2.7: Derivadas de Funciones Exponenciales

Ahora que entendemos cómo los derivados interactúan con los productos y cocientes, somos capaces de calcular derivados de

• polinomios,
• funciones racionales, y
• poderes y raíces de las funciones racionales.

Observe que todo lo anterior proviene de conocer ¹ la derivada\(x^n\) y aplicar linealidad de derivados y la regla del producto.

Todavía hay una “regla” más que necesitamos para completar nuestra caja de herramientas y esa es la regla de la cadena. Sin embargo antes de llegar, agregaremos algunas funciones a nuestra lista de cosas que podemos diferenciar ². El primero de ellos es la función exponencial.

Dejar\(a \gt 0\) y establecer\(f(x) = a^x\) — esto es lo que se conoce como una función exponencial. Veamos qué sucede cuando intentamos calcular la derivada de esta función solo usando la definición de la derivada.

\ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (x+h) - f (x)} {h} =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {a^ {x+h} - a^x} {h}\\ &=\ lim_ h\ a 0} a^x\ cdot\ frac {a^ {h} - 1} {h} = a^x\ cdot\ lim_ {h\ a 0}\ frac {a^ {h} - 1} {h}\ end {alinear*}

Desafortunadamente no podemos completar este cálculo porque no podemos evaluar el último límite directamente. Por el momento, supongamos que este límite existe y nombra

\ begin {align*} C (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {a^ {h} - 1} {h}\ end {align*}

Depende solo de\(a\) y es completamente independiente de\(x\text{.}\) Usando esta notación (que mejoraremos rápidamente a continuación), nuestra derivada deseada es ahora

\ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} a^x &= C (a)\ cdot a^x.\ end {align*}

Así, la derivada de\(a^x\) se\(a^x\) multiplica por alguna constante, es decir, la función\(a^x\) es casi inalterada al diferenciar. Si podemos afinar\(a\) para que\(C(a) = 1\) entonces la derivada solo sería la función original! Esto resulta muy útil.

Para tratar de encontrar un\(a\) que obedezca\(C(a)=1\text{,}\) investiguemos cómo\(C(a)\) cambia con\(a\text{.}\) Desafortunadamente (aunque este hecho no es del todo obvio) no hay manera de escribir\(C(a)\) como una combinación finita de ninguna de las funciones que hemos examinado hasta ahora ³. Para comenzar, intentaremos adivinar\(C(a)\text{,}\) algunos valores de\(a\text{,}\) enchufando algunos valores pequeños de\(h\text{.}\)

Ejemplo 2.7.1 Estimaciones de\(C(a)\).

Vamos\(a =1\) entonces\(C(1) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1^h-1}{h} = 0\text{.}\) Esto no es sorprendente ya que\(1^x=1\) es constante, y así su derivada debe ser cero en todas partes. Let\(a =2\) then\(C(2) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2^h-1}{h}\text{.}\) Setting\(h\) to smaller and smaller numbers gives

\(h\)	0.1	0.01	0.001	0.0001	0.00001	0.000001	0.0000001
\(\tfrac{2^h-1}{h}\)	0.7177	0.6956	0.6934	0.6932	0.6931	0.6931	0.6931

Del mismo modo cuando\(a=3\) obtenemos

\(h\)	0.1	0.01	0.001	0.0001	0.00001	0.000001	0.0000001
\(\tfrac{3^h-1}{h}\)	1.1612	1.1047	1.0992	1.0987	1.0986	1.0986	1.0986

y\(a=10\)

\(h\)	0.1	0.01	0.001	0.0001	0.00001	0.000001	0.0000001
\(\tfrac{10^h-1}{h}\)	2.5893	2.3293	2.3052	2.3028	2.3026	2.3026	2.3026

De este ejemplo parece que\(C(a)\) aumenta a medida que aumentamos\(a\text{,}\) y que\(C(a) = 1\) por algún valor de\(a\) entre\(2\) y\(3\text{.}\)

Podemos aprender mucho más sobre\(C(a)\text{,}\) y, en particular, confirmar las conjeturas que hicimos en el último ejemplo, haciendo uso de logaritmos —este sería un buen momento para que los revises.

Torbellino Revisión de logaritmos

Antes de leer mucho más en esta pequeña reseña sobre logaritmos, primero debes retroceder y echar un vistazo a la revisión de funciones inversas en la Sección 0.6.

Funciones logarítmicas

Estamos a punto de definir el “logaritmo con base\(q\)”. En principio,\(q\) se permite que sea cualquier número real estrictamente positivo, excepto\(q=1\text{.}\) Sin embargo vamos a restringir nuestra atención\(q \gt 1\text{,}\) porque, en la práctica, los únicos\(q\) que alguna vez se utilizan son\(e\) (un número que vamos a definir en las próximas páginas),\(10\) y, si usted es un informático,\(2\text{.}\) Entonces, arregla alguna\(q \gt 1\) (si quieres, finge eso\(q=10\)). La función\(f(x)=q^x\)

• aumenta a medida que\(x\) aumenta (por ejemplo\(x' \gt x\text{,}\), si entonces\(10^{x'} = 10^x \cdot 10^{x'-x} \gt 10^x\) desde\(10^{x'-x} \gt 1\))
• obedece\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty} q^x=0\) (por ejemplo\(10^{-1000}\) es muy pequeño) y
• obedece\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} q^x=+\infty\) (por ejemplo\(10^{+1000}\) es realmente grande).

En consecuencia, para cualquiera\(0 \lt Y \lt \infty\text{,}\) la línea recta horizontal\(y=Y\) cruza la gráfica de exactamente\(y=f(x)=q^x\) en un punto, como se ilustra en la siguiente figura.

La\(x\) coordenada —de ese punto de intersección, denotada\(X\) en la figura,\(\log_q(Y)\) es\(\log_q(Y)\text{.}\) Así es la potencia a la que tienes que subir\(q\) para obtener\(Y\text{.}\) Es la función inversa de Por\(f(x)=q^x\text{.}\) supuesto que somos libres de renombrar las variables ficticias\(X\) y\(Y\text{.}\) Si, por ejemplo, queremos graficar nuestra función logaritmo, es natural renombrar\(Y\rightarrow x\) y\(X\rightarrow y\text{,}\) dar

Definición 2.7.2.

Let\(q \gt 1\text{.}\) Entonces se define el logaritmo con base\(q\) ⁴

\[ r^{\log_r(x)} = \left(\frac{1}{q}\right)^{\log_r(x)} = \left(\frac{1}{q}\right)^{-\log_q(x)} = q^{\log_q(x)} = x \nonumber \]

según se requiere. por

\ begin {align*} y=\ log_q (x) &\ Leftrightarrow x=q^y\ end {alinear*}

Obviamente el poder al que tenemos que elevar\(q\) para llegar\(q^x\) es\(x\text{,}\) así que tenemos ambos

\ begin {align*}\ log_q (q^x) &=x & q^ {\ log_q (x)} &=x\ end {align*}

A partir de las propiedades exponenciales

\ begin {align*} q^ {log_q (xy)} &= xy &&= q^ {log_q (x)} q^ {log_q (y)} = q^ {log_q (x) +log_q (y)}\\ q^ {log_q (x/y)} &= x/y&= q^ {log_q (x)}/q^ {log_q (y)} = q^ {log_q (x) -log_q (y)}\\ q^ {log_q (x^r)} &= x^r &&=\ big (q^ {log_q (x)}\ big) ^r = q^ {r log_q (x)}\ end {align*}

tenemos

\ begin {align*}\ log_q (xy) &=\ log_q (x) +\ log_q (y)\\\ log_q (x/y) &=\ log_q (x) -\ log_q (y)\\\ log_q (x^r) &= r\ log_q (x)\ end {align*}

¿Podemos convertir de logaritmos en una base a logaritmos en otra? Por ejemplo, si nuestra calculadora calcula logaritmos base 10 para nosotros (lo cual es muy probable que haga), también podemos usarlo para calcular una base logaritmo\(q\text{?}\) Sí, usando

\ begin {align*}\ log_q (x) &=\ frac {\ log_ {10} x} {\ log_ {10} q}\ end {align*}

¿Cómo conseguimos esto? Bueno, comencemos con un número\(x\) y supongamos que queremos computar

\ start {alinear*} y &=\ log_q x\\\ final {alinear*}

Podemos reorganizar esto exponenciando ambos lados

\ begin {align*} q^y &= q^ {\ log_q x} = x\\\ final {alinear*}

Ahora toma la base de registro 10 de ambos lados

\ begin {align*}\ log_ {10} q^y &=\ log_ {10} x\\\ end {alinear*}

Pero recuerda que\(\log_q( x^r ) = r \log_q(x)\text{,}\) así

\ begin {align*} y\ log_ {10} q &=\ log_ {10} x\\ y &=\ frac {\ log_ {10} x} {\ log_ {10} q}\ end {align*}

Volver a ese límite

Recordemos que estamos tratando de elegir\(a\) para que

\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ to0}\ frac {a^h-1} {h} &= C (a) = 1. \ end {alinear*}

Podemos estimar el valor correcto de\(a\) usando nuestra estimación numérica\(C(10)\) anterior. La forma de hacerlo es reescribir primero\(C(a)\) en términos de logaritmos.

\ begin {align*} a&= 10^ {\ log_ {10} a} &\ text {y así} && a^h &= 10^ {h\ log_ {10} a}. \ end {alinear*}

Usando esto reescribimos\(C(a)\) como

\ begin {align*} C (a) &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {1} {h}\ left (10^ {h\ log_ {10} a} -1\ derecha)\\ final {alinear*}

Ahora establece\(H = h\log_{10}(a)\text{,}\) y fíjate que como también\(h\to 0\) tenemos\(H \to 0\)

\ begin {alinear*} &=\ lim_ {H\ a 0}\ frac {\ log_ {10} a} {H}\ izquierda (10^H-1\ derecha)\\ &=\ log_ {10} a\ cdot\ lim_ {H\ a 0}\ frac {10^H-1} {H}\\ &=\ log_ {10} a\ cdot C (10). \ end {alinear*}

A continuación se muestra un boceto de\(C(a)\) contra\(a\text{.}\)

Figura 2.7.3.

Recuerda que estamos tratando de encontrar un\(a\) con\(C(a)=1\text{.}\) Podemos hacerlo reconociendo que\(C(a)=C(10)\,(\log_{10}a)\) tiene las siguientes propiedades.

• Cuando\(a=1\text{,}\)\(\log_{10}(a) = \log_{10} 1 =0\) así eso Por\(C(a) = C(10) \log_{10}(a) = 0\text{.}\) supuesto, deberíamos haber esperado esto, porque cuando\(a=1\) tenemos\(a^x = 1^x = 1\) que es solo la función constante y\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} 1 = 0\text{.}\)
• \(\log_{10}a\)aumenta a medida que\(a\) aumenta, y por ende\(C(a)=C(10)\ \log_{10}a\) aumenta a medida que\(a\) aumenta.
• \(\log_{10}a\)tiende a\(+\infty\) como\(a\rightarrow\infty\text{,}\) y por lo tanto\(C(a)\) tiende a\(+\infty\) como\(a\rightarrow\infty\text{.}\)

De ahí que la gráfica de\(C(a)\) pases a través siempre\((1,0)\text{,}\) va aumentando a medida que\(a\) aumenta y se apaga a\(+\infty\) medida que\(a\) se apaga a\(+\infty\text{.}\) Ver Figura 2.7.3. En consecuencia ⁵ hay exactamente un valor\(a\) para el cual\(C(a) = 1\text{.}\)

El valor de\(a\) para el que\(C(a)=1\) se le da el nombre\(e\text{.}\) Se llama constante de Euler ⁶. En el Ejemplo 2.7.1, estimamos\(C(10)\approx 2.3026\text{.}\) Así que si asumimos\(C(a)=1\) entonces la ecuación anterior se convierte en

\ begin {align*} 2.3026\ cdot\ log_ {10} a &\ approx 1\\\ log_ {10} a &\ approx\ frac {1} {2.3026}\ approx 0.4343\\ a &\ approx 10^ {0.4343}\ approx 2.7813\ end {align*}

Esto nos da la estimación\(a \approx 2.7813\) que no es tan mala. De hecho ⁷

Ecuación 2.7.4 Constante de Euler.

\ begin {alinear*} e &= 2.7182818284590452354\ puntos\\ &= 1 +\ frac {1} {1!} +\ frac {1} {2!} +\ frac {1} {3!} +\ frac {1} {4!} +\ cdots\ end {align*}

Podremos explicar esta última fórmula una vez que desarrollemos polinomios de Taylor más adelante en el curso.

Para resumir

Teorema 2.7.5.

La constante\(e\) es el número real único que satisface

\ begin {align*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {e^h-1} {h} &= 1\ end {align*}

Además,

\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} {e^x} {x} &= e^x\ end {align*}

Trazamos\(e^x\) en la gráfica de abajo

Y solo un recordatorio de algunas de sus ⁸ propiedades...

1. \(e^0=1\)
2. \(e^{x+y}=e^xe^y\)
3. \(e^{-x}=\tfrac{1}{e^x}\)
4. \(\big(e^x\big)^y=e^{xy}\)
5. \(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty\text{,}\)\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}e^x=0\)

Ahora consideremos de nuevo el problema de diferenciar\(a^x\text{.}\) Vimos arriba que

\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} a^x &= C (a)\ cdot a^x\ qquad\ text {y}\ qquad C (a) = C (10)\ cdot\ log_ {10} a\\ &\ text {que da}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {\ mathrm {d}} {\ mathrm {\ mathrm {d}} {\ mathrm rm {d} x} a^x = C (10)\ cdot\ log_ {10} a\ cdot a^x\ final {alinear*}

Podemos eliminar el\(C(10)\) término con un poco de cuidado. Ya que sabemos que\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} e^x = e^x\text{,}\) tenemos\(C(e)=1\text{.}\) Esto nos permite expresar

\ begin {align*} 1 = C (e) &= C (10)\ cdot\ log_ {10} e &\ text {y así}\\ C (10) &=\ frac {1} {\ log_ {10} e}\ end {align*}

Volver a armar las cosas da

\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} a^x &=\ frac {\ log_ {10} a} {\ log_ {10} e}\ cdot a^x\ &=\ log_e a\ cdot a^x.\ end {align*}

Hay más de una manera de llegar a este resultado. Por ejemplo, vamos\(f(x) = a^x\text{,}\) entonces

\ begin {align*}\ log_e f (x) &= x\ log_e a\\ f (x) &= e^ {x\ log_e a}\ end {align*}

Así que si escribimos\(g(x) = e^x\) entonces realmente estamos intentando diferenciar la función

\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x} &=\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} g (x\ cdot\ log_e a). \ end {alinear*}

Para poder calcular esta derivada necesitamos saber diferenciar

\ comenzar {reunir*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} g (q x)\ fin {reunir*}

donde\(q\) es una constante. Vamos a dejar de aprender esto por el momento hasta que hayamos introducido la regla de la cadena (ver Sección 2.9 y en particular Corolario 2.9.9). De igual manera nos gustaría saber cómo diferenciar logaritmos —de nuevo esto tiene que esperar hasta que hayamos aprendido la regla de la cadena.

Observe que los derivados

\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} x^n &= n x^ {n-1} &\ text {y} &&\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} e^x &= e^x\ end {align*}

son casi inalterados o realmente inalterados por diferenciación. Resulta que algunas de las funciones trigonométricas también tienen esta propiedad de estar “casi inalteradas” por diferenciación. Eso nos lleva a la siguiente sección.

Ejercicios

Etapa 1

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Haga coincidir las curvas de la gráfica con las siguientes funciones:

\ begin {alinear*} & (a)\;\; y=\ izquierda (\ frac {1} {2}\ derecha) ^x && (b)\;\; y=1^x && (c)\;\; y=2^x\ & (d)\;\; y=2^ {-x} && (e)\;\; y=3^x\ end {align*}

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

El siguiente gráfico muestra una función exponencial\(f(x)=a^x\) y su derivada\(f'(x)\text{.}\) Elija todas las opciones que describen la constante\(a\text{.}\)

\ begin {align*} & (a)\;\; a\ lt 0&& (b)\;\; a\ gt 0&& (c)\;\; a\ lt 1\\ & (d)\;\; a\ gt 1&& (e)\;\; a\ lt e&& (f)\;\; a\ gt e\ end {align*}

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Verdadero o falso:\(\displaystyle\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\{e^x\}=xe^{x-1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Una población de bacterias es descrita por\(P(t)=100e^{0.2t}\text{,}\) para\(0 \leq t \leq 10\text{.}\) Durante este periodo de tiempo, ¿la población está aumentando o disminuyendo?

Aprenderemos más sobre los usos de las funciones exponenciales para describir fenómenos del mundo real en la Sección 3.3.

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la derivada de\(f(x)=\dfrac{e^{x}}{2x}\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Diferenciar\(f(x)=e^{2x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Diferenciar\(f(x)=e^{a+x}\text{,}\) donde\(a\) es una constante.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

¿Para qué valores de\(x\) está\(f(x)=xe^x\) aumentando la función?

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Diferenciar\(e^{-x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Diferenciar\(f(x)=(e^x+1)(e^x-1)\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

La posición de una partícula viene dada por

\[ s(t)=t^2e^t. \nonumber \]

¿Cuándo se mueve la partícula en dirección negativa?

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dejar\(g(x)=f(x)e^x\text{,}\) para una función diferenciable\(f(x)\text{.}\) Dar una fórmula simplificada para\(g'(x)\text{.}\)

Las funciones de la forma\(g(x)\) son relativamente comunes. Si recuerdas esta fórmula, puedes ahorrarte algún tiempo cuando necesites diferenciarlas. Exploraremos esto más en la Pregunta 2.14.2.19, Sección 2.14.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

¿Cuál de las siguientes funciones describe una línea recta?

\ begin {align*} & (a)\;\; y=e^ {3\ log x} +1&& (b)\;\;\; 2y+5 = e^ {3+\ log x} && (c)\;\; y=e^ {2x} +4\\ & (d)\;\; y=e^ {\ log x} 3^e+\ log 2\ end {alinear*}

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)(✳)

Encuentra constantes\(a\text{,}\)\(b\) para que la siguiente función sea diferenciable:

\[ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} ax^2 + b & x \le 1\\ e^x & x \gt 1\end{array}\right. \nonumber \]