1.11: Integración Numérica
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
A estas alturas el lector habrá llegado a apreciar que la integración es generalmente bastante más difícil que la diferenciación. Hay muchas integrales de aspecto simple, como∫e−x2dx, que son muy difíciles o incluso imposibles de expresar en términos de funciones estándar 1. Tales integrales no son meramente curiosidades matemáticas, sino que surgen de manera muy natural en muchos contextos. Por ejemplo, la función de error
\ begin {reunir*}\ mathrm {erf} (x) =\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}\ int_0^x e^ {-t^2}\, d {t}\ end {reunir*}
es sumamente importante en muchas áreas de las matemáticas, y también en muchas aplicaciones prácticas de la estadística.
En tales aplicaciones necesitamos poder evaluar esta integral (y muchas otras) a un valor numérico dado dex. En esta sección nos dirigimos al problema de cómo encontrar valores numéricos (aproximados) para integrales, sin tener que evaluarlos algebraicamente. Para desarrollar estos métodos volvemos a las sumas de Riemann y nuestra interpretación geométrica de la integral definida como el área firmada.
Comenzamos describiendo (y aplicando) tres algoritmos simples para generar, numéricamente, valores aproximados para la integral definida∫baf(x)dx. En cada algoritmo, comenzamos de la misma manera que nos acercamos a las sumas de Riemann.
- Primero seleccionamos un número enteron>0, llamado el “número de pasos”.
- Luego dividimos el intervalo dea≤x≤b, integración, en subintervalosn iguales, cada uno de longitudΔx=b−an. El primer subintervalo va dex0=a ax1=a+Δx. El segundo corre dex1 ax2=a+2Δx, y así sucesivamente. El último va desdexn−1=b−Δx hastaxn=b.
Esto divide la integral original enn piezas:
∫baf(x)dx=∫x1x0f(x)dx+∫x2x1f(x)dx+⋯+∫xnxn−1f(x)dx
Cada subintegral∫xjxj−1f(x)dx es aproximada por el área de una figura geométrica simple. Los tres algoritmos que consideramos aproximan el área por rectángulos, trapecios y parábolas (respectivamente).
Vamos a explicar estas reglas en detalle a continuación, pero damos una breve descripción aquí:
- La regla de punto medio aproxima cada subintegral por el área de un rectángulo de altura dado por el valor de la función en el punto medio del subintervalo
\ begin {alinear*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j}} f (x)\, d {x} &\ approx f\ izquierda (\ frac {x_ {j-1} +x_ {j}} {2}\ derecha)\ Delta x\ final {alinear*}
Esto se ilustra en la figura más a la izquierda anterior. - La regla trapezoidal se aproxima a cada subintegral por el área de un trapecio con vértices en(xj−1,0),(xj−1,f(xj−1)),(xj,f(xj)),(xj,0):
\ begin {alinear*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j}} f (x)\, d {x} &\ approx\ frac {1} {2}\ izquierda [f (x_ {j-1}) +f (x_j)\ derecha]\ Delta x\ final {alinear*}
El trapecio se ilustra en la figura media anterior. En breve derivaremos la fórmula para la zona. - La regla de Simpson se aproxima a dos subintegrales adyacentes por el área bajo una parábola que pasa por los puntos(xj−1,f(xj−1)),(xj,f(xj)) y(xj+1,f(xj+1)):
\ begin {align*}\ int_ {x_ {j-1}} ^ {x_ {j+1}} f (x)\, d {x} &\ approx\ frac {1} {3}\ izquierda [f (x_ {j-1}) +4f (x_j) +f (x_ {j+1})\ derecha]\ Delta x\ final {alinear*}
La parábola se ilustra en la figura de la derecha arriba. En breve derivaremos la fórmula para la zona.
En lo que sigue necesitamos referirnos al punto medio entrexj−1 yxj muy frecuentemente. Para ahorrar en escritura (y mecanografía) introducimos la notación
ˉxj=12(xj−1+xj).
La regla del punto medio
La integral∫xjxj−1f(x)dx representa el área entre la curvay=f(x) y elx eje conx recorrido dexj−1 axj. El ancho de esta región esxj−xj−1=Δx. La altura varía sobre los diferentes valores quef(x) toma comox corridas dexj−1 a xj.
La regla del punto medio aproxima esta área por el área de un rectángulo de anchoxj−xj−1=Δx y altof(ˉxj) que es la altura exacta en el punto medio del rango cubierto porx.
El área del rectángulo de aproximación esf(ˉxj)Δx, y la regla del punto medio se aproxima a cada subintegral por
∫xjxj−1f(x)dx≈f(ˉxj)Δx.
Aplicando esta aproximación a cada subintervalo y sumando nos da la siguiente aproximación de la integral completa:
\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_1}\! \! f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2}\! \! f (x)\,\, d {x} +\ cdots +\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ approx f (\ bar x_1)\ Delta x + f (\ bar x_2)\ Delta x +\ cdots + f (\ bar x_n)\ Delta x\ end {align*}
Entonces observe que la aproximación es la suma de la función evaluada en el punto medio de cada intervalo y luego multiplicada porΔx. Nuestras otras aproximaciones tendrán formas similares.
En resumen:
La aproximación de la regla del punto medio es
\ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ approx\ Grande [f (\ bar x_1) +f (\ bar x_2) +\ cdots +f (\ bar x_n)\ Grande]\ Delta x\ final {reunir*}
dóndeΔx=b−an y
\ begin {align*} x_0&=a& x_1&=a+\ Delta x& x_2&=a+2\ Delta x& &\ cdots& x_ {n-1} &=b-\ Delta x& x_n&=b\\ & &\ bar x_1&=\ tfrac {x_0+x_1} {2}\ bar x_2&= =\ tfrac {x_1+x_2} {2} &\ cdots&\ bar x_ {n-1} &=\ tfrac {x_ {n-2} +x_ {n-1}} {2} &\ bar x_n&=\ tfrac {x_ {n-1} +x_n} {2}\ final {alinear*}
Aproximamos la integral anterior usando la regla de punto medio conn=8 paso.
Solución
- Primero configuramos todos losx -valores que necesitaremos. Tenga en cuenta quea=0,b=1,Δx=18 y
\ begin {align*} x_0&=0 & x_1&=\ tfrac {1} {8} & x_2&=\ tfrac {2} {8} &&\ cdots & x_7&=\ tfrac {7} {8} & x_8&=\ tfrac {8} {8} =1\ end {align*}
En consecuencia\ begin {align*}\ bar x_1&=\ tfrac {1} {16} &\ bar x_2&=\ tfrac {3} {16} &\ bar x_3&=\ tfrac {5} {16} &\ cdots&&\ bar x_8 &=\ tfrac {15} {16}\ end {align*}
- Ahora aplicamos la Ecuación 1.11.2 al integrandof(x)=41+x2:
\ begin {alinear*} &\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\,\, d {x}\ approx\ bigg [\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_1^2}} ^ {f (\ bar x_1)} +\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_2^2}} {f (\ bar x_2)} +\! \ cdots\! +\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_7^2}} ^ {f (\ bar x_ {n-1})} +\ overbrackets {\ frac {4} {1+\ bar x_8^2}} ^ {f (\ bar x_n)}\ bigg]\ Delta x\ &=\ bigg [\ frac {4} {1+ frac {1} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {3^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {7^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac frac {9^2} {16^2}}\\ &\ hskip2in +\ frac {4} {1+ \ tfrac {11^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {13^2} {16^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {15^2} {16^2}}\ bigg]\ frac {1} {8}\ &=\ grande [3.98444 + 3.86415 + 3.64413 + 3.35738 + 3.03858 +\\ &\ hskip2in 2.71618 + 2.40941 + 2.12890\ grande]\ frac {1} {8}\\ &= 3.1429\ final {alinear*}
donde hemos redondeado a cuatro decimales. - En este caso podemos calcular la integral exactamente (que es una de las razones por las que se eligió como primer ejemplo):
\ begin {reunir*}\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\, d {x} =4\ arctan x\ Big|_0^1 =\ pi\ end {reunir*}
- Entonces el error en la aproximación generada por ocho pasos de la regla del punto medio es
\ begin {align*} |3.1429-\ pi| &=0.0013\ end {alinear*}
- El error relativo es entonces
\ begin {align*}\ frac {|\ text {approx} -\ text {exact} |} {\ text {exact}} &=\ frac {|3.1429-\ pi|} {\ pi} =0.0004\ end {align*}
Ese es el error es0.0004 veces el valor real de la integral. - Podemos escribir esto como un error porcentual multiplicándolo por 100
\ begin {align*}\ text {error porcentual} &= 100\ veces\ frac {|\ texto {aproximado} -\ texto {exact} |} {\ text {exact}} = 0.04\%\ end {align*}
Es decir, el error se trata0.04% del valor exacto.
La regla del punto medio nos da estimaciones bastante buenas de la integral sin demasiado trabajo —aunque quizás sea un poco tedioso de hacer a mano 2. Por supuesto, sería muy útil cuantificar lo que entendemos por “bueno” en este contexto y eso nos obliga a discutir errores.
Supongamos queα es una aproximación aA. Esta aproximación tiene
- error absoluto|A−α| y
- error relativo|A−α|A y
- porcentaje de error100|A−α|A
Discutiremos los errores más adelante en la Sección 1.11.4 a continuación.
Como segundo ejemplo, aplicamos la regla del punto medio conn=8 pasos a la integral anterior.
- De nuevo comenzamos configurando todos losx -valores que necesitaremos. Entoncesa=0,b=π,Δx=π8 y
\ begin {align*} x_0&=0& x_1&=\ tfrac {\ pi} {8} & x_2&=\ tfrac {2\ pi} {8} &\ cdots&& x_7&=\ tfrac {7\ pi} {8} & x_8&=\ tfrac {8\ pi} {8} =\ pi final\ {alinear*}
En consecuencia,\ begin {align*}\ bar x_1&=\ tfrac {\ pi} {16} &\ bar x_2&=\ tfrac {3\ pi} {16} &\ cdots&&\ bar x_7&=\ tfrac {13\ pi} {16} &\ bar x_8&=\ tfrac {15\ pi} {16}\ end align{ *}
- Ahora aplica la Ecuación 1.11.2 al integrandof(x)=sinx:
\ begin {align*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\ approx\ Grande [\ sin (\ bar x_1) +\ sin (\ bar x_2) +\ cdots+\ sin (\ bar x_8)\ Grande]\ Delta x\ &=\ Grande [\ sin (\ tfrac {\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {3\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {5\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {7\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {9\ pi} {16}) +\ &\ hskip2in\ sin (\ tfrac {11\ pi} {16}) +\ sin (\ tfrac {13\ pi } {16}) +\ sin (\ tfrac {15\ pi} {16})\ Grande]\ tfrac {\ pi} {8}\\ &=\ Grande [0.1951+ 0.5556+ 0.8315+ 0.9808+ 0.9808+\\ &\ hskip2in 0.8315+ 0.5556+ 0.1951\ Grande]\ veces 0.3927\ &=5.125.1260\ times 0.3927 =2.013\ end {align*}
- Nuevamente, hemos elegido este ejemplo para que podamos compararlo con el valor exacto:
\ begin {align*}\ int_0^\ pi\ sin x\, d {x} &=\ grande [-\ cos x\ grande] _0^\ pi = -\ cos\ pi +\ cos 0 = 2. \ end {alinear*}
- Entonces con ocho pasos de la regla del punto medio logramos
\ begin {align*}\ text {error absoluto} &= |2.013-2|=0.013\\\ text {error relativo} &=\ frac {|2.013-2|} {2} = 0.0065\\\ texto {error porcentual} &= 100\ veces\ frac {|2.013-2|} {2} = 0.65\%\ end {align*}
Con poco trabajo hemos logrado estimar la integral a dentro1% de su verdadero valor.
La regla trapezoidal
Consideremos nuevamente el área representada por la integral∫xjxj−1f(x)dx. La regla trapezoidal 3 (como era de esperar) se aproxima a esta área por un trapecio 4 cuyos vértices se encuentran en
\ begin {reunir*} (x_ {j-1} ,0), (x_ {j-1}, f (x_ {j-1})), (x_ {j}, f (x_ {j}))\ text {y} (x_ {j} ,0). \ end {reunir*}
La aproximación trapezoidal de la integral∫xjxj−1f(x)dx es la región sombreada en la figura de la derecha arriba. Tiene anchoxj−xj−1=Δx. Su lado izquierdo tiene alturaf(xj−1) y su lado derecho tiene alturaf(xj).
Como muestra la siguiente figura, el área de un trapecio es su anchura multiplicada por su altura promedio.
Entonces la regla trapezoidal se aproxima a cada subintegral por
∫xjxj−1f(x)dx≈f(xj−1)+f(xj)2Δx
Aplicando esta aproximación a cada subintervalo y luego sumando el resultado nos da la siguiente aproximación de la integral completa
\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} +\ cdots+\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ aprox\ tfrac {f (x_0) +f (x_1)} {2}\ Delta x +\ tfrac {f (x_1) +f (x_2)} {2}\ Delta x +\ cdots +\ tfrac {f (x_ {n-1}) +f (x_n)} {2}\ Delta x\\ &=\ Grande [\ frac {1} {2} f (x_0 ) +f (x_1) +f (x_2) +\ cdots+ f (x_ {n-1}) +\ frac {1} {2} f (x_n)\ Grande]\ Delta x\ final {alinear*}
Entonces fíjense que la aproximación tiene una forma muy similar a la regla del punto medio, exceptuando que
- evaluamos la función en losxj's en lugar de en los puntos medios, y
- multiplicamos el valor de la función en los puntos finalesx0,xn por12.
En resumen:
La aproximación de la regla trapezoidal es
\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &\ approx\ Grande [\ frac {1} {2} f (x_0) +f (x_1) +f (x_2) +\ cdots+ f (x_ {n-1}) +\ frac {1} {2} f (x_n)\ Delta grande\ x\ end {alinear*}
donde
\ begin {reunir*}\ Delta x =\ tfrac {b-a} {n},\ quad x_0=a,\ quad x_1=a+\ Delta x,\ quad x_2=a+2\ Delta x,\ quad\ cdots,\ quad x_ {n-1} =b-\ Delta x,\ quad x_n=b\ end {reunir*}
Para comparar y contrastar aplicamos la regla trapezoidal a los ejemplos que hicimos anteriormente con la regla del punto medio.
Solución
Procedemos de manera muy similar al Ejemplo 1.11.3 y nuevamente usamosn=8 pasos.
- Nuevamente tenemosf(x)=41+x2,a=0,b=1,Δx=18 y
\ begin {align*} x_0&=0 & x_1&=\ tfrac {1} {8} & x_2&=\ tfrac {2} {8} &&\ cdots & x_7&=\ tfrac {7} {8} & x_8&=\ tfrac {8} {8} =1\ end {align*}
- Aplicando la regla trapezoidal, Ecuación 1.11.6, da
\ begin {alinear*} &\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\,\, d {x}\ approx\ bigg [\ frac {1} {2}\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_0^2}} ^ {f (x_0)} +\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_1^2}} ^ {f (x_1)} +\! \ cdots\! +\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_7^2}} ^ {f (x_ {n-1})} +\ frac {1} {2}\ overbrackets {\ frac {4} {1\! +\! x_8^2}} ^ {f (x_n)}\ bigg]\ Delta x\\ &\ hskip0.25in=\ bigg [\ frac {1} {2}\ frac {4} {1+0^2} +\ frac {4} {1+\ tfrac {1} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {2^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {3^2} {8^2}}\ &\ hskip0.5in +\ frac {4} {1+\ tfrac {4^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {8^2} +\ frac {4} {1+\ tfrac {6^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {7^2} {8^2}} +\ frac {1} {2}\ frac {4} {1+\ tfrac {8^2} {8^2}}\ bigg]\ frac {1} {8}\ &\ hskip0.25in=\ Grande [\ frac {1} {2}\ times 4+ 3.939+ 3.765+ 3.507\ &\ hskip0.5in +3.2+ 2.876+ 2.56+ 2.266+\ frac {1} {2}\ veces 2\ Grande]\ frac {1} {8}\ &\ hskip0.25in =3.139\ end {align*}
a tres decimales. - El valor exacto de la integral sigue siendoπ. Así que el error en la aproximación generada por ocho pasos de la regla trapezoidal es|3.139−π|=0.0026, cual es100|3.139−π|π%=0.08% de la respuesta exacta. Observe que esto es aproximadamente el doble del error que logramos usando la regla de punto medio en el Ejemplo 1.11.3.
Rehagamos también el Ejemplo 1.11.5 usando la regla trapezoidal.
Solución
Procedemos de manera muy similar al Ejemplo 1.11.5 y nuevamente usamosn=8 pasos.
- Nuevamente tenemosa=0,b=π,Δx=π8 y
\ begin {align*} x_0&=0& x_1&=\ tfrac {\ pi} {8} & x_2&=\ tfrac {2\ pi} {8} &\ cdots&& x_7&=\ tfrac {7\ pi} {8} & x_8&=\ tfrac {8\ pi} {8} =\ pi final\ {alinear*}
- Aplicando la regla trapezoidal, Ecuación 1.11.6, da
\ begin {alinear*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\ approx\ Grande [\ frac {1} {2}\ sin (x_0) +\ sin (x_1) +\ cdots+\ sin (x_7) +\ frac {1} {2}\ sin (x_8)\ Grande]\ Delta x\ &=\ Grande [\ frac {1} {2}\ sin0 +\ sin\ tfrac {\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {2\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {3\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {4\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {5\ pi} {8}\ &\ hskip0.5in+\ sin\ tfrac {6\ pi} {8} +\ sin\ tfrac {7\ pi} {8} +\ frac {1} {2}\ sin\ tfrac {8\ pi} {8}\ Grande]\ tfrac {\ pi} {8}\\ &=\ Grande [\ frac {1} {2}\! \ veces\! 0+ 0.3827+ 0.7071+ 0.9239+ 1.0000+ 0.9239+\\ &\ hskip0.5in 0.7071+ 0.3827+\ frac {1} {2}\! \ veces\! 0\ Grande]\ veces 0.3927\\ &=5.0274\ times 0.3927 =1.974\ end {alinear*}
- La respuesta exacta es∫π0sinxdx=−cosx|π0=2. Así que con ocho pasos de la regla trapezoidal logramos100|1.974−2|2=1.3% precisión. Nuevamente esto es aproximadamente el doble del error que logramos en el Ejemplo 1.11.5 usando la regla de punto medio.
Estos dos ejemplos sugieren que la regla del punto medio es más precisa que la regla trapezoidal. En efecto, esta observación nace de un riguroso análisis del error —véase la Sección 1.11.4.
Regla de Simpson
Cuando usamos la regla trapezoidal aproximamos el área∫xjxj−1f(x)dx por el área entre elx eje -y una línea recta que va de(xj−1,f(xj−1)) a(xj,f(xj)) — es decir, aproximamos la funciónf(x) en este intervalo por una función lineal que concuerda con la función en cada punto final. Una manera obvia de extender esto —tal como lo hicimos al extender aproximaciones lineales a aproximaciones cuadráticas en nuestro curso de cálculo diferencial— es aproximar la función con una cuadrática. Esto es precisamente lo que hace la regla de los 5 de Simpson.
La regla de Simpson aproxima la integral en dos subintervalos vecinos por el área entre una parábola y elx eje. Para describir esta parábola necesitamos 3 puntos distintos (razón por la cual aproximamos dos subintegrales a la vez). Es decir, aproximamos
\ begin {align*}\ int_ {x_0} ^ {x_1} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_1} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} &=\ int_ {x_0} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x}\ end {align*}
por el área delimitada por la parábola que pasa por los tres puntos(x0,f(x0)),(x1,f(x1)) y(x2,f(x2)), elx eje -y las líneas verticalesx=x0 yx=x2.
Repetimos esto en el siguiente par de subintervalos y aproximamos∫x4x2f(x)dx por el área entre elx -eje y la parte de una parábola conx2≤x≤x4. Esta parábola pasa por los tres puntos(x2,f(x2)),(x3,f(x3)) y(x4,f(x4)). Y así sucesivamente. Porque la regla de Simpson hace la aproximación dos rebanadas a la vez,n debe ser parejo.
Para derivar la fórmula de regla de Simpson, primero encontramos la ecuación de la parábola que pasa por los tres puntos(x0,f(x0)),(x1,f(x1)) y(x2,f(x2)). luego encontramos el área entre elx eje -y la parte de esa parábola conx0≤x≤x2. Para simplificar este cálculo consideramos un paso de parábola a través de los puntos(−h,y−1),(0,y0) y(h,y1).
Escribe la ecuación de la parábola como
\ begin {align*} y &= Ax^2 + Bx +C\ end {alinear*}
Entonces el área entre ella y elx -eje conx correr de−h ah es
\ begin {alinear*}\ int_ {-h} ^h\ grande [Ax^2 + Bx +C\ grande]\, d {x} &=\ izquierda [\ frac {A} {3} x^3 +\ frac {B} {2} x^2 + Cx\ derecha] _ {-h} ^h\ &=\ frac {2A} {3} h^3 + 2Ch &\ text {es útil escribirlo como}\\ &=\ frac {h} {3}\ left (2Ah^2 + 6C\ right)\ end {align*}
Ahora bien, los tres puntos(−h,y−1),(0,y0) y(h,y1) se encuentran en esta parábola si y sólo si
\ begin {align*} A h^2 - Bh + C &= y_ {-1} &\ text {at $ (-h, y_ {-1}) $}\\ C &= y_ {0} &\ text {at $ (0, y_ {0}) $}\\ A h^2 + Bh + C &= y_ {1} &\ text {at $ (h, y_ {1}) $}\ end {align*}
Sumar la primera y la tercera ecuaciones juntas nos da
\ begin {align*} 2Ah^2 + (B-B) h + 2C &= y_ {-1} +y_ {1}\ end {align*}
A esto le sumamos cuatro veces la ecuación media
\ begin {alinear*} 2Ah^2 + 6C &= y_ {-1} +4y_0+y_1. \ end {alinear*}
Esto significa que
\ begin {align*}\ text {area} &=\ int_ {-h} ^h\ grande [Ax^2 + Bx +C\ grande]\, d {x} =\ frac {h} {3}\ izquierda (2Ah^2 + 6C\ derecha)\\ &=\ frac {h} {3}\ izquierda (y_ {-1} +4y_0+y_1\ derecha)\ end {align*}
Tenga en cuenta que aquí
- hes la mitad de la longitud delx -intervalo bajo consideración
- y−1es la altura de la parábola en el extremo izquierdo del intervalo considerado
- y0es la altura de la parábola en el punto medio del intervalo considerado
- y1es la altura de la parábola en el extremo derecho del intervalo considerado
Entonces la regla de Simpson se aproxima
∫x2x0f(x)dx≈13Δx[f(x0)+4f(x1)+f(x2)]
y
∫x4x2f(x)dx≈13Δx[f(x2)+4f(x3)+f(x4)]
y así sucesivamente. Sumando estos todos juntos da:
\ begin {alinear*}\ int_a^b& f (x)\,\, d {x} =\ int_ {x_0} ^ {x_2} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_2} ^ {x_4} f (x)\,\, d {x} +\ int_ {x_4} ^ {x_6} f (x)\,\, d {x} +\ cdots +\ int_ {x_ {n-2}} ^ {x_n} f (x)\,\, d {x}\\ &\ approx\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_0) +4f (x_1) +f (x_2)\ grande] +\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_2) +4f (x_3) +f (x_4)\ grande]\ cr &\ \\ +\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_4) +4f (x_5) +f (x_6)\ grande] +\,\ cdots\ +\,\ tfrac {\ Delta x} {3}\ grande [f (x_ {n-2}) +4f (x_ {n-1}) +f (x_n)\ grande]\\ &=\ Grande [f (x_0)\! +4f (x_1)\! +2f (x_2)\! +4f (x_3)\! +2f (x_4)\! +\ cdots+ 2f (x_ {n-2})\! +4f (x_ {n-1})\! + f (x_n)\ Grande]\ tfrac {\ Delta x} {3}\ final {alinear*}
En resumen
La aproximación de la regla de Simpson es
\ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x} &\ approx\ Grande [f (x_0)\! +4f (x_1)\! +2f (x_2)\! +4f (x_3)\! +2f (x_4)\! +\ cdots\\ &\ hskip2in\ cdots + 2f (x_ {n-2})\! +4f (x_ {n-1})\! + f (x_n)\ Grande]\ tfrac {\ Delta x} {3}\ final {alinear*}
donden es par y
\ begin {reunir*}\ Delta x =\ tfrac {b-a} {n},\ quad x_0=a,\ quad x_1=a+\ Delta x,\ quad x_2=a+2\ Delta x,\ quad\ cdots,\ quad x_ {n-1} =b-\ Delta x,\ quad x_n=b\ end {reunir*}
Observe que la regla de Simpson no requiere esencialmente más trabajo que la regla trapezoidal. En ambas reglas debemos evaluarf(x) enx=x0,x1,⋯,xn, pero sumamos esos términos multiplicados por diferentes constantes 6.
Pongámoslo a trabajar en nuestros dos ejemplos corrientes.
Solución
Se procede casi de manera idéntica al Ejemplo 1.11.7 y nuevamente usamosn=8 pasos.
- Tenemos lo mismo queΔ,a,b,x0,⋯,xn el Ejemplo 1.11.7.
- Aplicando la Ecuación 1.11.9 da
\ begin {align*} &\ int_0^1\ frac {4} {1+x^2}\,\, d {x}\\ &\ approx\ bigg [\ frac {4} {1+0^2} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac {1} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {2^2} {8^2}} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac {3^2} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {4^2} {8^2}}\ &\ hskip0.5in +4\ frac {4} {1+\ tfrac {5^2} {8^2}} + 2\ frac {4} {1+\ tfrac {6^2} {8^2}} + 4\ frac {4} {1+\ tfrac { 7^2} {8^2}} +\ frac {4} {1+\ tfrac {8^2} {8^2}}\ bigg]\ frac {1} {8\ times 3}\\ &=\ Grande [4\! +\! 4\ veces 3.938461538\! +\! 2\ times 3.764705882\! +\! 4\ times 3.506849315\! +\! 2\ times 3.2\\ &\ hskip0.5in +4\ times 2.876404494 + 2\ times 2.56 + 4\ times 2.265486726 + 2\ Big]\ frac {1} {8\ times 3}\\ &=3.14159250\ end {align*}
a ocho decimales. - Esto concuerda conπ (el valor exacto de la integral) a seis decimales. Entonces el error en la aproximación generada por ocho pasos de la regla de Simpson es|3.14159250−π|=1.5×10−7, cual es100|3.14159250−π|π%=5×10−6% de la respuesta exacta.
Llama la atención que el error absoluto que se aproxima con la regla de Simpson sea mucho menor que el error del punto medio y las reglas trapezoidales.
\ begin {alinear*} &\ text {error de punto medio}\ hskip-0.35in &&= 0.0013\\ &\ text {error trapezoidal}\ hskip-0.35in &&= 0.0026\\ &\ text {error Simpson}\ hskip-0.35in &&= 0.00000015\ end {alinear*}
Impulsado por este éxito, también reharemos el Ejemplo 1.11.8 usando la regla de Simpson.
Solución
Se procede casi de manera idéntica al Ejemplo 1.11.8 y nuevamente usamosn=8 pasos.
- Tenemos lo mismo queΔ,a,b,x0,⋯,xn el Ejemplo 1.11.7.
- Aplicando la Ecuación 1.11.9 da
\ begin {alinear*} &\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x}\\ &\ hskip0.5in\ approx\ Grande [\ sin (x_0) +4\ sin (x_1) +2\ sin (x_2) +\ cdots+4\ sin (x_7) +\ sin (x_8)\ Grande]\ tfrac {\ Delta x} {3}\\ &\ hskip0.5in=\ Grande [\ sin (0) + 4\ sin (\ tfrac {\ pi} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {2\ pi} {8}) + 4\ sin (\ tfrac {3\ pi} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {4\ pi} {8}) cr\ &\ hskip0.5in\ phantom {=\ Grande [\ sin (0)\,} +4\ sin (\ tfrac {5\ pi} {8}) + 2\ sin (\ tfrac {6\ pi} {8}) + 4\ sin (\ tfrac {7\ pi} {8}) +\ sin (\ tfrac {8\ pi} {8})\ grande]\ tfrac {\ pi} {8\ veces 3}\ cr &=\ hskip0.5in\ Big [0+ 4\ times 0.382683+ 2\ times 0.707107+ 4\ times 0.923880+ 2\ times 1.0\ &\ hskip0.5in\ phantom {=\ Big [0\,} + 4\ times 0.923880+ 2\ times 0. 707107+ 4\ times 0.382683+0\ Grande]\ tfrac {\ pi} {8\ times 3}\ &\ hskip0.5in=15.280932\ times 0.130900\ &\ hskip0.5in=2.00027\ end {align*}
- Con sólo ocho pasos de la regla de Simpson logramos1002.00027−22=0.014% exactitud.
Nuevamente contrastamos el error que logramos con las otras dos reglas:
\ begin {alinear*} &\ text {error de punto medio}\ hskip-0.35in &&= 0.013\\ &\ text {error trapezoidal}\ hskip-0.35in &&= 0.026\\ &\ text {error Simpson}\ hskip-0.35in &&= 0.00027\ end {align*}
Esto completa nuestra derivación de las reglas de punto medio, trapezoidal y Simpson para aproximar los valores de integrales definidas. Hasta el momento no hemos intentado ver cuán eficientes y precisos son los algoritmos en general. Esa es nuestra siguiente tarea.
Tres integradores numéricos simples: comportamiento de error
Ahora estamos armados con nuestro método de tres (relativamente simple) para la integración numérica debemos pensar en lo prácticos que podrían ser en el mundo real 7. Dos consideraciones obvias a la hora de decidir si un algoritmo dado es de algún valor práctico son
- la cantidad de esfuerzo computacional requerido para ejecutar el algoritmo y
- la precisión que arroja este esfuerzo computacional.
Para algoritmos como nuestros integradores simples, la mayor parte del esfuerzo computacional suele dedicarse a evaluar la funciónf(x). El número de evaluaciones def(x) requerido paran pasos de la regla de punto medio esn, mientras que el número requerido paran pasos del trapezoidal y Las reglas de Simpson sonn+1. Así que las tres de nuestras reglas requieren esencialmente la misma cantidad de esfuerzo, una evaluación def(x) por paso.
Para tener una primera impresión del comportamiento de error de estos métodos, los aplicamos a un problema cuya respuesta conocemos exactamente:
\ comenzar {reunir*}\ int_0^\ pi\ sin x\,\, d {x} =-\ cos x\ big|_0^\ pi = 2. \ end {reunir*}
Para ser un poco más precisos, nos gustaría entender cómo cambian los errores de los tres métodos a medida que aumentamos el esfuerzo que ponemos (medido por el número de pasosn). La siguiente tabla enumera el error en el valor aproximado para este número generado por nuestras tres reglas aplicadas con tres opciones diferentes den. También enumera el número de evaluaciones def requeridas para calcular la aproximación.
Punto medio | trapezoidales | Simpson | ||||
n | error | # evales | error | # evales | error | # evales |
10 | 8.2×10−3 | 10 | 1.6×10−2 | 11 | 1.1×10−4 | 11 |
100 | 8.2×10−5 | 100 | 1.6×10−4 | 101 | 1.1×10−8 | 101 |
1000 | 8.2×10−7 | 1000 | 1.6×10−6 | 1001 | 1.1×10−12 | 1001 |
Observe que
- El uso de 101 evaluaciones def valor de la regla de Simpson da un error 75 veces menor que 1000 evaluaciones def valor de la regla de punto medio.
- El error de regla trapezoidal conn pasos es aproximadamente el doble del error de regla de punto medio conn pasos.
- Con la regla del punto medio, aumentar el número de pasos en un factor de 10 parece reducir el error en aproximadamente un factor de100=102=n2.
- Con la regla trapezoidal, aumentar el número de pasos en un factor de 10 parece reducir el error en aproximadamente un factor de102=n2.
- Con la regla de Simpson, aumentar el número de pasos en un factor de 10 parece reducir el error en aproximadamente un factor de104=n4.
Entonces parece
\ begin {align*} &\ hbox {valor aproximado de $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ dado por $n$ pasos del punto medio}\ hskip-0.35in&&\ approx\ int_a^b f (x)\,\, d {x} +K_M\ cdot\ frac {1} {n^2}\ &\ hbox {valor aproximado de $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ dado por $n$ pasos trapezoidales}\ hskip-0.35in&&\ approx\ int_a^b f (x)\,\, d {x} +K_T\ cdot\ frac {1} {n^2}\\ &\ hbox {valor aproximado de $\ displaystyle\ int_a^b f (x)\,\, d {x} $ dado por $n$ pasos de Simpson}\ hskip-0.35in&&\ approx\ inta_a_^b f (x)\,\, d {x} +K_M\ cdot\ frac {1} {n^4}\ final {alinear*}
con algunas constantesKM, KT y tambiénKS. parece queKT≈2KM.
Para probar estas conjeturas para el comportamiento de los errores aplicamos nuestras tres reglas con cerca de diez opciones diferentesn de la forman=2m conm entero. La Figura 1.11.12 contiene dos gráficas de los resultados. La gráfica de la izquierda muestra los resultados para las reglas de punto medio y trapezoidales y la gráfica derecha muestra los resultados para la regla de Simpson.
Por cada regla estamos esperando (en base a nuestras conjeturas anteriores) que el error
\ begin {align*} e_n &= |\ text {valor exacto} -\ text {valor aproximado} |\ end {align*}
conn pasos es (aproximadamente) de la forma
\ begin {reunir*} e_n=k\ frac {1} {n^k}\ end {reunir*}
para algunas constantesK yk. Nos gustaría probar si este es realmente el caso, graficando enY=en contraX=n y viendo si la gráfica “se ve bien”. Pero no es fácil saber si una curva dada es realmente o noY=KXk, para algunos específicosk, con solo mirarla. Sin embargo, tu ojo es bastante bueno para determinar si una gráfica es o no una línea recta. Afortunadamente, hay un pequeño truco que convierte la curvaY=KXk en una línea recta —no importa lo quek sea.
En vez de trazarY contraX, tramamoslogY contralogX. Esta transformación 8 funciona porque cuandoY=KXk
\ begin {align*}\ log Y &=\ log K - k\ log X\ end {align*}
Así que trazary=logY contrax=logX da la línea rectay=logK−kx, que tiene pendiente−k ey -intercepciónlogK.
Las tres gráficas de la Figura 1.11.12 trazany=log2en contrax=log2n nuestras tres reglas. Tenga en cuenta que hemos optado por usar logaritmos 9 con esta “base inusual” porque deja muy claro cuánto se mejora el error si duplicamos el número de pasos utilizados. Para ser más precisos — un paso unitario a lo largo delx eje -representa el cambion↦2n. Por ejemplo, aplicar la regla de Simpson conn=24 pasos da como resultado un error de0000166, por lo que el punto se(x=log224=4,y=log20000166=log0000166log2=−15.8) ha incluido en la gráfica. Duplicar el esfuerzo utilizado —es decir, duplicar el número de pasos an=25 — da como resultado un error de0.00000103. Entonces, el punto de datos(x=log225=5 , y=log20.00000103=ln0.00000103ln2=−19.9) se encuentra en la gráfica. Tenga en cuenta que lasx coordenadas -de estos puntos difieren en 1 unidad.
Para cada uno de los tres conjuntos de puntos de datos, también se ha trazado una línea recta “a través” de los puntos de datos. Se ha utilizado un procedimiento llamado regresión lineal 10 para decidir con precisión qué línea recta trazar. Proporciona una fórmula para la pendiente ey intercepción de la línea recta que “mejor se ajusta” a cualquier conjunto dado de puntos de datos. A partir de las tres líneas, seguro que parecek=2 para el punto medio y las reglas trapezoidales yk=4 para la regla de Simpson. También parece que la relación entre el valor deK para la regla trapezoidal, es decir,K=20.7253, y el valor deK para la regla de punto medio,K=2−0.2706, es decir, está bastante cerca de 2:20.7253/2−0.2706=20.9959.
La intuición, sobre el comportamiento de error, que acabamos de desarrollar es, de hecho, correcta, siempre que elf(x) integrando sea razonablemente suave. Para ser más precisos
Supongamos que|f″ para todosa\leq x \leq b\text{.} Entonces
al aproximar\displaystyle \int_a^b f(x)\, d{x}\text{.} Además, si|f^{(4)}(x)|\leq L para todosa\leq x \leq b\text{,} entonces
\ begin {align*} &\ text {el error total introducido por la regla de Simpson está limitado por} &\ frac {L} {180}\ frac {(b-a) ^5} {n^4}. \ end {alinear*}El primero de estos límites de error está probado en la siguiente sección (opcional). Aquí hay algunos ejemplos que ilustran cómo se utilizan. Primero comprobemos que el resultado anterior es consistente con nuestros datos en la Figura 1.11.12
- La integral\int_0^\pi \sin x\,\, d{x} tieneb-a=\pi\text{.}
- La segunda derivada del integrando satisface
\ begin {alinear*}\ izquierda|\ frac {d^ {2}} {dx^ {2}}\ sin x\ derecha| &= |-\ sin x|\ leq 1\ end {alinear*}
Así que tomamosM=1\text{.} - Entonces el error,e_n\text{,} introducido cuando se utilizan losn pasos está delimitado por
\ begin {align*} |e_n|&\ le\ frac {M} {24}\ frac {(b-a) ^3} {n^2}\\ &=\ frac {\ pi^3} {24}\ frac {1} {n^2}\\ &\ aprox 1.29\ frac {1} {n^2}\ end {align*}
- Los datos en la gráfica de la Figura 1.11.12 dan
\ begin {align*} |e_n| &\ approx 2^ {-.2706}\ frac {1} {n^2} =0.83\ frac {1} {n^2}\ end {align*}
lo cual es congruente con el|e_n|\le \frac{\pi^3}{24}\frac{1}{n^2}\text{.}
En una aplicación típica se nos pediría evaluar una integral dada con alguna precisión especificada. Por ejemplo, si eres fabricante y tu maquinaria solo puede cortar materiales con una precisión{\tfrac{1}{10}}^{\rm th} de milímetro, no tiene sentido hacer que las especificaciones de diseño sean más precisas que{\tfrac{1}{10}}^{\rm th} las de un milímetro.
Supongamos, por ejemplo, que deseamos usar la regla de punto medio para evaluar 11
\ comenzar {reunir*}\ int_0^1 e^ {-x^2}\, d {x}\ fin {reunir*}
dentro de una precisión de10^{-6}\text{.}
Solución
- La integral tienea=0 yb=1\text{.}
- Las dos primeras derivadas del integrando son
\ begin {alinear*}\ frac {d} {dx} e^ {-x^2} &=-2xe^ {-x^2}\ hskip2in\ texto {y}\\\ frac {d^ {2}} {dx^ {2}} e^ {-x^2} &=\ frac {d} {dx}\ grande (-2xe^ {-x^ ^2}\ grande) =-2e^ {-x^2} +4x^2e^ {-x^2} =2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ end {align*}
- Comox corre de 0 a 1,2x^2-1 aumenta de-1 a para1\text{,} que
\ begin {reunir*} 0\ le x\ le 1\ implica |2x^2-1|\ le 1,\ e^ {-x^2}\ le 1\ implica\ big|2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ big|\ le 2\ end {reunir*}
Así que tomamosM=2\text{.} - El error introducido por la regla de punto medio den paso es como máximo
\ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {M} {24}\ frac {(b-a) ^3} {n^2}\\ &\ leq\ frac {2} {24}\ frac {(1-0) ^3} {n^2} =\ frac {1} {12n^2}\ end {align*}
- Necesitamos que este error sea más pequeño que10^{-6} así
\ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {1} {12n^2}\ leq 10^ {-6} &\ text {y así}\\ 12n^2 &\ geq 10^6 &\ text {limpiar}\\ n^2 &\ geq\ frac {10^6} {12} = 83333.3 &\ text {raíz cuadrada de ambos lados}\\ n &\ geq 288.7\ fin {alinear*}
Entonces289 los pasos de la regla del punto medio harán el trabajo. - De hechon=289 resulta en un error de aproximadamente3.7\times 10^{-7}\text{.}
Eso parece demasiado trabajo, y la regla trapezoidal tendrá el doble de error. Entonces deberíamos mirar la regla de Simpson.
Supongamos ahora que deseamos\int_0^1 e^{-x^2}\,\, d{x} evaluar dentro de una precisión de10^{-6} — pero ahora usando la regla de Simpson. ¿Cuántos pasos debemos usar?
Solución
- Nuevamente tenemosa=0,b=1\text{.}
- Entonces tenemos que atarnos\frac{d^{4}}{dx^{4}}e^{-x^2} al dominio de la integración,0\leq x\leq 1\text{.}
\ begin {alinear*}\ frac {d^ {3}} {dx^ {3}} e^ {-x^2} &=\ frac {d} {dx}\ big\ {2 (2x^2-1) e^ {-x^2}\ big\} =8xe^ {-x^2} -4x (2x^2-1) e^ {-x^2}\ &=4 (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\\ frac {d^ {4}} {dx^ {4}} e^ {-x^2} &=\ frac {d} {dx}\ grande\ {4 (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\ grande\}\\\ &=4 (-6x^2+3) e^ {-x^2} ^2}\ hskip-4pt-8x (-2x^3+3x) e^ {-x^2}\\ &=4 (4x^4-12x^2+3) e ^ {-x^2}\ final {alinear*}
- Ahora, para cualquierx\text{,}e^{-x^2}\le 1\text{.} También, para0\le x\le 1\text{,}
\ begin {align*} 0 &\ leq x^2, x^4\ leq 1 &\ text {so}\\ 3 &\ leq 4x^4+3\ leq 7 &\ text {y}\\ -12 &\ leq -12x^2\ leq 0 &\ text {sumando estos juntos da}\\ -9 &\ leq 4x^4-12x^2 + 3\ leq 7\ end {alinear*}
En consecuencia,|4x^4-12x^2+3| está delimitado por9 y así\ begin {reunir*}\ izquierda|\ frac {d^ {4}} {dx^ {4}} e^ {-x^2}\ derecha|\ leq 4\ times 9=36\ end {reunir*}
Así que tomaL=36\text{.} - El error introducido por eln paso La regla de Simpson es a lo sumo
\ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {L} {180}\ frac {(b-a) ^5} {n^4}\\ &\ leq\ frac {36} {180}\ frac {(1-0) ^5} {n^4} =\ frac {1} {5n^4}\ end {align*}
- Para que este error no sea más de lo que10^{-6} requerimosn para satisfacer
\ begin {align*} e_n &\ leq\ frac {1} {5n^4}\ leq 10^ {-6} &\ text {y así}\\ 5n^4 &\ geq 10^6\\ n^4 &\ geq 200000 &\ text {tomar cuarta raíz}\\ n &\ geq 21.15\ end {alinear*}
Entonces22 los pasos de la regla de Simpson harán el trabajo. - n=22pasos realmente resulta en un error de3.5\times 10^{-8}\text{.} La razón por la que obtenemos un error mucho más pequeño de lo que necesitamos es que hemos sobreestimado el número de pasos requeridos. Esto, a su vez, ocurrió porque hicimos un encuadernado bastante rudo de\left|\frac{d^{4}}{dx^{4}}f(x)\right|\leq 36\text{.} Si somos más cuidadosos entonces vamos a conseguir un poco más pequeño En realidadn\text{.} resulta 12 que solo necesitasn=10 aproximar dentro10^{-6}\text{.}
Opcional — Un límite de error para la regla de punto medio
Ahora intentamos desarrollar alguna comprensión de por qué obtuvimos los resultados experimentales anteriores. Comenzamos con el error generado por un solo paso de la regla de punto medio. Es decir, el error introducido por la aproximación
\int_{x_0}^{x_1}f(x)\,\, d{x}\approx f(\bar x_1)\Delta x \qquad\hbox{ where } \Delta x=x_1-x_0,\ \bar x_1=\tfrac{x_0+x_1}{2} \nonumber
Para ello vamos a necesitar aplicar la integración por partes de manera furtiva. Empecemos por considerar 13 un subintervalo\alpha \leq x \leq \beta y llamemos al ancho del subintervalo2q para que\beta=\alpha+2q\text{.} Si ahora fuéramos a aplicar la regla del punto medio a este subintervalo, entonces escribiéramos
\ begin {align*}\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} &\ approx 2q\ cdot f (\ alfa+q) = q f (\ alfa+q) + q f (\ beta-q)\ end {alinear*}
ya que el intervalo tiene ancho2q y el punto medio es\alpha+q=\beta-q\text{.}
El truco furtivo que emplearemos es escribir
\ begin {align*}\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} &=\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} +\ int_ {\ beta-q} ^\ beta f (x)\, d {x}\ end {align*}
y luego examinar cada una de las integrales en el lado derecho (usando integración por partes) y mostrar que son cada una de las formas
\ begin {align*}\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} &\ approx q f (\ alpha+q) +\ text {término de error pequeño}\\ int_ {\ beta-q} ^\ beta f (x)\, d {x} &\ approx q f (\ beta-q) +\ text {término de error pequeño}\ end {align*}
Apliquemos la integración por partes a\int_\alpha^{\alpha+q} f(x)\, d{x}, conu=f(x), \, d{v}=\, d{x} esto\, d{u}=f'(x)\, d{x} y haremos la elección ligeramente no estándar dev=x-\alpha\text{:}
\ begin {alinear*}\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} &=\ big [(x-\ alpha) f (x)\ big] _\ alpha^ {\ alpha+q} -\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} (x-\ alpha) f' (x)\, d {x}\\ &= q f (\ alfa+q) -\ int_\ alfa^ {\ alfa+q} (x-\ alfa) f' (x)\, d {x}\ final {alinear*}
Observe que el primer término en el lado derecho es el término que necesitamos, y que nuestra elección no estándar de nosv permitió evitar introducir unf(\alpha) término.
Ahora integre por partes de nuevo usandou=f'(x), \, d{v}=(x-\alpha)\, d{x}\text{,}\, d{u}=f''(x), v = \frac{(x-\alpha)^2}{2}\text{:}
\ begin {alinear*}\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} f (x)\, d {x} &= q f (\ alpha+q) -\ int_\ alpha^ {\ alpha+q} (x-\ alpha) f' (x)\, d {x}\\ &= q f (\ alpha+q) -\ left [\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2} f' (x)\ derecha] _\ alfa^ {\ alfa+q} +\ int_\ alfa^ {\ alfa+q}\ frac {(x-\ alfa) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\\ &= q f (\ alfa+q) -\ frac {q^2} {2} f' (\ alfa +q) +\ int_\ alfa^ {\ alfa+q}\ frac {(x-\ alfa) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ final {alinear*}
Para obtener una expresión similar para la otra integral, repetimos los pasos anteriores y obtenemos:
\ begin {alinear*}\ int_ {\ beta-q} ^\ beta f (x)\, d {x} &= q f (\ beta-q) +\ frac {q^2} {2} f' (\ beta-q) +\ int_ {\ beta-q} ^\ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ end {align*}
Ahora sumar estas dos expresiones
\begin{align*} \int_\alpha^{\alpha+q} f(x)\, d{x} + \int_{\beta-q}^\beta f(x)\, d{x} &= q f(\alpha+q) + q f(\beta-q) + \frac{q^2}{2}\left( f'(\beta-q)-f'(\alpha+q) \right)\\ & + \int_\alpha^{\alpha+q} \frac{(x-\alpha)^2}{2}f''(x)\, d{x} + \int_{\beta-q}^\beta \frac{(x-\beta)^2}{2}f''(x)\, d{x}\\ \end{align*}
Entonces ya que\alpha+q=\beta-q podemos combinar las integrales en el lado izquierdo y eliminar algunos términos del lado derecho:
\ begin {align*}\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} &= 2q f (\ alpha+q) +\ int_\ alpha^ {\ alpha+q}\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2} f "(x)\, d {x} +\ int_ {\ beta-q} ^\ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2} f" (x)\, d {x}\ final {alinear*}
Reorganizar un poco esta expresión y tomar valores absolutos
\ begin {alinear*}\ izquierda|\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} - 2q f (\ alpha+q)\ derecha| &\ leq\ izquierda|\ int_\ alpha^ {\ alpha+q}\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2} f "(x)\, d {x}\ derecha| +\ ft|\ int_ {\ beta-q} ^\ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2} f" (x)\, d {x}\ derecha|\ end {alinear*}
donde también hemos hecho uso de la desigualdad triangular 14. Por supuesto|f''(x)| \leq M en el intervalo de\alpha \leq x \leq \beta\text{,} modo
\ begin {alinear*}\ izquierda|\ int_\ alpha^\ beta f (x)\, d {x} - 2q f (\ alpha+q)\ derecha| &\ leq M\ int_\ alpha^ {\ alpha+q}\ frac {(x-\ alpha) ^2} {2}\, d {x} + M\ int_ {\ beta-q} ^ beta\ frac {(x-\ beta) ^2} {2}\, d {x}\\ &=\ frac {Mq^3} {3} =\ frac {M (\ beta-\ alfa) ^3} {24}\ end {alinear*}
donde hemos utilizadoq = \frac{\beta-\alpha}{2} en el último paso.
Así, en cualquier intervalox_i \leq x \leq x_{i+1}=x_i+\Delta x
\ begin {align*}\ izquierda|\ int_ {x_i} ^ {x_ {i+1}} f (x)\, d {x} -\ Delta x f\ izquierda (\ frac {x_i+x_ {i+1}} {2}\ derecha)\ derecha| &\ leq\ frac {M} {24} (\ Delta x) ^3\ end {align*}
Armando todo vemos que el error usando la regla del punto medio está delimitado por
\ begin {reunir*}\ izquierda|\ int_a^b f (x)\, d {x} -\ izquierda [f (\ bar x_1) +f (\ bar x_2) +\ cdots +f (\ bar x_n)\ derecha]\ Delta x\ derecha|\\\ leq\ izquierda|\ int_ {x_0} ^ {x_1} (f)\, d {x} -\ Delta x f (\ bar x_1)\ derecha| +\ cdots+\ izquierda|\ int_ {x_ {n-1}} ^ {x_n} f (x)\, d {x} -\ Delta x f (\ bar x_n)\ derecha|\\\ leq n\ veces\ frac {M} {24} (Delta\ x) ^3 = n\ veces\ frac {M} {24}\ izquierda (\ frac {b-a} {n}\ derecha) ^3 =\ frac {M (b-a) ^3} {24 n^2}\ end {reunión*}
según sea necesario.
Un análisis muy similar muestra que, como se indicó en el Teorema 1.11.13 anterior,
- el error total introducido por la regla trapezoidal está limitado por\displaystyle \frac{M}{12}\frac{(b-a)^3}{n^2}\text{,}
- el error total introducido por la regla de Simpson está limitado por\displaystyle \frac{M}{180}\frac{(b-a)^5}{n^4}
Ejercicios
Recordemos que estamos usando\log x para denotar el logaritmo dex con basee\text{.} En otros cursos a menudo se denota\ln x\text{.}
Etapa 1
Supongamos que aproximamos un objeto para tener volumen1.5 \mathrm{m}^3\text{,} cuando su volumen exacto es1.387 \mathrm{m}^3\text{.} Dar el error relativo, error absoluto y error porcentual de nuestra aproximación.
Considera aproximar\displaystyle\int_2^{10} f(x) \, d{x}\text{,} dóndef(x) está la función en la gráfica a continuación.
- Dibuja los rectángulos asociados con la aproximación de la regla del punto medio yn=4\text{.}
- Dibuje los trapecios asociados con la aproximación de la regla trapezoidal yn=4\text{.}
No hay que dar una aproximación.
Letf(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2\text{.}
- Encuentra un valor razonableM tal que|f''(x)| \leq M para todos1 \leq x \leq 6\text{.}
- Encuentra un valor razonableL tal que|f^{(4)}(x)| \leq L para todos1 \leq x \leq 6\text{.}
Dejef(x) = x\sin x+2\cos x\text{.} encontrar un valor razonable deM tal manera que|f''(x)| \leq M para todos-3 \leq x \leq 2\text{.}
Considera la cantidadA=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \, d{x}\text{.}
- Encuentra el límite superior en el error usando la regla de Simpson conn=4 para aproximarA usando el Teorema 1.11.13 en el texto.
- Encuentra la aproximación de reglas de Simpson deA usarn=4\text{.}
- ¿Cuál es el error absoluto (real) en la aproximación de la regla de Simpson deA conn=4\text{?}
Dar una funciónf(x) tal que:
- f''(x) \leq 3para todosx en[0,1]\text{,} y
- el error usando la regla trapezoidal que se aproxima\displaystyle\int_0^1 f(x) \, d{x} conn=2 intervalos es exactamente\dfrac{1}{16}\text{.}
Supongamos que mi madre tiene menos de 100 años, y yo tengo menos de 200 años. 15 Vamos a algún lado con esto. ¿Quién es mayor?
- Verdadero o Falso: para constantes positivas fijasM\text{,}n\text{,}a\text{,} yb\text{,} conb \gt a\text{,}
\dfrac{M}{24}\dfrac{(b-a)^3}{n^2}\leq \dfrac{M}{12}\dfrac{(b-a)^3}{n^2} \nonumber
- Verdadero o Falso: para una funciónf(x) y constantes fijasn\text{,}a\text{,} yb\text{,} conb \gt a\text{,} la aproximación de punto medion -intervalo de\displaystyle\int_a^b f(x) \, d{x} es más precisa que la aproximación trapezoidaln -intervalo.
Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Si es falso, proporcione un contraejemplo. Si es cierto, proporcionar una breve justificación.
Cuandof(x) es positivo y cóncavo hacia arriba, cualquier aproximación de regla trapezoidal para\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\, d{x} será una estimación superior para\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \,\, d{x}\text{.}
Dar un polinomiof(x) con la propiedad que la aproximación de la regla de Simpson\displaystyle\int_a^b f(x) \, d{x} es exacta para todosa\text{,}b\text{,} yn\text{.}
Etapa 2
Las preguntas 11 y 12 le piden aproximar una integral dada utilizando las fórmulas de las Ecuaciones 1.11.2, 1.11.6 y 1.11.9 en el texto.
Las preguntas 13 a 17 le piden aproximar una cantidad con base en los datos observados.
En las preguntas 18 a 24, practicamos encontrar límites de error para nuestras aproximaciones.
Escriba las tres aproximaciones de\displaystyle\int_0^{30} \frac{1}{x^3+1} \, d{x} conn=6\text{.} (Es decir: punto medio, trapezoidal y Simpson.) No es necesario simplificar sus respuestas.
Encuentra la aproximación de regla de punto medio a\displaystyle\int_0^\pi \sin x\, d{x} conn = 3\text{.}
El sólidoV mide 40 cm de altura y las secciones transversales horizontales son discos circulares. La siguiente tabla da los diámetros de las secciones transversales en centímetros a intervalos de 10 cm. Utilice la regla trapezoidal para estimar el volumen deV\text{.}
altura | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 |
diámetro | 24 | 16 | 10 | 6 | 4 |
Un tronco de cedro de un6 metro de largo tiene secciones transversales que son aproximadamente circulares. Los diámetros del tronco, medidos a intervalos de un metro, se dan a continuación:
metros del extremo izquierdo del tronco | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
diámetro en metros | 1.2 | 1 | 0.8 | 0.8 | 1 | 1 | 1.2 |
Usa la Regla de Simpson para estimar el volumen del registro.
La circunferencia de un árbol de 8 metros de altura a diferentes alturas sobre el suelo se da en la siguiente tabla. Supongamos que todas las secciones transversales horizontales del árbol son discos circulares.
altura (metros) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
circunferencia (metros) | 1.2 | 1.1 | 1.3 | 0.9 | 0.2 |
Usa la regla de Simpson para aproximar el volumen del árbol.
Al medir las áreas encerradas por contornos en un mapa topográfico, un geólogo determina las áreas de sección transversalA en un cerro\mathrm{m}^2 de60 m de altura. La siguiente tabla da el área de la sección transversalA(h) a diversas alturash\text{.} El volumen del cerro esV=\int_0^{60} A(h)\,\, d{h}\text{.}
h | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
A | 10,200 | 9,200 | 8,000 | 7,100 | 4,500 | 2,400 | 100 |
- Si el geólogo utiliza la Regla Trapezoidal para estimar el volumen del cerro, cuál será su estimación, al 1,000\mathrm{m}^3\text{?}
- ¿Cuál será la estimación del geólogo del volumen del cerro si usan la Regla de Simpson en lugar de la Regla Trapezoidal?
La gráfica a continuación se aplica a ambas partes (a) y (b).
- Usa la Regla Trapezoidal, conn = 4\text{,} para estimar el área bajo la gráfica entrex = 2 yx = 6\text{.} Simplifica tu respuesta por completo.
- Usa la regla de Simpson, conn = 4\text{,} para estimar el área debajo de la gráfica entrex = 2 yx = 6\text{.}
La integral\displaystyle\int_{-1}^{1} \sin(x^2) \, \, d{x} se estima utilizando la Regla de Punto Medio con1000 intervalos. Demostrar que el error absoluto en esta aproximación es como máximo2\cdot 10^{-6}\text{.}
Puede usar el hecho de que al aproximarse\int_a^b f(x) \, \, d{x} con la Regla de Punto Medio usandon puntos, el valor absoluto del error es como muchoM(b-a)^3/24n^2 cuando\left|f''(x)\right|\leq M para todosx\in[a,b]\text{.}
El error total usando la regla de punto medio conn subintervalos para aproximar la integral def(x) over[a,b] está limitado por\dfrac{M (b-a)^3}{(24n^2)}\text{,} if|f''(x)| \le M for alla \le x \le b\text{.}
Usando este límite, si la integral\displaystyle\int_{-2}^{1} 2x^4 \,\, d{x} se aproxima usando la regla de punto medio con60 subintervalos, ¿cuál es el mayor error posible entre la aproximaciónM_{60} y el valor verdadero de la integral?
Ambas partes de esta pregunta se refieren a la integralI = \displaystyle\int_{0}^{2} (x-3)^5\,\, d{x}\text{.}
- Anota la aproximación de la Regla de Simpson aI conn=6\text{.} Deja tu respuesta en forma lista para la calculadora.
- ¿Qué método de aproximaciónI da como resultado un límite de error menor: la Regla de Punto Medio conn=100 intervalos, o la Regla de Simpson conn=10 intervalos? Puedes usar las fórmulas
\ begin {reunir*} |E_M|\ le\ frac {M (b-a) ^3} {24n^2}\ qquad\ texto {y}\ qquad |E_S|\ le\ frac {L (b-a) ^5} {180n^4},\ end {reunir*}
dondeM es un límite superior para|f''(x)| yL es un límite superior para|f^{(4)}(x)|\text{,} yE_M yE_S son los errores absolutos que surgen de la regla del punto medio y la regla de Simpson, respectivamente.
Encuentra un límite para el error al aproximar\displaystyle\int_1^5 \frac{1}{x}\,\, d{x} usando la regla de Simpson conn = 4\text{.} No anotar la aproximación de la regla de SimpsonS_4\text{.}
En general, el error al aproximar\int_a^b f(x)\, d{x} usando la regla de Simpson conn pasos está limitado por\dfrac{L(b-a)}{180}(\Delta x)^4 dónde\Delta x=\dfrac{b-a}{n} yL\ge |f^{(4)}(x)| para todosa\le x\le b\text{.}
Encuentra un límite para el error al aproximar
\int_0^1 \big(e^{-2x}+3x^3\big)\,\, d{x} \nonumber
usando la regla de Simpson conn = 6\text{.} No anote la aproximación de la regla de SimpsonS_n\text{.}
En general, el error al aproximar\int_a^b f(x)\, d{x} usando la regla de Simpson conn pasos está limitado por\dfrac{ L(b-a)}{180}(\Delta x)^4 dónde\Delta x=\dfrac{b-a}{n} yL\ge |f^{(4)}(x)| para todosa\le x\le b\text{.}
LetI=\displaystyle\int_1^2 (1/x)\,\, d{x}\text{.}
- Anota la aproximación trapezoidalT_4 para NoI\text{.} necesitas simplificar tu respuesta.
- Anota la aproximación de SimpsonS_4 para NoI\text{.} necesitas simplificar tu respuesta.
- Sin computarI\text{,} encontrar un límite superior para|I - S_4|\text{.} Usted puede usar el hecho de que si\big|f^{(4)}(x)\big|\le L en el intervalo[a, b]\text{,} entonces el error en usarS_n para aproximar\int_a^b f(x)\,\, d{x} tiene un valor absoluto menor o igual aL(b-a)^5/180n^4\text{.}
Una funcións(x) satisfaces(0)=1.00664\text{,}s(2)=1.00543\text{,}s(4)=1.00435\text{,}s(6)=1.00331\text{,}s(8)=1.00233\text{.} También, se sabe que satisface\big|s^{(k)}(x)\big|\le \dfrac{k}{1000} para0\le x\le 8 y todos los enteros positivosk\text{.}
- Encuentra las mejores aproximaciones de Regla Trapezoidal y Regla de Simpson que puedas\displaystyle I=\int_0^8 s(x)\, d{x}\text{.}
- Determine los tamaños máximos posibles de errores en las aproximaciones que dio en la parte (a). Recordemos que si una\big|f^{(k)}(x)\big|\le K_k funciónf(x) satisface[a,b]\text{,} entonces
\bigg|\int_a^b f(x)\, d{x} -T_n\bigg|\le \frac{K_2(b-a)^3}{12n^2} \quad\hbox{and}\quad \bigg|\int_a^b f(x)\, d{x} -S_n\bigg|\le \frac{K_4(b-a)^5}{180n^4} \nonumber
Considere la regla trapezoidal para hacer aproximaciones numéricas a\displaystyle\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.} El error para la regla trapezoidal satisface|E_T| \le \dfrac{ M(b - a)^3}{12n^2}, donde|f''(x)| \le M-2 \lt f''(x) \lt 0 paraa \le x \le b\text{.} Si para1 \le x \le 4\text{,} encontrar un valor den para garantizar la regla trapezoidal dará una aproximación para\displaystyle\int_1^4 f(x)\, d{x} con error absoluto,|E_T|\text{,} menor que0.001\text{.}
Etapa 3
Una piscina tiene la forma que se muestra en la siguiente figura. Las secciones transversales verticales de la piscina son discos semicirculares. Las distancias en pies a través de la piscina se dan en la figura a intervalos de 2 pies a lo largo de los dieciséis pies de longitud de la piscina. Usa la Regla de Simpson para estimar el volumen de la piscina.
Un trozo de alambre de 1m de largo con radio 1mm está hecho de tal manera que la densidad varía en su sección transversal, pero es radialmente simétrica (es decir, la densidad localg(r) en{\rm kg/m^3} depende solo de la distanciar en mm desde el centro del alambre). Tomar como dado que la masa totalW del alambre en kg viene dada por
\ begin {reunir*} W=2\ pi 10^ {-6}\ int_0^1 rg (r)\,\, d {r}\ end {reunir*}
Los datos del fabricante se dan a continuación:
r | 0 | 1/4 | 1/2 | 3/4 | 1 |
g(r) | 8051 | 8100 | 8144 | 8170 | 8190 |
- Encuentra la mejor aproximación de Regla Trapezoidal que puedas paraW basada en los datos de la tabla.
- Supongamos que se sabe que|g'(r)| \lt 200 y|g''(r)| \lt 150 para todos los valores der\text{.} Determine el tamaño máximo posible del error en la aproximación que dio en la parte (a). Recordemos que si una|f''(x)|\le M funciónf(x) satisface[a,b]\text{,} entonces
\ begin {reunir*} |i-t_n|\ le\ frac {M (b-a) ^3} {12n^2}\ end {reunir*}
dondeI=\int_a^b f(x)\,\, d{x} yT_n es la aproximación de la Regla Trapezoidal alI uso den subintervalos.
La regla de Simpson se puede utilizar para aproximar\log 2\text{,} desde\displaystyle\log 2=\int_1^2\frac{1}{x}\,\, d{x}\text{.}
- Usa la regla de Simpson con 6 subintervalos para aproximar\log 2\text{.}
- Cuántos subintervalos se requieren para garantizar que el error absoluto sea menor que0.00001\text{?}
Tenga en cuenta que siE_n es el error usandon subintervalos, entonces|E_n|\le\dfrac{L(b-a)^5}{180n^4} dondeL está el valor absoluto máximo de la cuarta derivada de la función que se está integrandoa y yb son los puntos finales del intervalo.
DejarI={\displaystyle\int_0^2}\cos(x^2)\, d{x} y dejarS_n ser la aproximación de la regla de Simpson alI uso den subintervalos.
- Estimar el error absoluto máximo en el usoS_8 para aproximarI\text{.}
- Qué tan grande deben ser para asegurar que|I-S_n|\le 0.0001\text{?}
Nota: A continuaciónf(x)=\cos(x^2)\text{,} se muestra la gráfica def''''(x)\text{,} dónde. El error absoluto en la aproximación de la regla de Simpson está limitado por\dfrac{L(b-a)^5}{180n^4} cuando está|f''''(x)|\le L en el intervalo[a,b]\text{.}
Definir una funciónf(x) y una integralI
\ comenzar {reunir*} f (x) =\ int_0^ {x^2}\ sin (\ sqrt {t})\,\, d {t},\ qquad I=\ int_0^1 f (t)\,\, d {t}\ end {reunir*}
Estime cuántas subdivisiones se necesitan para calcularI a cinco decimales de precisión usando la regla trapezoidal.
Tenga en cuenta que siE_n es el error usandon subintervalos, entonces|E_n|\le\dfrac{M(b-a)^3}{12n^2\vphantom{\frac{1}{2}}}\text{,} dondeM está el valor absoluto máximo de la segunda derivada de la función que se está integrandoa y yb son los límites de integración.
Letf(x) be a function 18 Por ejemplo,f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2+(1+x)\log|x+1| will do, but you don't need to know what f(x) is for this problem. conf''(x) = \dfrac{x^2}{x+1}\text{.}
- Mostrar que|f''(x)| \leq 1 siempre quex esté en el intervalo[0,1]\text{.}
- Encuentra el valor máximo de|f''(x)| sobre el intervalo[0,1]\text{.}
- AsumiendoM=1\text{,} cuántos intervalos debe usar para\displaystyle\int_{0}^{1}f(x) \, d{x} aproximarse dentro10^{-5}\text{?}
- Usando el valor deM usted que se encuentra en (b), cuántos intervalos debe usar para\displaystyle\int_0^1 f(x) \, d{x} aproximarse dentro10^{-5}\text{?}
Aproximar la función\log x con una función racional aproximando la integral\displaystyle\int_1^{x\vphantom{\frac{1}{2}}} \frac{1}{t} \, d{t} usando la regla de Simpson. Su función racionalf(x) debe aproximarse\log x con un error de no más de 0.1 para cualquierax en el intervalo[1,3]\text{.}
Usando una aproximación del área bajo la curva, se\dfrac{1}{x^2+1}\text{,} muestra que la constante\arctan2 está en el intervalo\left[\dfrac{\pi}{4}+0.321,\, \dfrac{\pi}{4}+0.323\right]\text{.}
Puedes asumir el uso sin pruebas de que\displaystyle\frac{d^{4}}{dx^{4}}\left\{\frac{1}{1+x^2}\right\} = \dfrac{24(5x^4-10x^2+1)}{(x^2+1)^5}\text{.} puedes usar una calculadora, pero solo para sumar, restar, multiplicar y dividir.
- Nos disculpamos por ser un poco descuidados aquí —pero solo queremos decir que puede ser muy difícil o incluso imposible escribir algunas integrales como alguna expresión de tamaño finito que involucra polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas. No queremos meternos en una discusión de computabilidad, aunque ese es un tema muy interesante.
- Agradecidamente es muy fácil escribir un programa para aplicar la regla del punto medio.
- Este método también se llama la “regla trapezoidal” y “regla del trapecio”.
- Un trapecio es un polígono de cuatro lados, como un rectángulo. Pero, a diferencia de un rectángulo, la parte superior e inferior de un trapecio no necesitan ser paralelas.
- La regla de Simpson lleva el nombre del matemático inglés del siglo XVIII Thomas Simpson, a pesar de su uso un siglo antes por el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler. En muchos textos alemanes la regla suele llamarse regla de Kepler.
- Hay una fácil generalización de la regla de Simpson que usa cubics en lugar de parábolas. Se le conoce como la segunda regla de Simpson y la\frac38 regla de Simpson. Si bien uno puede impulsar más este enfoque (usando cuartículos, quintics, etc.), a veces puede conducir a errores más grandes: el lector interesado debería buscar el fenómeno de Runge.
- De hecho, incluso más allá del “mundo real” de muchas aplicaciones en los textos de cálculo del primer año, algunos de los métodos que hemos descrito son utilizados por personas reales (como constructores de barcos, ingenieros y topógrafos) para estimar áreas y volúmenes de objetos reales.
- Hay una variante de este truco que funciona incluso cuando no conoces la respuesta a la integral antes de tiempo. Supongamos que sospechas que la aproximación satisfaceM_n=A+K\tfrac{1}{n^k} where A is the exact value of the integral and suppose that you don't know the values of A\text{,} K and k\text{.} Then M_{n}-M_{2n} =K\tfrac{1}{n^k}-K\tfrac{1}{(2n)^k} =K\big(1-\tfrac{1}{2^k}\big)\tfrac{1}{n^k} so plotting y=\log(M_{n}-M_{2n}) against x=\log n gives the straight line y=\log \big[K\big(1-\frac{1}{2^k}\big)\big] -kx\text{.}
- Ahora es un buen momento para una rápida revisión de logaritmos — ver “Revisión torbellino de logaritmos” en la Sección 2.7 del texto CLP-1.
- La regresión lineal no forma parte de este curso ya que su derivación requiere algún cálculo multivariable. Se trata de una técnica muy estándar en estadística.
- Este es nuestro ejemplo de carrera favorito de una integral que no se puede evaluar algebraicamente; necesitamos usar métodos numéricos.
- Los autores lo probaron empíricamente.
- Elegimos este intervalo para que no tuviéramos muchos subíndices flotando alrededor en el álgebra.
- El triángulo de la desigualdad dice que para cualquier número realx,y |x+y| \leq |x| + |y|.