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# 3.8: Opcional— Integrales en Coordenadas Generales

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Una de las herramientas más importantes utilizadas en el tratamiento de integrales de una sola variable es la regla de cambio de variable (sustitución)

##### Ecuación 3.8.1

$x=f(u)\qquad \mathrm{d}{x} = f'(u)\,\mathrm{d}u \nonumber$

Ver Teoremas 1.4.2 y 1.4.6 en el texto CLP-2. Expresar integrales multivariables usando coordenadas polares o cilíndricas o esféricas son realmente sustituciones multivariables. Por ejemplo, cambiar a coordenadas esféricas equivale a reemplazar las coordenadas$$x,y,z$$ con las coordenadas$$\rho,\theta,\varphi$$ usando la sustitución

$\textbf{X} =\textbf{r}(\rho,\theta,\varphi)\qquad \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} = \rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi \nonumber$

donde

$\textbf{X}=\left \langle x\,,\, y\,,\, z \right \rangle\qquad\text{and}\qquad \textbf{r}(\rho,\theta,\varphi)=\left \langle \rho\cos\theta\sin\varphi\,,\, \rho\sin\theta\sin\varphi\,,\, \rho\cos\varphi \right \rangle \nonumber$

Ahora derivaremos una generalización de la regla de sustitución 3.8.1 a dos dimensiones. Incluirá coordenadas polares como caso especial. Posteriormente, declararemos (sin pruebas) su generalización a tres dimensiones. Incluirá coordenadas cilíndricas y esféricas como casos especiales.

Supongamos que deseamos integrarnos sobre una región,$$\mathcal{R}\text{,}$$ en$$\mathbb{R}^2$$ y que también deseamos 1 usar dos nuevas coordenadas, que llamaremos$$u$$ y$$v\text{,}$$ en lugar de$$x$$ y$$y\text{.}$$ Las nuevas coordenadas$$u\text{,}$$$$v$$ están relacionadas con las coordenadas antiguas $$x\text{,}$$$$y\text{,}$$por las funciones 2

\begin{align*} x&=x(u,v)\\ y&=y(u,v) \end{align*}

Para que las fórmulas sean más compactas, definiremos la función de valor vectorial$$\textbf{r}(u,v)$$ mediante

$\textbf{r}(u,v) = \left \langle x(u,v) \,,\, y(u,v) \right \rangle \nonumber$

Como ejemplo, si las nuevas coordenadas son coordenadas polares, con$$r$$ renombrado a$$u$$ y$$\theta$$ renombrado a$$v\text{,}$$ entonces$$x(u,v) = u\cos v$$ y$$y=u\sin v\text{.}$$

Tenga en cuenta que si mantenemos$$v$$ fijos y variamos$$u\text{,}$$ entonces$$\textbf{r}(u,v)$$ barre una curva. Por ejemplo, si$$x(u,v) = u\cos v$$ y$$y=u\sin v\text{,}$$ entonces, si mantenemos$$v$$ fijos y variamos$$u\text{,}$$$$\vec{r}(u,v)$$ barre una línea recta (que hace que el ángulo$$v$$ con el$$x$$ eje -), mientras que, si mantenemos$$u \gt 0$$ fijos y variamos$$v\text{,}$$$$\textbf{r}(u,v)$$ barre un círculo (de radio $$u$$centrado en el origen).

Comenzamos cortando$$\mathcal{R}$$ (la región sombreada en la figura de abajo) hacia arriba en pequeños trozos dibujando un manojo de curvas de constante$$u$$ (las curvas azules en la figura de abajo) y un manojo de curvas de constante$$v$$ (las curvas rojas en la figura de abajo).

Concéntrate en cualquiera de las piezas pequeñas. Aquí hay un boceto muy magnificado.

Por ejemplo, la curva roja inferior se construyó manteniendo$$v$$ fija en el valor$$v_0\text{,}$$ variable$$u$$ y bosquejando$$\textbf{r}(u,v_0)\text{,}$$ y la curva roja superior se construyó manteniendo$$v$$ fija en el valor ligeramente mayor$$v_0+\mathrm{d}v\text{,}$$ variando$$u$$ y dibujando$$\textbf{r}(u,v_0+\mathrm{d}v)\text{.}$$ Así que el cuatro puntos de intersección en la figura son

\begin{alignat*}{2} P_2&=\textbf{r}(u_0, v_0+\mathrm{d}v) &\qquad P_3&=\textbf{r}(u_0+\mathrm{d}u, v_0+\mathrm{d}v)\\ P_0&=\textbf{r}(u_0, v_0) & P_1&=\textbf{r}(u_0+\mathrm{d}u, v_0) \end{alignat*}

Ahora, para cualquier constante pequeña$$\mathrm{d}U$$ y$$\mathrm{d}V\text{,}$$ tenemos la aproximación lineal 3

\begin{align*} \textbf{r}(u_0+\mathrm{d}U,v_0+\mathrm{d}V) &\approx \textbf{r}(u_0\,,\,v_0) +\frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}U +\frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}V \end{align*}

Aplicando esto tres veces, una con$$\mathrm{d}U=\mathrm{d}u\text{,}$$$$\mathrm{d}V=0$$ (para aproximar$$P_1$$), una con$$\mathrm{d}U=0\text{,}$$$$\mathrm{d}V=\mathrm{d}v$$ (para aproximar$$P_2$$), y una vez con$$\mathrm{d}U=\mathrm{d}u\text{,}$$$$\mathrm{d}V=\mathrm{d}v$$ (para aproximar$$P_3$$),

\begin{alignat*}{4} P_0&=\textbf{r}(u_0\,,\,v_0)\\ P_1&=\textbf{r}(u_0+\mathrm{d}u, v_0) &&\approx \textbf{r}(u_0\,,\,v_0) &&+\frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u\\ P_2&=\textbf{r}(u_0, v_0+\mathrm{d}v) &&\approx \textbf{r}(u_0\,,\,v_0) && &&+\frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v\\ P_3&=\textbf{r}(u_0+\mathrm{d}u, v_0+\mathrm{d}v) &&\approx\textbf{r}(u_0\,,\,v_0) &&+\frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u &&+\frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v \end{alignat*}

Hemos bajado todos los términos de expansión de Taylor que son de grado dos o superior en$$\mathrm{d}u\text{,}$$$$\mathrm{d}v\text{.}$$ La razón es que, al definir la integral, tomamos el límite$$\mathrm{d}u,\mathrm{d}v\rightarrow 0\text{.}$$ Debido a ese límite, todos los términos caídos contribuyen exactamente$$0$$ a la integral. Esto no lo probaremos. Pero vamos a mostrar, en la optativa §3.8.1, por qué es así.

La pequeña pieza de$$\mathcal{R}$$ superficie con esquinas$$P_0\text{,}$$$$P_1\text{,}$$$$P_2\text{,}$$$$P_3$$ es aproximadamente un paralelogramo con lados

\begin{align*} \overrightarrow{P_0P_1} \approx \overrightarrow{P_2P_3} &\approx \frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u =\left \langle \frac{\partial x}{\partial u}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial y}{\partial u}(u_0,v_0) \right \rangle \mathrm{d}u\\ \overrightarrow{P_0P_2} \approx \overrightarrow{P_1P_3} &\approx \frac{\partial \textbf{ r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v =\left \langle \frac{\partial x}{\partial v}(u_0,v_0)\,,\, \frac{\partial y}{\partial v}(u_0,v_0) \right \rangle \mathrm{d}v \qquad \end{align*}

Aquí la notación, por ejemplo,$$\overrightarrow{P_0P_1}$$ se refiere al vector cuya cola está en el punto$$P_0$$ y cuya cabeza está en el punto$$P_1\text{.}$$ Recall, de 1.2.17 que

$\text{area of parallelogram with sides \left \langle a,b \right \rangle and \left \langle c,d \right \rangle} = \left|\det\left[\begin{matrix}a&b\\ c&d\end{matrix}\right]\right| =\big|ad-bc\big| \nonumber$

Así que el área de nuestro pequeño trozo de$$\mathcal{R}$$ es esencialmente

##### Ecuación 3.8.2

\begin{align*} \mathrm{d}A = \left|\det\left[\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \end{align*}

Recordemos que$$\det M$$ denota el determinante de la matriz$$M\text{.}$$ También recordemos que realmente no necesitamos determinantes para este texto, aunque sí hace para una buena notación compacta.

La fórmula (3.8.2) es el corazón del siguiente teorema, que nos dice cómo traducir una integral en un sistema de coordenadas en una integral en otro sistema de coordenadas.

##### Teorema 3.8.3

Dejar que las funciones$$x(u,v)$$ y$$y(u,v)$$ tener primeras derivadas parciales continuas y dejar que la función$$f(x,y)$$ sea continua. Supongamos que$$x=x(u,v)\text{,}$$$$y=y(u,v)$$ proporciona una correspondencia uno a uno entre los puntos$$(u,v)$$ de la región$$\mathcal{U}$$ en el$$uv$$ plano y los puntos$$(x,y)$$ de la región$$\mathcal{R}$$ en el$$xy$$ plano. Entonces

$\iint_\mathcal{R} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \iint_{\mathcal{U}} f\big(x(u,v)\,,\,y(u,v)\big) \left|\det\left[\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}(u,v)&\frac{\partial y}{\partial u}(u,v)\\ \frac{\partial x}{\partial v}(u,v)&\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \nonumber$

El determinante

\begin{align*} \det\left[\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}(u,v)&\frac{\partial y}{\partial u}(u,v) \\ \frac{\partial x}{\partial v}(u,v)&\frac{\partial y}{\partial v}(u,v) \end{matrix}\right] \end{align*}

que aparece en (3.8.2) y Teorema 3.8.3 se conoce como el jacobiano 4.

##### Ejemplo 3.8.4. $$\mathrm{d}A$$ for $$x\leftrightarrow y$$

Empezaremos con un ejemplo bastante trivial en el que simplemente renombramos$$x$$ a$$Y$$ y$$y$$ a$$X\text{.}$$ Eso es

\begin{align*} x(X,Y) &= Y\\ y(X,Y) &= X \end{align*}

Desde

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial X}&=0 &\frac{\partial y}{\partial X}&=1\\ \frac{\partial x}{\partial Y}&=1 &\frac{\partial y}{\partial Y}&=0 \end{align*}

(3.8.2), pero con$$u$$ renombrado a$$X$$ y$$v$$ renombrado a$$Y\text{,}$$ da

\begin{align*} \mathrm{d}A &= \left|\det\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}X\,\mathrm{d}Y = \mathrm{d}X\,\mathrm{d}Y \end{align*}

lo que realmente no debería ser un shock.

##### Ejemplo 3.8.5. $$\mathrm{d}A$$ for Polar Coordinates

\begin{align*} x(r,\theta) &= r\cos\theta\\ y(r,\theta) &= r\sin\theta \end{align*}

Desde

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial r}&=\cos\theta &\frac{\partial y}{\partial r}&=\sin\theta\\ \frac{\partial x}{\partial \theta}&=-r\sin\theta &\frac{\partial y}{\partial \theta}&=r\cos\theta \end{align*}

(3.8.2), pero con$$u$$ renombrado a$$r$$ y$$v$$ renombrado a$$\theta\text{,}$$ da

\begin{align*} \mathrm{d}A &= \left|\det\left[\begin{matrix}\cos\theta &\sin\theta \\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}r \mathrm{d}{\theta} =\big(r\cos^2\theta + r\sin^2\theta\big)\,\mathrm{d}r \mathrm{d}{\theta} \\ &= r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \end{align*}

que es exactamente lo que encontramos en 3.2.5.

##### Ejemplo 3.8.6. $$\mathrm{d}A$$ for Parabolic Coordinates

Las 5 coordenadas parabólicas están definidas por

\begin{align*} x(u,v) &= \frac{u^2-v^2}{2}\\ y(u,v) &= uv \end{align*}

Desde

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial u}&= u &\frac{\partial y}{\partial u}&=v\\ \frac{\partial x}{\partial v}&=-v &\frac{\partial y}{\partial v}&=u \end{align*}

(3.8.2) da

\begin{align*} \mathrm{d}A &= \left|\det\left[\begin{matrix} u & v \\ -v & u \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v = (u^2+v^2)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \end{align*}

En la práctica aplicar el cambio de variables Teorema 3.8.3 puede ser bastante complicado. Aquí hay solo un ejemplo simple (y amañado).

##### Ejemplo 3.8.7

Evaluar

$\iint_\mathcal{R}\frac{y}{1+x}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \qquad\text{where } \mathcal{R}=\left \{(x,y)|0\le x\le 1,\ 1+x\le y\le 2+2x\right \} \nonumber$

Solución

Podemos simplificar el integrando considerablemente haciendo el cambio de variables

\begin{align*} s&=x & x&=s\\ t&=\frac{y}{1+x} & y&=t(1+x) = t(1+s) \end{align*}

Por supuesto para evaluar la integral dada aplicando el Teorema 3.8.3 también necesitamos saber

• [$$\circ$$] el dominio de la integración en términos de$$s$$ y$$t$$ y
• [$$\circ$$]$$\mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y}$$ en términos de$$\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t\text{.}$$

Por (3.8.2), recordando que$$x(s,t)=s$$ y$$y(s,t)=t(1+s)\text{,}$$

\begin{align*} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &= \left|\det\left[\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial s}\\ \frac{\partial x}{\partial t}&\frac{\partial y}{\partial t} \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t = \left|\det\left[\begin{matrix}1&t\\ 0&1+s \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}s\,\mathrm{d}t = (1+s)\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t \end{align*}

Para determinar qué hace el cambio de variables al dominio de la integración, esbozaremos$$\mathcal{R}$$ y luego reexpresaremos el límite de$$\mathcal{R}$$ en términos de las nuevas coordenadas$$s$$ y$$t\text{.}$$ Aquí está el boceto de$$\mathcal{R}$$ en las coordenadas originales$$(x,y)\text{.}$$

La región$$\mathcal{R}$$ es un cuadrilátero. Tiene cuatro lados.

• El lado izquierdo es parte de la línea$$x=0\text{.}$$ Recordemos que$$x=s\text{.}$$ Así, en términos de$$s$$ y$$t\text{,}$$ esta línea es$$s=0\text{.}$$
• El lado derecho es parte de la línea$$x=1\text{.}$$ En términos de$$s$$ y$$t\text{,}$$ esta línea es$$s=1\text{.}$$
• El lado inferior es parte de la línea$$y=1+x\text{,}$$ o$$\frac{y}{1+x}=1\text{.}$$ Recordemos que$$t=\frac{y}{1+x}\text{.}$$ Así, en términos de$$s$$ y$$t\text{,}$$ esta línea es$$t=1\text{.}$$
• El lado superior es parte de la línea$$y=2(1+x)\text{,}$$ o$$\frac{y}{1+x}=2\text{.}$$ En términos de$$s$$ y$$t\text{,}$$ esta línea es$$t=2\text{.}$$

Aquí hay otra copia del boceto de$$\mathcal{R}\text{.}$$ Pero esta vez las ecuaciones de sus cuatro lados se expresan en términos de$$s$$ y$$t\text{.}$$

Entonces, expresado en términos de$$s$$ y$$t\text{,}$$ el dominio de la integración$$\mathcal{R}$$ es mucho más sencillo:

$\left \{(s,t)|0\le s\le 1,\ 1\le t\le 2\right \} \nonumber$

Como$$\mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = (1+s)\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t$$ y el integrando$$\frac{y}{1+x}=t\text{,}$$ la integral es, por Teorema 3.8.3,

\begin{align*} \iint_\mathcal{R}\frac{y}{1+x}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &=\int_0^1\mathrm{d}s\int_1^2\mathrm{d}t\ (1+s)t =\int_0^1\mathrm{d}s\ (1+s)\ \left[\frac{t^2}{2}\right]_1^2\\ &=\frac{3}{2}\left[s+\frac{s^2}{2}\right]_0^1\\ &=\frac{3}{2}\times \frac{3}{2}\\ &=\frac{9}{4} \end{align*}

Hay generalizaciones naturales de (3.8.2) y Teorema 3.8.3 a tres (y también a mayores) dimensiones, que se derivan precisamente de la misma manera que se derivó (3.8.2). La derivación se basa en el hecho, discutido en la optativa Sección 1.2.4, de que el volumen del paralelepípedo (paralelogramo tridimensional)

determinado por los tres vectores$$\textbf{a}=\left \langle a_1,a_2,a_3 \right \rangle ,\ \textbf{b}=\left \langle b_1,b_2,b_3 \right \rangle$$ y$$\textbf{c}=\left \langle c_1,c_2,c_3 \right \rangle$$ viene dado por la fórmula

\begin{align*} \text{volume of parallelepiped with edges } \textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c} &= \left| \det\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3 \\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{matrix}\right] \right| \end{align*}

donde el determinante de una$$3\times 3$$ matriz puede definirse en términos de algunos$$2\times 2$$ determinantes por

Si usamos

\begin{align*} x&=x(u,v,w)\\ y&=y(u,v,w)\\ z&=z(u,v,w) \end{align*}

para cambiar de coordenadas antiguas$$x,y,z$$ a nuevas coordenadas$$u,v,w\text{,}$$ entonces

##### Ecuación 3.8.8

\begin{align*} \mathrm{d}V = \left|\det\left[\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial v}\\ \frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}&\frac{\partial z}{\partial w} \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w \end{align*}

##### Ejemplo 3.8.9. $$\mathrm{d}V$$ for Cylindrical Coordinates

\begin{align*} x(r,\theta,z) &= r\cos\theta\\ y(r,\theta,z) &= r\sin\theta\\ z(r,\theta,z) & = z \end{align*}

Desde

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial r}&=\cos\theta &\frac{\partial y}{\partial r}&=\sin\theta &\frac{\partial z}{\partial r}&=0\\ \frac{\partial x}{\partial \theta}&=-r\sin\theta &\frac{\partial y}{\partial \theta}&=r\cos\theta &\frac{\partial z}{\partial \theta}&=0\\ \frac{\partial x}{\partial z}&= 0 &\frac{\partial y}{\partial z}&=0 &\frac{\partial z}{\partial z}&=1 \end{align*}

(3.8.8), pero con$$u$$ renombrado a$$r$$ y$$v$$ renombrado a$$\theta\text{,}$$ da

\begin{align*} \mathrm{d}V &= \left|\det\left[\begin{matrix}\cos\theta &\sin\theta&0 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta&0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \\ &= \left|\cos\theta\det\left[\begin{matrix} r\cos\theta&0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] -\sin\theta\det\left[\begin{matrix} -r\sin\theta&0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]\right.\\ &\hskip2.3in+0\left.\det\left[\begin{matrix} -r\sin\theta & r\cos\theta \\ 0 & 0 \end{matrix}\right] \right| \mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \\ &=\big(r\cos^2\theta + r\sin^2\theta\big)\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \\ &= r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \end{align*}

que es exactamente lo que encontramos en (3.6.3).

##### Ejemplo 3.8.10. $$\mathrm{d}V$$ for Spherical Coordinates

\begin{align*} x(\rho,\theta,\varphi) &= \rho\,\cos\theta\,\sin\varphi\\ y(\rho,\theta,\varphi) &= \rho\,\sin\theta\,\sin\varphi\\ z(\rho,\theta,\varphi) & = \rho\,\cos\varphi \end{align*}

Desde

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial \rho}&=\cos\theta\,\sin\varphi &\frac{\partial y}{\partial \rho}&=\sin\theta\,\sin\varphi &\frac{\partial z}{\partial \rho}&=\cos\varphi\\ \frac{\partial x}{\partial \theta}&=-\rho\,\sin\theta\,\sin\varphi &\frac{\partial y}{\partial \theta}&=\rho\,\cos\theta\,\sin\varphi &\frac{\partial z}{\partial \theta}&=0\\ \frac{\partial x}{\partial \varphi}&= \rho\,\cos\theta\,\cos\varphi &\frac{\partial y}{\partial \varphi}&=\rho\,\sin\theta\,\cos\varphi &\frac{\partial z}{\partial \varphi}&=-\rho\,\sin\varphi \end{align*}

(3.8.8), pero con$$u$$ renombrado a$$\rho\text{,}$$$$v$$ renombrado$$\theta$$ y$$w$$ renombrado a$$\varphi\text{,}$$ gives

\begin{align*} \mathrm{d}V &= \left|\det\left[\begin{matrix}\cos\theta\,\sin\varphi & \sin\theta\,\sin\varphi &\cos\varphi \\ -\rho\,\sin\theta\,\sin\varphi &\rho\,\cos\theta\,\sin\varphi &0 \\ \rho\,\cos\theta\,\cos\varphi &\rho\,\sin\theta\,\cos\varphi &-\rho\,\sin\varphi \end{matrix}\right]\right| \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\\ &= \left|\cos\theta\,\sin\varphi\det\left[\begin{matrix} \rho\,\cos\theta\,\sin\varphi&0 \\ \rho\,\sin\theta\,\cos\varphi &-\rho\,\sin\varphi \end{matrix}\right] \right.\\ &\hskip1in\left. -\sin\theta\,\sin\varphi\det\left[\begin{matrix} -\rho\,\sin\theta\,\sin\vec{a}rphi &0 \\ \rho\,\cos\theta\,\cos\varphi &-\rho\,\sin\varphi \end{matrix}\right] \right.\\ &\hskip1in\left. +\cos\varphi\det\left[\begin{matrix} -\rho\,\sin\theta\,\sin\varphi &\rho\,\cos\theta\,\sin\varphi \\ \rho\,\cos\theta\,\cos\varphi &\rho\,\sin\theta\,\cos\varphi \end{matrix}\right] \right| \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\\ &=\rho^2 \big|-\cos^2\theta \sin^3\varphi - \sin^2\theta\sin^3\varphi -\sin\varphi\cos^2\varphi \big|\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\\ &=\rho^2 \big|-\sin\varphi \sin^2\varphi -\sin\varphi\cos^2\varphi \big|\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\\ &= \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi \end{align*}

que es exactamente lo que encontramos en (3.7.3).

## Opcional — Dejar caer términos de orden superior en$$\mathrm{d}u,\mathrm{d}v$$

En el curso de derivar (3.8.2), es decir, la$$\mathrm{d}A$$ fórmula para

aproximamos, por ejemplo, los vectores

\begin{alignat*}{2} \overrightarrow{P_0P_1} &=\textbf{r}(u_0+\mathrm{d}u, v_0) -\textbf{r}(u_0\,,\,v_0) &= \frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u + E_1 &\approx \frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u\\ \overrightarrow{P_0P_2} &=\textbf{r}(u_0, v_0+\mathrm{d}v)-\textbf{r}(u_0\,,\,v_0) &= \frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v + E_2 &\approx \frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v \end{alignat*}

donde$$\textbf{E}_1$$ está delimitado 6 por unos tiempos constantes$$(\mathrm{d}u)^2$$ y$$E_2$$ está delimitado por unos tiempos constantes Es$$(\mathrm{d}v)^2\text{.}$$ decir, asumimos que podríamos simplemente ignorar los errores y caer$$E_1$$ y$$E_2$$ poniéndolos a cero.

Así que aproximamos

\begin{align*} \left|\overrightarrow{P_0P_1}\times\overrightarrow{P_0P_2}\right| &=\left|\Big[\frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u + \textbf{E}_1\Big] \times\Big[\frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v + \textbf{E}_2\Big] \right|\\ &=\left|\frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u \times\frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v + \textbf{E}_3 \right|\\ &\approx \left|\frac{\partial \textbf{r}}{\partial u}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}u \times\frac{\partial \textbf{r}}{\partial v}(u_0\,,\,v_0)\,\mathrm{d}v \right| \end{align*}

donde la longitud del vector$$\textbf{E}_3$$ está delimitada por tiempos constantes Ahora$$(\mathrm{d}u)^2\,\mathrm{d}v+\mathrm{d}u\,(\mathrm{d}v)^2\text{.}$$ veremos por qué caer términos como$$\textbf{E}_3$$ no cambia el valor de la integral en absoluto 7. Supongamos que nuestro dominio de integración consiste en$$(u,v)$$ todos's en un rectángulo de ancho$$W$$ y alto$$H\text{,}$$ como en la siguiente figura.

Subdivida el rectángulo en una cuadrícula de$$n\times n$$ pequeños subrectángulos dibujando líneas de constante$$v$$ (las líneas rojas en la figura) y líneas de constante$$u$$ (las líneas azules en la figura). Cada subrectángulo tiene ancho$$\mathrm{d}u = \frac{W}{n}$$ y alto$$\mathrm{d}v = \frac{H}{n}\text{.}$$ Ahora supongamos que al configurar la integral hacemos, para cada subrectángulo, un error que está delimitado por algunos tiempos constantes

$(\mathrm{d}u)^2\,\mathrm{d}v+\mathrm{d}u\,(\mathrm{d}v)^2 =\Big(\frac{W}{n}\Big)^2 \frac{H}{n} + \frac{W}{n}\Big(\frac{H}{n}\Big)^2 =\frac{WH(W+H)}{n^3} \nonumber$

Debido a que hay un total de$$n^2$$ subrectángulos, el error total que hemos introducido, para todos estos subrectángulos, no es mayor que un tiempo constante

$n^2 \times \frac{WH(W+H)}{n^3} = \frac{WH(W+H)}{n} \nonumber$

Cuando definimos nuestra integral tomando el límite$$n\rightarrow 0$$ de las sumas de Riemann, este error converge a exactamente$$0\text{.}$$ Como consecuencia, fue seguro para nosotros ignorar los términos de error cuando establecimos el cambio de fórmulas variables.

1. Mantendremos nuestro tercer deseo en reserva.
2. Estamos abusando un poco de la notación aquí usando$$x$$ y$$y$$ tanto como coordenadas y como funciones. Podríamos escribir$$x=f(u,v)$$ y$$y=g(u,v)\text{,}$$ pero es más fácil de recordar$$x=x(u,v)$$ y$$y=y(u,v)\text{.}$$
3. Recordar 2.6.1.
4. No lleva el nombre del Club Jacobino, un movimiento político de la revolución francesa. No lleva el nombre de las rebeliones jacobitas que tuvieron lugar en Gran Bretaña e Irlanda entre 1688 y 1746. No lleva el nombre de la era jacobea de la historia inglesa y escocesa. Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 — 1851). Murió de viruela.
5. El nombre proviene del hecho de que tanto las curvas de constante como$$u$$ las curvas de constante$$v$$ son parábolas.
6. Recuerda el error en las aproximaciones del polinomio de Taylor. Ver 2.6.13 y 2.6.14.
7. Véase el opcional § 1.1.6 del texto CLP-2 para un argumento análogo relativo a las sumas de Riemann.

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