32.3: Igual y Equivalente

Lección

Usemos diagramas para averiguar qué expresiones son equivalentes y cuáles son a veces iguales.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Algebra Talk: Solving Equations by Seeing Structure

Encuentra una solución a cada ecuación mentalmente.

\(3+x=8\)

\(10=12-x\)

\(x^{2}=49\)

\(\frac{1}{3}x=6\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Using Diagrams to Show That Expressions are Equivalent

Aquí hay un diagrama de\(x+2\) y\(3x\) cuándo\(x\) es\(4\). Observe que los dos diagramas están alineados en sus lados izquierdos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos diagramas de cinta en una cuadrícula. Diagrama superior 2 partes, x, 2. La parte etiquetada x está compuesta por cuatro cuadrados unitarios. La parte etiquetada 2 está compuesta por dos cuadrados unitarios. Diagrama inferior 3 partes x, x, x, cada parte está compuesta por cuatro cuadrados unitarios.

En cada uno de sus dibujos a continuación, alinee los diagramas en un lado.

1. Dibuje un diagrama de\(x+2\), y un diagrama separado de\(3x\), cuando\(x\) es\(3\).

Figura\(\PageIndex{2}\)

2. Dibuje un diagrama de\(x+2\), y un diagrama separado de\(3x\), cuando\(x\) es\(2\).

Figura\(\PageIndex{3}\)

3. Dibuje un diagrama de\(x+2\), y un diagrama separado de\(3x\), cuando\(x\) es\(1\).

Figura\(\PageIndex{4}\)

4. Dibuje un diagrama de\(x+2\), y un diagrama separado de\(3x\), cuando\(x\) es\(0\).

Figura\(\PageIndex{5}\)

5. ¿Cuándo son\(x+2\) e\(3x\) iguales? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.
6. Dibuje un diagrama de\(x+3\), y un diagrama separado de\(3+x\).
7. ¿Cuándo son\(x+3\) e\(3+x\) iguales? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Identifying Equivalent Expressions

Aquí hay una lista de expresiones. Encuentra cualquier par de expresiones que sean equivalentes. Si te quedas atascado, prueba a razonar con diagramas.

\(\begin{array}{lllllllll}{a+3}&{\qquad}&{a\div\frac{1}{3}}&{\qquad}&{\frac{1}{3}a}&{\qquad}&{\frac{a}{3}}&{\qquad}&{a}\\{a+a+a}&{\qquad}&{a\cdot 3}&{\qquad}&{3a}&{\qquad}&{1a}&{\qquad}&{3+a}\end{array}\)

¿Estás listo para más?

A continuación se presentan cuatro preguntas sobre expresiones equivalentes. Para cada uno:

• Decide si crees que las expresiones son equivalentes.
• Pon a prueba tu conjetura eligiendo números para\(x\) (y\(y\), si es necesario).

1. ¿Son\(\frac{x\cdot x\cdot x\cdot x}{x}\) y expresiones\(x\cdot x\cdot x\) equivalentes?
2. ¿Son\(\frac{x+x+x+x}{x}\) y expresiones\(x+x+x\) equivalentes?
3. ¿Son\(2(x+y)\) y expresiones\(2x+2y\) equivalentes?
4. ¿Son\(2xy\) y expresiones\(2x\cdot 2y\) equivalentes?

Resumen

Podemos usar diagramas que muestran longitudes de rectángulos para ver cuándo las expresiones son iguales. Por ejemplo, las expresiones\(x+9\) y\(4x\) son iguales cuando\(x\) es\(3\), pero no son iguales para otros valores de\(x\).

Figura\(\PageIndex{6}\): 8 diagramas de cinta en una cuadrícula con expresiones coincidentes. Primer diagrama compuesto por 1 unidad cuadrada etiquetada x y 9 unidades cuadradas combinadas las cuales están en blanco, emparejadas con x+9 cuando x=1. Segundo diagrama compuesto por 4 unidades cuadradas cada una etiquetada x coincidente con 4x cuando x=1. El tercer diagrama compuso 2 unidades cuadradas combinadas etiquetadas x y 9 unidades cuadradas combinadas en blanco, emparejadas con x+9 cuando x=2. Cuarto diagrama compuesto por 2 unidades cuadradas combinadas etiquetadas x creadas 4 veces totales, emparejadas con 4x cuando x=2. Quinto diagrama compuesto por 3 unidades cuadradas combinadas etiquetadas x y 9 unidades cuadradas combinadas en blanco, emparejadas con x+9 cuando x=3. Sexto diagrama compuesto por 3 unidades cuadradas combinadas etiquetadas x creadas 4 veces totales, emparejadas con 4x cuando x=3. Séptimo diagrama compuesto por 4 unidades cuadradas combinadas etiquetadas x y 9 unidades cuadradas combinadas en blanco, emparejadas con x+9 cuando x=4. Octavo diagrama compuesto por 4 unidades cuadradas combinadas etiquetadas x creadas 4 veces totales, emparejadas con 4x cuando x=4.

A veces dos expresiones son iguales por un solo valor particular de su variable. Otras veces, parecen ser iguales sin importar cuál sea el valor de la variable.

Las expresiones que siempre son iguales para el mismo valor de su variable se denominan expresiones equivalentes. Sin embargo, sería imposible probar todos los valores posibles de la variable. ¿Cómo podemos saber con certeza que las expresiones son equivalentes? Utilizamos el significado de las operaciones y las propiedades de las operaciones para saber que las expresiones son equivalentes. Aquí hay algunos ejemplos:

• \(x+3\)es equivalente a\(3+x\) debido a la propiedad conmutativa de adición.
• \(4\cdot y\)es equivalente a\(y\cdot 4\) debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.
• \(a+a+a+a+a\)es equivalente a\(5\cdot a\) porque sumar 5 copias de algo es lo mismo que multiplicarlo por 5.
• \(b\div 3\)es equivalente a\(b\cdot\frac{1}{3}\) porque dividir por un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco.

En las próximas lecciones, veremos cómo otra propiedad, la propiedad distributiva, puede mostrar que las expresiones son equivalentes.

Entradas en el glosario

Definición: Expresiones equivalentes

Las expresiones equivalentes son siempre iguales entre sí. Si las expresiones tienen variables, son iguales siempre que se use el mismo valor para la variable en cada expresión.

Por ejemplo,\(3x+4x\) es equivalente a\(5x+2x\). No importa para qué valor usemos\(x\), estas expresiones son siempre iguales. Cuando\(x\) es 3, ambas expresiones equivalen a 21. Cuando\(x\) es 10, ambas expresiones equivalen a 70.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Dibuja un diagrama\(x+3\) y un diagrama de\(2x\) cuándo\(x\) es\(1\).

Figura\(\PageIndex{7}\)

2. Dibuja un diagrama de\(x+3\) y de\(2x\) cuándo\(x\) es\(2\).

Figura\(\PageIndex{8}\)

3. Dibuja un diagrama de\(x+3\) y de\(2x\) cuándo\(x\) es\(3\).

Figura\(\PageIndex{9}\)

4. Dibuja un diagrama de\(x+3\) y de\(2x\) cuándo\(x\) es\(4\).

Figura\(\PageIndex{10}\)

5. ¿Cuándo son\(x+3\) e\(2x\) iguales? ¿Cuándo no son iguales? Usa tus diagramas para explicar.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Hacer\(4x\) y\(15+x\) tener el mismo valor cuando\(x\) es\(5\)?
2. ¿Son\(4x\) y expresiones\(15+x\) equivalentes? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

1. Verifique eso\(2b+b\) y\(3b\) tenga el mismo valor cuando\(b\) sea 1, 2 y 3.
2. Hacer\(2b+b\) y\(3b\) tener el mismo valor para todos los valores de\(b\)? Explica tu razonamiento.
3. ¿Son\(2b+b\) y expresiones\(3b\) equivalentes?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

80% de\(x\) es igual a 100.

1. Escribir una ecuación que muestre la relación de 80%,\(x\), y 100.
2. Usa tu ecuación para encontrar\(x\).

(De la Unidad 6.2.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para cada problema de la historia, escribe una ecuación para representar el problema y luego resolver la ecuación. Asegúrese de explicar el significado de cualquier variable que utilice.

1. El perro de Jada\(5\frac{1}{2}\) medía centímetros de alto cuando era cachorro. Ahora su perro es\(14\frac{1}{2}\) pulgadas más alto que eso. ¿Qué tan alto es ahora el perro de Jada?
2. Lin recogió\(9\frac{3}{4}\) libras de manzanas, que era 3 veces el peso de las manzanas que Andre recogió. ¿Cuántas libras de manzanas escogió Andre?

(De la Unidad 6.1.5)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Encuentra estos productos.

1. \((2.3)\cdot (1.4)\)
2. \((1.72)\cdot (2.6)\)
3. \((18.2)\cdot (0.2)\)
4. \(15\cdot (1.2)\)

(De la Unidad 5.3.4)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Calcule\(141.75\div 2.5\) usando un método de su elección. Muestre o explique su razonamiento.

(De la Unidad 5.4.5)