1.4: Exponentes

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Las Leyes de los Exponentes permiten reescribir expresiones algebraicas que involucran exponentes. Los tres últimos enumerados aquí son realmente definiciones más que reglas.

Leyes de los exponentes

Todas las variables aquí representan números reales y todas las variables en denominadores son distintas de cero.

\(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\)
\(\dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\)
\(\left(x^a\right)^b=x^{ab}\)
\((xy)^a=x^a y^a\)
\(\left(\dfrac{x}{y}\right)^b=\dfrac{x^b}{y^b}\)
\(x^0=1\), siempre\(x\neq 0\). [Aunque en algunos contextos todavía\(0^0\) se define como 1.]
\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\), siempre\(x\neq 0\).
\(x^{1/n}=\sqrt[n]{x}\), siempre\(x\neq 0\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Simplificar\(\left(2x^2\right)^3(4x)\).

Solución

Empezaremos simplificando la\(\left(2x^2\right)^3\) porción. Usando la Propiedad 4, podemos escribir

\(2^3\left(x^2\right)^3(4x)\)
\(8x^6(4x)\)	Evaluar\(2^3\), y usar Propiedad 3.
\(32x^7\)	Multiplique las constantes, y use Propiedad 1, recordando\(x = x^1\).

Poder trabajar con exponentes negativos y fraccionarios será muy importante más adelante en este curso.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Reescribir\(\dfrac{5}{x^3}\) usando exponentes negativos.

Solución

Desde\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\) entonces\(x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\) y así\[\dfrac{5}{x^3}=5x^{-3}.\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplifica lo más\(\left(\dfrac{x^{-2}}{y^{-3}}\right)^2\) posible y escribe tu respuesta usando solo exponentes positivos.

Solución

\ begin {alinear*}\ izquierda (\ dfrac {x^ {-2}} {y^ {-3}}\ derecha) ^2 & =\ dfrac {\ izquierda (x^ {-2}\ derecha) ^2} {\ izquierda (y^ {-3}\ derecha) ^2}\\ & =\ dfrac {x^ {-4}} {y^ {-6}}\ & =\ dfrac {y^6} {x^4}\ final {alinear*}

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Reescribir\(4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}\) usando exponentes.

Solución

Una raíz cuadrada es un radical con índice de dos. En otras palabras,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}\). Usando la regla de exponente anterior,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}=x^{1/2}\). Reescribir las raíces cuadradas usando el exponente fraccional,\[4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}=4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}.\nonumber \]

Ahora podemos usar la regla del exponente negativo para reescribir el segundo término en la expresión:\[4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}=4x^{1/2}-3x^{-1/2}.\nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Reescribir\( \left(\sqrt{p^5}\right)^{-1/3} \) usando solo exponentes positivos.

Solución

\ begin {alinear*}\ izquierda (\ sqrt {p^5}\ derecha) ^ {-1/3} & =\ izquierda (\ izquierda (p^5\ derecha) ^ {1/2}\ derecha) ^ {-1/3}\\ & = p^ {-5/6}\\ & =\ frac {1} {p^ {5/6}}\ end {align*}

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Reescribir\( x^{-4/3} \) como radical.

Solución

\ begin {align*} x^ {-4/3} & =\ frac {1} {x^ {4/3}}\\ & =\ frac {1} {\ izquierda (x^ {1/3}\ derecha) ^4}\ quad\ texto {(desde\(\frac{4}{3}=4\cdot\frac{1}{3}\))}\\ & =\ frac {1} {\ izquierda (\ sqrt [3] {x}\ derecha) ^4}\\ text {(usando la equivalencia radical)}\ end {align*}