B.1 Teoremas sobre Triángulos

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Teorema de Tales

Queremos llegar a triángulos rectos. Una construcción clásica para esto es dibujar un triángulo dentro de un círculo, de modo que las tres esquinas se encuentren en el círculo y el lado más largo forme el diámetro del círculo. Consulta la figura a continuación en la que hemos escalado el círculo para tener radio 1 y el triángulo tiene el lado más largo 2.

El teorema de Thales afirma que el ángulo a\(C\) es siempre un ángulo recto. La prueba es bastante sencilla y se basa en dos hechos:

los ángulos de un triángulo se suman a\(\pi\text{,}\) y
los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.

Entonces dividimos el triángulo\(ABC\) dibujando una línea desde el centro del círculo hasta\(C\text{.}\) Esto crea dos triángulos isósceles\(OAC\) y\(OBC\text{.}\) ya que son isósceles, los ángulos en sus bases\(\alpha\) y\(\beta\) deben ser iguales (como se muestra). Agregar los ángulos del triángulo original ahora da

\ begin {align*}\ pi &=\ alpha + (\ alpha+\ beta) +\ beta = 2 (\ alpha+\ beta)\ end {align*}

Así que el ángulo en\(C = \pi - (\alpha+\beta) = \pi/2\text{.}\)

Pitágoras

Dado que la trigonometría, en su núcleo, es el estudio de longitudes y ángulos en triángulos rectos, debemos incluir un resultado que todos conocen bien, pero probablemente no sepan probar.

Las longitudes de los lados de cualquier triángulo en ángulo recto están relacionadas por el famoso resultado debido a Pitágoras

\ begin {align*} c^2 &= a^2+b^2. \ end {align*}

Hay muchas maneras de demostrarlo, pero podemos hacerlo simplemente estudiando el siguiente diagrama:

Comenzamos con un triángulo en ángulo recto con lados etiquetados\(a,b\) y\(c\text{.}\) luego construimos un cuadrado de longitud lateral\(a+b\) y dibujamos dentro de él 4 copias del triángulo dispuestas como se muestra en el centro de la figura anterior. El área en blanco es entonces\(a^2+b^2\text{.}\) Ahora mueve los triángulos alrededor para crear el arreglo que se muestra a la derecha de la figura anterior. El área en blanco está delimitada por un cuadrado de longitud lateral\(c\) y así su área es\(c^2\text{.}\) El área del cuadrado exterior no cambió cuando se movieron los triángulos, ni tampoco el área de los triángulos, por lo que el área blanca tampoco puede haber cambiado. Esto demuestra\(a^2+b^2=c^2\text{.}\)