4.1: Derivados y Gráficas
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Como hemos visto, una de las conexiones más importantes entre una función y su derivada es que una derivada positiva significa que la cantidad está aumentando, y una derivada negativa significa que la cantidad está disminuyendo.
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La temperatura exterior tiene una derivada positiva de 3am a 3pm, y una derivada negativa de 3pm a 3am. Dibuja una gráfica de esto, y etiquete cada parte de la gráfica como “creciente” o “decreciente”.
Con la derivada positiva de 3am a 3pm, esta debe subir y etiquetarse como “creciente”. De 3pm a 3am, la gráfica va bajando y etiquetada como “decreciente”.
En la interfaz entre aumentar y disminuir, a las 3pm, es cuando la temperatura es la más alta. Esta es la clave de una de las aplicaciones más útiles del cálculo: ¡la optimización! La optimización es averiguar cuándo se maximiza una cantidad, o lo más alta posible, o averiguar cuándo se minimiza una cantidad, o lo más baja posible. A menudo esto es en la interfaz de aumentar y disminuir, y por lo tanto en el donde una función pasa de derivada positiva a derivada negativa. De ahí que una de las máximas más importantes del cálculo: ¡la optimización ocurre cuando la derivada es cero! Volveremos a esto en un futuro apartado.
Por ahora, usando esta idea de cuando la derivada es positiva, negativa o cero, podemos dibujar un boceto aproximado de la derivada basado en la gráfica de una función. Veamos un ejemplo
Al bosquejar la derivada, tenga en cuenta esta idea: las pendientes se convierten en\(y\) -valores. Primero, marquemos donde la derivada es cero:
Estos son los lugares que, en la gráfica derivada, tienen cero para el\(y\) -valor. Eso quiere decir que estos son los\(x\) -interceptos!
Ahora marquemos donde la derivada es positiva, y donde es negativa.
Finalmente, podemos usar esto como una guía aproximada para un boceto, nuevamente teniendo en cuenta que la pendiente se convierte en\(y\) -valores. Aquí, la derivada está en negro, mientras que la función original está en gris.
Veamos otro ejemplo.
En este caso, la gráfica siempre va hacia abajo, por lo que la derivada siempre es negativa. Eso realmente no te dice mucho sobre cómo se ve la gráfica derivada. Sin embargo, aquí hay un punto especial llamado punto de inflexión:
No es donde la pendiente es cero, sino es donde la pendiente se acerca más a cero. En todas partes la pendiente es más negativa que en el punto de inflexión. Entonces en la gráfica derivada este se convierte en un punto máximo o más alto, así:
Siempre y cuando ese punto de inflexión sea el punto más alto (pero aún un\(y\) valor negativo debido a la pendiente negativa de la gráfica original), eso es lo mejor que puedes hacer en esa.