1.4: Exponentes
- Page ID
- 110551
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Las Leyes de los Exponentes permiten reescribir expresiones algebraicas que involucran exponentes. Los tres últimos enumerados aquí son realmente definiciones más que reglas.
Todas las variables aquí representan números reales y todas las variables en denominadores son distintas de cero.
- \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\)
- \(\dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\)
- \(\left(x^a\right)^b=x^{ab}\)
- \((xy)^a=x^a y^a\)
- \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^b=\dfrac{x^b}{y^b}\)
- \(x^0=1\), siempre\(x\neq 0\). [Aunque en algunos contextos todavía\(0^0\) se define como 1.]
- \(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\), siempre\(x\neq 0\).
- \(x^{1/n}=\sqrt[n]{x}\), siempre\(x\neq 0\).
Simplificar\(\left(2x^2\right)^3(4x)\).
Solución
Empezaremos simplificando la\(\left(2x^2\right)^3\) porción. Usando la Propiedad 4, podemos escribir
| \(2^3\left(x^2\right)^3(4x)\) | |
| \(8x^6(4x)\) | Evaluar\(2^3\), y usar Propiedad 3. |
| \(32x^7\) | Multiplique las constantes, y use Propiedad 1, recordando\(x = x^1\). |
Poder trabajar con exponentes negativos y fraccionarios será muy importante más adelante en este curso.
Reescribir\(\dfrac{5}{x^3}\) usando exponentes negativos.
Solución
Desde\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\) entonces\(x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\) y así\[\dfrac{5}{x^3}=5x^{-3}.\nonumber \]
Simplifica lo más\(\left(\dfrac{x^{-2}}{y^{-3}}\right)^2\) posible y escribe tu respuesta usando solo exponentes positivos.
Solución
\ begin {alinear*}\ izquierda (\ dfrac {x^ {-2}} {y^ {-3}}\ derecha) ^2 & =\ dfrac {\ izquierda (x^ {-2}\ derecha) ^2} {\ izquierda (y^ {-3}\ derecha) ^2}\\ & =\ dfrac {x^ {-4}} {y^ {-6}}\ & =\ dfrac {y^6} {x^4}\ final {alinear*}
Reescribir\(4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}\) usando exponentes.
Solución
Una raíz cuadrada es un radical con índice de dos. En otras palabras,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}\). Usando la regla de exponente anterior,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}=x^{1/2}\). Reescribir las raíces cuadradas usando el exponente fraccional,\[4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}=4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}.\nonumber \]
Ahora podemos usar la regla del exponente negativo para reescribir el segundo término en la expresión:\[4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}=4x^{1/2}-3x^{-1/2}.\nonumber \]
Reescribir\( \left(\sqrt{p^5}\right)^{-1/3} \) usando solo exponentes positivos.
Solución
\ begin {alinear*}\ izquierda (\ sqrt {p^5}\ derecha) ^ {-1/3} & =\ izquierda (\ izquierda (p^5\ derecha) ^ {1/2}\ derecha) ^ {-1/3}\\ & = p^ {-5/6}\\ & =\ frac {1} {p^ {5/6}}\ end {align*}
Reescribir\( x^{-4/3} \) como radical.
Solución
\ begin {align*} x^ {-4/3} & =\ frac {1} {x^ {4/3}}\\ & =\ frac {1} {\ izquierda (x^ {1/3}\ derecha) ^4}\ quad\ texto {(desde\(\frac{4}{3}=4\cdot\frac{1}{3}\))}\\ & =\ frac {1} {\ izquierda (\ sqrt [3] {x}\ derecha) ^4}\\ text {(usando la equivalencia radical)}\ end {align*}