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2.5: Pruebas de la Aritmética de Derivados

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    118089
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Los teoremas de la sección anterior no son demasiado difíciles de probar a partir de la definición de la derivada (que conocemos) y la aritmética de límites (que también conocemos). En esta sección mostramos cómo construir estas reglas.

    A lo largo de esta sección utilizaremos nuestras dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\text{.}\) Dado que los teoremas vamos a probar todas las derivadas expresas de combinaciones lineales, productos y cocientes en términos de\(f,g\) y sus derivados, es útil recordar las definiciones de las derivadas de\(f\) y\(g\text{:}\)

    \ begin {align*} f' (x) &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} &\ text {y} && g' (x) &=\ lim_ {h\ to0}\ frac {g (x+h) -g (x)} {h}. \ end {alinear*}

    Nuestras pruebas, en términos generales, implican hacer manipulaciones algebraicas para descubrir las expresiones que se parecen a las anteriores.

    Prueba de la Linealidad de la Diferenciación (Teorema 2.4.2)

    Recordemos que en el Teorema 2.4.2 definimos\(S(x)=\alpha\,f(x)+\beta\,g(x)\text{,}\) dónde\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) están las constantes. Deseamos computar\(S'(x)\text{,}\) así que empezamos con la definición:

    \ begin {alinear*} S' (x) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {S (x+h) -S (x)} {h}\ end {align*}

    Concentrémonos en el numerador de la expresión dentro del límite y luego volvamos al límite completo en un momento. Sustituto en la definición de\(S(x)\text{:}\)

    \ begin {alinear*} S (x+h) -S (x) &=\ grande [\ alfa f (x+h) +\ beta g (x+h)\ grande] -\ grande [\ alfa f (x) +\ beta g (x)\ grande] &\ texto {recoger términos}\\ &=\ alfa\ grande [f (x+h) -f (x)] +\ beta grande\ [g (x+h) -g (x)\ grande]\ final {alinear*}

    Ahora es fácil ver las estructuras que necesitamos —es decir, casi tenemos las expresiones para los derivados\(f'(x)\) y de\(g'(x)\text{.}\) hecho, todo lo que tenemos que hacer es dividir por\(h\) y tomar el límite. Así que terminemos las cosas.

    \ begin {align*} S' (x) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {S (x+h) -S (x)} {h} &\ text {desde arriba}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ alfa\ grande [f (x+h) -f (x)] +\ beta\ grande [g (x+h) -g (x)\ grande]} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ izquierda [\ alfa\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}} {h} +\ beta\ frac {g (x+h) -g (x)} {h}\ derecha] &\ texto {leyes límite}\\ &=\ alfa\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} +\ beta\ lim_ {h\ to0}\ frac {g (x+h) -g (x)} {h}\\ &=\ alfa f' (x) +\ beta g' (x)\ final {alinear*}

    según sea necesario.

    Prueba de la Regla del Producto (Teorema 2.4.3)

    Después del calentamiento anterior, simplemente saltaremos directamente. Deje que\(P(x)=f(x)\, g(x)\text{,}\) el producto de nuestras dos funciones. El derivado del producto viene dado por

    \ begin {align*} P' (x) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {P (x+h) -P (x)} {h}\ end {align*}

    Nuevamente nos centraremos en el numerador dentro del límite y lo masajearemos en la forma que necesitamos. Para simplificar estas manipulaciones, defina

    \ begin {align*} F (h) &=\ frac {f (x+h) -f (x)} {h} &\ text {y} && G (h) &=\ frac {g (x+h) -g (x)} {h}.\\ end {align*}

    Entonces podemos escribir

    \ begin {alinear*} f (x+h) &= f (x) +HF (h) &\ text {y} && g (x+h) &=g (x) +Hg (h).\\ final {alinear*}

    También podemos escribir

    \ begin {align*} f' (x) &=\ lim_ {h\ to0} F (h) &\ text {y} && g' (x) &=\ lim_ {h\ to0} G (h). \ end {alinear*}

    Así que volvamos a ese numerador:

    \ begin {alinear*} & P (x+h) -P (x) =f (x+h)\ cdot g (x+h) -f (x)\ cdot g (x) &\ texto {sustituto}\\ &= [f (x) + hF (h)]\ [g (x) +Hg (h)] -f (x)\ cdot g (x) &\ texto {expandir}\\ &=f (x) g (x) + f (x)\ cdot hG (h) + hF (h)\ cpunto g (x) + h^2 F (h)\ cpunto G (h) -f (x)\ cpunto g (x)\ hsaltar-0.5in\\ &= f (x)\ cdot hG (h) + hF (h)\ punto g (x) + H^2f (h)\ cdot G (h). \ end {alinear*}

    Armados con esto volvemos a la definición del derivado:

    \ begin {align*} P' (x) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {P (x+h) -P (x)} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (x)\ cdot hG (h) + hF (h)\ cdot g (x) + h^2 F (h)\ cdot G (h)} {h}\\ &=\ izquierda (\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (x)\ cdot h G (h)} {h}\ derecha) +\ izquierda (\ lim_ {h\ a 0}\ frac {h F (h)\ cdot g (x)} {h}\ derecha) +\ izquierda (\ lim_ {h\ a 0}\ frac {h^2 F (h)\ cdot G (h)} {h}\ derecha)\\ &=\ izquierda (\ lim_ {h\ a 0} f (x)\ cdot G (h)\ derecha) +\ izquierda (\ lim_ {h\ a 0} F (h)\ cdot g (x)\ derecha) +\ izquierda (\ lim_ {h\ a 0} h F (h)\ cdot G (h))\ derecha)\\\ final {alinear*}

    Ahora como\(f(x)\) y\(g(x)\) no cambiemos como enviamos\(h\) a cero, podemos sacarlos afuera. También podemos escribir el tercer término como producto de 3 límites:

    \ begin {align*} &=\ izquierda (f (x)\ lim_ {h\ a 0} G (h)\ derecha) +\ izquierda (g (x)\ lim_ {h\ a 0} F (h)\ derecha) +\ izquierda (\ lim_ {h\ a 0} h\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ lim_ {h\ to0} F (h)\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ lim_ {h\ to0} G (h)\ derecha)\\ &= f (x)\ cdot g' (x) + g (x)\ cdot f' (x) + 0\ cdot f' (x)\ cdot g' (x)\\ &= f (x)\ cdot g' (x) + g (x)\ cdot f' (x). \ end {alinear*}

    Y así recuperamos la regla del producto.

    (Opcional) — Prueba de la Regla del Cociente (Teorema 2.4.5)

    Ahora damos la prueba de la regla del cociente en dos pasos 1. Asumimos a lo largo de eso\(g(x) \neq 0\) y\(f(x)\) aquello y\(g(x)\) son diferenciables, es decir, que\(f'(x)\text{,}\)\(g'(x)\) existen los límites definitorios.

    • En el primer paso, probamos la regla del cociente bajo el supuesto de que\(f(x)/g(x)\) es diferenciable.
    • En el segundo paso, demostramos que\(1/g(x)\) diferenciable. Una vez que sabemos que\(1/g(x)\) es diferenciable, la regla del producto implica que\(f(x)/g(x)\) es diferenciable.

    Paso 1: la prueba de la regla del cociente asumiendo que\(\frac{f(x)}{g(x)}\) es diferenciable. \(\ \ \ \)Escribe\(Q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\text{.}\)\(f(x) = g(x)\,Q(x)\) Entonces para que\(f'(x) = g'(x)\,Q(x) + g(x)\,Q'(x)\text{,}\) por la regla del producto, y

    \ begin {alinear*} Q' (x) &=\ frac {f' (x) -g' (x)\, Q (x)} {g (x)} =\ frac {f' (x) -g' (x)\,\ frac {f (x)} {g (x)}} {g (x)}\\ &=\ frac {f' (x) g (x) -f (x) g' (x)} {g (x) ^2}\ final {alinear*}

    Paso 2: la prueba que\(1/g(x)\) es diferenciable. \(\ \ \ \)Por definición

    \ begin {alinear*}\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}\ frac {1} {g (x)} &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {1} {h}\ izquierda [\ frac {1} {g (x+h)} -\ frac {1} {g (x)}\ derecha] =\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {g (x) -g (x+h)} {h\, g (x)\, g (x+h)}\\ &=-\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {1} {g (x)}\\ frac {1} {g (x+h)}\ frac {g (x+h)}\ frac {g (x+h) -g (x)} {h}\\ &=-\ frac {1} {g (x)}\ \ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {1} {g (x+h)}\\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {g (x+h) -g (x)} {h}\\ &=-\ frac {1} {g (x) ^2} g' (x)\ final {alinear*}


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