38.4: Distancias en un plano de coordenadas

Lección

Exploremos la distancia en el plano de coordenadas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Coordinate Patterns

Traza puntos en tu cuadrante asignado y etiquétalos con sus coordenadas.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Signs of Numbers in Coordinates

1. Escribe las coordenadas de cada punto.

• \(A=\)
• \(B=\)
• \(C=\)
• \(D=\)
• \(E=\)

2. Responde estas preguntas por cada par de puntos.

• ¿Cómo son las mismas coordenadas? ¿En qué se diferencian?
• ¿Qué tan lejos están del eje y? ¿A la izquierda o a la derecha de la misma?
• ¿Qué tan lejos están del eje x? ¿Por encima o por debajo de ella?

1. \(A\)y\(B\)
2. \(B\)y\(D\)
3. \(A\)y\(D\)

Haga una pausa aquí para una discusión en clase.

3. El punto\(F\) tiene las mismas coordenadas que el punto\(C\), excepto que su\(y\) coordenada -tiene el signo opuesto.

1. Trazar el punto\(F\) en el plano de coordenadas y etiquetarlo con sus coordenadas.
2. ¿Qué tan lejos están\(F\) y\(C\) del\(x\) eje -eje?
3. ¿Cuál es la distancia entre\(F\) y\(C\)?

4. El punto\(G\) tiene las mismas coordenadas que el punto\(E\), excepto que su\(x\) coordenada -tiene el signo opuesto.
   1. Trazar el punto\(G\) en el plano de coordenadas y etiquetarlo con sus coordenadas.
   2. ¿Qué tan lejos están\(G\) y\(E\) del\(y\) eje -eje?
   3. ¿Cuál es la distancia entre y?
5. El punto\(H\) tiene las mismas coordenadas que el punto\(B\), excepto que ambas coordenadas tienen los signos opuestos. ¿En qué cuadrante está el punto\(H\)?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Finding Distances on a Coordinate Plane

1. Etiquete cada punto con sus coordenadas.
2. Encuentra la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos.
   1. Punto\(B\) y\(C\)
   2. Punto\(D\) y\(B\)
   3. Punto\(D\) y\(E\)
3. ¿De cuál de los puntos son 5 unidades\((-1.5,-3)\)?
4. ¿De cuál de los puntos son 2 unidades\((0.5,-4.5)\)?
5. Trazar un punto que sea a la vez 2.5 unidades desde\(A\) y 9 unidades desde\(E\). Etiquete ese punto\(F\) y anote sus coordenadas.

¿Estás listo para más?

Priya dice: “Hay exactamente cuatro puntos que están a 3 unidades de distancia”\((-5,0)\). Lin dice: “Creo que hay un montón de puntos que están a 3 unidades de distancia”\((-5,0)\).

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

Resumen

Los puntos\(A=(5,2), B=(-5,2), C=(-5,-2),\) y\(D=(5,-2)\) se muestran en el plano. Observe que todos tienen casi las mismas coordenadas, excepto que los signos son diferentes. Todos ellos están a la misma distancia de cada eje pero están en diferentes cuadrantes.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Observe que la distancia vertical entre puntos\(A\) y\(D\) es de 4 unidades, ya que el punto\(A\) está 2 unidades por encima del eje horizontal y el punto\(D\) está 2 unidades por debajo del eje horizontal. La distancia horizontal entre puntos\(A\) y\(B\) es de 10 unidades, debido a que el punto\(B\) es de 5 unidades a la izquierda del eje vertical y el punto\(A\) es de 5 unidades a la derecha del eje vertical.

Siempre podemos decir en qué cuadrante se encuentra un punto por las señales de sus coordenadas.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(x\)	\(y\)	cuadrante
\ (x\) ">positivo	\ (y\) ">positivo	I
\ (x\) ">negativo	\ (y\) ">positivo	II
\ (x\) ">negativo	\ (y\) ">negativo	III
\ (x\) ">positivo	\ (y\) ">negativo	IV

Figura\(\PageIndex{2}\)

En general:

• Si dos puntos tienen\(x\) -coordenadas que son opuestas (como 5 y -5), están a la misma distancia del eje vertical, pero uno está a la izquierda y el otro a la derecha.
• Si dos puntos tienen\(y\) -coordenadas que son opuestas (como 2 y -2), están a la misma distancia del eje horizontal, pero uno está arriba y el otro abajo.

Cuando dos puntos tienen el mismo valor para la primera o segunda coordenada, podemos encontrar la distancia entre ellos restando las coordenadas que son diferentes. Por ejemplo, considere\((1,3)\) y\((5,3)\):

Figura\(\PageIndex{3}\)

Tienen la misma\(y\) coordenada. Si restamos las\(x\) coordenadas, obtenemos\(5-1=4\). Estos puntos están separados por 4 unidades.

Entradas en el glosario

Definición: Quadrant

El plano de coordenadas se divide en 4 regiones llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran usando números romanos, comenzando en la esquina superior derecha.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Aquí hay 4 puntos en un plano de coordenadas.

Figura\(\PageIndex{5}\)

1. Etiquete cada punto con sus coordenadas.
2. Trazar un punto que esté a 3 unidades del punto\(K\). Etiquetarlo\(P\).
3. Trazar un punto que esté a 2 unidades del punto\(M\). Etiquetarlo\(W\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Cada conjunto de puntos se conecta para formar un segmento de línea. ¿Cuál es la longitud de cada uno?

1. \(A=(3,5)\)y\(B=(3,6)\)
2. \(C=(-2,-3)\)y\(D=(-2,-6)\)
3. \(E=(-3,1)\)y\(F=(-3,-1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

En el plano de coordenadas, se trazan cuatro puntos que están cada uno a 3 unidades de distancia del punto\(P=(-2,-1)\). Escribe las coordenadas de cada punto.

Figura\(\PageIndex{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La receta de Noé para jugo de naranja espumoso utiliza 4 litros de jugo de naranja y 5 litros de agua de soda.

1. Noé prepara grandes lotes de jugo de naranja espumoso para fiestas escolares. Por lo general conoce el número total de litros\(t\),, que necesita preparar. Escribe una ecuación que muestre cómo Noé puede encontrar\(s\), el número de litros de agua de soda, si sabe\(t\).
2. A veces la escuela compra un cierto número\(j\),, de litros de jugo de naranja y Noé necesita averiguar cuánto jugo de naranja espumoso puede hacer. Escribe una ecuación que Noé pueda usar para encontrar\(t\) si sabe\(j\).

(De la Unidad 6.4.1)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para que una maleta sea revisada en un vuelo (en lugar de transportarla a mano), puede pesar como máximo 50 libras. La maleta de Andre pesa 23 kilogramos. ¿Andre puede revisar su maleta? Explica o muestra tu razonamiento. (Nota: 10 kilogramos\(\approx\) 22 libras)

(De la Unidad 3.2.3)