1.11: Integración Numérica

A estas alturas el lector habrá llegado a apreciar que la integración es generalmente bastante más difícil que la diferenciación. Hay muchas integrales de aspecto simple, como\(\int e^{-x^2}\, d{x}\text{,}\) que son muy difíciles o incluso imposibles de expresar en términos de funciones estándar ¹. Tales integrales no son meramente curiosidades matemáticas, sino que surgen de manera muy natural en muchos contextos. Por ejemplo, la función de error

\ begin {reunir*}\ mathrm {erf} (x) =\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}\ int_0^x e^ {-t^2}\, d {t}\ end {reunir*}

es sumamente importante en muchas áreas de las matemáticas, y también en muchas aplicaciones prácticas de la estadística.

En tales aplicaciones necesitamos poder evaluar esta integral (y muchas otras) a un valor numérico dado de\(x\text{.}\) En esta sección nos dirigimos al problema de cómo encontrar valores numéricos (aproximados) para integrales, sin tener que evaluarlos algebraicamente. Para desarrollar estos métodos volvemos a las sumas de Riemann y nuestra interpretación geométrica de la integral definida como el área firmada.

Comenzamos describiendo (y aplicando) tres algoritmos simples para generar, numéricamente, valores aproximados para la integral definida\(\int_a^b f(x)\,\, d{x}\text{.}\) En cada algoritmo, comenzamos de la misma manera que nos acercamos a las sumas de Riemann.

• Primero seleccionamos un número entero\(n \gt 0\text{,}\) llamado el “número de pasos”.
• Luego dividimos el intervalo de\(a\le x\le b\text{,}\) integración, en subintervalos\(n\) iguales, cada uno de longitud\(\Delta x=\frac{b-a}{n}\text{.}\) El primer subintervalo va de\(x_0=a\) a\(x_1=a+\Delta x\text{.}\) El segundo corre de\(x_1\) a\(x_2=a+2\Delta x\text{,}\) y así sucesivamente. El último va desde\(x_{n-1}=b-\Delta x\) hasta\(x_n=b\text{.}\)

Esto divide la integral original en\(n\) piezas:

\[ \int_a^b f(x)\,\, d{x} =\int_{x_0}^{x_1} f(x)\,\, d{x} +\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,\, d{x} +\cdots +\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x)\,\, d{x} \nonumber \]

Cada subintegral\(\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\) es aproximada por el área de una figura geométrica simple. Los tres algoritmos que consideramos aproximan el área por rectángulos, trapecios y parábolas (respectivamente).

Vamos a explicar estas reglas en detalle a continuación, pero damos una breve descripción aquí:

1. La regla de punto medio aproxima cada subintegral por el área de un rectángulo de altura dado por el valor de la función en el punto medio del subintervalo

   \ begin {alinear*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j}} f (x)\, d {x} &\ approx f\ izquierda (\ frac {x_ {j-1} +x_ {j}} {2}\ derecha)\ Delta x\ final {alinear*}

   Esto se ilustra en la figura más a la izquierda anterior.
2. La regla trapezoidal se aproxima a cada subintegral por el área de un trapecio con vértices en\((x_{j-1},0), (x_{j-1},f(x_{j-1})), (x_{j},f(x_{j})), (x_{j},0)\text{:}\)

   \ begin {alinear*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j}} f (x)\, d {x} &\ approx\ frac {1} {2}\ izquierda [f (x_ {j-1}) +f (x_j)\ derecha]\ Delta x\ final {alinear*}

   El trapecio se ilustra en la figura media anterior. En breve derivaremos la fórmula para la zona.
3. La regla de Simpson se aproxima a dos subintegrales adyacentes por el área bajo una parábola que pasa por los puntos\((x_{j-1},f(x_{j-1}))\text{,}\)\((x_{j},f(x_{j}))\) y\((x_{j+1},f(x_{j+1}))\text{:}\)

   \ begin {align*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j+1}} f (x)\, d {x} &\ approx\ frac {1} {3}\ izquierda [f (x_ {j-1}) +4f (x_j) +f (x_ {j+1})\ derecha]\ Delta x\ final {alinear*}

   La parábola se ilustra en la figura de la derecha arriba. En breve derivaremos la fórmula para la zona.

Definición 1.11.1 Puntos medios

En lo que sigue necesitamos referirnos al punto medio entre\(x_{j-1}\) y\(x_j\) muy frecuentemente. Para ahorrar en escritura (y mecanografía) introducimos la notación

\[\begin{align*} \bar x_j &= \frac{1}{2} \left(x_{j-1}+x_j \right). \end{align*}\]

La regla del punto medio

La integral\(\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\) representa el área entre la curva\(y=f(x)\) y el\(x\) eje con\(x\) recorrido de\(x_{j-1}\) a\(x_j\text{.}\) El ancho de esta región es\(x_j-x_{j-1}=\Delta x\text{.}\) La altura varía sobre los diferentes valores que\(f(x)\) toma como\(x\) corridas de\(x_{j-1}\) a \(x_j\text{.}\)

La regla del punto medio aproxima esta área por el área de un rectángulo de ancho\(x_j-x_{j-1}=\Delta x\) y alto\(f(\bar x_j)\) que es la altura exacta en el punto medio del rango cubierto por\(x\text{.}\)

El área del rectángulo de aproximación es\(f(\bar x_j)\Delta x\text{,}\) y la regla del punto medio se aproxima a cada subintegral por

\[ \int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\approx f(\bar x_j)\Delta x\text{.} \nonumber \]

Aplicando esta aproximación a cada subintervalo y sumando nos da la siguiente aproximación de la integral completa:

\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_1}\! \! f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2}\! \! f (x)\,\, d {x} +\ cdots +\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ approx f (\ bar x_1)\ Delta x + f (\ bar x_2)\ Delta x +\ cdots + f (\ bar x_n)\ Delta x\ end {align*}

Entonces observe que la aproximación es la suma de la función evaluada en el punto medio de cada intervalo y luego multiplicada por\(\Delta x\text{.}\) Nuestras otras aproximaciones tendrán formas similares.

En resumen:

Ecuación 1.11.2 La regla del punto medio

La aproximación de la regla del punto medio es

\ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ approx\ Grande [f (\ bar x_1) +f (\ bar x_2) +\ cdots +f (\ bar x_n)\ Grande]\ Delta x\ final {reunir*}

dónde\(\Delta x = \tfrac{b-a}{n}\) y

\ begin {align*} x_0&=a& x_1&=a+\ Delta x& x_2&=a+2\ Delta x& &\ cdots& x_ {n-1} &=b-\ Delta x& x_n&=b\\ & &\ bar x_1&=\ tfrac {x_0+x_1} {2}\ bar x_2&= =\ tfrac {x_1+x_2} {2} &\ cdots&\ bar x_ {n-1} &=\ tfrac {x_ {n-2} +x_ {n-1}} {2} &\ bar x_n&=\ tfrac {x_ {n-1} +x_n} {2}\ final {alinear*}

Ejemplo 1.11.3\(\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,\, d{x}\)

Aproximamos la integral anterior usando la regla de punto medio con\(n=8\) paso.

Solución

• Primero configuramos todos los\(x\) -valores que necesitaremos. Tenga en cuenta que\(a=0\text{,}\)\(b=1\text{,}\)\(\Delta x=\tfrac{1}{8}\) y

  \ begin {align*} x_0&=0 & x_1&=\ tfrac {1} {8} & x_2&=\ tfrac {2} {8} &&\ cdots & x_7&=\ tfrac {7} {8} & x_8&=\ tfrac {8} {8} =1\ end {align*}

  En consecuencia

  \ begin {align*}\ bar x_1&=\ tfrac {1} {16} &\ bar x_2&=\ tfrac {3} {16} &\ bar x_3&=\ tfrac {5} {16} &\ cdots&&\ bar x_8 &=\ tfrac {15} {16}\ end {align*}

• Ahora aplicamos la Ecuación 1.11.2 al integrando\(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\text{:}\)

  \ begin {alinear*} &\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\,\, d {x}\ approx\ bigg [\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_1^2}} ^ {f (\ bar x_1)} +\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_2^2}} {f (\ bar x_2)} +\! \ cdots\! +\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_7^2}} ^ {f (\ bar x_ {n-1})} +\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_8^2}} ^ {f (\ bar x_n)}\ bigg]\ Delta x\ &=\ bigg [\ frac {4} {1+ frac {1} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {3^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {7^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac frac {9^2} {16^2}}\\ &\ hskip2in +\ frac {4} {1+ \ tfrac {11^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {13^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {15^2} {16^2}}\ bigg]\ frac {1} {8}\ &=\ grande [3.98444 + 3.86415 + 3.64413 + 3.35738 + 3.03858 +\\ &\ hskip2in 2.71618 + 2.40941 + 2.12890\ grande]\ frac {1} {8}\\ &= 3.1429\ final {alinear*}

  donde hemos redondeado a cuatro decimales.
• En este caso podemos calcular la integral exactamente (que es una de las razones por las que se eligió como primer ejemplo):

  \ begin {reunir*}\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\, d {x} =4\ arctan x\ Big|_0^1 =\ pi\ end {reunir*}

• Entonces el error en la aproximación generada por ocho pasos de la regla del punto medio es

  \ begin {align*} |3.1429-\ pi| &=0.0013\ end {alinear*}

• El error relativo es entonces

  \ begin {align*}\ frac {|\ text {approx} -\ text {exact} |} {\ text {exact}} &=\ frac {|3.1429-\ pi|} {\ pi} =0.0004\ end {align*}

  Ese es el error es\(0.0004\) veces el valor real de la integral.
• Podemos escribir esto como un error porcentual multiplicándolo por 100

  \ begin {align*}\ text {error porcentual} &= 100\ veces\ frac {|\ texto {aproximado} -\ texto {exact} |} {\ text {exact}} = 0.04\%\ end {align*}

  Es decir, el error se trata\(0.04\%\) del valor exacto.

La regla del punto medio nos da estimaciones bastante buenas de la integral sin demasiado trabajo —aunque quizás sea un poco tedioso de hacer a mano ². Por supuesto, sería muy útil cuantificar lo que entendemos por “bueno” en este contexto y eso nos obliga a discutir errores.

Definición 1.11.4

Supongamos que\(\alpha\) es una aproximación a\(A\text{.}\) Esta aproximación tiene

• error absoluto\(|A-\alpha|\) y
• error relativo\(\frac{|A-\alpha|}{A}\) y
• porcentaje de error\(100\frac{|A-\alpha|}{A}\)

Discutiremos los errores más adelante en la Sección 1.11.4 a continuación.

Ejemplo 1.11.5:\(\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}\)

Como segundo ejemplo, aplicamos la regla del punto medio con\(n=8\) pasos a la integral anterior.

• De nuevo comenzamos configurando todos los\(x\) -valores que necesitaremos. Entonces\(a=0\text{,}\)\(b=\pi\text{,}\)\(\Delta x=\tfrac{\pi}{8}\) y

  \ begin {align*} x_0&=0& x_1&=\ tfrac {\ pi} {8} & x_2&=\ tfrac {2\ pi} {8} &\ cdots&& x_7&=\ tfrac {7\ pi} {8} & x_8&=\ tfrac {8\ pi} {8} =\ pi final\ {alinear*}

  En consecuencia,

  \ begin {align*}\ bar x_1&=\ tfrac {\ pi} {16} &\ bar x_2&=\ tfrac {3\ pi} {16} &\ cdots&&\ bar x_7&=\ tfrac {13\ pi} {16} &\ bar x_8&=\ tfrac {15\ pi} {16}\ end align{ *}

• Ahora aplica la Ecuación 1.11.2 al integrando\(f(x)=\sin x\text{:}\)

  \ begin {align*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\ approx\ Grande [\ sin (\ bar x_1) +\ sin (\ bar x_2) +\ cdots+\ sin (\ bar x_8)\ Grande]\ Delta x\ &=\ Grande [\ sin (\ tfrac {\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {3\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {5\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {7\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {9\ pi} {16}) +\ &\ hskip2in\ sin (\ tfrac {11\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {13\ pi } {16}) +\ sin (\ tfrac {15\ pi} {16})\ Grande]\ tfrac {\ pi} {8}\\ &=\ Grande [0.1951+ 0.5556+ 0.8315+ 0.9808+ 0.9808+\\ &\ hskip2in 0.8315+ 0.5556+ 0.1951\ Grande]\ veces 0.3927\ &=5.125.1260\ times 0.3927 =2.013\ end {align*}

• Nuevamente, hemos elegido este ejemplo para que podamos compararlo con el valor exacto:

  \ begin {align*}\ int_0^\ pi\ sin x\, d {x} &=\ grande [-\ cos x\ grande] _0^\ pi = -\ cos\ pi +\ cos 0 = 2. \ end {alinear*}

• Entonces con ocho pasos de la regla del punto medio logramos

  \ begin {align*}\ text {error absoluto} &= |2.013-2|=0.013\\\ text {error relativo} &=\ frac {|2.013-2|} {2} = 0.0065\\\ texto {error porcentual} &= 100\ veces\ frac {|2.013-2|} {2} = 0.65\%\ end {align*}

  Con poco trabajo hemos logrado estimar la integral a dentro\(1\%\) de su verdadero valor.

La regla trapezoidal

Consideremos nuevamente el área representada por la integral\(\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\text{.}\) La regla trapezoidal ³ (como era de esperar) se aproxima a esta área por un trapecio ⁴ cuyos vértices se encuentran en

\ begin {reunir*} (x_ {j-1} ,0), (x_ {j-1}, f (x_ {j-1})), (x_ {j}, f (x_ {j}))\ text {y} (x_ {j} ,0). \ end {reunir*}

La aproximación trapezoidal de la integral\(\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\) es la región sombreada en la figura de la derecha arriba. Tiene ancho\(x_j-x_{j-1}=\Delta x\text{.}\) Su lado izquierdo tiene altura\(f(x_{j-1})\) y su lado derecho tiene altura\(f(x_j)\text{.}\)

Como muestra la siguiente figura, el área de un trapecio es su anchura multiplicada por su altura promedio.

Entonces la regla trapezoidal se aproxima a cada subintegral por

\[ \int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\,\, d{x}\approx \tfrac{f(x_{j-1})+f(x_j)}{2}\Delta x \nonumber \]

Aplicando esta aproximación a cada subintervalo y luego sumando el resultado nos da la siguiente aproximación de la integral completa

\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} +\ cdots+\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ aprox\ tfrac {f (x_0) +f (x_1)} {2}\ Delta x +\ tfrac {f (x_1) +f (x_2)} {2}\ Delta x +\ cdots +\ tfrac {f (x_ {n-1}) +f (x_n)} {2}\ Delta x\\ &=\ Grande [\ frac {1} {2} f (x_0 ) +f (x_1) +f (x_2) +\ cdots+ f (x_ {n-1}) +\ frac {1} {2} f (x_n)\ Grande]\ Delta x\ final {alinear*}

Entonces fíjense que la aproximación tiene una forma muy similar a la regla del punto medio, exceptuando que

• evaluamos la función en los\(x_j\)'s en lugar de en los puntos medios, y
• multiplicamos el valor de la función en los puntos finales\(x_0,x_n\) por\(\frac12\text{.}\)

En resumen:

Ecuación 1.11.6 La regla trapezoidal

La aproximación de la regla trapezoidal es

\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &\ approx\ Grande [\ frac {1} {2} f (x_0) +f (x_1) +f (x_2) +\ cdots+ f (x_ {n-1}) +\ frac {1} {2} f (x_n)\ Delta grande\ x\ end {alinear*}

donde

\ begin {reunir*}\ Delta x =\ tfrac {b-a} {n},\ quad x_0=a,\ quad x_1=a+\ Delta x,\ quad x_2=a+2\ Delta x,\ quad\ cdots,\ quad x_ {n-1} =b-\ Delta x,\ quad x_n=b\ end {reunir*}

Para comparar y contrastar aplicamos la regla trapezoidal a los ejemplos que hicimos anteriormente con la regla del punto medio.

Ejemplo 1.11.7\(\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,\, d{x}\) — using the trapezoidal rule

Solución

Procedemos de manera muy similar al Ejemplo 1.11.3 y nuevamente usamos\(n=8\) pasos.

• Nuevamente tenemos\(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\text{,}\)\(a=0\text{,}\)\(b=1\text{,}\)\(\Delta x=\tfrac{1}{8}\) y

  \ begin {align*} x_0&=0 & x_1&=\ tfrac {1} {8} & x_2&=\ tfrac {2} {8} &&\ cdots & x_7&=\ tfrac {7} {8} & x_8&=\ tfrac {8} {8} =1\ end {align*}

• Aplicando la regla trapezoidal, Ecuación 1.11.6, da

  \ begin {alinear*} &\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\,\, d {x}\ approx\ bigg [\ frac {1} {2}\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_0^2}} ^ {f (x_0)} +\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_1^2}} ^ {f (x_1)} +\! \ cdots\! +\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_7^2}} ^ {f (x_ {n-1})} +\ frac {1} {2}\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_8^2}} ^ {f (x_n)}\ bigg]\ Delta x\\ &\ hskip0.25in=\ bigg [\ frac {1} {2}\ frac {4} {1+0^2} +\ frac {4} {1+\ tfrac {1} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {2^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {3^2} {8^2}}\ &\ hskip0.5in +\ frac {4} {1+\ tfrac {4^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {8^2} +\ frac {4} {1+\ tfrac {6^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {7^2} {8^2}} +\ frac {1} {2}\ frac {4} {1+\ tfrac {8^2} {8^2}}\ bigg]\ frac {1} {8}\ &\ hskip0.25in=\ Grande [\ frac {1} {2}\ times 4+ 3.939+ 3.765+ 3.507\ &\ hskip0.5in +3.2+ 2.876+ 2.56+ 2.266+\ frac {1} {2}\ veces 2\ Grande]\ frac {1} {8}\ &\ hskip0.25in =3.139\ end {align*}

  a tres decimales.
• El valor exacto de la integral sigue siendo\(\pi\text{.}\) Así que el error en la aproximación generada por ocho pasos de la regla trapezoidal es\(|3.139-\pi|=0.0026\text{,}\) cual es\(100\tfrac{|3.139-\pi|}{\pi}\% =0.08\%\) de la respuesta exacta. Observe que esto es aproximadamente el doble del error que logramos usando la regla de punto medio en el Ejemplo 1.11.3.

Rehagamos también el Ejemplo 1.11.5 usando la regla trapezoidal.

Ejemplo 1.11.8\(\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}\) — using the trapezoidal rule

Solución

Procedemos de manera muy similar al Ejemplo 1.11.5 y nuevamente usamos\(n=8\) pasos.

• Nuevamente tenemos\(a=0\text{,}\)\(b=\pi\text{,}\)\(\Delta x=\tfrac{\pi}{8}\) y

  \ begin {align*} x_0&=0& x_1&=\ tfrac {\ pi} {8} & x_2&=\ tfrac {2\ pi} {8} &\ cdots&& x_7&=\ tfrac {7\ pi} {8} & x_8&=\ tfrac {8\ pi} {8} =\ pi final\ {alinear*}

• Aplicando la regla trapezoidal, Ecuación 1.11.6, da

  \ begin {alinear*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\ approx\ Grande [\ frac {1} {2}\ sin (x_0) +\ sin (x_1) +\ cdots+\ sin (x_7) +\ frac {1} {2}\ sin (x_8)\ Grande]\ Delta x\ &=\ Grande [\ frac {1} {2}\ sin0 +\ sin\ tfrac {\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {2\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {3\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {4\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {5\ pi} {8}\ &\ hskip0.5in+\ sin\ tfrac {6\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {7\ pi} {8} +\ frac {1} {2}\ sin\ tfrac {8\ pi} {8}\ Grande]\ tfrac {\ pi} {8}\\ &=\ Grande [\ frac {1} {2}\! \ veces\! 0+ 0.3827+ 0.7071+ 0.9239+ 1.0000+ 0.9239+\\ &\ hskip0.5in 0.7071+ 0.3827+\ frac {1} {2}\! \ veces\! 0\ Grande]\ veces 0.3927\\ &=5.0274\ times 0.3927 =1.974\ end {alinear*}

• La respuesta exacta es\(\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}=-\cos x\Big|_0^\pi=2\text{.}\) Así que con ocho pasos de la regla trapezoidal logramos\(100\tfrac{|1.974-2|}{2}=1.3\%\) precisión. Nuevamente esto es aproximadamente el doble del error que logramos en el Ejemplo 1.11.5 usando la regla de punto medio.

Estos dos ejemplos sugieren que la regla del punto medio es más precisa que la regla trapezoidal. En efecto, esta observación nace de un riguroso análisis del error —véase la Sección 1.11.4.

Regla de Simpson

Cuando usamos la regla trapezoidal aproximamos el área\(\int_{x_{j-1}}^{x_j}f(x)\, d{x}\) por el área entre el\(x\) eje -y una línea recta que va de\((x_{j-1},f(x_{j-1}))\) a\((x_j, f(x_j))\) — es decir, aproximamos la función\(f(x)\) en este intervalo por una función lineal que concuerda con la función en cada punto final. Una manera obvia de extender esto —tal como lo hicimos al extender aproximaciones lineales a aproximaciones cuadráticas en nuestro curso de cálculo diferencial— es aproximar la función con una cuadrática. Esto es precisamente lo que hace la regla de los ⁵ de Simpson.

La regla de Simpson aproxima la integral en dos subintervalos vecinos por el área entre una parábola y el\(x\) eje. Para describir esta parábola necesitamos 3 puntos distintos (razón por la cual aproximamos dos subintegrales a la vez). Es decir, aproximamos

\ begin {align*}\ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x}\ end {align*}

por el área delimitada por la parábola que pasa por los tres puntos\(\big(x_0,f(x_0)\big)\text{,}\)\(\big(x_1,f(x_1)\big)\) y\(\big(x_2,f(x_2)\big)\text{,}\) el\(x\) eje -y las líneas verticales\(x=x_0\) y\(x=x_2\text{.}\)

Repetimos esto en el siguiente par de subintervalos y aproximamos\(\int_{x_2}^{x_4} f(x)\,\, d{x}\) por el área entre el\(x\) -eje y la parte de una parábola con\(x_2\le x\le x_4\text{.}\) Esta parábola pasa por los tres puntos\(\big(x_2,f(x_2)\big)\text{,}\)\(\big(x_3,f(x_3)\big)\) y\(\big(x_4,f(x_4)\big)\text{.}\) Y así sucesivamente. Porque la regla de Simpson hace la aproximación dos rebanadas a la vez,\(n\) debe ser parejo.

Para derivar la fórmula de regla de Simpson, primero encontramos la ecuación de la parábola que pasa por los tres puntos\(\big(x_0,f(x_0)\big)\text{,}\)\(\big(x_1,f(x_1)\big)\) y\(\big(x_2,f(x_2)\big)\text{.}\) luego encontramos el área entre el\(x\) eje -y la parte de esa parábola con\(x_0\le x\le x_2\text{.}\) Para simplificar este cálculo consideramos un paso de parábola a través de los puntos\((-h,y_{-1}), (0,y_0)\) y\((h,y_1)\text{.}\)

Escribe la ecuación de la parábola como

\ begin {align*} y &= Ax^2 + Bx +C\ end {alinear*}

Entonces el área entre ella y el\(x\) -eje con\(x\) correr de\(-h\) a\(h\) es

\ begin {alinear*}\ int_ {-h} ^h\ grande [Ax^2 + Bx +C\ grande]\, d {x} &=\ izquierda [\ frac {A} {3} x^3 +\ frac {B} {2} x^2 + Cx\ derecha] _ {-h} ^h\ &=\ frac {2A} {3} h^3 + 2Ch &\ text {es útil escribirlo como}\\ &=\ frac {h} {3}\ left (2Ah^2 + 6C\ right)\ end {align*}

Ahora bien, los tres puntos\((-h,y_{-1}), (0,y_0)\) y\((h,y_1)\) se encuentran en esta parábola si y sólo si

\ begin {align*} A h^2 - Bh + C &= y_ {-1} &\ text {at $ (-h, y_ {-1}) $}\\ C &= y_ {0} &\ text {at $ (0, y_ {0}) $}\\ A h^2 + Bh + C &= y_ {1} &\ text {at $ (h, y_ {1}) $}\ end {align*}

Sumar la primera y la tercera ecuaciones juntas nos da

\ begin {align*} 2Ah^2 + (B-B) h + 2C &= y_ {-1} +y_ {1}\ end {align*}

A esto le sumamos cuatro veces la ecuación media

\ begin {alinear*} 2Ah^2 + 6C &= y_ {-1} +4y_0+y_1. \ end {alinear*}

Esto significa que

\ begin {align*}\ text {area} &=\ int_ {-h} ^h\ grande [Ax^2 + Bx +C\ grande]\, d {x} =\ frac {h} {3}\ izquierda (2Ah^2 + 6C\ derecha)\\ &=\ frac {h} {3}\ izquierda (y_ {-1} +4y_0+y_1\ derecha)\ end {align*}

Tenga en cuenta que aquí

• \(h\)es la mitad de la longitud del\(x\) -intervalo bajo consideración
• \(y_{-1}\)es la altura de la parábola en el extremo izquierdo del intervalo considerado
• \(y_0\)es la altura de la parábola en el punto medio del intervalo considerado
• \(y_{1}\)es la altura de la parábola en el extremo derecho del intervalo considerado

Entonces la regla de Simpson se aproxima

\[ \int_{x_0}^{x_2} f(x)\,\, d{x} \approx \tfrac{1}{3}\Delta x\big[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\big] \nonumber \]

y

\[ \int_{x_2}^{x_4} f(x)\,\, d{x} \approx \tfrac{1}{3}\Delta x\big[f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\big] \nonumber \]

y así sucesivamente. Sumando estos todos juntos da:

\ begin {alinear*}\ int_a^b& f (x)\,\, d {x} =\ int_ {x_0} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_2} ^ {x_4} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_4} ^ {x_6} f (x)\,\, d {x} +\ cdots +\ int_ {x_ {n-2}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ approx\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_0) +4f (x_1) +f (x_2)\ grande] +\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_2) +4f (x_3) +f (x_4)\ grande]\ cr &\ \\ +\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_4) +4f (x_5) +f (x_6)\ grande] +\,\ cdots\ +\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_ {n-2}) +4f (x_ {n-1}) +f (x_n)\ grande]\\ &=\ Grande [f (x_0)\! +4f (x_1)\! +2f (x_2)\! +4f (x_3)\! +2f (x_4)\! +\ cdots+ 2f (x_ {n-2})\! +4f (x_ {n-1})\! + f (x_n)\ Grande]\ tfrac {\ Delta x} {3}\ final {alinear*}

En resumen

Ecuación 1.11.9 Regla de Simpson

La aproximación de la regla de Simpson es

\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &\ approx\ Grande [f (x_0)\! +4f (x_1)\! +2f (x_2)\! +4f (x_3)\! +2f (x_4)\! +\ cdots\\ &\ hskip2in\ cdots + 2f (x_ {n-2})\! +4f (x_ {n-1})\! + f (x_n)\ Grande]\ tfrac {\ Delta x} {3}\ final {alinear*}

donde\(n\) es par y

\ begin {reunir*}\ Delta x =\ tfrac {b-a} {n},\ quad x_0=a,\ quad x_1=a+\ Delta x,\ quad x_2=a+2\ Delta x,\ quad\ cdots,\ quad x_ {n-1} =b-\ Delta x,\ quad x_n=b\ end {reunir*}

Observe que la regla de Simpson no requiere esencialmente más trabajo que la regla trapezoidal. En ambas reglas debemos evaluar\(f(x)\) en\(x=x_0,x_1,\cdots,x_n\text{,}\) pero sumamos esos términos multiplicados por diferentes constantes ⁶.

Pongámoslo a trabajar en nuestros dos ejemplos corrientes.

Ejemplo 1.11.10\(\int_0^1 \frac{4}{1+x^2}\,\, d{x}\) — using Simpson's rule

Solución

Se procede casi de manera idéntica al Ejemplo 1.11.7 y nuevamente usamos\(n=8\) pasos.

• Tenemos lo mismo que\(\Delta,a,b,x_0,\cdots, x_n\) el Ejemplo 1.11.7.
• Aplicando la Ecuación 1.11.9 da

  \ begin {align*} &\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\,\, d {x}\\ &\ approx\ bigg [\ frac {4} {1+0^2} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac {1} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {2^2} {8^2}} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac {3^2} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {4^2} {8^2}}\ &\ hskip0.5in +4\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {6^2} {8^2}} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac { 7^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {8^2} {8^2}}\ bigg]\ frac {1} {8\ times 3}\\ &=\ Grande [4\! +\! 4\ veces 3.938461538\! +\! 2\ times 3.764705882\! +\! 4\ times 3.506849315\! +\! 2\ times 3.2\\ &\ hskip0.5in +4\ times 2.876404494 + 2\ times 2.56 + 4\ times 2.265486726 + 2\ Big]\ frac {1} {8\ times 3}\\ &=3.14159250\ end {align*}

  a ocho decimales.
• Esto concuerda con\(\pi\) (el valor exacto de la integral) a seis decimales. Entonces el error en la aproximación generada por ocho pasos de la regla de Simpson es\(|3.14159250-\pi|=1.5\times 10^{-7}\text{,}\) cual es\(100\tfrac{|3.14159250-\pi|}{\pi}\% =5\times 10^{-6}\%\) de la respuesta exacta.

Llama la atención que el error absoluto que se aproxima con la regla de Simpson sea mucho menor que el error del punto medio y las reglas trapezoidales.

\ begin {alinear*} &\ text {error de punto medio}\ hskip-0.35in &&= 0.0013\\ &\ text {error trapezoidal}\ hskip-0.35in &&= 0.0026\\ &\ text {error Simpson}\ hskip-0.35in &&= 0.00000015\ end {alinear*}

Impulsado por este éxito, también reharemos el Ejemplo 1.11.8 usando la regla de Simpson.

Ejemplo 1.11.11\(\int_0^\pi\sin x\,\, d{x}\) — Simpson's rule

Solución

Se procede casi de manera idéntica al Ejemplo 1.11.8 y nuevamente usamos\(n=8\) pasos.

• Tenemos lo mismo que\(\Delta,a,b,x_0,\cdots, x_n\) el Ejemplo 1.11.7.
• Aplicando la Ecuación 1.11.9 da

  \ begin {alinear*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\\ &\ hskip0.5in\ approx\ Grande [\ sin (x_0) +4\ sin (x_1) +2\ sin (x_2) +\ cdots+4\ sin (x_7) +\ sin (x_8)\ Grande]\ tfrac {\ Delta x} {3}\\ &\ hskip0.5in=\ Grande [\ sin (0) + 4\ sin (\ tfrac {\ pi} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {2\ pi} {8}) + 4\ sin (\ tfrac {3\ pi} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {4\ pi} {8}) cr\ &\ hskip0.5in\ phantom {=\ Grande [\ sin (0)\,} +4\ sin (\ tfrac {5\ pi} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {6\ pi} {8}) + 4\ sin (\ tfrac {7\ pi} {8}) +\ sin (\ tfrac {8\ pi} {8})\ grande]\ tfrac {\ pi} {8\ veces 3}\ cr &=\ hskip0.5in\ Big [0+ 4\ times 0.382683+ 2\ times 0.707107+ 4\ times 0.923880+ 2\ times 1.0\ &\ hskip0.5in\ phantom {=\ Big [0\,} + 4\ times 0.923880+ 2\ times 0. 707107+ 4\ times 0.382683+0\ Grande]\ tfrac {\ pi} {8\ times 3}\ &\ hskip0.5in=15.280932\ times 0.130900\ &\ hskip0.5in=2.00027\ end {align*}

• Con sólo ocho pasos de la regla de Simpson logramos\(100\tfrac{2.00027-2}{2}=0.014\%\) exactitud.

Nuevamente contrastamos el error que logramos con las otras dos reglas:

\ begin {alinear*} &\ text {error de punto medio}\ hskip-0.35in &&= 0.013\\ &\ text {error trapezoidal}\ hskip-0.35in &&= 0.026\\ &\ text {error Simpson}\ hskip-0.35in &&= 0.00027\ end {align*}

Esto completa nuestra derivación de las reglas de punto medio, trapezoidal y Simpson para aproximar los valores de integrales definidas. Hasta el momento no hemos intentado ver cuán eficientes y precisos son los algoritmos en general. Esa es nuestra siguiente tarea.

Tres integradores numéricos simples: comportamiento de error

Ahora estamos armados con nuestro método de tres (relativamente simple) para la integración numérica debemos pensar en lo prácticos que podrían ser en el mundo real ⁷. Dos consideraciones obvias a la hora de decidir si un algoritmo dado es de algún valor práctico son

1. la cantidad de esfuerzo computacional requerido para ejecutar el algoritmo y
2. la precisión que arroja este esfuerzo computacional.

Para algoritmos como nuestros integradores simples, la mayor parte del esfuerzo computacional suele dedicarse a evaluar la función\(f(x)\text{.}\) El número de evaluaciones de\(f(x)\) requerido para\(n\) pasos de la regla de punto medio es\(n\text{,}\) mientras que el número requerido para\(n\) pasos del trapezoidal y Las reglas de Simpson son\(n+1\text{.}\) Así que las tres de nuestras reglas requieren esencialmente la misma cantidad de esfuerzo, una evaluación de\(f(x)\) por paso.

Para tener una primera impresión del comportamiento de error de estos métodos, los aplicamos a un problema cuya respuesta conocemos exactamente:

\ comenzar {reunir*}\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x} =-\ cos x\ big|_0^\ pi = 2. \ end {reunir*}

Para ser un poco más precisos, nos gustaría entender cómo cambian los errores de los tres métodos a medida que aumentamos el esfuerzo que ponemos (medido por el número de pasos\(n\)). La siguiente tabla enumera el error en el valor aproximado para este número generado por nuestras tres reglas aplicadas con tres opciones diferentes de\(n\text{.}\) También enumera el número de evaluaciones de\(f\) requeridas para calcular la aproximación.

	Punto medio		trapezoidales		Simpson
n	error	# evales	error	# evales	error	# evales
10	\(8.2\times 10^{-3}\)	10	\(1.6\times 10^{-2}\)	11	\(1.1\times 10^{-4}\)	11
100	\(8.2\times 10^{-5}\)	100	\(1.6\times 10^{-4}\)	101	\(1.1\times 10^{-8}\)	101
1000	\(8.2\times 10^{-7}\)	1000	\(1.6\times 10^{-6}\)	1001	\(1.1\times 10^{-12}\)	1001

Observe que

• El uso de 101 evaluaciones de\(f\) valor de la regla de Simpson da un error 75 veces menor que 1000 evaluaciones de\(f\) valor de la regla de punto medio.
• El error de regla trapezoidal con\(n\) pasos es aproximadamente el doble del error de regla de punto medio con\(n\) pasos.
• Con la regla del punto medio, aumentar el número de pasos en un factor de 10 parece reducir el error en aproximadamente un factor de\(100=10^2=n^2\text{.}\)
• Con la regla trapezoidal, aumentar el número de pasos en un factor de 10 parece reducir el error en aproximadamente un factor de\(10^2=n^2\text{.}\)
• Con la regla de Simpson, aumentar el número de pasos en un factor de 10 parece reducir el error en aproximadamente un factor de\(10^4=n^4\text{.}\)

Entonces parece

\ begin {align*} &\ hbox {valor aproximado de $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ dado por $n$ pasos del punto medio}\ hskip-0.35in&&\ approx\ int_a^b f (x)\,\, d {x} +K_M\ cdot\ frac {1} {n^2}\ &\ hbox {valor aproximado de $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ dado por $n$ pasos trapezoidales}\ hskip-0.35in&&\ approx\ int_a^b f (x)\,\, d {x} +K_T\ cdot\ frac {1} {n^2}\\ &\ hbox {valor aproximado de $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ dado por $n$ pasos de Simpson}\ hskip-0.35in&&\ approx\ inta_a_^b f (x)\,\, d {x} +K_M\ cdot\ frac {1} {n^4}\ final {alinear*}

con algunas constantes\(K_M,\ K_T\) y también\(K_S\text{.}\) parece que\(K_T\approx 2 K_M\text{.}\)

Figura 1.11.12. Una gráfica logarítmica del error en la aproximación del\(n\) paso a\(\displaystyle \int_0^\pi \sin x\,\, d{x}\text{.}\)

Para probar estas conjeturas para el comportamiento de los errores aplicamos nuestras tres reglas con cerca de diez opciones diferentes\(n\) de la forma\(n=2^m \) con\(m\) entero. La Figura 1.11.12 contiene dos gráficas de los resultados. La gráfica de la izquierda muestra los resultados para las reglas de punto medio y trapezoidales y la gráfica derecha muestra los resultados para la regla de Simpson.

Por cada regla estamos esperando (en base a nuestras conjeturas anteriores) que el error

\ begin {align*} e_n &= |\ text {valor exacto} -\ text {valor aproximado} |\ end {align*}

con\(n\) pasos es (aproximadamente) de la forma

\ begin {reunir*} e_n=k\ frac {1} {n^k}\ end {reunir*}

para algunas constantes\(K\) y\(k\text{.}\) Nos gustaría probar si este es realmente el caso, graficando en\(Y=e_n\) contra\(X=n\) y viendo si la gráfica “se ve bien”. Pero no es fácil saber si una curva dada es realmente o no\(Y=\frac{K}{X^k}\text{,}\) para algunos específicos\(k\text{,}\) con solo mirarla. Sin embargo, tu ojo es bastante bueno para determinar si una gráfica es o no una línea recta. Afortunadamente, hay un pequeño truco que convierte la curva\(Y=\tfrac{K}{X^k}\) en una línea recta —no importa lo que\(k\) sea.

En vez de trazar\(Y\) contra\(X\text{,}\) tramamos\(\log Y\) contra\(\log X\text{.}\) Esta transformación ⁸ funciona porque cuando\(Y=\frac{K}{X^k}\)

\ begin {align*}\ log Y &=\ log K - k\ log X\ end {align*}

Así que trazar\(y=\log Y\) contra\(x=\log X\) da la línea recta\(y=\log K -kx\text{,}\) que tiene pendiente\(-k\) e\(y\) -intercepción\(\log K\text{.}\)

Las tres gráficas de la Figura 1.11.12 trazan\(y=\log_2 e_n\) contra\(x=\log_2 n\) nuestras tres reglas. Tenga en cuenta que hemos optado por usar logaritmos ⁹ con esta “base inusual” porque deja muy claro cuánto se mejora el error si duplicamos el número de pasos utilizados. Para ser más precisos — un paso unitario a lo largo del\(x\) eje -representa el cambio\(n \mapsto 2n\text{.}\) Por ejemplo, aplicar la regla de Simpson con\(n=2^4\) pasos da como resultado un error de\(0000166\text{,}\) por lo que el punto se\((x=\log_2 2^4=4, y=\log_2 0000166 = \frac{\log 0000166}{\log 2} = -15.8)\) ha incluido en la gráfica. Duplicar el esfuerzo utilizado —es decir, duplicar el número de pasos a\(n=2^5\) — da como resultado un error de\(0.00000103\text{.}\) Entonces, el punto de datos\((x=\log_2 2^5=5\ ,\ y=\log_2 0.00000103 =\frac{\ln 0.00000103}{\ln 2}=-19.9)\) se encuentra en la gráfica. Tenga en cuenta que las\(x\) coordenadas -de estos puntos difieren en 1 unidad.

Para cada uno de los tres conjuntos de puntos de datos, también se ha trazado una línea recta “a través” de los puntos de datos. Se ha utilizado un procedimiento llamado regresión lineal ¹⁰ para decidir con precisión qué línea recta trazar. Proporciona una fórmula para la pendiente e\(y\) intercepción de la línea recta que “mejor se ajusta” a cualquier conjunto dado de puntos de datos. A partir de las tres líneas, seguro que parece\(k=2\) para el punto medio y las reglas trapezoidales y\(k=4\) para la regla de Simpson. También parece que la relación entre el valor de\(K\) para la regla trapezoidal, es decir,\(K=2^{0.7253}\text{,}\) y el valor de\(K\) para la regla de punto medio,\(K=2^{-0.2706}\text{,}\) es decir, está bastante cerca de 2:\(2^{0.7253}/2^{-0.2706}=2^{0.9959}\text{.}\)

La intuición, sobre el comportamiento de error, que acabamos de desarrollar es, de hecho, correcta, siempre que el\(f(x)\) integrando sea razonablemente suave. Para ser más precisos

Teorema 1.11.13 Errores de integración numérica

Supongamos que\(|f''(x)| \leq M\) para todos\(a\leq x \leq b\text{.}\) Entonces

\ begin {align*} &\ text {el error total introducido por la regla del punto medio está limitado por} &\ frac {M} {24}\ frac {(b-a) ^3} {n^2}\\ &\ text {y}\\ &\ text {el error total introducido por la regla trapezoidal está limitado por} &\ frac {M} {12}\ frac {(b-a) ^3} {n^2}\\\ final {alinear*}

al aproximar\(\displaystyle \int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\) Además, si\(|f^{(4)}(x)|\leq L\) para todos\(a\leq x \leq b\text{,}\) entonces

\ begin {align*} &\ text {el error total introducido por la regla de Simpson está limitado por} &\ frac {L} {180}\ frac {(b-a) ^5} {n^4}. \ end {alinear*}

El primero de estos límites de error está probado en la siguiente sección (opcional). Aquí hay algunos ejemplos que ilustran cómo se utilizan. Primero comprobemos que el resultado anterior es consistente con nuestros datos en la Figura 1.11.12

Ejemplo 1.11.14 Aproximación de error de regla de punto medio\(\int_0^\pi \sin x\,\, d{x}\)

• La integral\(\int_0^\pi \sin x\,\, d{x}\) tiene\(b-a=\pi\text{.}\)
• La segunda derivada del integrando satisface

  \ begin {alinear*}\ izquierda|\ frac {d^ {2}} {dx^ {2}}\ sin x\ derecha| &= |-\ sin x|\ leq 1\ end {alinear*}

  Así que tomamos\(M=1\text{.}\)
• Entonces el error,\(e_n\text{,}\) introducido cuando se utilizan los\(n\) pasos está delimitado por

  \ begin {align*} |e_n|&\ le\ frac {M} {24}\ frac {(b-a) ^3} {n^2}\\ &=\ frac {\ pi^3} {24}\ frac {1} {n^2}\\ &\ aprox 1.29\ frac {1} {n^2}\ end {align*}

• Los datos en la gráfica de la Figura 1.11.12 dan

  \ begin {align*} |e_n| &\ approx 2^ {-.2706}\ frac {1} {n^2} =0.83\ frac {1} {n^2}\ end {align*}

  lo cual es congruente con el\(|e_n|\le \frac{\pi^3}{24}\frac{1}{n^2}\text{.}\)

En una aplicación típica se nos pediría evaluar una integral dada con alguna precisión especificada. Por ejemplo, si eres fabricante y tu maquinaria solo puede cortar materiales con una precisión\({\tfrac{1}{10}}^{\rm th}\) de milímetro, no tiene sentido hacer que las especificaciones de diseño sean más precisas que\({\tfrac{1}{10}}^{\rm th}\) las de un milímetro.

Ejemplo 1.11.15 ¿Cuántos pasos para una precisión dada?

Supongamos, por ejemplo, que deseamos usar la regla de punto medio para evaluar ¹¹

\ comenzar {reunir*}\ int_0^1 e^ {-x^2}\, d {x}\ fin {reunir*}

dentro de una precisión de\(10^{-6}\text{.}\)

Solución

• La integral tiene\(a=0\) y\(b=1\text{.}\)
• Las dos primeras derivadas del integrando son

  \ begin {alinear*}\ frac {d} {dx} e^ {-x^2} &=-2xe^ {-x^2}\ hskip2in\ texto {y}\\\ frac {d^ {2}} {dx^ {2}} e^ {-x^2} &=\ frac {d} {dx}\ grande (-2xe^ {-x^ ^2}\ grande) =-2e^ {-x^2} +4x^2e^ {-x^2} =2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ end {align*}

• Como\(x\) corre de 0 a 1,\(2x^2-1\) aumenta de\(-1\) a para\(1\text{,}\) que

  \ begin {reunir*} 0\ le x\ le 1\ implica |2x^2-1|\ le 1,\ e^ {-x^2}\ le 1\ implica\ big|2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ big|\ le 2\ end {reunir*}

  Así que tomamos\(M=2\text{.}\)
• El error introducido por la regla de punto medio de\(n\) paso es como máximo

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {M} {24}\ frac {(b-a) ^3} {n^2}\\ &\ leq\ frac {2} {24}\ frac {(1-0) ^3} {n^2} =\ frac {1} {12n^2}\ end {align*}

• Necesitamos que este error sea más pequeño que\(10^{-6}\) así

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {1} {12n^2}\ leq 10^ {-6} &\ text {y así}\\ 12n^2 &\ geq 10^6 &\ text {limpiar}\\ n^2 &\ geq\ frac {10^6} {12} = 83333.3 &\ text {raíz cuadrada de ambos lados}\\ n &\ geq 288.7\ fin {alinear*}

  Entonces\(289\) los pasos de la regla del punto medio harán el trabajo.
• De hecho\(n=289\) resulta en un error de aproximadamente\(3.7\times 10^{-7}\text{.}\)

Eso parece demasiado trabajo, y la regla trapezoidal tendrá el doble de error. Entonces deberíamos mirar la regla de Simpson.

Ejemplo 1.11.16 ¿Cuántos pasos usando la regla de Simpson?

Supongamos ahora que deseamos\(\int_0^1 e^{-x^2}\,\, d{x}\) evaluar dentro de una precisión de\(10^{-6}\) — pero ahora usando la regla de Simpson. ¿Cuántos pasos debemos usar?

Solución

• Nuevamente tenemos\(a=0,b=1\text{.}\)
• Entonces tenemos que atarnos\(\frac{d^{4}}{dx^{4}}e^{-x^2}\) al dominio de la integración,\(0\leq x\leq 1\text{.}\)

  \ begin {alinear*}\ frac {d^ {3}} {dx^ {3}} e^ {-x^2} &=\ frac {d} {dx}\ big\ {2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ big\} =8xe^ {-x^2} -4x (2x^2-1) e^ {-x^2}\ &=4 (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\\ frac {d^ {4}} {dx^ {4}} e^ {-x^2} &=\ frac {d} {dx}\ grande\ {4 (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\ grande\}\\\ &=4 (-6x^2+3) e^ {-x^2} ^2}\ hskip-4pt-8x (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\\ &=4 (4x^4-12x^2+3) e ^ {-x^2}\ final {alinear*}

• Ahora, para cualquier\(x\text{,}\)\(e^{-x^2}\le 1\text{.}\) También, para\(0\le x\le 1\text{,}\)

  \ begin {align*} 0 &\ leq x^2, x^4\ leq 1 &\ text {so}\\ 3 &\ leq 4x^4+3\ leq 7 &\ text {y}\\ -12 &\ leq -12x^2\ leq 0 &\ text {sumando estos juntos da}\\ -9 &\ leq 4x^4-12x^2 + 3\ leq 7\ end {alinear*}

  En consecuencia,\(|4x^4-12x^2+3|\) está delimitado por\(9\) y así

  \ begin {reunir*}\ izquierda|\ frac {d^ {4}} {dx^ {4}} e^ {-x^2}\ derecha|\ leq 4\ times 9=36\ end {reunir*}

  Así que toma\(L=36\text{.}\)
• El error introducido por el\(n\) paso La regla de Simpson es a lo sumo

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {L} {180}\ frac {(b-a) ^5} {n^4}\\ &\ leq\ frac {36} {180}\ frac {(1-0) ^5} {n^4} =\ frac {1} {5n^4}\ end {align*}

• Para que este error no sea más de lo que\(10^{-6}\) requerimos\(n\) para satisfacer

  \ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {1} {5n^4}\ leq 10^ {-6} &\ text {y así}\\ 5n^4 &\ geq 10^6\\ n^4 &\ geq 200000 &\ text {tomar cuarta raíz}\\ n &\ geq 21.15\ end {alinear*}

  Entonces\(22\) los pasos de la regla de Simpson harán el trabajo.
• \(n=22\)pasos realmente resulta en un error de\(3.5\times 10^{-8}\text{.}\) La razón por la que obtenemos un error mucho más pequeño de lo que necesitamos es que hemos sobreestimado el número de pasos requeridos. Esto, a su vez, ocurrió porque hicimos un encuadernado bastante rudo de\(\left|\frac{d^{4}}{dx^{4}}f(x)\right|\leq 36\text{.}\) Si somos más cuidadosos entonces vamos a conseguir un poco más pequeño En realidad\(n\text{.}\) resulta ¹² que solo necesitas\(n=10\) aproximar dentro\(10^{-6}\text{.}\)

Opcional — Un límite de error para la regla de punto medio

Ahora intentamos desarrollar alguna comprensión de por qué obtuvimos los resultados experimentales anteriores. Comenzamos con el error generado por un solo paso de la regla de punto medio. Es decir, el error introducido por la aproximación

\[ \int_{x_0}^{x_1}f(x)\,\, d{x}\approx f(\bar x_1)\Delta x \qquad\hbox{ where } \Delta x=x_1-x_0,\ \bar x_1=\tfrac{x_0+x_1}{2} \nonumber \]

Para ello vamos a necesitar aplicar la integración por partes de manera furtiva. Empecemos por considerar ¹³ un subintervalo\(\alpha \leq x \leq \beta\) y llamemos al ancho del subintervalo\(2q\) para que\(\beta=\alpha+2q\text{.}\) Si ahora fuéramos a aplicar la regla del punto medio a este subintervalo, entonces escribiéramos

\ begin {align*}\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} &\ approx 2q\ cdot f (\ alfa+q) = q f (\ alfa+q) + q f (\ beta-q)\ end {alinear*}

ya que el intervalo tiene ancho\(2q\) y el punto medio es\(\alpha+q=\beta-q\text{.}\)

El truco furtivo que emplearemos es escribir

\ begin {align*}\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} &=\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} +\ int_ {\ beta-q} ^\ beta f (x)\, d {x}\ end {align*}

y luego examinar cada una de las integrales en el lado derecho (usando integración por partes) y mostrar que son cada una de las formas

\ begin {align*}\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} &\ approx q f (\ alpha+q) +\ text {término de error pequeño}\\ int_ {\ beta-q} ^\ beta f (x)\, d {x} &\ approx q f (\ beta-q) +\ text {término de error pequeño}\ end {align*}

Apliquemos la integración por partes a\(\int_\alpha^{\alpha+q} f(x)\, d{x}\), con\(u=f(x), \, d{v}=\, d{x}\) esto\(\, d{u}=f'(x)\, d{x}\) y haremos la elección ligeramente no estándar de\(v=x-\alpha\text{:}\)

\ begin {alinear*}\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} &=\ big [(x-\ alpha) f (x)\ big] _\ alpha^ {\ alpha+q} -\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} (x-\ alpha) f' (x)\, d {x}\\ &= q f (\ alfa+q) -\ int_\ alfa^ {\ alfa+q} (x-\ alfa) f' (x)\, d {x}\ final {alinear*}

Observe que el primer término en el lado derecho es el término que necesitamos, y que nuestra elección no estándar de nos\(v\) permitió evitar introducir un\(f(\alpha)\) término.

Ahora integre por partes de nuevo usando\(u=f'(x), \, d{v}=(x-\alpha)\, d{x}\text{,}\)\(\, d{u}=f''(x), v = \frac{(x-\alpha)^2}{2}\text{:}\)

\ begin {alinear*}\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} &= q f (\ alpha+q) -\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} (x-\ alpha) f' (x)\, d {x}\\ &= q f (\ alpha+q) -\ left [\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2} f' (x)\ derecha] _\ alfa^ {\ alfa+q} +\ int_\ alfa^ {\ alfa+q}\ frac {(x-\ alfa) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\\ &= q f (\ alfa+q) -\ frac {q^2} {2} f' (\ alfa +q) +\ int_\ alfa^ {\ alfa+q}\ frac {(x-\ alfa) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ final {alinear*}

Para obtener una expresión similar para la otra integral, repetimos los pasos anteriores y obtenemos:

\ begin {alinear*}\ int_ {\ beta-q} ^\ beta f (x)\, d {x} &= q f (\ beta-q) +\ frac {q^2} {2} f' (\ beta-q) +\ int_ {\ beta-q} ^\ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ end {align*}

Ahora sumar estas dos expresiones

\[\begin{align*} \int_\alpha^{\alpha+q} f(x)\, d{x} + \int_{\beta-q}^\beta f(x)\, d{x} &= q f(\alpha+q) + q f(\beta-q) + \frac{q^2}{2}\left( f'(\beta-q)-f'(\alpha+q) \right)\\ & + \int_\alpha^{\alpha+q} \frac{(x-\alpha)^2}{2}f''(x)\, d{x} + \int_{\beta-q}^\beta \frac{(x-\beta)^2}{2}f''(x)\, d{x}\\ \end{align*}\]

Entonces ya que\(\alpha+q=\beta-q\) podemos combinar las integrales en el lado izquierdo y eliminar algunos términos del lado derecho:

\ begin {align*}\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} &= 2q f (\ alpha+q) +\ int_\ alpha^ {\ alpha+q}\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2} f "(x)\, d {x} +\ int_ {\ beta-q} ^\ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2} f" (x)\, d {x}\ final {alinear*}

Reorganizar un poco esta expresión y tomar valores absolutos

\ begin {alinear*}\ izquierda|\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} - 2q f (\ alpha+q)\ derecha| &\ leq\ izquierda|\ int_\ alpha^ {\ alpha+q}\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ derecha| +\ ft|\ int_ {\ beta-q} ^\ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2} f" (x)\, d {x}\ derecha|\ end {alinear*}

donde también hemos hecho uso de la desigualdad triangular ¹⁴. Por supuesto\(|f''(x)| \leq M\) en el intervalo de\(\alpha \leq x \leq \beta\text{,}\) modo

\ begin {alinear*}\ izquierda|\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} - 2q f (\ alpha+q)\ derecha| &\ leq M\ int_\ alpha^ {\ alpha+q}\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2}\, d {x} + M\ int_ {\ beta-q} ^ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2}\, d {x}\\ &=\ frac {Mq^3} {3} =\ frac {M (\ beta-\ alfa) ^3} {24}\ end {alinear*}

donde hemos utilizado\(q = \frac{\beta-\alpha}{2}\) en el último paso.

Así, en cualquier intervalo\(x_i \leq x \leq x_{i+1}=x_i+\Delta x\)

\ begin {align*}\ izquierda|\ int_ {x_i} ^ {x_ {i+1}} f (x)\, d {x} -\ Delta x f\ izquierda (\ frac {x_i+x_ {i+1}} {2}\ derecha)\ derecha| &\ leq\ frac {M} {24} (\ Delta x) ^3\ end {align*}

Armando todo vemos que el error usando la regla del punto medio está delimitado por

\ begin {reunir*}\ izquierda|\ int_a^b f (x)\, d {x} -\ izquierda [f (\ bar x_1) +f (\ bar x_2) +\ cdots +f (\ bar x_n)\ derecha]\ Delta x\ derecha|\\\ leq\ izquierda|\ int_ {x_0} ^ {x_1} (f)\, d {x} -\ Delta x f (\ bar x_1)\ derecha| +\ cdots+\ izquierda|\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\, d {x} -\ Delta x f (\ bar x_n)\ derecha|\\\ leq n\ veces\ frac {M} {24} (Delta\ x) ^3 = n\ veces\ frac {M} {24}\ izquierda (\ frac {b-a} {n}\ derecha) ^3 =\ frac {M (b-a) ^3} {24 n^2}\ end {reunión*}

según sea necesario.

Un análisis muy similar muestra que, como se indicó en el Teorema 1.11.13 anterior,

• el error total introducido por la regla trapezoidal está limitado por\(\displaystyle \frac{M}{12}\frac{(b-a)^3}{n^2}\text{,}\)
• el error total introducido por la regla de Simpson está limitado por\(\displaystyle \frac{M}{180}\frac{(b-a)^5}{n^4}\)

Ejercicios

Recordemos que estamos usando\(\log x\) para denotar el logaritmo de\(x\) con base\(e\text{.}\) En otros cursos a menudo se denota\(\ln x\text{.}\)

Etapa 1

1

Supongamos que aproximamos un objeto para tener volumen\(1.5 \mathrm{m}^3\text{,}\) cuando su volumen exacto es\(1.387 \mathrm{m}^3\text{.}\) Dar el error relativo, error absoluto y error porcentual de nuestra aproximación.

2

Considera aproximar\(\displaystyle\int_2^{10} f(x) \, d{x}\text{,}\) dónde\(f(x)\) está la función en la gráfica a continuación.

1. Dibuja los rectángulos asociados con la aproximación de la regla del punto medio y\(n=4\text{.}\)
2. Dibuje los trapecios asociados con la aproximación de la regla trapezoidal y\(n=4\text{.}\)

No hay que dar una aproximación.

3

Let\(f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2\text{.}\)

1. Encuentra un valor razonable\(M\) tal que\(|f''(x)| \leq M\) para todos\(1 \leq x \leq 6\text{.}\)
2. Encuentra un valor razonable\(L\) tal que\(|f^{(4)}(x)| \leq L\) para todos\(1 \leq x \leq 6\text{.}\)

4

Deje\(f(x) = x\sin x+2\cos x\text{.}\) encontrar un valor razonable de\(M\) tal manera que\(|f''(x)| \leq M\) para todos\(-3 \leq x \leq 2\text{.}\)

5

Considera la cantidad\(A=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \, d{x}\text{.}\)

1. Encuentra el límite superior en el error usando la regla de Simpson con\(n=4\) para aproximar\(A\) usando el Teorema 1.11.13 en el texto.
2. Encuentra la aproximación de reglas de Simpson de\(A\) usar\(n=4\text{.}\)
3. ¿Cuál es el error absoluto (real) en la aproximación de la regla de Simpson de\(A\) con\(n=4\text{?}\)

6

Dar una función\(f(x)\) tal que:

• \(f''(x) \leq 3\)para todos\(x\) en\([0,1]\text{,}\) y
• el error usando la regla trapezoidal que se aproxima\(\displaystyle\int_0^1 f(x) \, d{x}\) con\(n=2\) intervalos es exactamente\(\dfrac{1}{16}\text{.}\)

7

Supongamos que mi madre tiene menos de 100 años, y yo tengo menos de 200 años. ¹⁵ Vamos a algún lado con esto. ¿Quién es mayor?

8

1. Verdadero o Falso: para constantes positivas fijas\(M\text{,}\)\(n\text{,}\)\(a\text{,}\) y\(b\text{,}\) con\(b \gt a\text{,}\)

   \[ \dfrac{M}{24}\dfrac{(b-a)^3}{n^2}\leq \dfrac{M}{12}\dfrac{(b-a)^3}{n^2} \nonumber \]

2. Verdadero o Falso: para una función\(f(x)\) y constantes fijas\(n\text{,}\)\(a\text{,}\) y\(b\text{,}\) con\(b \gt a\text{,}\) la aproximación de punto medio\(n\) -intervalo de\(\displaystyle\int_a^b f(x) \, d{x}\) es más precisa que la aproximación trapezoidal\(n\) -intervalo.

9 (✳)

Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Si es falso, proporcione un contraejemplo. Si es cierto, proporcionar una breve justificación.

Cuando\(f(x)\) es positivo y cóncavo hacia arriba, cualquier aproximación de regla trapezoidal para\(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\, d{x}\) será una estimación superior para\(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\, d{x}\text{.}\)

10

Dar un polinomio\(f(x)\) con la propiedad que la aproximación de la regla de Simpson\(\displaystyle\int_a^b f(x) \, d{x}\) es exacta para todos\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(n\text{.}\)

Etapa 2

Las preguntas 11 y 12 le piden aproximar una integral dada utilizando las fórmulas de las Ecuaciones 1.11.2, 1.11.6 y 1.11.9 en el texto.

Las preguntas 13 a 17 le piden aproximar una cantidad con base en los datos observados.

En las preguntas 18 a 24, practicamos encontrar límites de error para nuestras aproximaciones.

11

Escriba las tres aproximaciones de\(\displaystyle\int_0^{30} \frac{1}{x^3+1} \, d{x}\) con\(n=6\text{.}\) (Es decir: punto medio, trapezoidal y Simpson.) No es necesario simplificar sus respuestas.

12 (✳)

Encuentra la aproximación de regla de punto medio a\(\displaystyle\int_0^\pi \sin x\, d{x}\) con\(n = 3\text{.}\)

13 (✳)

El sólido\(V\) mide 40 cm de altura y las secciones transversales horizontales son discos circulares. La siguiente tabla da los diámetros de las secciones transversales en centímetros a intervalos de 10 cm. Utilice la regla trapezoidal para estimar el volumen de\(V\text{.}\)

altura	0	10	20	30	40
diámetro	24	16	10	6	4

14 (✳)

Un tronco de cedro de un\(6\) metro de largo tiene secciones transversales que son aproximadamente circulares. Los diámetros del tronco, medidos a intervalos de un metro, se dan a continuación:

metros del extremo izquierdo del tronco	0	1	2	3	4	5	6
diámetro en metros	1.2	1	0.8	0.8	1	1	1.2

Usa la Regla de Simpson para estimar el volumen del registro.

15 (✳)

La circunferencia de un árbol de 8 metros de altura a diferentes alturas sobre el suelo se da en la siguiente tabla. Supongamos que todas las secciones transversales horizontales del árbol son discos circulares.

altura (metros)	0	2	4	6	8
circunferencia (metros)	1.2	1.1	1.3	0.9	0.2

Usa la regla de Simpson para aproximar el volumen del árbol.

16 (✳)

Al medir las áreas encerradas por contornos en un mapa topográfico, un geólogo determina las áreas de sección transversal\(A\) en un cerro\(\mathrm{m}^2\) de\(60\) m de altura. La siguiente tabla da el área de la sección transversal\(A(h)\) a diversas alturas\(h\text{.}\) El volumen del cerro es\(V=\int_0^{60} A(h)\,\, d{h}\text{.}\)

\(h\)	0	10	20	30	40	50	60
\(A\)	10,200	9,200	8,000	7,100	4,500	2,400	100

1. Si el geólogo utiliza la Regla Trapezoidal para estimar el volumen del cerro, cuál será su estimación, al 1,000\(\mathrm{m}^3\text{?}\)
2. ¿Cuál será la estimación del geólogo del volumen del cerro si usan la Regla de Simpson en lugar de la Regla Trapezoidal?

17 (✳)

La gráfica a continuación se aplica a ambas partes (a) y (b).

1. Usa la Regla Trapezoidal, con\(n = 4\text{,}\) para estimar el área bajo la gráfica entre\(x = 2\) y\(x = 6\text{.}\) Simplifica tu respuesta por completo.
2. Usa la regla de Simpson, con\(n = 4\text{,}\) para estimar el área debajo de la gráfica entre\(x = 2\) y\(x = 6\text{.}\)

18 (✳)

La integral\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \sin(x^2) \, \, d{x}\) se estima utilizando la Regla de Punto Medio con\(1000\) intervalos. Demostrar que el error absoluto en esta aproximación es como máximo\(2\cdot 10^{-6}\text{.}\)

Puede usar el hecho de que al aproximarse\(\int_a^b f(x) \, \, d{x}\) con la Regla de Punto Medio usando\(n\) puntos, el valor absoluto del error es como mucho\(M(b-a)^3/24n^2\) cuando\(\left|f''(x)\right|\leq M\) para todos\(x\in[a,b]\text{.}\)

19 (✳)

El error total usando la regla de punto medio con\(n\) subintervalos para aproximar la integral de\(f(x)\) over\([a,b]\) está limitado por\(\dfrac{M (b-a)^3}{(24n^2)}\text{,}\) if\(|f''(x)| \le M\) for all\(a \le x \le b\text{.}\)

Usando este límite, si la integral\(\displaystyle\int_{-2}^{1} 2x^4 \,\, d{x}\) se aproxima usando la regla de punto medio con\(60\) subintervalos, ¿cuál es el mayor error posible entre la aproximación\(M_{60}\) y el valor verdadero de la integral?

20 (✳)

Ambas partes de esta pregunta se refieren a la integral\(I = \displaystyle\int_{0}^{2} (x-3)^5\,\, d{x}\text{.}\)

1. Anota la aproximación de la Regla de Simpson a\(I\) con\(n=6\text{.}\) Deja tu respuesta en forma lista para la calculadora.
2. ¿Qué método de aproximación\(I\) da como resultado un límite de error menor: la Regla de Punto Medio con\(n=100\) intervalos, o la Regla de Simpson con\(n=10\) intervalos? Puedes usar las fórmulas

   \ begin {reunir*} |E_M|\ le\ frac {M (b-a) ^3} {24n^2}\ qquad\ texto {y}\ qquad |E_S|\ le\ frac {L (b-a) ^5} {180n^4},\ end {reunir*}

   donde\(M\) es un límite superior para\(|f''(x)|\) y\(L\) es un límite superior para\(|f^{(4)}(x)|\text{,}\) y\(E_M\) y\(E_S\) son los errores absolutos que surgen de la regla del punto medio y la regla de Simpson, respectivamente.

21 (✳)

Encuentra un límite para el error al aproximar\(\displaystyle\int_1^5 \frac{1}{x}\,\, d{x}\) usando la regla de Simpson con\(n = 4\text{.}\) No anotar la aproximación de la regla de Simpson\(S_4\text{.}\)

En general, el error al aproximar\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) usando la regla de Simpson con\(n\) pasos está limitado por\(\dfrac{L(b-a)}{180}(\Delta x)^4\) dónde\(\Delta x=\dfrac{b-a}{n}\) y\(L\ge |f^{(4)}(x)|\) para todos\(a\le x\le b\text{.}\)

22 (✳)

Encuentra un límite para el error al aproximar

\[ \int_0^1 \big(e^{-2x}+3x^3\big)\,\, d{x} \nonumber \]

usando la regla de Simpson con\(n = 6\text{.}\) No anote la aproximación de la regla de Simpson\(S_n\text{.}\)

En general, el error al aproximar\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) usando la regla de Simpson con\(n\) pasos está limitado por\(\dfrac{ L(b-a)}{180}(\Delta x)^4\) dónde\(\Delta x=\dfrac{b-a}{n}\) y\(L\ge |f^{(4)}(x)|\) para todos\(a\le x\le b\text{.}\)

23 (✳)

Let\(I=\displaystyle\int_1^2 (1/x)\,\, d{x}\text{.}\)

1. Anota la aproximación trapezoidal\(T_4\) para No\(I\text{.}\) necesitas simplificar tu respuesta.
2. Anota la aproximación de Simpson\(S_4\) para No\(I\text{.}\) necesitas simplificar tu respuesta.
3. Sin computar\(I\text{,}\) encontrar un límite superior para\(|I - S_4|\text{.}\) Usted puede usar el hecho de que si\(\big|f^{(4)}(x)\big|\le L\) en el intervalo\([a, b]\text{,}\) entonces el error en usar\(S_n\) para aproximar\(\int_a^b f(x)\,\, d{x}\) tiene un valor absoluto menor o igual a\(L(b-a)^5/180n^4\text{.}\)

24 (✳)

Una función\(s(x)\) satisface\(s(0)=1.00664\text{,}\)\(s(2)=1.00543\text{,}\)\(s(4)=1.00435\text{,}\)\(s(6)=1.00331\text{,}\)\(s(8)=1.00233\text{.}\) También, se sabe que satisface\(\big|s^{(k)}(x)\big|\le \dfrac{k}{1000}\) para\(0\le x\le 8\) y todos los enteros positivos\(k\text{.}\)

1. Encuentra las mejores aproximaciones de Regla Trapezoidal y Regla de Simpson que puedas\(\displaystyle I=\int_0^8 s(x)\, d{x}\text{.}\)
2. Determine los tamaños máximos posibles de errores en las aproximaciones que dio en la parte (a). Recordemos que si una\(\big|f^{(k)}(x)\big|\le K_k\) función\(f(x)\) satisface\([a,b]\text{,}\) entonces

   \[ \bigg|\int_a^b f(x)\, d{x} -T_n\bigg|\le \frac{K_2(b-a)^3}{12n^2} \quad\hbox{and}\quad \bigg|\int_a^b f(x)\, d{x} -S_n\bigg|\le \frac{K_4(b-a)^5}{180n^4} \nonumber \]

25 (✳)

Considere la regla trapezoidal para hacer aproximaciones numéricas a\(\displaystyle\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\) El error para la regla trapezoidal satisface\(|E_T| \le \dfrac{ M(b - a)^3}{12n^2}\), donde\(|f''(x)| \le M\)\(-2 \lt f''(x) \lt 0\) para\(a \le x \le b\text{.}\) Si para\(1 \le x \le 4\text{,}\) encontrar un valor de\(n\) para garantizar la regla trapezoidal dará una aproximación para\(\displaystyle\int_1^4 f(x)\, d{x}\) con error absoluto,\(|E_T|\text{,}\) menor que\(0.001\text{.}\)

Etapa 3

26 (✳)

Una piscina tiene la forma que se muestra en la siguiente figura. Las secciones transversales verticales de la piscina son discos semicirculares. Las distancias en pies a través de la piscina se dan en la figura a intervalos de 2 pies a lo largo de los dieciséis pies de longitud de la piscina. Usa la Regla de Simpson para estimar el volumen de la piscina.

27 (✳)

Un trozo de alambre de 1m de largo con radio 1mm está hecho de tal manera que la densidad varía en su sección transversal, pero es radialmente simétrica (es decir, la densidad local\(g(r)\) en\({\rm kg/m^3}\) depende solo de la distancia\(r\) en mm desde el centro del alambre). Tomar como dado que la masa total\(W\) del alambre en kg viene dada por

\ begin {reunir*} W=2\ pi 10^ {-6}\ int_0^1 rg (r)\,\, d {r}\ end {reunir*}

Los datos del fabricante se dan a continuación:

\(r\)	0	1/4	1/2	3/4	1
\(g(r)\)	8051	8100	8144	8170	8190

1. Encuentra la mejor aproximación de Regla Trapezoidal que puedas para\(W\) basada en los datos de la tabla.
2. Supongamos que se sabe que\(|g'(r)| \lt 200\) y\(|g''(r)| \lt 150\) para todos los valores de\(r\text{.}\) Determine el tamaño máximo posible del error en la aproximación que dio en la parte (a). Recordemos que si una\(|f''(x)|\le M\) función\(f(x)\) satisface\([a,b]\text{,}\) entonces

   \ begin {reunir*} |i-t_n|\ le\ frac {M (b-a) ^3} {12n^2}\ end {reunir*}

   donde\(I=\int_a^b f(x)\,\, d{x}\) y\(T_n\) es la aproximación de la Regla Trapezoidal al\(I\) uso de\(n\) subintervalos.

28 (✳)

La regla de Simpson se puede utilizar para aproximar\(\log 2\text{,}\) desde\(\displaystyle\log 2=\int_1^2\frac{1}{x}\,\, d{x}\text{.}\)

1. Usa la regla de Simpson con 6 subintervalos para aproximar\(\log 2\text{.}\)
2. Cuántos subintervalos se requieren para garantizar que el error absoluto sea menor que\(0.00001\text{?}\)

Tenga en cuenta que si\(E_n\) es el error usando\(n\) subintervalos, entonces\(|E_n|\le\dfrac{L(b-a)^5}{180n^4}\) donde\(L\) está el valor absoluto máximo de la cuarta derivada de la función que se está integrando\(a\) y y\(b\) son los puntos finales del intervalo.

29 (✳)

Dejar\(I={\displaystyle\int_0^2}\cos(x^2)\, d{x}\) y dejar\(S_n\) ser la aproximación de la regla de Simpson al\(I\) uso de\(n\) subintervalos.

1. Estimar el error absoluto máximo en el uso\(S_8\) para aproximar\(I\text{.}\)
2. Qué tan grande debe\(n\) ser para asegurar que\(|I-S_n|\le 0.0001\text{?}\)

Nota: A continuación\(f(x)=\cos(x^2)\text{,}\) se muestra la gráfica de\(f''''(x)\text{,}\) dónde. El error absoluto en la aproximación de la regla de Simpson está limitado por\(\dfrac{L(b-a)^5}{180n^4}\) cuando está\(|f''''(x)|\le L\) en el intervalo\([a,b]\text{.}\)

30 (✳)

Definir una función\(f(x)\) y una integral\(I\)

\ comenzar {reunir*} f (x) =\ int_0^ {x^2}\ sin (\ sqrt {t})\,\, d {t},\ qquad I=\ int_0^1 f (t)\,\, d {t}\ end {reunir*}

Estime cuántas subdivisiones se necesitan para calcular\(I\) a cinco decimales de precisión usando la regla trapezoidal.

Tenga en cuenta que si\(E_n\) es el error usando\(n\) subintervalos, entonces\(|E_n|\le\dfrac{M(b-a)^3}{12n^2\vphantom{\frac{1}{2}}}\text{,}\) donde\(M\) está el valor absoluto máximo de la segunda derivada de la función que se está integrando\(a\) y y\(b\) son los límites de integración.

31

Let\(f(x)\) be a function ¹⁸ Por ejemplo,\(f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+(1+x)\log|x+1|\) will do, but you don't need to know what \(f(x)\) is for this problem. con\(f''(x) = \dfrac{x^2}{x+1}\text{.}\)

1. Mostrar que\(|f''(x)| \leq 1\) siempre que\(x\) esté en el intervalo\([0,1]\text{.}\)
2. Encuentra el valor máximo de\(|f''(x)|\) sobre el intervalo\([0,1]\text{.}\)
3. Asumiendo\(M=1\text{,}\) cuántos intervalos debe usar para\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x) \, d{x}\) aproximarse dentro\(10^{-5}\text{?}\)
4. Usando el valor de\(M\) usted que se encuentra en (b), cuántos intervalos debe usar para\(\displaystyle\int_0^1 f(x) \, d{x}\) aproximarse dentro\(10^{-5}\text{?}\)

32

Aproximar la función\(\log x\) con una función racional aproximando la integral\(\displaystyle\int_1^{x\vphantom{\frac{1}{2}}} \frac{1}{t} \, d{t}\) usando la regla de Simpson. Su función racional\(f(x)\) debe aproximarse\(\log x\) con un error de no más de 0.1 para cualquiera\(x\) en el intervalo\([1,3]\text{.}\)

33

Usando una aproximación del área bajo la curva, se\(\dfrac{1}{x^2+1}\text{,}\) muestra que la constante\(\arctan2\) está en el intervalo\(\left[\dfrac{\pi}{4}+0.321,\, \dfrac{\pi}{4}+0.323\right]\text{.}\)

Puedes asumir el uso sin pruebas de que\(\displaystyle\frac{d^{4}}{dx^{4}}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\} = \dfrac{24(5x^4-10x^2+1)}{(x^2+1)^5}\text{.}\) puedes usar una calculadora, pero solo para sumar, restar, multiplicar y dividir.

1. Nos disculpamos por ser un poco descuidados aquí —pero solo queremos decir que puede ser muy difícil o incluso imposible escribir algunas integrales como alguna expresión de tamaño finito que involucra polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas. No queremos meternos en una discusión de computabilidad, aunque ese es un tema muy interesante.
2. Agradecidamente es muy fácil escribir un programa para aplicar la regla del punto medio.
3. Este método también se llama la “regla trapezoidal” y “regla del trapecio”.
4. Un trapecio es un polígono de cuatro lados, como un rectángulo. Pero, a diferencia de un rectángulo, la parte superior e inferior de un trapecio no necesitan ser paralelas.
5. La regla de Simpson lleva el nombre del matemático inglés del siglo XVIII Thomas Simpson, a pesar de su uso un siglo antes por el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler. En muchos textos alemanes la regla suele llamarse regla de Kepler.
6. Hay una fácil generalización de la regla de Simpson que usa cubics en lugar de parábolas. Se le conoce como la segunda regla de Simpson y la\(\frac38\) regla de Simpson. Si bien uno puede impulsar más este enfoque (usando cuartículos, quintics, etc.), a veces puede conducir a errores más grandes: el lector interesado debería buscar el fenómeno de Runge.
7. De hecho, incluso más allá del “mundo real” de muchas aplicaciones en los textos de cálculo del primer año, algunos de los métodos que hemos descrito son utilizados por personas reales (como constructores de barcos, ingenieros y topógrafos) para estimar áreas y volúmenes de objetos reales.
8. Hay una variante de este truco que funciona incluso cuando no conoces la respuesta a la integral antes de tiempo. Supongamos que sospechas que la aproximación satisface\(M_n=A+K\tfrac{1}{n^k}\) where \(A\) is the exact value of the integral and suppose that you don't know the values of \(A\text{,}\) \(K\) and \(k\text{.}\) Then \(M_{n}-M_{2n} =K\tfrac{1}{n^k}-K\tfrac{1}{(2n)^k} =K\big(1-\tfrac{1}{2^k}\big)\tfrac{1}{n^k}\) so plotting \(y=\log(M_{n}-M_{2n})\) against \(x=\log n\) gives the straight line \(y=\log \big[K\big(1-\frac{1}{2^k}\big)\big] -kx\text{.}\)
9. Ahora es un buen momento para una rápida revisión de logaritmos — ver “Revisión torbellino de logaritmos” en la Sección 2.7 del texto CLP-1.
10. La regresión lineal no forma parte de este curso ya que su derivación requiere algún cálculo multivariable. Se trata de una técnica muy estándar en estadística.
11. Este es nuestro ejemplo de carrera favorito de una integral que no se puede evaluar algebraicamente; necesitamos usar métodos numéricos.
12. Los autores lo probaron empíricamente.
13. Elegimos este intervalo para que no tuviéramos muchos subíndices flotando alrededor en el álgebra.
14. El triángulo de la desigualdad dice que para cualquier número real\(x,y\) \(|x+y| \leq |x| + |y|.\)