B.1: Definición y Operaciones Básicas

Comenzaremos con la definición de un número complejo y sus reglas de suma y multiplicación. Puede que la regla de la multiplicación te parezca bastante misteriosa. No te preocupes. Pronto tendremos mucha práctica usándolo y viendo lo útil que es.

Definición B.1.1

1. El plano complejo es simplemente el\(xy\) -plano equipado con una operación de adición y una operación de multiplicación. Un número complejo no es más que un punto en ese\(xy\) plano. Es convencional usar la notación\(x+iy\) ¹ para referirse al número complejo\((x,y)\text{.}\) En otras palabras, es convencional escribir\(x\) en lugar de\((x,0)\) y\(i\) en lugar de\((0,1)\text{.}\)
2. El primer componente,\(x\text{,}\) del número complejo\(x+iy\) se llama su parte real y el segundo componente,\(y\text{,}\) se llama su parte imaginaria, aunque no hay nada imaginario ² al respecto.
3. La suma de los números complejos\(\, z_1=x_1+i y_1 \) y\(\, z_2=x_2 +iy_2 \, \) se define por

   \[ z_1+z_2 = (x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \nonumber \]

   Es decir, solo añades por separado las partes reales y las partes imaginarias.
4. El producto de los números complejos\(\, z_1=x_1+i y_1 \) y\(\, z_2=x_2 +iy_2 \, \) se define por

   \[ z_1z_2 = x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1) \nonumber \]

   No memorizar esta regla de multiplicación. Veremos en breve una ayuda de memoria simple y efectiva para ello. El corazón de esa ayuda a la memoria es la observación de que el número complejo\(i\) tiene la propiedad especial que

   \[ i^2 = (0+1i)(0+1i) = (0\times 0-1\times 1)+i(0\times 1+1\times 0) = -1 \nonumber \]

La suma y multiplicación de números complejos obedece a las reglas de suma familiares

\ begin {align*} z_1+z_2&=z_2+z_1\\ z_1+ (z_2+z_3) &= (z_1+z_2) +z_3\\ 0+z_1&=z_1\ end {align*}

y reglas de multiplicación

\ begin {align*} z_1z_2&=z_2z_1\\ z_1 (z_2z_3) &= (z_1z_2) z_3\\ 1z_1&=z_1\ end {align*}

y leyes distributivas

\ begin {align*} z_1 (z_2+z_3) &=z_1z_2+z_1z_3\\ (z_1+z_2) z_3& = z_1z_3+z_2z_3\ end {align*}

Para recordar cómo multiplicar números complejos, solo hay que complementar las reglas familiares del sistema de números reales con\(i^2=-1\text{.}\) La oración anterior es la ayuda de memoria a que se refiere la Definición B.1.1 (d).

Ejemplo B.1.2

Si\(z=1+2i\) y\(w=3+4i\text{,}\) entonces

\ begin {alignat*} {2} z+w&= (1+2i) + (3+4i) &&=4+6i\\ zw&= (1+2i) (3+4i) &&=3+4i+6i+8i^2=3+4i+6i-8\\ &=-5+10i\ end {alignat*}

Definición B.1.3

1. El negativo de cualquier número complejo\(z= x+iy\) se define por

   \[ -z=-x+(-y)i \nonumber \]

   y obviamente obedece\(z+(-z)=0\text{.}\)
2. El recíproco ³,\(z^{-1}\) o\(\frac{1}{z}\text{,}\) de\(z= x+iy\text{,}\) cualquier número complejo que no\(0\text{,}\) sea definido por

   \[ \frac{1}{z}z =1 \nonumber \]

   Veremos a continuación que viene dada por la fórmula

   \[ \frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i \nonumber \]

Ejemplo B.1.4

Es posible derivar la fórmula para\(\frac{1}{z}\) observando que

\[ (a+ib)(x+iy)=[ax-by] + i[ay+bx] \nonumber \]

es igual a\(1 = 1+i0\) si y solo si

\ start {alinear*} ax-por&=1\\ ay+bx&=0\ end {alinear*}

y resolviendo estas ecuaciones para\(a\) y\(b\text{.}\) Veremos una derivación mucho más corta en Observación B.1.6 a continuación. Por ahora, nos contentaremos con solo verificar que eso\(\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i\) es lo inverso de\(x+iy\) multiplicando

\ begin {align*} &\ left (\ frac {x} {x^2+y^2} -\ frac {y} {x^2+y^2} i\ right) (x+iy)\\ &\ hskip0.5in=\ frac {x^2} {x^2+y^2} -\ frac {xy} {x^2+y^2} i +\ frac ac {xy} {x^2+y^2} i-\ frac {y^2} {x^2+y^2} i^2\\ &\ hskip0.5in=\ frac {x^2-i^2y^2} {x^2+y^2} =\ frac {x^2+y^2} {x^2+y^2} =1\ end {align*}

Definición B.1.5

1. El complejo conjugado de\(\, z=x+iy\, \) se denota\(\bar z\) y se define como

   \[ \bar z=\overline{x+iy}=x-i y \nonumber \]

   Es decir, para tomar el conjugado complejo, uno reemplaza cada\(i\) por\(-i\) y viceversa.
2. La distancia desde\(z=x+iy\) (recordemos que este es el punto\((x,y)\) en el\(xy\) plano -) a\(0\) se denota\(\, |z|\, \) y se llama el valor absoluto, o módulo, de\(\, z\, \text{.}\) Se da por

   \[ |z| = \sqrt{x^2+y^2} \nonumber \]

   Tenga en cuenta que

   \[ z\bar z=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy+y^2=x^2+y^2 \nonumber \]

   es siempre un número real no negativo y que

   \[ |z| = \sqrt{z\,\bar z} \nonumber \]

Observación B.1.6

Vamos\(z=x+iy\) con\(x\) y\(y\) real. Ya\(|z|^2=z\,\bar z\text{,}\) que tenemos

\[ \frac{1}{z} =\frac{1}{z}\frac{\bar z}{\bar z} = \frac{\bar z}{|z|^2} =\frac{x-iy}{x^2+y^2} =\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i \nonumber \]

que es la fórmula para la que\(\frac{1}{z}\) se da en la Definición B.1.3 (b).

Ejemplo B.1.7

Es fácil dividir un número complejo por un número real. Por ejemplo

\[ \frac{11+2i}{25} = \frac{11}{25}+\frac{2}{25}i \nonumber \]

En general, el conjugado complejo nos proporciona un truco para reescribir cualquier ratio de números complejos como una relación con un denominador real. Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar\(\frac{1+2i}{3+4i}\text{.}\) El truco es multiplicar por\(1=\frac{3-4i}{3-4i}\text{.}\) El número\(3-4i\) es el complejo conjugado del denominador\(3+4i\text{.}\) Desde\((3+4i)(3-4i)=9-12i+12i-16i^2=9+16=25\)

\[ \frac{1+2i}{3+4i}=\frac{1+2i}{3+4i}\ \frac{3-4i}{3-4i} =\frac{(1+2i)(3-4i)}{25} =\frac{11+2i}{25} = \frac{11}{25}+\frac{2}{25}i \nonumber \]

Definición B.1.8

Las notaciones ⁴\(\Re z\) y\(\Im z\) representan las partes real e imaginaria del número complejo\(z\text{,}\) respectivamente. Si\(z=x+ iy\) (con\(x\) y\(y\) real) están definidos por

\[ \Re z=x\qquad \Im z=y \nonumber \]

Tenga en cuenta que ambos\(\Re z\) y\(\Im z\) son números reales. Sólo subbing en\(\bar z=x-iy\text{,}\) usted puede verificar que

\[ \Re z=\frac{1}{2}(z+\bar z)\qquad \Im z=\frac{1}{2i}(z-\bar z) \nonumber \]

Lema B.1.9

Si\(z_1=x_1+iy_1\) y\(z_2=x_2+iy_2\text{,}\) entonces

\[ |z_1z_2| = |z_1|\,|z_2| \nonumber \]

Prueba

Desde\(z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\text{,}\)

\ begin {align*} |z_1z_2| &=\ sqrt {(x_1x_2-y_1y_2) ^2+ (x_1y_2+x_2y_1) ^2}\\ &=\ sqrt {x_1^2x_2^2- {\ color {azul} {2x_1x_2y_1y_2}} +y_1^2y_2^2 +2 x_1^2y_2^2+ {\ color {azul} {2x_1y_2x_2y_1}} +x_2^2y_1^2}\\ &=\ sqrt {x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+x_1^2y_2^2+x_2^2^2y_1^2} =\ sqrt {(x_1^y_y_1^2) (x_2^2+y_2^2)}\ &=|z_1|\, |z_2|\ end {align*}