3.1: Preludio a lo Integral

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Los capítulos anteriores se referían al Cálculo Diferencial. Comenzamos con la idea geométrica simple de la pendiente de una línea tangente a una curva, la desarrollamos en una combinación de teoría sobre derivados y sus propiedades, técnicas de cálculo de derivados y aplicaciones de derivados. Este capítulo trata sobre Cálculo Integral y comienza con la simple idea geométrica de área. Esta idea se desarrollará en otra combinación de teoría, técnicas y aplicaciones.

Idea de Precálculo — El Área de un Rectángulo

Si miras en la portada interior de casi cualquier libro de matemáticas tradicional, encontrarás un montón de fórmulas de área y volumen: el área de un cuadrado, el área de un trapecio, el volumen de un cono circular derecho, etc. Algunas de estas fórmulas son bastante complicadas. Pero aún no encontrarás una fórmula para el área de una pieza de rompecabezas o el volumen de un huevo. Hay muchas cosas para las que no hay fórmula. Sin embargo, es posible que aún queramos encontrar sus áreas.

Una razón por la que las áreas son tan útiles es que pueden representar cantidades distintas de formas geométricas simples. Si las unidades para cada lado del rectángulo son metros, entonces el área tendrá las unidades\(meters \cdot meters = square \ meters = \text{m}^2\). Pero si las unidades de la base de un rectángulo son horas y las unidades de la altura son millas/hora, entonces las unidades del área del rectángulo son\(hours \cdot (miles/hour) = miles\), una medida de distancia. De igual manera, si las unidades base son centímetros y las unidades de altura son gramos, entonces las unidades de área son gram-centímetros, una medida de trabajo.

La forma básica que usaremos es el rectángulo; el área de un rectángulo es la\( \cdot \) altura base. También debes conocer las fórmulas de área para triángulos,\( A=\frac{1}{2}bh \), y para círculos,\( A=\pi r^2 \).