y D. A, lado izquierdo, 2 círculos idénticos, x, lado derecho, 3 cuadrados idénticos, 1. B, lado izquierdo, 1 triángulo, w, 1 cuadrado, 1 punto 3, lado derecho, 1 rectángulo, 2 punto 7. C, lado izquierdo, 3 pentágonos idénticos, y, lado derecho, 1 rectángulo, 5 punto 1. D, lado izquierdo, 1 corona, z, 1 cuadrado, un tercio, lado derecho, 1 cuadrado, medio.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Escribe una ecuación para representar el colgador.
2. Explicar cómo razonar con la percha para encontrar el valor de\(x\).
3. Explicar cómo razonar con la ecuación para encontrar el valor de\(x\).

Figura\(\PageIndex{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Andre dice que\(x\) es\(7\) porque puede mover los dos 1s con el\(x\) al otro lado.

Figura\(\PageIndex{9}\)

¿Estás de acuerdo con Andre? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Haga coincidir cada ecuación con uno de los diagramas.

1. \(12-m=4\)
2. \(12=4\cdot m\)
3. \(m-4=12\)
4. \(\frac{m}{4}=12\)

Figura\(\PageIndex{10}\): Cuatro diagramas de cinta etiquetados A, B, C y D. El diagrama de cinta A tiene 2 barras de igual longitud. La barra superior está etiquetada con m. La barra inferior se divide en 2 partes etiquetadas con 12 y 4. El diagrama de cinta B tiene 2 barras de igual longitud. La barra superior está etiquetada con 12. La barra inferior se divide en 2 partes etiquetadas 4 y m. El diagrama de cinta C tiene 2 barras de igual longitud. La barra superior está etiquetada con m. La barra inferior se divide en 4 partes etiquetadas con 12, 12, 12 y 12. El diagrama de cinta D tiene 2 barras de igual longitud. La barra superior está etiquetada con 12. La barra inferior se divide en 4 partes etiquetadas con m, m, m y m.

(De la Unidad 6.1.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

El área de un rectángulo es de 14 unidades cuadradas. Tiene longitudes laterales\(x\) y\(y\). Dado cada valor para\(x\), encontrar\(y\).

1. \(x=2\frac{1}{3}\)
2. \(x=4\frac{1}{5}\)
3. \(x=\frac{7}{6}\)

(De la Unidad 4.4.2)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Lin necesita ahorrar 20 dólares para un nuevo juego. ¿Cuánto dinero tiene si ha ahorrado cada porcentaje de su meta? Explica tu razonamiento.

1. 25%
2. 75%
3. 125%

(De la Unidad 3.4.2)