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2.6: Uso de la Aritmética de Derivadas — Ejemplos

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En esta sección ilustramos el cálculo de derivados utilizando la aritmética de derivados — Teoremas 2.4.2, 2.4.3 y 2.4.5. Para dejar claro qué reglas estamos usando durante los ejemplos notaremos qué teorema estamos usando:

    \(\bullet \text{LIN}\)para estar a favor de la “linealidad” \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\{\alpha\,f(x)+\beta\,g(x)\} = \alpha\,f'(x)+\beta\,g'(x)\) Teorema 2.4.2
    \(\bullet \text{PR}\)para que representen “regla de producto” \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\{f(x)\,g(x)\}=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)\) Teorema 2.4.3
    \(\bullet \text{QR}\)para que representen “regla del cociente” \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\Big\{\frac{f(x)}{g(x)}\Big\}= \frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}\) Teorema 2.4.5

    Empezaremos con un ejemplo realmente fácil.

    Ejemplo 2.6.1\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \{ 4x + 7 \} \).

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {4x + 7\} &= 4\ cdot\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {x\} + 7\ cdot\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {1\} &\ text {LIN}\\ &= 4\ cdot 1 + 7\ cdot 0 = 4\ end {alinear*}

    donde hemos usado LIN con\(f(x)=x\text{,}\)\(g(x)=1\text{,}\)\(\alpha=4\text{,}\)\(\beta=7\text{.}\)

    Ejemplo 2.6.2\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \big\{ x ( 4x + 7) \big\}\).

    Continuando con el ejemplo anterior, podemos usar la regla del producto y el resultado anterior para calcular

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {x (4x + 7)\ grande\} &= x\ cdot\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {4x + 7\} + (4x+7)\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {x\} &\ texto {PR}\\ &= x\ cdot 4 + (4x+7)\ cdot 1\\ &= 8x+7\ final {alinear*}

    donde hemos usado la regla de producto PR con\(f(x) =x\) y\(g(x)=4x+7\text{.}\)

    Ejemplo 2.6.3\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left\{ \frac{x}{4x + 7} \right \}\).

    En la misma línea que en el ejemplo anterior, podemos usar la regla del cociente para calcular

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ izquierda\ {\ frac {x} {4x + 7}\ derecha\} &=\ frac {(4x+7)\ cdot\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {x\} - x\ cdot\ frac\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {4x + 7\}} {(4x+7) ^2} &\ texto {QR}\\ &=\ frac {(4x+7)\ cdot 1 - x\ cdot 4} {(4x+7) ^2}\\ &=\ frac {7} {(4x+7) ^2 }\ end {alinear*}

    donde hemos usado la regla del cociente QR con\(f(x) =x\) y\(g(x)=4x+7\text{.}\)

    Ahora por un ejemplo más desordenado.

    Ejemplo 2.6.4 Algunos ejemplos deben ser desordenados.

    Diferenciar

    \ begin {align*} f (x) &=\ frac {x} {2x+\ frac {1} {3x+1}}\ end {align*}

    Este problema se ve desagradable. Pero no es tan difícil si lo construimos poco a poco.

    • En primer lugar,\(f(x)\) es la relación de

      \ begin {reunir*} f_1 (x) =x\ qquad\ text {y}\ qquad f_2 (x) =2x+\ frac {1} {3x+1}\ end {reunir*}

      Si podemos encontrar las derivadas de\(f_1(x)\) y\(f_2(x)\text{,}\) podremos obtener la derivada de\(f(x)\) simplemente aplicando la regla del cociente. El derivado,\(f'_1(x)=1\text{,}\) de\(f_1(x)\) es fácil, así que vamos a trabajar en\(f_2(x)\text{.}\)
    • La función\(f_2(x)\) es la combinación lineal

      \ begin {reunir*} f_2 (x) =2f_3 (x) +f_4 (x)\ qquad\ text {con}\ qquad f_3 (x) =x\ quad\ texto {y}\ quad f_4 (x) =\ frac {1} {3x+1}\ end {reunir*}

      Si podemos encontrar las derivadas de\(f_3(x)\) y\(f_4(x)\text{,}\) podremos obtener la derivada de\(f_2(x)\) simplemente aplicando linealidad (Teorema 2.4.2). El derivado,\(f'_3(x)=1\text{,}\) de\(f_3(x)\) es fácil. Así que vamos a trabajar de\(f_4(x)\text{.}\)
    • La función\(f_4(x)\) es la relación

      \[ f_4(x)=\frac{1}{f_5(x)}\qquad\text{with}\qquad f_5(x)=3x+1 \nonumber \]

      Si podemos encontrar la derivada de\(f_5(x)\text{,}\) podremos obtener la derivada de\(f_4(x)\) tan solo aplicando el caso especial la regla del cociente (Corolario 2.4.6). El derivado de\(f_5(x)\) es fácil.
    • Así que hemos terminado de\(f(x)\) descomponerse en pedazos fáciles. Ahora solo es cuestión de revertir los escalones de desglose, volver a armar todo, comenzar con las piezas fáciles y trabajar hasta\(f(x)\text{.}\) Aquí va.

      \ begin {align*} f_5 (x) &=3x+1\\ &&\ hskip-1.3in\ text {so}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f_5 (x) &= 3\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} x +\ frac {\ mathrm {d}}\ mathrm {d} x} 1 =3\ cdot 1+0 = 3 &\ texto {LIN}\\ f_4 (x) &=\ frac {1} {f_5 (x)}\\ &&\ hskip-1.3in\ texto {so}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f_4 (x) &=-\ frac {f'_5 (x)} {f_5 (x) ^2} =-\ frac {3} {(3x+1) ^2} &\ texto {QR}\\ f_2 (x) &=2f_3 (x) +f_4 (x)\\ &&\ hskip-1.3in\ text {so}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f_2 (x) &= 2f'_3 (x) + f'_4 (x) =2-\ frac {3} {(3x+1) ^2} &\ text {LIN}\\ f (x) &=\ frac {f_1 (x)} {f_2 (x)}\\ &&\ hskip-1.3in \ text {so}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f (x) &=\ frac {f'_1 (x) f_2 (x) -f_1 (x) f'_2 (x)} {f_2 (x) ^2} &\ texto {QR}\\ &&& =\ frac {1\ grande [2x+\ frac {1} {3x+1}\ grande] -x\ grande [2-\ frac {3} {(3x+1) ^2}\ grande]} {\ grande [2x+\ frac {1} {3x+1}\ grande] ^2}\ final {alinear*}

      ¡Oof!
    • Ahora tenemos una respuesta. Pero realmente deberíamos limpiarlo, no sólo para que sea más fácil de leer, sino también porque invariablemente tales cálculos son solo pequeños pasos dentro de cálculos mucho más grandes. Cualquier cálculo futuro que involucre esta expresión será mucho más fácil y menos propenso a errores si la limpiamos ahora. Cancelación de la\(2x\) y la\(-2x\) entrada

      \ begin {alinear*} 1\ grande [2x+\ frac {1} {3x\! +\! 1}\ grande] -x\ grande [2-\ frac {3} {(3x\! +\! 1) ^2}\ grande] &=2x+\ frac {1} {3x\! +\! 1} -2x+\ frac {3x} {(3x\! +\! 1) ^2}\\ &=\ frac {1} {3x\! +\! 1} +\ frac {3x} {(3x\! +\! 1) ^2}\ end {alinear*}

      y multiplicando tanto el numerador como el denominador por\((3x+1)^2\) da

      \ begin {alinear*} f' (x) &=\ frac {\ frac {1} {3x+1} +\ frac {3x} {(3x+1) ^2}} {\ grande [2x+\ frac {1} {3x+1}\ grande] ^2}\\ frac {(3x+1) ^2} {(3x+1) ^2}\\ &=\ frac (3x+1) +3x} {\ grande [2x (3x+1) +1\ grande] ^2}\\ &=\ frac {6x+1} {[6x^2+2x+1] ^2}. \ end {alinear*}

    Si bien el teorema de linealidad (Teorema 2.4.2) se establece para una combinación lineal de dos funciones, no es difícil extenderlo a combinaciones lineales de tres o más funciones como muestra el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 2.6.5 Linealidad de la derivada de tres o más funciones.

    Comenzaremos por generalizar la linealidad a tres funciones.

    \ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {a F (x) + b G (x) + c H (x)\ grande\} &=\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {\ a\ cdot [F (x)]\ +\ 1\ cpunto [b G (x) +c H (x)]\\ grande\}\\ &=a F' (x) +\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {b G (x) +c H (x)\}\\ &\ qquad\ text {por LIN con $\ alpha=a, f (x) =F (x),\ beta=1$,}\\ & \ qquad\ texto {y} g (x) =b G (x) +c H (x)\\ &=a F' (x) +b G' (x) +c H' (x)\\ &\ qquad\ texto {por LIN con}\ alpha=b, f (x) =G (x),\ beta=c,\\ &\ qquad\ texto {y g} (x) =H (x)\ final {alinear*}

    Esto nos da linealidad para tres términos, a saber (simplemente reemplazando nombres en mayúsculas por nombres en minúscula)

    \ begin {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {af (x) +bg (x) +ch (x)\} =af' (x) +bg' (x) +ch' (x)\ end {reunir*}

    Simplemente repitiendo el argumento anterior muchas veces, podemos generalizar a linealidad para\(n\) términos, para cualquier número natural\(n\text{:}\)

    \ begin {align*} &\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {a_1f_1 (x) +a_2f_2 (x) +\ cdots+a_n f_n (x)\}\\ &\ hskip0.5in=a_1f'_1 (x) +a_2f'_2 (x) +\ cdots+a_n f'_n (x)\ final {alinear*}

    De igual manera, si bien se establece la regla del producto para el producto de dos funciones, no es difícil extenderla al producto de tres o más funciones como muestra el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 2.6.6 Ampliar la regla del producto a más de dos factores.

    Una vez más, comenzaremos generalizando la regla del producto a tres factores.

    \ begin {align*} &\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {F (x)\, G (x)\, H (x)\} =F' (x)\, G (x)\, H (x) +F (x)\,\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d}} G (x)\, H (x)\}\\ &\ hskip1in\ texto {por PR con} f (x) =F (x)\ texto {y} g (x) =G (x) H (x)\ &\ hskip0.5in=F' (x)\, G (x)\, H (x) +F (x)\,\ grande\ {'(x)\, H (x) +G (x)\, H' (x)\ grande\}\\ &\ hskip1 en\ texto {por PR con} f (x) =G (x)\ texto {y} g (x) =H (x)\ final {alinear*}

    Esto nos da una regla de producto para tres factores, a saber (solo reemplazar nombres en mayúsculas por nombres en minúsculas)

    \ begin {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {f (x)\, g (x)\, h (x)\} = f' (x)\, g (x)\, h (x) +f (x)\, g' (x)\, h (x) +f (x)\, g (x)\, h' (x)\ end {reunir*}

    Observe que cuando diferenciamos un producto de tres factores, la respuesta es una suma de tres términos y en cada término la derivada actúa sobre exactamente uno de los factores originales. Simplemente repitiendo el argumento anterior muchas veces, podemos generalizar la regla del producto para dar la derivada de un producto de\(n\) factores, para cualquier número natural\(n\text{:}\)

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {f_1 (x)\, f_2 (x)\,\ cdots\, f_n (x)\} =\ quad &f'_1 (x)\, f_2 (x)\,\ cdots\, f_n (x)\\ +f_1 (x)\, f'_2 (x)\,\ cdots\, f_n (x)\\ &\ qquad\ qquad\ vdots\\ +&f_1 (x)\, f_2 (x)\,\ cdots\, f'_n (x)\ end {align*}

    También podemos escribir lo anterior como

    \ begin {align*} &\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {f_1 (x)\, f_2 (x)\,\ cdots\, f_n (x)\}\\ &\ hskip0.5in=\ left [\ frac {f_1' (x)} {f_1 (x)} +\ frac {f_2' (x)} {f_2 (x)} +\ cdots +\ frac {f_n' (x)} {f_n (x)}\ derecha]\ cdot f_1 (x)\, f_2 (x)\,\ cdots\, f_n (x)\ final {alinear*}

    Cuando diferenciamos un producto de\(n\) factores, la respuesta es una suma de\(n\) términos y en cada término la derivada actúa sobre exactamente uno de los factores originales. En el primer término, la derivada actúa sobre el primero de los factores originales. En el segundo término, la derivada actúa sobre el segundo de los factores originales. Y así sucesivamente.

    Si hacemos\(f_1(x) = f_2(x) = \cdots = f_n(x) = f(x)\) entonces cada uno de los\(n\) términos en el lado derecho de la ecuación anterior es el producto de\(f'(x)\) y exactamente\(n-1\)\(f(x)\)'s, y así es exactamente\(f(x)^{n-1}\,f'(x)\text{.}\) Así que obtenemos el siguiente resultado útil

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f (x) ^n &= n\ cdot f (x) ^ {n-1}\ cdot f' (x). \ end {alinear*}

    Este último resultado es bastante útil, así que vamos a escribirlo como lema para futura referencia.

    Lema 2.6.7.

    Dejar\(n\) ser un número natural y\(f\) ser una función diferenciable. Entonces

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} f (x) ^n &= n\ cdot f (x) ^ {n-1}\ cdot f' (x). \ end {alinear*}

    Esto inmediatamente nos da otro resultado útil.

    Ejemplo 2.6.8 Derivada de\(x^n\).

    Ahora podemos calcular la derivada de\(x^n\) para cualquier número natural\(n\text{.}\) Comience con Lemma 2.6.7 y sustituya\(f(x)=x\) y\(f'(x)=1\text{:}\)

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} x^n &= n\ cdot x^ {n-1}\ cdot 1 = n\, x^ {n-1}\ end {align*}

    Nuevamente — este es un resultado al que volveremos bastantes veces en el futuro, así que debemos asegurarnos de poder referirnos a él fácilmente. Sin embargo, en la actualidad esta afirmación sólo se mantiene cuando\(n\) es un entero positivo. Con un poco más de trabajo podemos extender esto para calcular\(x^q\) dónde\(q\) está cualquier número racional positivo y luego cualquier número racional en absoluto (positivo o negativo). Entonces, mantengamos un poco más de tiempo. En cambio podemos convertirlo en un lema, ya que será un ingrediente en bastantes de los ejemplos que siguen a continuación y en la construcción del corolario final.

    Lema 2.6.9 Derivado de\(x^n\).

    Dejar\(n\) ser un entero positivo entonces

    \[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^n = n x^{n-1} \nonumber \]

    Volver a más ejemplos.

    Ejemplo 2.6.10 Derivada de un polinomio.

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {2x^3+4x^5\ grande\} &=2\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {x^3\} +4\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {^5\}\\ &\ qquad\ qquad\ texto {por LIN con}\ alpha=2, f (x) =x^3,\ beta=4\ texto {y} g (x) =x^5\\ &=2\ {3x^2\} +4\ {5x^4\}\\\ end {align*}

    por Lemma 2.6.9, una vez con\(n=3\text{,}\) y una vez con\(n=5\)

    \ begin {align*} &=6x^2+20x^4\ end {alinear*}

    Ejemplo 2.6.11 Derivada de producto de polinomios.

    En este ejemplo vamos a calcular\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big\{(3x+9)(x^2+4x^3)\big\}\) de dos maneras distintas. Para el primero, comenzaremos con la regla del producto.

    \ begin {align*} &\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {(3x+9) (x^2+4x^3)\ grande\}\\ &\ hskip0.5in=\ Grande\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (3x+9)\ Grande\}\ (^2+4x^3) + (3x+9)\\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ {x^2+4x^3\}\\ &\ hskip0.5in=\ grande\ {3\ veces 1+9\ veces 0\ grande\}\ (x^2+4x^3) + (3x+9)\\ {2x+4 (3x^2)\}\\ &\ hskip0.5in=3 (x^2+4x^3) + (3x+9)\ (2x+12x^2)\\ &\ hskip0.5in=3x^2+12x^3+ (6x^2+18x+36x^3+108x^2)\\ &\ hskip0.5in=18x+117x^2+48x^3\ end {align*}

    Para el segundo, expandimos primero el producto y luego diferenciamos.

    \ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {(3x+9) (x^2+4x^3)\ grande\} &=\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {9x^2+39x^3+12x^4\ grande\}\ &=9 (2x) +39 (3x^2) +12 (4x^3)\\ &=18x+117x^2+48x^3\ end {align*}

    Ejemplo 2.6.12 Derivada de una función racional.

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ bigg\ {\ frac {4x^3-7x} {4x^2+1}\ bigg\} &=\ frac {(12x^2-7) (4x^2+1) - (4x^3-7x) (8x)} {(4x^2+1) ^2}\\ &\ qquad\ qquad\ texto {por QR con} f (x) =4x^3-7x, f' (x) =12x^2-7,\\ &\ qquad\ qquad\ texto {y} g (x) =4x^2+1, g' (x) =8x\\ &=\ frac {(48x^4-16x^2-7) - (32x^4-56x^2)} {(4x^2+1) ^2}\\ &=\ frac {16x^4+40 x^2-7} {(4x^2+1) ^2}\ end {align*}

    Ejemplo 2.6.13 Derivada de una raíz cúbica.

    En este ejemplo, usaremos un poco de engaño para encontrar la derivada de\(\root{3}\of{x}\text{.}\) El engaño consiste en observar que, por la definición de la raíz cubo,

    \ begin {reunir*} x=\ left (\ root {3}\ of {x}\ right) ^3. \ end {reunir*}

    Dado que ambos lados de la expresión son iguales, deben tener las mismas derivadas:

    \ begin {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ izquierda\ {x\ derecha\} =\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ izquierda (\ raíz {3}\ de {x}\ derecha) ^3. \ end {reunir*}

    Ya sabemos por Teorema 2.2.4 que

    \ begin {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {x\ grande\} =1\ end {reunión*}

    y que, por Lema 2.6.7 con\(n=3\) y\(f(x)=\root{3}\of{x}\text{,}\)

    \ begin {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande (\ raíz {3}\ de {x}\ grande) ^3 = 3\\ grande (\ raíz {3}\ de {x}\ grande) ^2\ cdot\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {raíz {3}\ de {x}\ grande\} = 3\, x^ {2/3}\ cdot\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {\ raíz {3}\ de {x}\ grande\}. \ end {reunir*}

    Ya que sabemos que\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left\{x\right\} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left(\root{3}\of{x}\right)^3\text{,}\) debemos tener

    \ begin {align*} 1=3x^ {2/3}\ cdot\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {\ raíz {3}\ de {x}\ grande\}\\ final {alinear*}

    que podemos reorganizar para dar el resultado que necesitamos

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {\ raíz {3}\ de {x}\ grande\} &=\ tfrac {1} {3} x^ {-2/3}\ end {align*}
    Ejemplo 2.6.14 Derivada de un poder racional positivo de\(x\).

    En este ejemplo, usaremos el mismo engaño que en el Ejemplo 2.6.13 para encontrar la derivada\(x^{p/q}\) para dos números naturales cualesquiera\(p\) y\(q\text{.}\) Por definición de la\(q^{\rm th}\) raíz,

    \ comenzar {reunir*} x^p=\ grande (x^ {p/q}\ grande) ^q.\ fin {reunir*}

    Es decir,\(x^p\) y\(\big(x^{p/q}\big)^q\) son la misma función, y así tienen la misma derivada. Entonces los diferenciamos a ambos. Ya lo sabemos, por Lemma 2.6.9 con\(n=p\text{,}\)

    \ comenzar {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {x^p\ grande\} =p x^ {p-1}\ fin {reunir*}

    y que, por Lema 2.6.7 con\(n=q\) y\(f(x)=x^{p/q}\text{,}\)

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {\ grande (x^ {p/q}\ grande) ^q\ grande\} & = q\\ grande (x^ {p/q}\ grande) ^ {q-1}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ x^ {p/q}\ grande\}\ final {alinear*}

    Recuerda que\((x^a)^b = x^{(a \cdot b)}\text{.}\) Ahora estos dos derivados deben ser iguales. Entonces

    \ begin {align*} p x^ {p-1} &=q\ cdot x^ {(pq-p) /q}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ big\ {x^ {p/q}\ big\}\ big\}\\ end {align*}

    y, reordenando las cosas,

    \ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {x^ {p/q}\ grande\} & =\ frac {p} {q} x^ {p-1- (pq-p) /q}\\ & =\ frac {p} {q} x^ {(pq-pq+p) /q}\ & =\ frac {p} {q} x^ {\ frac {p} {q} -1}\ final {alinear*}

    Así que finalmente

    \[ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left\{ x^{p/q} \right\} = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} -1 } \nonumber \]

    Observe que este tiene la misma forma que Lema 2.6.9, anterior, excepto con\(n=\frac{p}{q}\) permitido ser cualquier número racional positivo, no sólo un entero positivo.

    Ejemplo 2.6.15 Derivada de\(x^{-n}\).

    En este ejemplo usaremos la regla del cociente para encontrar la derivada de\(x^{-m}\text{,}\) para cualquier número natural\(m\text{.}\)

    Por el caso especial de la regla del cociente (Corolario 2.4.6) con\(g(x)=x^m\) y\(g'(x)=mx^{m-1}\)

    \ begin {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {x^ {-m}\ grande\} =\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ bigg\ {\ frac {1} {x^m}\ bigg\} =-\,\ frac {mx^ {m^ -1}} {{(x^m)} ^2} =-m x^ {-m-1}\ final {reunir*}

    Nuevamente, observe que ésta tiene la misma forma que Lemma 2.6.9, anterior, excepto con\(n=-m\) ser un entero negativo.

    Ejemplo 2.6.16 Derivada de un poder racional negativo de\(x\).

    En este ejemplo usaremos la regla del cociente para encontrar la derivada de\(x^{-p/q}\text{,}\) para cualquier par de números naturales\(p\) y\(q\text{.}\) En el caso especial la regla del cociente (Corolario 2.4.6) con\(g(x)=x^{\frac{p}{q}}\) y\(g'(x)=\frac{p}{q}x^{\frac{p}{q}-1}\text{,}\)

    \ begin {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ grande\ {x^ {-\ frac {p} {q}}\ grande\} =\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ bigg\ {\ frac {1} {x^ {\ frac {p} {q}}\ bigg\} =-\,\ frac {\ frac {p} {q} x^ {\ frac {p} {q} -1}}

    ParseError: ")" expected (click for details)
    Callstack:
        at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/03:_Derivados/3.06:_Uso_de_la_Aritmética_de_Derivadas_—_Ejemplos), /content/body/article[14]/div/p[2]/span, line 1, column 3
    

    Obsérvese que hemos encontrado, en los Ejemplos 2.2.2, 2.6.14 y 2.6.16, la derivada de\(x^a\) para cualquier número racional\(a\text{,}\) ya sea 0, positivo, negativo, entero o fraccional. En todos los casos, la respuesta es

    Corolario 2.6.17 Derivado de\(x^a\).

    \(a\)Sea un número racional, entonces

    \[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^a = a x^{a-1} \nonumber \]

    Demostraremos, en el Ejemplo 2.10.5, que la fórmula de hecho\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x^a = a x^{a-1}\) se aplica a todos los números reales\(a\text{,}\) no sólo a los números racionales.

    De vuelta en el Ejemplo 2.2.9 calculamos la derivada de\(\sqrt{x}\) a partir de la definición de la derivada. El corolario anterior (correctamente) da

    \ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} x^ {\ frac {1} {2}} &=\ frac {1} {2} x^ {-\ frac {1} {2}}\ end {align*}

    pero con mucho menos trabajo.

    Aquí hay un ejemplo desordenado (opcional).

    Ejemplo 2.6.18 Ejemplo desordenado opcional.

    Encuentra la derivada de

    \[ f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)(2-x)(1-x^2)}{\sqrt{x}(3+2x)} \nonumber \]

    • Como vimos antes, la mejor estrategia para lidiar con expresiones desagradables es dividirlas en pedazos fáciles. Podemos pensar en\(f(x)\) el producto quinquenal

      \[ f(x)=f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3(x)\cdot \frac{1}{f_4(x)}\cdot \frac{1}{f_5(x)} \nonumber \]

      con

      \ begin {align*} f_1 (x) &=\ sqrt {x} -1& f_2 (x) &=2-x& f_3 (x) &=1-x^2\\ f_4 (x) &=\ sqrt {x} & f_5 (x) &=3+2x\ end {align*}

    • A estas alturas, los derivados de los\(f_j\)'s deberían ser fáciles de encontrar:

      \ begin {align*} f'_1 (x) &=\ frac {1} {2\ sqrt {x}} & f'_2 (x) &=-1& f'_3 (x) &=-2x\ f'_4 (x) &=\ frac {1} {2\ sqrt {x}} & f'_5 (x) &=2\ end {align*}

    • Ahora, para obtener la derivada\(f(x)\) utilizamos la regla\(n\) —fold product que se desarrolló en el Ejemplo 2.6.6, junto con el caso especial de la regla del cociente (Corolario 2.4.6).

      \ begin {align*} f' (x) &=f'_1f_2f_3\ frac {1} {f_4}\ frac {1} {f_5} +f_1f'_2f_3\ frac {1} {f_4}\ frac {1} {f_5} +f_1f_2f'_3\ frac {1}} {f_4}\ frac {1} {f_5} -f_1f_2f_3\ frac {f'_4} {f^2_4}\ frac {1} {f_5}\\ &\ hskip2.5in-f_1f_2f_3\ frac {1} {f_4}\ frac {f'_5} {f^5} {f'_5} {f_5} 2_5}\\ &=\ Grande [\ frac {f'_1} {f_1} +\ frac {f'_2} {f_2} +\ frac {f'_3} {f_3} -\ frac {f' _4} {f_4} -\ frac {f'_5} {f_5}\ Grande] f_1f_2f_3\ frac {1} {f_4}\ frac {1} {f_5}\\ &=\ bigg [\ frac {1} {2\ sqrt {x} (\ sqrt {x} -1)} -\ frac {1} {2-x} -\ frac {2x} {1-x^2} -\ frac {1} {2x} -\ frac {2} {3+2x}\ bigg]\ &\ hskip2.5in\ frac {(\ sqrt {x} -1) (2-x) (1-x^2)} {\ sqrt {x} (3+2x)}\ end {align*}

      El truco que usamos para ir de la primera línea a la segunda línea, a saber multiplicar número de término\(j\) por,\(\frac{f_j(x)}{f_j(x)}\) suele ser útil para simplificar la derivada de un producto de muchos factores 1.

    Ejercicios

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Detecte y corrija el (los) error (es) en el siguiente cálculo.

    \ begin {align*} f (x) &=\ frac {2x} {x+1}\\ f' (x) &=\ frac {2 (x+1) +2x} {(x+1) ^2}\\ &=\ frac {2 (x+1)} {(x+1) ^2}\\ &=\ frac {2} {x+1}\ end {align*}

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Verdadero o falso:\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\{2^x\}=x2^{x-1}\text{.}\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Diferenciar\(f(x)=\frac{2}{3}x^6+5x^4+12x^2+9\) y factificar el resultado.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Diferenciar\(s(t)=3t^4+5t^3-\frac{1}{t}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Diferenciar\(x(y) = \left(2y+\frac{1}{y}\right)\cdot y^3\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Diferenciar\(T(x) = \dfrac{\sqrt{x}+1}{x^2+3}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)(✳)

    Compute la derivada de\(\left(\dfrac{7x+2}{x^2+3}\right)\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    ¿Qué es\(f'(0)\text{,}\) cuando\(f(x)=(3x^3+4x^2+x+1)(2x+5)\text{?}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Diferenciar\(f(x)=\dfrac{3x^3+1}{x^2+5x}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)(✳)

    Compute la derivada de\(\left(\dfrac{3x^2+5}{2-x}\right)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)(✳)

    Compute la derivada de\(\left(\dfrac{2-x^2}{3x^2+5}\right)\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)(✳)

    Compute la derivada de\(\left(\dfrac{2x^3+1}{x+2}\right)\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)(✳)

    ¿Para qué valores de\(x\)\(\dfrac{\sqrt{x}}{1-x^2}\) existe el derivado de? Explica tu respuesta.

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Diferenciar\(f(x)=\left(3\sqrt[5]{x}+15\sqrt[3]{x}+8\right)\left(3x^2+8x-5\right)\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Diferenciar\(f(x)=\dfrac{(x^2+5x+1)(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})}{x}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Encuentra todos los\(x\) -valores donde\(f(x)=\dfrac{1}{\frac{1}{5}x^5+x^4-\frac{5}{3}x^3}\) tiene una línea tangente horizontal.

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)(✳)

    Encuentra una ecuación de una línea que sea tangente a ambas curvas\(y = x^2\) y\(y = x^2 - 2x + 2\) (en diferentes puntos).

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    [1998H] Encuentra todas las líneas que sean tangentes a ambas curvas\(y=x^2\) e\(y=-x^2+2x-5\text{.}\) Ilustra tu respuesta con un boceto.

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to 2015}\left( \dfrac{\cos(x)-\cos(2015)}{x-2015}\right).\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to \pi/3}\left( \dfrac{\cos(x)-1/2}{x-\pi/3}\right).\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to \pi}\left(\dfrac{\sin(x)}{x-\pi}\right).\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to 2}\left( \dfrac{x^{2015}-2^{2015}}{x-2}\right).\)


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