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32.4: La Propiedad Distributiva, Parte 1

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    Lección

    Usemos la propiedad distributiva para facilitar el cálculo.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Ways to Multiply

    Encuentra cada producto mentalmente.

    \(5\cdot 102\)

    \(5\cdot 98\)

    \(5\cdot 999\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Ways to Represent Area of a Rectangle

    1. Selecciona todas las expresiones que representen el área del rectángulo grande y exterior en la figura A. Explica tu razonamiento.
      • \(6+3+2\)
      • \(6\cdot 3+6\cdot 2\)
      • \(6\cdot 3+2\)
      • \(6\cdot 5\)
      • \(6(3+2)\)
      • \(6\cdot 3\cdot 2\)
    clipboard_eb4f2e0e1f55b398d90bad130bd6fe78b.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Diagrama de un rectángulo. Etiquetado A. Rectángulo exterior grande particionado en 2 rectángulos más pequeños, lado vertical 6. Primer rectángulo lado inferior longitud 3. Segundo rectángulo lado inferior longitud 2.
    1. Selecciona todas las expresiones que representen el área del rectángulo sombreado en el lado izquierdo de la figura B. Explica tu razonamiento.
      • \(4\cdot 7+4\cdot 2\)
      • \(4\cdot 7\cdot 2\)
      • \(4\cdot 5\)
      • \(4\cdot 7-4\cdot 2\)
      • \(4(7-2)\)
      • \(4(7+2)\)
      • \(4\cdot 2-4\cdot 7\)
    clipboard_e7a2e706f9d29e9a78394de45530761e2.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama de un rectángulo. Etiquetado B. Rectángulo grande con longitud lateral inferior 7, particionado en 2 rectángulos más pequeños. Primer rectángulo lado vertical 4, lado inferior largo blanco, área sombreada azul. Segundo rectángulo lado vertical 4, lado inferior largo 2.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Distributive Practice

    Completa la tabla. Si te quedas atascado, omita una entrada y vuelve a ella, o considera dibujar un diagrama de dos rectángulos que comparten un lado.

    columna 1 columna 2 columna 3 columna 4 valor
    \(5\cdot 98\) \(5(100-2)\) \(5\cdot 100-5\cdot 2\) \(500-10\) \(490\)
    \(33\cdot 12\) \(33(10+2)\)
    \(3\cdot 10-3\cdot 4\) \(30-12\)
    \(100(0.04+0.06)\)
    \(8\cdot\frac{1}{2}+8\cdot\frac{1}{4}\)
    \(9+12\)
    \(24-16\)
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    ¿Estás listo para más?

    1. Utilice la propiedad distributiva para escribir dos expresiones que equivalen a 360. (Hay muchas formas correctas de hacer esto).
    2. ¿Es posible escribir una expresión\(a(b+c)\) así igual a 360 donde\(a\) es una fracción? O escribir tal expresión, o explicar por qué es imposible.
    3. ¿Es posible escribir una expresión\(a(b-c)\) así igual a 360? O escribir tal expresión, o explicar por qué es imposible.
    4. ¿Cuántas formas crees que hay de hacer 360 usando la propiedad distributiva?

    Resumen

    Un término es un solo número o variable, o variables y números multiplicados juntos. Algunos ejemplos de términos son 10,\(8x\),\(ab\), y\(7yz\).

    Cuando necesitamos hacer cálculos mentales, a menudo encontramos formas de hacer que el cálculo sea más fácil de hacer mentalmente.

    Supongamos que estamos haciendo compras de abarrotes y necesitamos saber cuánto va a costar comprar 5 latas de frijoles a 79 centavos la lata. Podemos calcular mentalmente de esta manera:

    \(\begin{array}{c}{5\cdot 79} \\ {5\cdot 70+5\cdot 9} \\ {350+45} \\ {395}\end{array}\)

    En general, cuando multiplicamos dos términos (o factores), podemos descomponer uno de los factores en partes, multiplicar cada parte por el otro factor, y luego sumar los productos. El resultado será el mismo que el producto de los dos factores originales. Cuando rompemos uno de los factores y multiplicamos las partes estamos usando la propiedad distributiva.

    La propiedad distributiva también trabaja con sustracción. Aquí hay otra manera de encontrar\(5\cdot 79\):

    \(\begin{array}{c}{5\cdot 79} \\ {5\cdot (80-1)} \\ {400-5} \\ {395}\end{array}\)

    Entradas en el glosario

    Definición: Expresiones equivalentes

    Las expresiones equivalentes son siempre iguales entre sí. Si las expresiones tienen variables, son iguales siempre que se use el mismo valor para la variable en cada expresión.

    Por ejemplo,\(3x+4x\) es equivalente a\(5x+2x\). No importa para qué valor usemos\(x\), estas expresiones son siempre iguales. Cuando\(x\) es 3, ambas expresiones equivalen a 21. Cuando\(x\) es 10, ambas expresiones equivalen a 70.

    Definición: Término

    Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión\(5x+18\) tiene dos términos. El primer término es\(5x\) y el segundo es 18.

    Práctica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Seleccione todas las expresiones que representen el área del rectángulo grande y exterior.

    clipboard_e9b4d61bb5708823b6263be49f8ad2d41.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Diagrama de área. Un rectángulo grande se divide verticalmente en dos rectángulos más pequeños. Primer rectángulo, lado vertical 5, longitud del lado inferior 2. Segundo rectángulo, lado vertical 5, longitud del lado inferior 4.
    1. \(5(2+4)\)
    2. \(5\cdot 2+4\)
    3. \(5\cdot 2+5\cdot 4\)
    4. \(5\cdot 2\cdot 4\)
    5. \(5+2+4\)
    6. \(5\cdot 6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Dibuje y etiquete diagramas que muestren estos dos métodos de cálculo\(19\cdot 50\).

    • Primero encuentra\(10\cdot 50\) y luego agrega\(9\cdot 50\).
    • Primero encuentra\(20\cdot 50\) y luego lleva\(50\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Completar cada cálculo utilizando la propiedad distributiva.

    \(98\cdot 24(100-2)\cdot 24\ldots\)

    \(21\cdot 15(20+1)\cdot 15\ldots\)

    \(0.51\cdot 40(0.5+0.01)\cdot 40\ldots\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Un grupo de 8 amigos van al cine. Una bolsa de palomitas cuesta $2.99. ¿Cuánto costará conseguir una bolsa de palomitas de maíz por cada amigo? Explica cómo puedes calcular mentalmente esta cantidad.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    1. En papel cuadricular, dibuje diagramas de\(a+a+a+a\) y\(4a\) cuándo\(a\) es 1, 2 y 3. ¿Qué notas?
    2. Hacer\(a+a+a+a\) y\(4a\) tener el mismo valor para cualquier valor de\(a\)? Explica cómo sabes.

    (De la Unidad 6.2.3)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    120% de\(x\) es igual a 78.

    1. Escribir una ecuación que muestre la relación de 120%,\(x\), y 78.
    2. Usa tu ecuación para encontrar\(x\). Muestra tu razonamiento.

    (De la Unidad 6.2.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    La tía de Kiran es 17 años mayor que Kiran.

    1. ¿Qué edad tendrá la tía de Kiran cuando Kiran tenga:
      15 años?
      ¿30 años?
      \(x\)años?
    2. ¿Qué edad tendrá Kiran cuando su tía tenga 60 años?

    (De la Unidad 6.2.1)

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